III. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhängige Ereignisse Beispiel (Zweimaliges Würfeln): A : mindestens eine 6 P(A) = 11 36 Bekannte Vorinformation: B : Augensumme ist höchstens 7 | B | 21 P( A | B) 2 21 Definition: P( A | B ) P( A B ) P( B ) heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B, falls P(B) > 0. Situation (): Angenommen, Sie erkennen am Klang der Schritte, dass die Person, die gleich um die Ecke kommt, eine Frau ist. Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Autofahrerin handelt, also P( A | W ) P( A W ) 0,1 0,25 P(W ) 0,4 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 97 - Definition: Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, falls P( A B) P( A) P( B) . Situation (): Frage: Bekannt: Sind Geschlecht und Beförderungsmittel unabhängig? P( A ) 0,55 P(W ) P( A ) 0,4 0,55 0,22 P(W ) 0,4 und P(W A ) 0,3 Antwort: Nein. Bemerkung: Gründe für die Bedeutsamkeit der stochastischen Unabhängigkeit: Der Nachweis, dass zwei Ereignisse abhängig sind, führt oft zur Suche nach dem kausalen Zusammenhang. Ermöglicht die Überprüfung, ob eine modellmäßige Annahme der Unabhängigkeit mit konkret vorliegenden Beobachtungen verträglich ist. 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 98 - Satz: P( A B ) P( A | B ) P( B ) [ P( B | A) P( A) ] Beispiel: Situation: In einer Schachtel befinden sich 6 Akkus, davon sind zwei leer. Jetzt werden zwei Akkus für den Walkman gebraucht. Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden entnommenen Akkus voll sind. A : Der erste Akku ist voll. B : Der zweite Akku ist voll. Gesucht: P ( A B ) P( A) 4 6 P( B | A) 3 5 P( A B) P( B | A) P( A) 3 4 0,4 5 6 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 99 - Beispiel: Situation: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden nacheinander 3 Karten gezogen. Gesucht: Gesucht: Wahrscheinlichkeit, im dritten Zug eine 7 zu ziehen. Ai : Im i-ten Zug wird eine 7 gezogen P( A3 ) P( A1 ) 4 32 P( A1 ) 28 32 P( A2 | A1 ) 3 31 P( A2 | A1 ) 4 31 P( A2 | A1 ) 28 31 P( A2 | A1 ) 27 31 „Günstige“ Kombinationen usw. Wahrscheinlichkeiten A1 A2 A3 4 3 2 24 32 31 30 29.760 A1 A2 A3 4 28 3 336 32 31 30 29.760 A1 A2 A3 28 4 3 336 32 31 30 29.760 A1 A2 A3 28 27 4 3024 32 31 30 29.760 disjunkte Ereignisse 3720 0,125 29.760 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 100 - Alternative Lösung über „Wahrscheinlichkeitsbaum“ 28 32 4 32 1. Zug eine 7 1. Zug keine 7 3 31 2. Zug eine 7 2 30 3. Zug eine 7 28 31 4 31 2. Zug keine 7 2. Zug eine 7 27 31 2. Zug keine 7 28 30 3 30 27 30 3 30 27 30 4 30 26 30 3. Zug keine 7 3. Zug eine 7 3. Zug keine 7 3. Zug eine 7 3. Zug keine 7 3. Zug eine 7 3. Zug keine 7 Die jeweiligen „Wege“ zum Ziel „3. Zug eine 7“ sind disjunkt. Deshalb ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten: P(3. Zug eine 7) = 4 3 2 4 28 3 28 4 3 28 27 4 0,125 32 31 30 32 31 30 32 31 30 32 31 30 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 101 - IV. Lotto (Auszüge der Kombinatorik) Situation: Beim Lotto werden aus 49 durchnummerierten Kugeln (zufällig) 6 Kugeln nacheinander durch Ziehen ohne Zurücklegen ausgewählt. Dabei spielt die Reihenfolge der gezogenen Zahlen keine Rolle. (Hier: Ohne Zusatzzahl) Von Interesse: A : 6 Richtige Jede Kombination der 6 gezogenen Zahlen ist gleich wahrscheinlich → Laplace-Experiment P( A) Offensichtlich: Gesucht: | A| || |A| = 1 |Ω| |Ω| : Anzahl aller Möglichkeiten, aus 49 Kugeln 6 Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen. Satz: Sei k ≤ n, dann gibt es n n! k!(n k )! k Möglichkeiten, k-elementige Teilmengen aus einer n-elementigen Menge zu bilden. 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 102 - Beim Lotto: 49 49! | | 6 6! 43! 13.983.816 Damit ist die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige P( A) 1 0,0000000715 13.983.816 (also ca. 1:14 Millionen) Noch ein Lotto-Beispiel: B : 4 Richtige beim Lotto (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl) Gesucht: P( B) |B| || 6 43 | B | 13.545 4 2 6 43 | B | 4 2 13.545 P( B ) 0,00096862 49 || 13.983.816 6 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 103 -