3. Zahlen und Hyperzahlen. Wir befassen uns mit Lösungen der

3. Zahlen und Hyperzahlen.
Wir befassen uns mit Lösungen der folgenden Typen
von Gleichungen
a + x = b, a · x = b, x2 = b, xn = b.
Lösungen der Gleichungen x2 = b und xn = b
nennt man auch Wurzeln. Die obigen Gleichungen
sind Spezialfälle der polynomiellen Gleichung
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 = 0.
Sowohl natürliche als auch ganze Zahlen kann man
addieren und multiplizieren, aber sie sind nicht gut
geeignet um die obigen Gleichungen zu lösen. Wenn
wir zu Resten modulo Primzahlen übergehen, dann
haben wir gesehen, dass dann die lineare Gleichung
a + x = b immer lösbar ist, und (wenn wir die Null
vergessen) auch die lineare Gleichung a·x = b. Nichtlineare Gleichungen stellen ein ganz neues Problem.
Dies sieht man schon an der quadratischen Gleichung
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
29
x2 = b. Wenn man nämlich z.B. die Reste der Quadrate modulo 5 aufstellt, dann erhält man:
x2
Rest (mod 5)
1 4 9
1 4 4
16
1
25
0
36
1
49
4
64
4
...
...
Also ist z.B. die Gleichung x2 ≡ 1(mod 5) lösbar,
aber nicht die Gleichung x2 ≡ 3(mod5). Tatsächlich
hat die Frage nach der Lösbarkeit der Gleichungen
x2 ≡ a(mod m) eine ziemlich umfangreiche Theorie
verursacht. Noch komplizierter ist das Problem der
Lösbarkeit von xn ≡ a(mod m). Mehr hierzu finden
Sie in dem Buch [Niven-Zukerman, Elementary Number Theory].
Um das Problem der Lösung der obigen Gleichungen
angehen zu können, beschaffen wir uns jetzt mehr Zahlen.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
30
I. Elementare Mathematik 1
(a) Zahldarstellungen.
Natürliche Zahlen könnte man einfach durch Striche
im Sand oder durch Knoten in einer Schnur usw. repräsentieren. Dies geht aber nur solange gut wie die
Zahlen mit denen man zu tun hat einigermaßen klein
sind (z.B. Zahl von Büffeln in einer Büffelherde usw.).
Für große Zahlen dagegen braucht man das Stellenwertsystem. Dies ist historisch als erstes von den
Babyloniern benutzt worden. Es kommt davon her
dass man z.B. in der Längenmessung mit Fingerlängen
und mit Armlängen gemessen hat. Die Zahl 5 konnte also verschiedene Bedeutungen haben. Sie konnte für 5 Fingerlängen oder für 5 Armlängen stehen
(für mehr zur Entdeckung des Stellenwertsystems bei
den Babyloniern siehe [O. Neugebauer, Vorlesungen
über Geschichte der antiken Wissenschaften, Springer
1969].
Heute hilft uns das Rechnen mit Resten für Zahldarstellungen und für die Umwandlung von einer Darstellung in eine andere.
Für eine solche Darstellung braucht man zunächst eine
Basiszahl, d.h. eine beliebige natürliche Zahl q und
q verschiedene Zahlzeichen. Z.B. könnte q = 10 sein
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
31
und die Zahlzeichen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Basiszahl könnte aber auch q = 2 sein und die Zahlzeichen 0, 1. Oder die Basiszahl ist 16 und die Zahlzeichen sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F , um
nur ein paar vertraute Beispiel zu nennen. Dann sind
Zahlen dargestellt durch
an an−1 . . . a0 = a0 q 0 + a1 q 1 + . . . + an q n
Der Wert der Zeichenfolge an an−1 . . . a1 hängt also
von der gewählten Basiszahl ab. Daher sollte man
eigentlich genauer schreiben:
3423110 oder 342318 usw.
Im Falle q = 10 ist dies das vertraute Dezimalsystem. Für q = 2 haben wir das Binärsystem, für
q = 6 das Hexagesimalsystem und für q = 60 das
Sexagesimalsystem wie es etwa 1800 v.u.Z. von den
Babyloniern eingeführt wurde.
Bemerkung. Stellenwertsysteme zu den Basen 2, 8,
16, 32 sind heute besonders in der Informatik wichtig.
Dies liegt daran, weil die Datengrundeinheiten in
”Wörter” von Bits der Länge 8, 16, 32 zusammengefaßt werden. Die Wortlänge ist dabei durch die sog.
”Bus-Breite” bestimmt. Dies ist die Anzahl der LeiKlaus Johannson, Elementare Mathematik 1
32
I. Elementare Mathematik 1
tungen, die der sog. Bus hat, d.h. das Hauptkablel,
das den Prozessor mit dem Speicher des Computers
verbindet (welche wiederum von der Länge der Register im Prozessor abhängt). Anfänglich war hier die
Breite 8 üblich. Heute sind es meist 16, aber viele
Register haben auch schon eine Länge von 32 Bits.
Wie wandelt man nun eine Darstellung in eine andere
um. Hierzu braucht man die Additions- und Multiplikationstafeln für die Zahlzeichen. Für das Dezimalsystem ist das bekannt und für andere Systeme muss
man die Tafeln explizit angeben. Um uns dies zu erleichtern benutzen wir aber die folgende Konvention:
Konvention. Die Zahlzeichen für die Basiszahl q
sind die gleichen wie die Zeichen für die Basiszahl r,
falls q ≤ r.
Damit kann man also schreiben
r = αq + β
wobei a, b Zahlzeichen sind für die Basiszahl r (falls
r > q).
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
33
Wenn man die Additions- und Multiplikationstafeln
hat, dann ist es leicht eine Zahldarstellung in eine
andere umzuwandeln, indem man einfach wiederholt
Reste bestimmt.
Beispiel. Als Beispiel wollen wir die Zahl 42710 im
Dezimalsystem umwandeln in Zahldarstellungen in der
Basis 5 bzw. 12. Hierfür benutzen wir den Divisionsalgorithmus wie folgt:
42710 = 8510 · 5 + 2
= (1710 · 5 + 0) · 5 + 2
= ((310 · 5 + 2) · 5 + 0) · 5 + 2
= 3 · 5 3 + 2 · 51 + 0 · 51 + 2 · 50
= 32025
42710 = 3510 · 12 + 7
= (2 · 12 + 11) · 12 + 7
= 2 · 122 + 11 · 121 + 7
= 2B712 .
wobei 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B die zwölf Zahlzeichen für die Basiszahl 12 sein sollen.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
34
I. Elementare Mathematik 1
Beispiel. Will man zwischen anderen Systemen umrechnen, dann übersetzt man am besten alles erst ins
Dezimalsystem. Angenommen wir möchten 101102
ins 5-er System umrechnen. Dann können wir wie folgt
vorgehen:
110102 = 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20
= 1610 + 810 + 210 = 2610
2610 = 510 · 5 + 1 = (1 · 5 + 0) · 5 + 1 = 1015
Beispiel. Die folgenden Beispiele deuten an wie man
im binären System rechnet:
10112 100002 10112 · 1012 1101112 : 1012 = 10112
+ 1012 − 1012
100002
10112
10112 1012
101102
1112
1101112
1012
1012
Wenn man sich vergegenwärtigt wie man diese Rechnungen im Dezimalsystem ausführt, dann werden die
obigen Rechnungen sofort klar.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
35
Brüche und Dezimalbrüche.
Weiter verwendet man die Konvention:
0, a1 a2 . . . an = a1 · q −1 + a2 · q −2 + . . . + an · q −n .
Wenn q = 10 spricht man hier von einem Dezimalbruch. Genauer müsste man z.B. auch hier wieder
schreiben:
0, 3591210 statt 0, 35912
wenn man wirklich den Dezimalbruch meint. Weiter
ist
100.00010 · 0, 3591210 = 35.91210
Also
0, 3591210 =
35.91210
100.00010
Auf diese Weise ist jeder endliche Dezimalbruch eine
rationale Zahl, d.h. ein Bruch. Dies gilt aber nicht
umgekehrt, denn
1
= 0, 3333333 . . .10
3
Aber jeder Bruch ist ein periodischer Dezimalbruch
und umgekehrt.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
36
I. Elementare Mathematik 1
Bemerkung. Man beachte also, dass man beim Rechnen mit Dezimalbrüchen (gegenüber den Dezimalzahlen) eine wichtige Besonderheit beachtet. Diese besteht darin, dass man gewisse verschiedene Dezimalbrüche als gleich identifizieren muß. So z.B.
0, 99999 . . .10 = 1, 00000 . . .10 und
1, 99999 . . .10 = 2, 00000 . . .10 usw.
Auf diese Weise kommen eben die periodischen Dezimalbrüche für Brüche zustande:
3
17
= 0, 333 . . . ,
= 0, 171717 . . . ,
9
99
133
= 0, 133133133 . . . .
999
Wenn man dies beachtet, dann kan man mit Dezimalbrüchen genauso rechnen wie mit Dezimalzahlen.
Wir gehen aber hierauf nicht gesondert ein.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
37
(b) Wurzelziehen.
Bisher haben wir immer nur lineare Gleichungen betrachtet, d.h. die Gleichungen a + x = b und a · x = b.
Es wäre aber auch interessant, Gleichungen höheren
Grades zu lösen. Etwa die Gleichung xn = a. Die
Lösungen solcher Gleichungen heißen Wurzeln und
ihre Berechnung ist das Wurzelziehen.
Mit den Dezimalbrüchen haben wir jetzt die Möglichkeit Wurzeln zu ziehen, d.h. die Gleichung
xn = a
zu lösen.
Bezeichnung. Man bezeichnet
die Lösung x von
√
xn = a üblicherweise mit n a.
Mit der obigen Bezeichnung haben wir insbesondere
√
Satz. 2 ist kein Bruch.
Beweis.
gäbe es natürliche Zahlen a, b
√ Andernfalls
2 = ab und so 2 = ab 2 , d.h. 2b2 = a2 . Aber
mit
wir wissen bereits, dass dies unmöglich ist. ♦
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
38
I. Elementare Mathematik 1
Der obige Beweis stammt von den Griechen (und findet
sich z.B. am Ende von [Euklid, Kap. X] und wird
seither in Lehrbüchern immer gern abgeschrieben. Er
war aber eigentlich schon damals überholt, denn die
Griechen kannten ja die Primfaktorzerlegung und hätten den viel allgemeineren Satz beweisen können:
√
Satz.
c ist ein Bruch genau dann wenn c eine
Quadratzahl ist.
√
1. Beweis. Sei
c = ab und a = p1 . . . pn ,
b = q1 . . . qm die Primfaktorzerlegungen. Dann ist
2
(q12 . . . qm
)c = (p21 . . . p2n ). Eine Primzahl qi teilt also
das Produkt p21 . . . p2n , aber nur, wenn es einen der
Faktoren p2i teilt. Die pi sind Primzahlen, und so
sind alle qi gewissen pj gleich. Demnach b|a und
somit ist c eine Quadratzahl. ♦
√
2. Beweis. Sei
c endlicher Dezimalbruch, dann
muss auch das Quadrat und damit c selbst ein endlicher Dezimalbruch sein. Dies geht nur, wenn der ursprüngliche Dezimalbruch eine ganze Zahl war. ♦
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
39
Der Fundamentalsatz der Algebra.
Bisher haben wir Wurzeln gezogen, d.h. Gleichungen
der Form x2 − 2 = 0 gelöst. Der Fundamentalsatz
der Algebra, auf den wir nun zusteuern, betrifft, viel
allgemeiner, Gleichungen der Form an xn +an−1 xn−1 +
. . . + a0 = 0.
Satz. Jede Gleichung p(x) = an xn + an−1 xn−1 +
. . . + a0 = 0, an 6= 0, hat mindestens eine Lösung in
reellen Zahlen, wenn der Grad n ungerade ist.
Beweis.
Die eine Hälfte des Fundamentalsatzes
Wenn x0 hinreichend groß ist, dann gilt
p(x) > 0 und p(−x) < 0
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
40
I. Elementare Mathematik 1
Da p stetig ist und da die x-Achse die Ebene in zwei
Teile teilt, muss es ein x1 geben mit p(x1 ) = 0.
Dies beendet den Beweis. ♦
Bem. Lange Zeit war man sich unsicher, ob der obige
Beweis in Ordnung ist. Er verwendet implizit eine
Reihe von Tatsachen über reellen Zahlen, die erst bei
einer exakten Definition der reellen Zahlen beweisbar
werden. Dies ist Sache der Analysis.
Bem. Beachten Sie, dass der obige Beweis ein reiner
Existenzbeweis ist. Er gibt kein Verfahren zur Konstruktion der Lösung an.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
41
(c) Hyperzahlen.
Was sind und was sollen Zahlen? Um in dieser Frage
voranzukommen, stellen wir uns zunächst Zahlen als
Informationsspeicher vor (je mehr Information gespeichert wird desto besser). Weiter kann man mit
Zahlen rechnen.
Man kann aber auch ”Blöcke” von Zahlen bilden. Z.B.
sind
3 2
1.4 5.2
2̄ 3̄
,
,
mod 7,
5 1
3.1 2.0
1̄ 0̄
Beispiele für solche Blöcke. Man nennt sie Matrizen.
Wenn nun Zahlen gute Informationsspeicher sind,
dann sind Matrizen sicher noch bessere. Aber kann
man mit Matrizen rechnen?
Addition von Matrizen ist leicht:
a1 + a2
a b2
a1 b1
:=
+ 2
c1 + c2
c2 d2
c1 d1
b1 + b2
d1 + d2
Multiplikation von Matrizen ist dagegen irgenwie ein
Rätsel:
a1
c1
a
b1
· 2
c2
d1
b2
d2
:=
a1 a2 + b1 c2
c1 a2 + d1 c2
a1 b2 + b1 d2
c1 b2 + d1 d2
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
42
I. Elementare Mathematik 1
Dennoch ist die Multiplikation äusserst wichtig. Dies
liegt an folgendem:
A·B =
B·A=
2
1
3
2
1
3
·
1
2
1
2
·
2
1
1
7
=
2
5
1
7
=
1
6
4
3
4
5
Somit
A · B 6= B · A
Wir haben also hier eine Verknüpfung entdeckt, die
nicht vertauschbar, d.h. nicht kommutativ ist. Das ist
der Preis, wenn man sich auf Matrizen einlässt. Man
kann zeigen (nicht ganz leicht), dass die Matrizenmultiplikation immer assoziativ ist.
Aber kann man denn mit Matrizen wirklich rechnen.
Oder anders gefragt:
Bilden die Matrizen eine Gruppe.
Antwort: Aus Matrizen kann man viele interessante
Gruppen bilden.
Beispiel. Wir konstruieren eine Matrizengruppe:
Wir schreiben alle 2x2 Matrizen auf, die es mit den
Zahlen 0, 1 gibt (oder vornehmer: alle 2x2 Matrizen
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
43
mit Eingängen in der Gruppe Z2 ). Wir erhalten folgende Liste:
A :=
D :=
1
0
0
1
0
1
, B :=
1
1
1
1
, E :=
1
1
1
,
1
0
1
, C :=
1
0
1
0
, F :=
0
1
1
.
0
Wir wollen nun mit diesen Matrizen rechnen. Kleiner
Twist:
Wir rechnen mod 2 !
Dann muss jede Multiplikation von Matrizen der obigen Liste wieder eine Matrix aus dieser Liste sein
(warum?). Hier ist ein konkretes Beispiel:
D·B =
0
1
1
1 0
1
·
=
1
1 1
0
1
=C
1
(mod 2).
Jetzt schreiben wir alle Produkte, die man bilden kann,
in eine Tafel. Auf diese Weise erhalten wir wie üblich
die Multiplikationstafel, diesmal die Multiplikationstafel des Matrixprodukts:
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
44
I. Elementare Mathematik 1
·
A
B
C
D
E
F
A
A
B
C
D
E
F
B
B
A
D
C
F
E
C
C
E
A
F
B
D
D
D
F
B
E
A
C
E
E
C
F
A
D
B
F
F
D
C
B
C
A
Inspektion der Tafel liefert:
(1) In jeder Zeile und in jeder Spalte sind alle Buchstaben verschiden, d.h. es handelt sich hier um eine
Gruppentafel. Unsere Matrizen bilden also eine Gruppe. Sie wird mit (SL2 Z2 , ·) bezeichnet.
(2) Die Tafel ist nicht (!) spiegelsymmetrisch zur Nebendiagonale, d.h. die Matrixmultiplikation ist nicht
kommutativ. Wir sagen: die Gruppe (SL2 Z2 ) ist ein
Beispiel für eine nicht-abelsche Gruppe.
Zahlen als Matrizen.
Um Zahlen zu verstehen, machen wir die schlichte
Beobachtung, dass wir Zahlen a ohne weiteres mit
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
45
Matrizen der Form
a 0
0 a
identifizieren können, denn die Matrizen-Addition und
-Multiplikation liefert:
a 0
b
+
0 a
0
a 0
b
·
0 a
0
0
a+b
0
=
b
0
a+b
0
ab 0
=
b
0 ab
und
Diese Identifikation von Zahlen und Matrizen sieht auf
den ersten Blick nicht besonders interssant aus - sie
scheint im Gegenteil eine einfache Sache nur zu komplizieren. Besonders problematisch scheint ja auf den
ersten Blick diese Identifikation auch deshalb zu sein,
weil ja Matrizen im allgemeine sich nict besonders gut
verhalte. Aber wir sprechen eben hier nicht über Matrizen im allgemeinen. Und dies macht es möglich mit
der neuen Identifikation neue Zahhlen zu definieren.
Diese neuen Zahlen sind die komplexen Zahlen, die
Quaternionen und die Cayley Zahlen.
Komplexe Zahlen.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
46
I. Elementare Mathematik 1
Es gibt aber Bereiche, die abgeschlossen gegenüber
diesen Verknüpfungen sind, und in denen man lineare
Gleichungen lösen kann.
Betrachte z.B. die folgenden Matrizen
a b
−b a
wobei a, b ganze Zahlen, Restzahlen modulo p, oder
reelle Zahlen sein können. Dann gilt für die Addition
a b
c d
a+c
b+d
+
=
−b a
−d c
−(b + d) a + c
und für die Multiplikation
a b
c d
ac − bd
·
=
−b a
−d c
−(bc + ad)
ad + bc
−bd + ac
Gleichungen löst man wie folgt:
a b
c−a d−b
c d
+
=
−b a
−d + b c − a
−d c
2
1
a b
a −b
a +b
−ab + ab
·
=
−b a
b a
−ba + ab b2 + a2
1
1 0
= 2
a + b2 0 1
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
47
Damit können wir alle linearen Gleichungen in komplexen Zahlen lösen.
Besonders wichtige komplexe Zahlen sind
E=
1
0
0
1
und I =
0
−1
1
0
Denn es gilt
aE + bI
sind alle komplexen Zahlen. Weiter ist
I2 =
0
−1
1
0
·
0
−1
1
−1
=
0
0
0
= −E
−1
Damit kann man die Gleichung x2 = −1 in komplexen
Zahlen lösen.
Man kann weiter die obigen speziellen Matrizen ausnutzen, um die sog. Konjugation von komplexen
Zahlen zu definieren:
aE + nI := aE − bI,
d.h. die Konjugation von
a b
−b̄ a
ist
a −b
b̄ a
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
48
I. Elementare Mathematik 1
Bemerkung. Man identifiziert oft E mit 1 und I
mit i. Dann schreiben sich die komplexen Zahlen als
a + bi und ihre Konjugation schreibt sich a − bi.
Wurzelziehen mit komplexen Zahlen.
Es ist bemerkenswert, dass man auch Wurzelziehen
kann. Allgemein gilt für die Potenzen einer komplexen
Zahl:
Satz. Die Gleichung
zn = a
ist immer lösbar in komplexen Zahlen.
Beweis. Wir zeigen zunächst, dass alle quadratischen
Wurzeln existieren. Sei also
(x + iy)2 = a + ib =: c
Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich ergibt:
a = x2 − y 2 und b = 2xy
Daraus folgt:
|a + bi| = |(x + iy)2 | = |x + iy|2 = x2 + y 2
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
49
und so
x2 + y 2 = |c| mit c := a + ib.
Also
2x2 = x2 + a + y 2 = |c| + a
2y 2 = y 2 + x2 − a = |c| − a
Damit
1p
|c| + a
x=
2
1p
|c| − a
y=
2
Damit kennen wir die Lösung x + iy der Gleichung
z 2 = a.
Wir nehmen nun an, dass Wurzeln existieren für alle
z m = b mit m < n. Wir müssen zeigen, dass dann
auch z n = a lösbar ist.
1. Fall. n ist gerade.
Wir zeigen, die Aussage ”A(m) : Die Gleichung z 2m
hat eine Wurzel”.
I.A. Wir wissen bereits, dass die Aussage A(1) wahr
ist.
I.S. Wir nehmen an, die Aussage A(q) gilt für alle
q < m. Nun haben wir a = z 2m = z m 2 . Sei u eine
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
50
I. Elementare Mathematik 1
Lösung mit u2 = a. Dann gilt z m = u. Da m < n,
gibt es nach Induktion eine Lösung z0 mit z0m = u.
Dann ist z02m = u2 = a und wir haben ein Lösung.
2. Fall. n ist ungerade.
Wenn a eine reelle Zahl ist, dann wissen wir das die
Gleichung z m = a eine Lösung in den reellen Zahlen
hat. ALso können wir o.B.d.A. voraussetzen, dass a
keine reelle sondern wirklich eine komplexe Zahl ist.
Weiter dürfen wir annehmen, dass |a| = 1.
Sei d eine komplexe Zahl mit d2 = a. Dies gibt es
wie oben bewiesen. Definiere
¯ + i)n − d(x − i)n
p(x) := i d(x
Dann ist p(x) = p(x), also ist p ein Polynom mit
reellen Koeffizienten. Da d keine reelle Zahl ist, muss
das Polynom p(x) einen ungeraden Grad haben. Also
gibt es iein reelles λ mit p(λ) = 0. Somit
n
n
¯
0 = p(λ) = i d(λ + i) − d(λ − i) .
Somit
¯(λ + i)n = d(λ − i)n .
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
und so
λ+i
λ−i
n
51
d
= ¯ = d2 = a.
d
Damit haben wir wieder eine Lösung.
Der Satz ist so bewiesen. ♦
Quaternionen.
Da wir nun komplexe Zahlen zu ”Zahlen” erklärt haben, liegt es nahe diese Zahlen zu benutzen, um mit
dem obigen Verfahren neue Zahlen zu bilden. Also
definieren wir
A B
A :=
−B̄ A
oder
A :=
a + bi
−c + di
c + di
a + bi
Wir haben die folgenden speziellen Matrizen:
i 0
0
, I :=
,
0
0 i
0 1
0 i
J :=
, K :=
.
−1 0
i 0
E :=
1
0
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
52
I. Elementare Mathematik 1
und es gilt:
I
J
K
I
−E
−K
J
J
K
−E
I
K
−J
J
−I
Das Produkt der Quaternionen kommutiert nicht
mehr, denn J · K = J und K · J = I.
Wir haben wieder eine Konjugation von Quaternionen, gegeben durch
aE + bI + cJ + dK = aE − (bI + cJ + dK).
Cayley Zahlen.
Wir benutzen jetzt die Quaternionen, um neue Zahlen
zu definieren:
A B
Θ :=
−B̄ A
aE + bI + cJ + dK
eE + f I + gJ + hK
=
−eE + f I + gJ + hK aE + bI + cJ + dK
Dies sind die sog. Cayley Zahlen.
Wir können wieder spezielle Cayley Zahlen auszeichnen. Davon gibt es 8 verschiedene Cayley Zahlen
E 0
I 0
0
K
e1 =
, e2 =
, . . . , e8 =
.
0 E
0 I
−K 0
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
53
die alle anderen Cayley Zahlen erzeugen.
Für die Cayley Zahlen gilt die folgende Multiplikationstafel:
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8
e2
−e1
−e4
e3
−e6
e5
e8
−e7
e3
e4
−e1
−e2
−e7
−e8
e5
e6
e4
−e3
e2
−e1
−e8
e7
−e6
e5
e5
e6
e7
e8
−e1
−e2
−e3
−e4
e6
−e5
e8
−e7
e2
−e1
e4
−e3
e7
−e8
−e5
e6
e3
−e4
−e1
e2
e8
e7
−e6
−e5
e4
e3
−e2
−e1
Insbesondere ist
e5 (e6 e7 ) = e8 und (e5 e6 )e7 = −e8 .
Die Assoziativität gilt also nicht. Deshalb werden die
Cayley Zahlen auch oft nicht mehr als wirkliche Zahlen
angesehen.
Bemerkung. Wie kann es sein, dass die Cayley Zahlen nicht assoziativ sind, wenn wir doch früher behauptet haben, dass das Matrix Produkt immer assoziativ ist. Der Grund liegt darin, dass das Produkt der Quaternionen nicht kommutativ ist. Um zu
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
54
I. Elementare Mathematik 1
zeigen, dass das Matrix Produkt über einen gewissen
Zahlbereich assoziativ ist muss man wissen, dass der
Zahlbereich kommutativ ist. In der Produktformel für
Cayley Zahlen, gegeben durch das Matrix Produkt:
A1 B1
A2 B2
·
−B 1 A1
−B 2 A2
A1 · B2 + B1 · A2
A1 · A2 − B1 · B 2
=
−B 1 · A2 − A1 · B2 −B 1 · B2 + A1 · A2
kommt es ganz wesentlich darauf an, dass man z:B.
A1 · B2 und nicht B2 · A1 schreibt!
Bemerkung. Wir haben die folgenden Prozesse angewandt, um neue Zahlen zu bekommen:
a 0
a b
a=
→A=
0 a
−b a
A B
A B
→A=
→
−B̄ A
−B̄ A
Weitere Zahlen gibt es nicht
Dies zu zeigen ist ein schwieriger mathematischer Satz.
Wenn Sich dafür interessieren, dann sollten Sie auf jeden Fall [Ebbinghaus et al, Numbers, Springer Verlag]
konsultieren.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
55
Anhang 1. Der Wurzelalgorithmus. Wir berechnen Quadrat- wurzeln. Das Problem
bei der Berech√
nung einer Qua- dratwurzel,
b, ist das Bestimmen
möglichst vieler Dezimalstellen (da ja, nach obigem
Satz, eine solche Quadratwurzel im allgemeinen nicht
durch
endlich
viele Dezimalstellen beschrieben ist). Von einem guten
Verfahren würde man dabei verlangen, dass es die n +
1-te Stelle findet, ohne die vorher bestimmten n
Stellen ändern zu müssen. Hat man z.B. schon eine
Näherung
a = a0 , a1 a1 . . . an
der Quadratwurzel gefunden, dann sollte dies die endgültige Nährerung von n Dezimalstellen sein und das
Problem besteht darin, davon unabhängig, die n +
1-te Dezimalstelle, an+1 , zu finden. Die hellenistischen Griechen (die Praktiker natürlich - nicht die
Mathematiker-Philosophen) haben hierzu ein durchaus praktisches Verfahren gefunden, welches auch
heute noch gelegentlich in der Schule gelehrt wird.
Nach der griechischen Methode gilt es, die größte natürliche Zahl an+1 mit
√
b ≤ a + an+1 · 10−(n+1)
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
56
I. Elementare Mathematik 1
zu finden. Umformuliert suchen wir das größte an+1
mit
b ≤ (a + 10−(n+1) an+1 )2
= a2 + 2 · a · 10−(n+1) an+1 + 10−2(n+1) a2n+1
Wenn man mit 102n+2 multipliziert erhält man
102n b·100 ≤ (10n a)2 ·100+2·10·10n a·10n+1 an+1 +a2n+1
Da a = a0 , a1 a2 . . . an ein Dezimalbruch mit n Stellen
ist, ist die letzte Gleichung nun eine Gleichung von
ganzen Zahlen. Wir schreiben für die ganze Zahlen
10n a der Einfachheit wieder a und erhalten
(102n b − a2 ) · 100 ≤ 2 · 10 · aan+1 + (an+1 )2 .
Wenn wir an+1 auf diese Weise gefunden haben, dann
ersetzen wir a durch
a = a2 + 2aan+1 + a2n+1 · (10−(n+1) )2
= (a + an+1 · 10n+1 )2 .
und wiederholen den obigen Prozess. Am besten sieht
man sich das an einem Beispiel an.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
57
√
2. Die 0-te ApproximaBeispiel. Wir berechnen
tion ist a0 = 1. Um nun die erste Dezimalstelle a1
zu bestimmen, schreiben wir
√
2≈1
−12 = − 1
100 · (2 − 12 ) =
100
Die letzte Zahl ist die Zahl
(102·0 b − a2 ) · 100 = (2 − 12 ) · 100 = 100
(man beachte die Konvention, dass a immer die zum
Dezimalbruch a korrespondierenden natürliche Zahl
ist). Ausgehend von dieser Zahl 100, probiert man nun
Werte für a1 :
a1
1
2
3
4
5
2 · 10 · a · a1 + a21
20 · 1 · 1 + 12
20 · 1 · 2 + 22
20 · 1 · 3 + 33
20 · 1 · 4 + 42
20 · 1 · 5 + 52
Resultat
21
44
69
88
125
Das größte Resultat ≤ 100 ist mit der Zahl a1 = 4
erreicht. Dies ist also dann die gesuchte 1. Dezimalstelle.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
58
I. Elementare Mathematik 1
√
2 ≈ 1, 4 die erste Approximation
Damit ist mit
der Wurzel gefunden. Wenn man nun das Verfahren
wiederholt, bekommt man immer bessere Approximationen:
√
2 = 1.4142136 . . .
Hier ist die zugehörige Rechnung, falls Sie es einmal
selbst ausprobieren möchten:
√
2 = 1, 4142
1
100 · (102·0 2 − 12 ) =
20 · 4 + 42 =
100 · (102·1 2 − 142 ) =
20 · 14 + 12 =
100 · (102·2 2 − 1412 ) =
20 · 141 + 42 =
100 · (102·3 2 − 14142 ) =
20 · 1414 + 22 =
100 · (102·4 2 − 141422 ) =
100
96
400
281
11900
11296
60400
56564
383600
Achtung. Die Rechnung findet in der Box statt (auf
der linken Seite haben wir zum besseren Verständnis
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
59
Erläuterungen geschrieben, die man aber in der Praxis
wegläßt).
Rechenschritt. Um fortzufahren, würde man jetzt
nach der größten Zahl 0 < a < 10 suchen mit
20 · 14.142 · a + a2 = 282.820 · a + a2 ≤ 383.600 usw.
wobei 14.142 die (ganzzahlig gechriebene) bisherige
Approximation und 383.600 die Zahl vom Ende der
bisherigen Rechnung ist. Die gesuchte Zahl ist offensichtlich a = 1 und damit hat man mit 1 noch
eine weitere Stelle in der Dezimalentwicklung gefunden. Um die Rechnung fortzusetzen, setzt man nun
die Zahl
20 · 14.142 · a + a2 = 20 · 14.142 · 1 + 12 = 282.821
ans Ende der Rechnung und subtrahiert sie von der
bisherigen Zahl 383.600. Damit ist eine neue Ausgangssituation hergestellt und wir können das Verfahren wie eben noch einmal anwenden usw. usw.
Bemerkung. Natürlich wird man erwarten, dass die
Rechnungen immer größer werden, aber sie wachsen
relativ langsam. Auf der linken Seite stehen die ErläuKlaus Johannson, Elementare Mathematik 1
60
I. Elementare Mathematik 1
terungen zu den Ergebnissen auf der rechten Seite. Auf
dieser (linken) Seite werden die Rechnungen schnell
riesig, aber man muß ja - wie gesagt - diese Rechnungen in der Praxis nicht ausführen.
Bemerkung. Mit dem Wurzel-Algorithmus haben
wir einen ersten Algorithmus kennengelernt, der beliebig
lange Dezimalbrüche produziert (das Zeichen
√
2 ist genaugenommen der Name für diesen Algorithmus). Es gibt endliche, unendlich periodische und unendlich nicht-periodische Dezimalbrüche. Unendliche
Dezimalbrüche können - wie oben - durch eine endliche
Rechenvorschrift beschreibbar sein oder auch nicht.
Welche von diesen Typen von Dezimalbrüchen existieren in der Wirklichkeit? Dies ist eine Frage die im
Grunde den Begriff des Unendlichen in der Mathematik betrifft. Wir müssen diese Frage hier erst einmal zurückstellen. Wir werden wir uns später damit
befassen, wenn wir über Mengenlehre sprechen.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
61
Anhang 2. Kettenbrüche.
Die Methode der Kettenbrüche ist ein weiteres Verfahren zur Bestimmung von Wurzeln welches auf die
Griechen zurückgeht. Es ist - wie wir gleich sehen werden - ein ungleich effektiveres Verfahren zur Wurzeldarstellung als die bisher betrachtete Dezimalbruchentwicklung.
Seien a1 , a2 zwei natürliche Zahlen mit a1 > a2 , d.h.
mit aa21 > 1, dann gibt es (nach dem Divisionsalgorithmus) natürliche Zahlen q1 und a3 mit
a1 = q1 · a2 + a3
Dabei ist q1 die größte natürliche Zahl mit
q · a2 ≤ a1 ,
und a3 := a1 − q1 · a2 . Wir kürzen nun ab:
[r] := die größte natürliche Zahl ≤ r.
Dann gilt
a1
.
q1 =
a2
Nun ist
a1
a3
a1
1
= q1 +
=
+ a2 .
a2
a2
a2
a3
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
62
Aber
I. Elementare Mathematik 1
a2
a3
≥ 1 und so können wir iterieren
a2
a2
1
=
+ a3
a3
a3
a4
mit a4 := a2 − q2 · a3 usw. usw.
Dieser Prozess wird nach endlich vielen Schritten abbrechen, da ja auch der Divisionsalgorithmus für
(a1 , a2 ) abbricht.
Aber nun fällt auf, dass man ja den gleichen Prozess
nicht nur für Brüche, sondern genauso gut für jede
reelle Zahl α = α1 > 1 definieren kann und man
erhält allgemeiner, für jede reelle Zahl α = α1 , die
folgende Sequenz:
1
1
α1 = [α1 ] +
mit α2 :=
α2
α1 − [α1 ]
1
1
α2 = [α2 ] +
mit α3 :=
α3
α2 − [α2 ]
... = ...
So erhält man den sog. Kettenbruch [ [α1 ], [α2 ], . . . ]:
α = [α1 ] +
1
[α2 ] +
1
α3
usw.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§3 Kongruenzen
63
für die reelle Zahl α. Für irrationale Zahlen bricht
dieser Prozess nie ab. Aber er kann - und das ist sehr
bemerkenswert - periodisch sein. Dies sieht man
√ im
nächsten Beispiel sehr schön, welches wieder
2 behandelt.
Beispiel.√Als Beispiel berechnen wir den Kettenbruch
für α = 2:
√
1
1
=1+
⇒
α1 = 2 = [ 2] +
α2
α2
√
√
1
α2 = √
= 2 + 1 = [ 2 + 1] +
2−1
√
1
⇒
= 2−1
α3
√
√
1
α3 = √
= 2 + 1 = [ 2 + 1] +
2−1
√
√
1
= 2−1
α2
1
1
=2+
α3
α3
1
1
=2+
..
α4
α4
√
Also ist
2
gegeben durch den Kettenbruch
[1, 2, 2, 2, . . .]. Während also der Dezimalbruch von
√
√2 = 1, 4142 . . . nicht periodisch ist (andernfalls wäre
2 ein Bruch, was unmöglich
ist), ist die Ketten√
2 periodisch. Man kann bebruchentwicklung von
weisen, dass die Kettenbruch Entwicklungen für alle
Quadratwurzeln periodisch sind. Die Kettenbruch Entwicklung ist also eine viel einfachere Beschreibung von
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
64
I. Elementare Mathematik 1
√
2 als die Dezimalbruch Entwicklung (sie enthält auf
kleinerem Raum viel mehr Information). Mehr über
Kettenbrüche finden Sie im Buch [Niven-Zukerman,
The Theory of Numbers]. Dort werden Sie auch finden,
dass man, im Gegensatz zu Dezimalbrüchen, mit Kettenbrüchen nicht gut rechnen kann (Summe von Kettenbrüche ist nicht wieder der Kettenbruch der Summe
usw.). Wir werden später noch einmal auf Kettenbrüche zu sprechen kommen, wenn wir uns mit Geometrie befassen.
Literatur.
Ebbinghaus et al, Numbers, Springer Verlag
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1