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Elementare Mathematik 1
WS 2005/06
Prof. Dr. Klaus Johannson
Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt
Einleitung.
Die vorliegende Skripte stellt das Material dar nach
dem ich die Vorlesung ”Elementare Mathematik I”
gehalten habe. Diese Vorlesung ist Teil des Zyklus ”Elementare Mathematik”, welcher an der Goethe-Universität die Einführung in die Mathematik für LehramtskandidatInnen darstellt. Es ist dabei gleichzeitig
der einzige Vorlesungszyklus für Lehramtsstudierende,
der in einer Art Zusammenschau mit grundsätzlichen
Entwicklungen in der Mathematik bekannt machen
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1
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I. Elementare Mathematik 1
kann. Deshalb spielt die Auswahl des Stoffes hier eine
sehr wichtige Rolle.
Der Teil ”Elementare Mathematik I” soll nach dem
Studienplan die Algebra und Geometrie abdecken. Es
wird hier oft in der Algebra die ausführliche Konstruktion der Zahlen bis hin zu den reellen Zahlen und
in der Geometrie neben einfachen Konstruktionsaufgaben in der Euklidischen Geometrie auch etwas projektive und nicht-Euklidische Geometrie gebracht. Ich
bin in dieser Veranstaltung von diesem Schema bewußt
abgewichen. Hauptsächlich wegen der Veränderungen,
die das Lehramtsstudium nach dem neuen Lehrerbildungsgesetz gebracht haben. Es ist heute viel weniger
Zeit, Lehramts Studierende mit Mathematik bekannt
zu machen. Insbesondere ist heute eigentlich keine
Zeit mehr für einen systematischen Aufbau der logischen Grundlagen, weil dies gleichzeitig erkauft werden
müsste mit einem Defizit an weiterführenden mathematischen Stoffen. Ein Mangel an weiterführenden
Stoffen führt aber zu einem Defizit an Hintergrundwissen des künftigen Lehrers oder künftigen Lehrerin,
die ja die konkrete Schulsituation bestehen und insbesondere ihr Fach vor Kollegen, Eltern und Schülern
vertreten müssen.
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§1 Einleitung
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Wie kann man also eine Vorstellung vermitteln, was
moderne Mathematik heute ist? Darauf gibt es sicherlich keine allgemeingültige Antwort. Jeder Ansatz
kann hier nur ein Notbehelf sein. Als eine Antwort
wird hier versucht, die Mathematik problemgeschichtlich zu vermitteln. Dabei liegt die Betonung hier sichtlich mehr auf ”problem-” als auf ”geschichtlich”, denn eine eigentliche Mathematikgeschichte
kann natürlich nicht geliefert werden - und ist im
Grunde auch nicht Sache der Mathematik. Vielmehr
geht es hier darum aus der historischen Entwicklung
einige typische Problemstellungen herauszugreifen, an
Hand derer die Entwicklung des mathematischen Denkens illustriert werden kann.
Die Hoffnung ist, dass Mathematik auf diese Weise
als ein lebendiger Prozess erscheint und weder als eine
Ansammlung zusammenhangloser Tatsachen noch als
ein trockenese System von formalen Sätzen.
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I. Elementare Mathematik 1
Inhalt.
I. Arithmetik.
1. Die pythagoräische Zahlenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Rechensteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Die Teilbarkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Pythagoräische Tripel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Restzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kaleidoskope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Multiplikationstafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Rechnen mit Resten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Lineare Gleichungen mit Resten. . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Anhang: Der Chinesische Restklassen Satz . . . . . . . . 25
3. Zahlen und Hyperzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
(a) Zahldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Brüche und Dezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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§1 Einleitung
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Wurzelziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
(b) Hyperzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Zahlen als Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Wurzelziehen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 40
Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Cayley Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II. Geometrie.
4. Die pythagoräische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Quadratische Gleichungen bei den Griechen . . . . . . . 46
Einige Winkelsätze im Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Die Konstruktion des Pentagons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Die Konstruktion des Basisdreiecks . . . . . . . . . . . . . . . 51
Nachtrag: Beweis der Winkelannahme . . . . . . . . . . . . 52
5. Von der Perspektive zu den projektiven Ebenen 55
Die Entdeckung der Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
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Die projektive Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Topologie der projektiven Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Der projektive Standpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
Affine Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Transformationen der affinen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 61
Geometrie der affinen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Die abstrakten projektiven Ebenen. . . . . . . . . . . . . . . .63
Projektive Ebenen über Zahlbereichen . . . . . . . . . . . . 65
Beweis des Satzes von Desargue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1. Anhang: Beweis des Geraden-Kriteriums . . . . . . . 67
2. Anhang: Z3 P 2 ist eine projektive Ebene . . . . . . . 69
6. Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Das kartesische Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . 73
Die Dreiteilung des Winkels (bei Descartes) . . . . . . . 76
Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7. Das Erlanger Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Transformationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
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§1 Einleitung
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Lineare Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Nicht-lineare Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
Anhang: Hyperbolische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 93
III. Algebra.
8. Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Die Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Die Entstehung neuer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Die algebraischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Die Temperatur eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Anhang 1: Der Beweis des Minimalitäts-Kriteriums
112
Anhang 2: Minimale Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Anhang 3. Der Körper der algebraischen Zahlen . 113
9. Die geometrischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Eine kleine Verallgemeinerung des Grades . . . . . . . . 118
Die Dreiteilung des Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Anhang: Irreduzibilität der Dreiteilungsgleichung 121
IV. Höhere Algebra.
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10. Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
Bijektionen von endlichen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 131
Gruppen Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Körper Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Anhang: Bijektionen von unendlichen Mengen . . . 135
11. Die Gruppe einer Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . .139
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Die Gruppe einer auflösbaren Gleichung. . . . . . . . . .145
Konstruktion von Hi und ϕi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
Anhang: Der Satz von Cauchy und das Eisenstein
Kritrerium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
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