III. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhängige Ereignisse

III. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
und unabhängige Ereignisse
™ Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
⇒ P(A) =
¾ A : mindestens eine 6
11
36
¾ Bekannte Vorinformation:
B : Augensumme ist höchstens 7
⇒ | B | = 21 ⇒ P( A | B ) =
2
21
™ Definition:
P( A | B ) =
P( A ∩ B)
P( B)
heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B,
falls P(B) > 0.
™ Situation (Ä):
¾ Angenommen, Sie erkennen am Klang der Schritte, dass
die Person, die gleich um die Ecke kommt, eine Frau ist.
¾ Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine
Autofahrerin handelt, also
P( A | W ) =
P( A ∩ W ) 0,1
=
= 0,25
P(W )
0,4
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 97 -
™ Definition:
Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig,
falls
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P( B ) .
™ Situation (Ä):
¾ Frage:
¾ Bekannt:
Sind Geschlecht und Beförderungsmittel
unabhängig?
P(W ) = 0,4
P( A ) = 0,55
⇒ P(W ) ⋅ P( A ) = 0,4 ⋅ 0,55 = 0,22
und P (W ∩ A ) = 0,3
¾ Antwort: Nein.
™ Bemerkung:
Gründe für die Bedeutsamkeit der stochastischen
Unabhängigkeit:
¾ Der Nachweis, dass zwei Ereignisse abhängig sind, führt
oft zur Suche nach dem kausalen Zusammenhang.
¾ Ermöglicht die Überprüfung, ob eine modellmäßige
Annahme der Unabhängigkeit mit konkret vorliegenden
Beobachtungen verträglich ist.
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 98 -
™ Satz:
P( A ∩ B) = P( A | B) ⋅ P( B)
[ = P( B | A) ⋅ P( A) ]
™ Beispiel:
¾ Situation: In einer Schachtel befinden sich 6 Akkus,
davon sind zwei leer. Jetzt werden zwei
Akkus für den Walkman gebraucht.
¾ Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden
entnommenen Akkus voll sind.
A : Der erste Akku ist voll.
B : Der zweite Akku ist voll.
¾ Gesucht: P ( A ∩ B )
P( A) =
4
6
P( B | A) =
3
5
⇒ P( A ∩ B ) = P ( B | A) ⋅ P ( A) =
3 4
⋅ = 0,4
5 6
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 99 -
™ Beispiel:
¾ Situation: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden
nacheinander 3 Karten gezogen.
¾ Gesucht:
Gesucht:
Wahrscheinlichkeit, im dritten Zug eine 7 zu
ziehen.
Ai : Im i-ten Zug wird eine 7 gezogen
P( A3 )
P ( A1 ) =
4
32
P( A1 ) =
28
32
P( A2 | A1 ) =
3
31
P ( A2 | A1 ) =
4
31
P ( A2 | A1 ) =
28
31
P ( A2 | A1 ) =
27
31
usw.
„Günstige“ Kombinationen
Wahrscheinlichkeiten
A1 A2 A3
4 3 2
24
⋅ ⋅
=
32 31 30 29.760
A1 A2 A3
4 28 3
336
⋅ ⋅
=
32 31 30 29.760
A1 A2 A3
28 4 3
336
⋅ ⋅
=
32 31 30 29.760
A1 A2 A3
28 27 4
3024
⋅ ⋅
=
32 31 30 29.760
disjunkte Ereignisse ⇒
∑
3720
= 0,125
29.760
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 100 -
Alternative Lösung über „Wahrscheinlichkeitsbaum“
28
32
4
32
1. Zug
eine 7
1. Zug
keine 7
3
31
2. Zug
eine 7
2
30
3. Zug
eine 7
28
31
4
31
2. Zug
keine 7
2. Zug
eine 7
27
31
2. Zug
keine 7
28
30
3
30
27
30
3
30
27
30
4
30
26
30
3. Zug
keine 7
3. Zug
eine 7
3. Zug
keine 7
3. Zug
eine 7
3. Zug
keine 7
3. Zug
eine 7
3. Zug
keine 7
Die jeweiligen „Wege“ zum Ziel „3. Zug eine 7“ sind disjunkt.
Deshalb ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Addition der
Einzelwahrscheinlichkeiten:
P(3. Zug eine 7) =
=
4 3 2
4 28 3 28 4 3 28 27 4
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= 0,125
32 31 30 32 31 30 32 31 30 32 31 30
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 101 -
IV. Lotto (Auszüge der Kombinatorik)
™ Situation:
¾ Beim Lotto werden aus 49 durchnummerierten Kugeln
(zufällig) 6 Kugeln nacheinander durch Ziehen ohne
Zurücklegen ausgewählt. Dabei spielt die Reihenfolge der
gezogenen Zahlen keine Rolle.
(Hier: Ohne Zusatzzahl)
¾ Von Interesse:
A : 6 Richtige
¾ Jede Kombination der 6 gezogenen Zahlen ist gleich
wahrscheinlich → Laplace-Experiment
⇒ P( A) =
¾ Offensichtlich:
¾ Gesucht:
| A|
|Ω|
|A| = 1
|Ω|
|Ω| : Anzahl aller Möglichkeiten, aus 49 Kugeln 6
Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen.
™ Satz:
Sei k ≤ n, dann gibt es
⎛n⎞
n!
= ⎜⎜ ⎟⎟
k!⋅(n − k )! ⎝ k ⎠
Möglichkeiten, k-elementige Teilmengen aus einer
n-elementigen Menge zu bilden.
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 102 -
™ Beim Lotto:
⎛ 49 ⎞
49!
⎜
⎟
Ω
=
|
|
=
⎜ 6 ⎟ 6! 43! = 13.983.816
¾
⎝ ⎠
¾ Damit ist die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige
P( A) =
1
≈ 0,0000000715
13.983.816
(also ca. 1:14 Millionen)
™ Noch ein Lotto-Beispiel:
¾ B : 4 Richtige beim Lotto
(ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl)
¾ Gesucht:
P( B ) =
|B|
|Ω|
⎛ 6 ⎞ ⎛ 43 ⎞
| B | = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = 13.545
⎝ 4⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 6 ⎞ ⎛ 43⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
13.545
| B | ⎝ 4⎠ ⎝ 2 ⎠
⇒ P( B ) =
=
=
≈ 0,00096862
49
13.983.816
|Ω|
⎛ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝6⎠
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 103 -