Elementare Mathematik 1 WS 2005/06 Prof. Dr. Klaus Johannson

Elementare Mathematik 1
WS 2005/06
Prof. Dr. Klaus Johannson
Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt
Einleitung.
Die vorliegende Skripte stellt das Material dar nach dem ich die Vorlesung ”Elementare
Mathematik I” gehalten habe. Diese Vorlesung ist Teil des Zyklus ”Elementare Mathematik”, welches an der J.W.Goethe-Universität die Einführung in die Mathematik für
Lehramtskandidaten darstellt. Es ist dabei gleichzeitig der einzige Vorlesungszyklus für
Lehramtsstudierende, der in einer Art Zusammenschau mit grundsätzlichen Entwicklungen in der Mathematik bekannt machen kann. Deshalb spielt die Auswahl des Stoffes hier
eine sehr wichtige Rolle.
Der Teil ”Elementare Mathematik I” soll nach dem Studienplan die Algebra und Geometrie
abdecken. Es wird hier oft in der Algebra die ausführliche Konstruktion der Zahlen bis hin
zu den reellen Zahlen und in der Geometrie neben einfachen Konstruktionsaufgaben in der
Euklidischen Geometrie auch etwas projektive und nicht-Euklidische Geometrie gebracht.
Ich bin in dieser Veranstaltung von diesem Schema bewußt abgewichen. Hauptsächlich
wegen der Veränderungen, die das Lehramtsstudium nach dem neuen Lehrerbildungsgesetz gebracht haben. Es ist heute viel weniger Zeit, Lehramts Studierende mit Mathematik bekannt zu machen. Insbesondere ist heute eigentlich keine Zeit mehr für einen
systematischen Aufbau der logischen Grundlagen, weil dies gleichzeitig erkauft werden
müsste mit einem Defizit an weiterführenden mathematischen Stoffen. Ein Mangel an
weiterführenden Stoffen führt aber zu einem Defizit an Hintergrundwissen des künftigen
Lehrers oder künftigen Lehrerin, die ja die konkrete Schulsituation bestehen und insbesondere ihr Fach vor Kollegen, Eltern und Schülern vertreten müssen.
Wie kann man also eine Vorstellung vermitteln, was moderne Mathematik heute ist? Darauf gibt es sicherlich keine allgemeingültige Antwort. Jeder Ansatz kann hier nur ein Notbehelf sein. Als eine Antwort wird hier versucht, die Mathematik problem geschichtlich zu
vermitteln. Dabei liegt die Betonung hier sichtlich mehr auf ”problem-” als auf ”geschichtlich”, denn eine eigentliche Mathematikgeschichte kann natürlich nicht geliefert werden und ist im Grunde auch nicht Sache der Mathematik. Vielmehr geht es hier darum aus
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
ii
I. Elementare Mathematik 1
der historischen Entwicklung einige typische Problemstellungen herauszugreifen, an Hand
derer die Entwicklung des mathematischen Denkens illustriert werden kann.
Die Hoffnung ist, dass Mathematik auf diese Weise als ein lebendiger Prozess erscheint
und weder als eine Ansammlung zusammenhangloser Tatsachen noch als ein trockenese
System von formalen Sätzen.
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§1 Einleitung
iii
Inhalt.
I. Arithmetik.
1. Die pythagoräische Zahlenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Rechensteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Die Teilbarkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Pythagoräische Tripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Restzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kaleidoskope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Multiplikationstafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Rechnen mit Resten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Lineare Gleichungen mit Resten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Anhang: Der Chinesische Restklassen Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Zahlen und Hyperzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
(a) Zahldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Brüche und Dezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Wurzelziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
(b) Hyperzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Zahlen als Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Wurzelziehen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Cayley Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II. Geometrie.
4. Die pythagoräische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Quadratische Gleichungen bei den Griechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Einige Winkelsätze im Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
iv
I. Elementare Mathematik 1
Die Konstruktion des Pentagons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Die Konstruktion des Basisdreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Nachtrag: Beweis der Winkelannahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5. Von der Perspektive zu den projektiven Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Die Entdeckung der Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Die projektive Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
Topologie der projektiven Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Der projektive Standpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Affine Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Transformationen der affinen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Geometrie der affinen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Die abstrakten projektiven Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Projektive Ebenen über Zahlbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Beweis des Satzes von Desargue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1. Anhang: Beweis des Geraden-Kriteriums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2. Anhang: Z3 P 2 ist eine projektive Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6. Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Das kartesische Koordinatensystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
Die Dreiteilung des Winkels (bei Descartes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7. Das Erlanger Programm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
Transformationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Lineare Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Nicht-lineare Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Anhang: Hyperbolische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
III. Algebra.
8. Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Die Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Die Entstehung neuer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
§1 Einleitung
v
Die algebraischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Die Temperatur eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Anhang 1: Der Beweis des Minimalitäts-Kriteriums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Anhang 2: Minimale Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Anhang 3. Der Körper der algebraischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9. Die geometrischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Eine kleine Verallgemeinerung des Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Die Dreiteilung des Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Anhang: Irreduzibilität der Dreiteilungsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
IV. Höhere Algebra.
10. Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Bijektionen von endlichen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Gruppen Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Körper Automorphismen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
Anhang: Bijektionen von unendlichen Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
11. Die Gruppe einer Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
Die Gruppe einer auflösbaren Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Konstruktion von Hi und ϕi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Anhang: Der Satz von Cauchy und das Eisenstein Kritrerium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1