Kapitel (Arbeit, Energie und Leistung)
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Inhalt 1 8 Arbeit, Energie - Leistung 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 Arbeit Verschiedene Arten mechanischer Arbeit Leistung Energie Felder Satz von der Erhaltung der Energie 8.6.1 Energieumwandlung 8.7 Stoßprozesse 8.7.1 Gerader, zentraler, elastischer Stoß 8.7.2 Gerader, zentraler, inelastischer Stoß 8.1 Arbeit 2 Die Definition der Arbeit lautet: G G Wird ein Körper unter Einwirkung einer konstanten Kraft F um einen Weg s verschoben, wird dabei die Arbeit W verrichtet. mathematisch ausgedrückt: G G W = F ⋅s G G Skalarprodukt von F und s Die Einheit der Arbeit ist [W ] = N ⋅ m = J = Joule Die Arbeit ist ein Skalar, also eine Größe, die nur einen Betrag hat, aber keine Richtung, wie z. B. die Masse, die Länge eines Vektors, ... Skalarprodukt: G G a ⋅ b = (ax ⋅ bx + ay ⋅ by + az ⋅ bz ) 1 8.1 Arbeit 3 Kreuzprodukt: ax G G a × b = ay × a z bx ay bz − az by by = az bx − ax bz b ax by − ay bx z Entsprechend diesem inhaltlichem Unterschied gibt es auch zwei unterschiedliche Rechenvorschriften, wie die Multiplikation ausgeführt werden soll. G G G G W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α Skalarprodukt G G G G G v = ω × r = ω ⋅ r ⋅ sin α Vektorprodukt Das Skalarprodukt wird also maximal, wenn beide Vektoren parallel sind, und Null, wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Dies ist genau umgekehrt zum Vektorprodukt. Beispiel: Welche Arbeit muss geleistet werden, um einen Stein der Masse m auf die Höhe h zu heben? 8.1 Arbeit 4 Damit wird die Arbeit z h=h G G F = m⋅g h=0 G s 0 0 G G G G W = F ⋅ s = m ⋅ g ⋅ s = m ⋅ 0 ⋅ 0 −g h = m ⋅ (0 + 0 + ( −g ) ⋅ h ) G G F = m⋅g = −m ⋅ g ⋅ h Diese Arbeit muss geleistet werden, um die Masse auf die Höhe h zu heben, deswegen hat sie auch ein negatives Vorzeichen. (Kraft ist antiparallel zu dem Weg.) (Umgekehrt wird der Körper von h auf 0 gebracht, dann wird die Arbeit vom Körper verrichtet.) Ist die Kraft längs eines Weges nicht konstant, muss man den Weg in Stücke zerlegen, entlang derer die Kraft konstant ist. Die Gesamtarbeit Wges ist dann die Summe der einzelnen Arbeiten Wi Wges = ∑ Wi i 2 8.1 Arbeit 5 Als Beispiel nehmen wir den einfachen Fall, dass man von zwei gleichen Ziegelsteinen erst einen von h = 0 nach h und dann beide von h nach 2h heben soll. m1+m2 z 2h m2 h m1 m2 m1 G G G F2 = (m1 + m2 ) ⋅ g = 2 ⋅ m ⋅ g G G F1 = m1 ⋅ g ab hier doppelt so groß Wie groß ist die Gesamtarbeit? Wges = W1 + W2 = −m1 ⋅ g ⋅ h − (m1 + m2 ) ⋅ g ⋅ h = N − (m ⋅ g ⋅ h + 2 ⋅ m ⋅ g ⋅ h ) m1 = m2 = −3 ⋅ m ⋅ g ⋅ h 8.1 Arbeit 6 Im Allgemeinen lassen wir zu, dass sich die Kräfte, für die wir geleistete Arbeit berechnen wollen, kontinuierlich verändern. Dann müssen die Wegstücke zu unendlich kleinen Teilwegen werden, und wir kommen zur Integralformulierung der Arbeit über den Zwischenschritt G G G W = ∑ ∆Wi = ∑ Fi (s ) ⋅ ∆si i i G G für endlich viele Teilwege ∆si . Im Grenzfall ∆si → 0 führt das zum Arbeitsintegral 2 G G G W = ∫ F (s )ds 1 allgemeine Definition der Arbeit Arbeit = Linienintegral der Kraft 3 8.1 Arbeit 7 Bemerkungen: Arbeitsdiagramme: G G F (s ) G G G G G G G G Ist s & F , dann ist F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α = N F ⋅s G F0 α= 0 G G W = F0 ⋅ s0 G G s0 s Arbeit = Fläche unter der Kurve G G im F -s Diagramm G G G G G F ist eine Funktion von s, d. h. F = F (s ) G G G s2 G F (s ) G G W = ∫ F ( s ) ⋅ ds G s1 G G G W = ∫ F ( s ) ⋅ ds G G s2 s G s1 8.1 Arbeit = Fläche unter der Kurve G G im F -s Diagramm Arbeit 8 Was passiert, wenn der Körper auf der Höhe h verschoben wird? G s23 h G s12 G G G G W = F ⋅ s12 + F ⋅ s23 0 0 x G G G F = 0 , s12 = 0 , s23 = 0 −m ⋅ g h 0 G G ⇒ F ⋅ s12 = −m ⋅ g ⋅ h G G F ⋅ s23 = −m ⋅ g ⋅ 0 + 0 ⋅ x = 0 G G G Bei einer Verschiebung der Masse senkrecht zur Kraft F (d. h. s ⊥ F ) wird keine Arbeit verrichtet. 4 8.1 Arbeit 9 Die Hubarbeit ist nur abhängig von der Höhendifferenz und nicht vom Weg. h In all diesen drei Fällen muss dieselbe Hubarbeit geleistet werden. 8.2 Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit 10 a) Hubarbeit auf der Erde Um einen Körper gegen eine konstante Gewichtskraft m · g um die Höhe h anzuheben, ist die Hubarbeit WH nötig. WH = m ⋅ g ⋅ h b) Beschleunigungsarbeit G Um einen Körper zu beschleunigen, muss auf einer Strecke s die G G Beschleunigungskraft FB = m ⋅ a wirken. G G W = ∫ m ⋅ a ⋅ ds = G G G v2 v2 G ds G G dv G v2 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ m d s m d v m v d v m ∫ dt ∫ N ∫ dt 2 s v v s2 1 = 1 G =: v 1 G v2 G v1 m G2 G2 ⋅ (v 2 − v1 ) 2 WB = G G 1 ⋅ m ⋅ (v 22 − v12 ) 2 Beschleunigungsarbeit, um den Körper G G von v1 auf v 2 zu bringen 5 8.2 Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit 11 G Sonderfall: v1 = 0 (d. h. Beschleunigung aus dem Stand) WB = G 1 ⋅ m ⋅v 2 2 G Bem.: WB hängt nicht von a und t ab, sondern nur von v . c) Spannarbeit bei einer elastischen Feder Wie groß ist die Arbeit, die in das Spannen einer Feder gestreckt werden G G muss, die von ihrer Ruhelage x1 = 0 bis x2 = x′ gespannt werden soll? WS = G x2 G G G F(x) ⋅ d x G∫ x1 Die Kraft einer Feder ist nach dem Hooke‘schen Gesetz G G F = −k ⋅ x mit der Federkonstanten k. 8.2 W = Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit G x2 ∫ G x1 G G G x2 −k ⋅ x ⋅ d x = −k ⋅ 2 G G F(x) G x2 G x1 =− G G F =k⋅ x 12 k G2 G2 ⋅ ( x2 − x1 ) 2 da Arbeit verrichtet werden muss WS G x1 G x2 G x d) Reibarbeit Ein Körper werde auf horizontaler Ebene (WH = 0) mit konstanter G Geschwindigkeit v = const. (WB = 0) bewegt. Zur Überwindung der Reibkraft G FR = µ ⋅ m ⋅ g ist Reibarbeit WR nötig. G FR G s G G F entgegengesetzt zu s ⇒ Minus-Zeichen 6 8.2 Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit G WR = −µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s 13 Arbeit muss verrichtet/geleistet werden G G e) Fall, bei dem F und s nicht parallel sind Welche Arbeit bringt der Motor einer Schiffsschaukel auf, der das „Schiff“ der Masse m reibungsfrei aus der Gleichgewichtslage von unten nach oben dreht? Der Abstand von der Achse zur Masse sei r. m m G FG m G FG ϕ r y G FG α x G ds G FG Nachdem was wir bislang wissen, müssen wir über den Halbkreis integrieren, G G da sich der Winkel α zwischen der Schwerkraft F und den Wegstückchen ds kontinuierlich ändert. Genauer gesagt, ist 8.2 Verschiedene Arten von mechanischer Arbeit oben W = ∫ unten 14 G G π F ⋅ ds = ∫ m ⋅ g ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ cos α 0 G G mit F = −FG = m ⋅ g, wobei wir ausgenutzt haben, dass ein kleines KreisbogenG stück gerade gleich Radius mal Winkeländerung ist (ds = r ⋅ dϕ). Drücken wir α durch ϕ (α = π 2 − ϕ) aus, wird aus unserem Integral π W = m ⋅ g ⋅ r ⋅ ∫ cos( π 2 − ϕ) dϕ 0 mit cos( π 2 − x ) = sin x ergibt dies: π W = m ⋅ g ⋅ r ⋅ ∫ sin ϕ dϕ = m ⋅ g ⋅ r ⋅ ( − cos ϕ) 0π = m ⋅ g ⋅ r ⋅ [1 − ( −1)] 0 W = 2⋅m⋅g ⋅r Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn die Schiffsschaukel senkrecht auf die Höhe h = 2r gehoben hätten. ⇒ Arbeit unabhängig vom zurückgelegten Weg 7 8.3 Leistung 15 Bei technischen Anwendungen spielt oft nicht nur die geleistete Arbeit eine Rolle, sondern auch die Zeit, in der die Arbeit verrichtet wird. Wir führen deshalb den Begriff der Leistung P („power“) ein. Sie entspricht einer geleisteten Arbiet pro Zeiteinheit, ist ein Skalar und wird mit P bezeichnet. P= W t [P ] = N⋅m J = = W(att) s s Für eine sich kontinuierlich ändernde Kraft gibt es einen entsprechenden differentiellen Ausdruck dW ( t ) dt G G G ds G P ( t ) = F (t ) ⋅ = F (t ) ⋅ v (t ) dt P (t ) = G der die momentane Leistung angibt, wenn mit einer Kraft F und einer G Geschwindigkeit v Arbeit verrichtet wird. Die gesamte verrichtete Arbeit ergibt sich wieder aus dem Integral über die Leistung W =∫ 8.3 G G dW d t = ∫ P (t )d t = ∫ F (t ) ⋅ v (t )d t dt Leistung 16 Größenordnungen von Leistungen Kraftwerke 1500 MW Flugzeugtriebwerke (Boeing 727) Lokomotiven 3 × 5 MW einige MW Automotoren Öfen für Zimmerheizung Dauerleistung eines Menschen Glühlampen 20 … 200 kW (1 PS = 736 W) 1 … 10 kW 100 W 10 … einige 100 W 8 8.4 Energie 17 Einer der wichtigsten Begriffe in der Physik ist Energie. Die an einem abgeschlossenen System verrichtete Arbeit wird in irgendeiner Form gespeichert. Diese gespeicherte Arbeit heißt Energie. Da die gespeicherte Arbeit wieder freigesetzt werden kann, ist Energie die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Man vereinbart daher die Vorzeichen bei der Arbeit so, dass an einem System geleistete Arbeit dessen Energie vergrößert. Einfaches Beispiel dieses Konzeptes ist die hochgehobene Masse m. Lässt man sie los, fällt sie wieder herunter. Mit dem Hochheben hat man an ihr Arbeit verrichtet, sie speichert im hochgehobenen Zustand so genannte potentielle Energie. Diese potentielle Energie kann durch Herunterfallen in Bewegungsenergie umgesetzt werden. Die Verwendung des Begriffs potentielle Energie ist nur erlaubt, wenn die Kraft ausschließlich ortsabhängig ist. Kräfte, die diese Eigenschaften haben, werden konservativ genannt. (Beispiele: Gravitationskraft – Massenanziehung, Coulombanziehung – elektrostatische Anziehung, …) Die Arbeit gegen eine konservative Kraft führt also zur Speicherung in Form von potentieller Energie. 8.4 Energie 18 Es gilt demnach für die Änderung in der potentiellen Energie Epot 2 G G ∆Epot = − ∫ F ⋅ ds 1 G Das Minuszeichen drückt aus, dass wir die Arbeit gegen eine Kraft F verrichten. G G Für den Fall der Masse m, die von h = 0 auf die Höhe h gehoben wird (F = −m ⋅ g ), erhöht sich die potentielle Energie um Epot = + m ⋅ g ⋅ h Für eine gespannte Feder ist die potentielle Energie 1 Epot = + k ⋅ x 2 2 Wird die Kraft hingegen ausschließlich zur Änderung der Geschwindigkeit verwendet, ist die gespeicherte Energie eine Funktion der Geschwindigkeit. Sie heißt Bewegungsenergie oder kinetische Energie Ekin. 9 8.4 Energie 19 2 G G 2 G G Ekin = ∫ F ⋅ ds = ∫ m ⋅ a ⋅ ds 1 Ekin = 1 G 1 ⋅ m ⋅v 2 2 Die kinetische Energie nimmt also quadratisch mit der Geschwindigkeit zu. G G Mit dem vorhin definierten Impuls p := m ⋅ v können wir die kinetische Energie auch folgendermaßen ausdrücken Ekin = G p2 2⋅m Bem.: Die Reibarbeit WR = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s wird nicht in eine der mechanischen Energieformen (Epot oder Ekin ) gespeichert, sondern in Form von Wärmeenergie. WR = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s → Wärme 8.5 Felder 20 Es gibt noch einen Begriff, den wir zu unserer Erleichterung einführen wollen und zwar ist es der des Feldes. Ein Feld gibt es uns die Möglichkeit, räumlich variierende Vektoren zu beschreiben. Für jeden Punkt eines Feldes muss demnach eine Richtung und ein Betrag angegeben sein. G Ein Beispiel ist das Gravitationsfeld EGr , bei dem die Gravitationskraft immer in Richtung der sie verursachenden Masse zeigt und betragsmäßig mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt. Ein anderes Beispiel ist das elektrische Feld. Vergleich Gravitationsfeld und elektrisches Feld Gravitationskraft (-gesetz): Coulombgesetz: G m ⋅m G FGr = −G ⋅ 1 2 2 ⋅ e21 r12 G G FGr = m2 ⋅ EGr G FCol = G m G EGr = −G ⋅ 21 ⋅ e21 r12 G FCol Gravitationsfeld 1 q1 ⋅ q2 G ⋅ 2 ⋅ e21 4πε0 r G = q2 ⋅ ECol G ECol = 1 q1 G ⋅ ⋅ e21 4πε0 r 2 elektrische Feldstärke 10 8.5 Felder 21 Beschreibt das Feld eine konservative Kraft, ist es ein konservatives Kraftfeld. Für konservative Kraftfelder gelten Besonderheiten: a) Die Arbeit, die gegen ein konservatives Kraftfeld verrichtet wird, ist unabhängig vom eingeschlagenen Weg und damit ausschließlich von Anfangsund Endpunkt bestimmt. 2 G G W = ∫ F ⋅ ds = Epot,2 − Epot,1 für konservative Kraftfelder 1 b) Es folgt die äquidistante Aussage, dass die Arbeit entlang eines geschlossenen Weges in einem konservativen Kraftfeld Null ist. G G v∫ F ⋅ ds = 0 Bem.: Der Feldbegriff ist von der Probemasse bzw. Probeladung unabhängig und beschreibt die Kraftwirkung auf sie (allgemeine Theorien möglich). 8.6 Satz von der Erhaltung der Energie 8.6.1 Energieumwandlung 22 Die beiden mechanischen Energieformen Epot und Ekin können schon bei sehr einfachen mechanischen Vorgängen ineinander umgewandelt werden. Dabei entsteht im idealen Fall kein Verlust an Energie. Beispiele: a) Fadenpendel U1, U2 = Umkehrpunkte Epot = m ⋅ g ⋅ h0 U1 U2 N G v0 Ekin = 0 h0 bei Nulldurchgang: Epot = 0 und Ekin = G 1 ⋅ m ⋅ v 02 2 Epot (U ) = Ekin (N ) m ⋅ g ⋅ h0 = G G 1 ⋅ m ⋅ v 02 ⇒ v 0 = 2 ⋅ g ⋅ h 2 11 8.6 Satz von der Erhaltung der Energie 23 b) Tanzende Stahlkugel Die Kugel wird aus der Höhe h0 fallengelassen und erreicht nach elastischer Reflexion an der Glasplatte fast wieder die volle Höhe h0: m ⋅ g ⋅ h0 → h0 G G 1 1 ⋅ m ⋅ v 02 → ... → ⋅ m ⋅ v 02 → m ⋅ g ⋅ h0 2 2 Glasplatte 8.6 Satz von der Erhaltung der Energie 24 Energiesatz (für mechanische Größen): In einem abgeschlossenen System bleibt die mechanische Gesamtenergie Eges = Epot + Ekin konstant, wenn nur konservative Kräfte walten. Erweiterung zum Allgemeinen: Satz von der Erhaltung der Energie In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtenergieinhalt konstant. ⇒ Die Energie ist eine Erhaltungsgröße. Folgerung: Energie kann weder vernichtet noch aus dem nichts erzeugt werden, sie kann nur von einer Form in eine andere Energieform umgewandelt werden. ⇒ Es gibt kein Perpetuum mobile 1. Art. 12 8.7 Stoßprozesse 25 Bei einem Stoß berühren sich (mindestens) zwei Körper kurzzeitig, wobei sie abrupt ihre Bewegungszustände ändern. Typisch ist eine sehr kurze Kontaktzeit, in der meist hohe Kräfte auftreten. Beispiele: Billardstöße, Autounfälle, Stöße zwischen Atomen, … Die Einteilung der Stöße erfolgt nach zwei Kriterien: a) nach dem geometrischen Ablauf b) nach der Aufteilung der Geometrie 8.7.1 Gerader, zentraler, elastischer Stoß Zwei vollkommen elastische Körper bewegen sich auf einer geraden Linie aufeinander zu und erleiden einen geraden zentralen elastischen Stoß. G G v2 v1 m1 m2 vor dem Stoß G u1 8.7 m1 m2 G u2 Stoß nach dem Stoß Stoßprozesse 26 a) Da das System abgeschlossen ist, gilt der Impulssatz: G G G G m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u2 Impulssatz, Impulserhaltung b) Da der Stoß vollkommen elastisch sein soll (ideal), geht keine kinetische Energie verloren. m1 ⋅ G G G G v12 v2 u2 u2 + m2 ⋅ 2 = m1 ⋅ 1 + m2 ⋅ 2 2 2 2 2 Energiesatz, Energieerhaltung Annahme: G G v1, v 2 vor dem Stoß seien bekannt G G u1, u2 nach dem Stoß seien gesucht ⇒ zwei Gleichungen, zwei Unbekannte Durch Umformen erhalten wir: aus Energiesatz: G G G G m1 ⋅ (v12 − u12 ) = m2 ⋅ (v 22 − u22 ) G G G G G G G G m1 ⋅ (v1 − u1) ⋅ (v1 + u1) = m2 ⋅ (v 2 − u2 ) ⋅ (v 2 + u2 ) 13 8.7 Stoßprozesse 27 G G G G m1 ⋅ (v1 − u1) = m2 ⋅ (v 2 − u2 ) aus Energiesatz: Division beider Gleichungen ergibt: G G G G v1 + u1 = u2 + v 2 G G G G ⇒ v1 − v 2 = −(u1 − u2 ) (∗) Vom Körper 2 aus gesehen, bewegt sich Körper 1 nach dem Stoß mit derselben Relativgeschwindigkeit weg (−), mit der er vor dem Stoß auf Körper 2 zugelaufen ist. Setzt man (∗) in den Impulssatz ein, so erhält man: G m − m2 G 2 ⋅ m2 G ⋅ v1 + ⋅ v2 u1 = 1 m1 + m2 m1 + m2 G 2 ⋅ m1 G m2 − m1 G ⋅ v1 + ⋅ v2 u2 = m1 + m2 m1 + m2 Stoßgesetze für den elastischen Stoß 8.7 Stoßprozesse 8.7.1 Gerader, zentraler, inelastischer Stoß 28 Sind die beiden Stoßparameter völlig inelastisch, dann treten beim Stoß keine Rückstellkräfte auf. Nach dem Stoß bleiben die beiden Stoßparameter zusammen G und bewegen sich mit der gemeinsamen Geschwindigkeit u. m1 G v1 G v2 m1+m2 mit dem Impulssatz: G u m2 vor dem Stoß nach dem Stoß G G G m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = (m1 + m2 ) ⋅ u G G G m ⋅ v + m2 ⋅ v 2 u= 1 1 m 1+ m 2 G Bem.: u lässt sich allein aus dem Impulssatz bestimmen. Energieerhaltung: G G G v2 v2 u2 m1 ⋅ 1 + m2 ⋅ 2 = (m 1+ m2 ) ⋅ + ∆E 2 2 2 ∆E = Verlust an kinetischer Energie (Verformungsarbeit und Wärme) 14
