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I. Arithmetik.
1. Die pythagoräische Zahlenlehre.
Der Beginn der wissenschaftlichen Mathematik fällt
mit dem Beginn der Philosophie zusammen. Er kann
auf die Pythagoräer zurückdatiert werden. Die Pythagoräer waren eine Gruppe, manche sagen ein Geheimbund, die zwischen 500 - 400 v.u.Z. in Süd Italien
gewirkt hat und die eine erste Philosophie der Natur
entwickelt hat und dies war in dieser frühen Zeit dasselbe wie Naturwissenschaft (andere Philosophen in
dieser Zeit waren Thales und Anaximander von denen
wir aber nicht viel wissen). Grundlage dieser Philosophie war nun Mathematik, insbesondere die Zahlen.
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I. Elementare Mathematik 1
Für die Pythagoräer waren die Zahlen die Grundlage
aller Wirklichkeit. Ihre Devise war ”Alles ist Zahl”.
Das Wort Zahl aber hatte für sie nicht nur eine quantitative sondern auch eine qualitative Bedeutung.
Weiter sahen sie die Welt, wie in der Musik von harmonischen Zahlenverhältnissen bestimmt. Wir können
hier auf diese philosophische Seite nicht eingehen. Wir
bemerken nur noch, dass diese Richtung der Naturphilosophie mit der Entdeckung der Irrationalzahlen
dann in eine ernste Grundlagenkrise gebracht wurde
(es wird davon berichtet, dass der Entdecker mder Irrationaltitäten mit dem Tode bestraft wurde). Wir
werden uns mit der Entdeckung der Irrationalitäten
und ihre Bedeutung für die griechische Mathematik
später noch beschäftigen. Diese Entdeckung hängt
eng mit dem sog. Pythagoräischen Lehrsatz zusammen, der von den Pythagoräern bewiesen wurde. Er
wurde aber nicht von Pythagoras entdeckt, sondern
er war schon lange vorher bekannt war. Überhaupt
gab es natürlich schon vor den Pythagoräern mathematische Erkenntnisse. Aber die Pythagoräer waren
die ersten die Mathematik wissenschaftlich erforscht
haben, d.h. sie waren die ersten die mathematische
Begriffe geschaffen und zweckfrei erforscht haben.
Einen besonderen symbolischen Wert für die pythagoräische Mathematik hatte die Zehnzahl, die als
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vollkommen galt, sowie der Drusenstern, der den
Pythagoräern als Erkennungszeichen diente.
Der Drusenstern
Die Zehnzahl
Wir werden später sehen, welche bahnbrechenden Entdeckungen die Pythagoräer bei ihrer Beschäftigung des
Drusensterns gemacht haben. Hier konzentrieren wir
uns zunächst auf die figürlichen Zahlen, von denen die
obige Dreieckszahl ein wichtiges Beispiel sind.
Man geht heute davon aus dass diese Zahlenfiguren
mittels Rechensteinen von verschiedenen Farben (zumindest schwarz und weiß) ausgelegt wurden. Mit
diesen Rechensteinen wurden dann spielerisch immer
andere Konfigurationen ausprobiert, um so Gesetzmäßigkeiten zu finden. Die Zehnzahl hatte für die
Pythagoräer eine besondere Bedeutung. Sie war die
Grundlage für die 10 Gegensatzpaare, die die Pythagoräer aufstellten.
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Die Pythagoräer versuchten auch in den Griff zu bekommen, was überhaupt Zahl ist und spekulierten
hierüber. Dies ist ein durchaus nicht-triviales Problem, wenn man beginnt darüber nachzudenken. So
könnte man damit beginnen zu sagen, dass z.B. die 5
durch 5 Spielsteine repräsentiert wird. Dies ist aber
keine Definition der 5, denn man muss ja schon bis 5
zählen können und damit die 5 kennen, um überhaupt
5 Spielsteine auslegen zu können. Für die Pythagoräer
gab es nun die Einheit als Grundbegriff und daneben
einen Prozess der aus der Einheit eine Zweiheit macht.
Mit Hilfe dieses Prozesses wurden nach den Pythagoräern alle Zahlen gebildet. Wir wollen diese Spekulationen aber hier nicht weiter verfolgen.
Kehren wir zurück zu den Spielsteinen der Pythagoräer. Es ist aber bemerkenswert, dass Pythagoräer,
wie die antiken griechischen Mathematiker an Anwendungen ausdrücklich nicht interessiert waren. Die
Griechen waren historisch die ersten, die sich wirklich von Fragen der Anwendungen frei gemacht haben
(man darf hier nicht vergessen, dass, soziologisch gesehen, bei den Griechen Wissenschaft von privaten Vereinigungen freier Männer betrieben wurden, die nicht
unter einem Rechtfertigungszwang standen wie etwa
Priester oder andere staatlich unterstützten Entitäten). Sie haben Mathematik zunächst aus spiele-
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§1 Pythagoräische Zahlenlehre
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rischem Interesse betrieben. Entdeckungen von Zahlverhältnissen etwa waren für dich schon interessant.
Diese Entdeckungen, die sie gemacht haben, wurden
für die Pythagorärer zu geheimnisvolle Zeichen und
Gesetzmäßigkeiten, die ihnen die Welt erklären halfen.
Die Pythagoräer wollten so die Welt rein aus der Mathematik heraus rekonstruieren.
Bei den antiken Römern lagen die Dinge ganz anders.
Sie waren sehr an Anwendungen interessiert. Sie aber,
sowie das ganze Mittelalter in Europa, hatten keine
wissenschaftliche Mathematik.
Erst mit der Rennaissance entsteht wieder ein ernsthaftes Interesse an Mathematik Hier stellte sich auch
die Frage nach den Anwendungen neu und in diesem
Kontext entstand ein neuer Typ von Mathematik.
Rechensteine.
Zurück zu den Pythagoräern. Die Pythagoräer kannten neben der Dreieckszahl 10 auch andere Dreieckszahlen. Tatsächlich bildeten sie aus Rechensteinen
eine ganze Folge von Dreieckszahlen:
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x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
x
x x
Frage. Gibt es eine Bildungsformel für die Dreickszahlen?
Hieraus haben die Pythagoräer durch Verwendung
einer anderen Steinchenart (also etwa weissen und
schwarzen Steine) Rechteckszahlen gemacht:
o
x
o
x
x
o
o
x
o o
x o
x x
x x
o
o
o
x
o o
x o
x x
x x
x x
o o
o o
o o
x o
x x
Zwei Dreickszahlen bilden zusammen eine Rechteckszahl, eine sog. ”Heteromeke”. Für die Folge der Hetermoken lässt sich natürlich leicht das folgende Bildungsgesetz aufstellen:
1·2
2·3
3·4
4·5
oder allgemein
n · (n + 1)
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Die Dreieckszahlen sind die Hälfte davon. Also folgen
die Dreickszahlen dem Bildungsgesetz
1
n(n + 1)
2
Auf ähnliche Weise fanden die Pythagoräer noch andere Gesetzmäßigkeiten. So betrachteten sie etwa die
Folge der Quadratzahlen und machten folgende Beobachtung bei Verwendung zwei-farbiger Spielsteinen:
x
o o
x o
o o o
x x o
x x o
o o o o
x x x o
x x x o
x x x o
Die Folge der Quadratzahlen entsteht also durch Ansetzen von sog. ”Gnomonen” (die auch bei Euklid eine
große Rolle spielen):
o o o o
o
o
o
Die Gnomone bestehen aus 2n + 1 Steinen. Die Differenzen der Quadrate bildet also die Folge aller ungeraden Zahlen. Die Summierung der ungeraden Zahlen
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I. Elementare Mathematik 1
ist aber natürlich das Gleiche wie das letzte Quadrat.
Also
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
oder allgemeiner
n2 = 1 + 3 + . . . + (2n − 1) =
n
X
(2m − 1)
m=1
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Vollständige Induktion.
Die Beweise sind hier alle mit der Methode der unvollständigen Induktion gezeigt. Man schreibt so
lange Glieder der Folge auf bis man eine interne
Gesetzmäßigkeit erkennt. Die erklärt man dann als allgemein gültig. Dies kann aber irreführend sein, denn
es könnten sich ja für eine kleine Anzahl von Beispielen
zwei oder mehr verschiedene Gesetzmäßigkeiten zeigen
und nur eine davon ist die wirklich richtige. Es ist dies
aber die Methode wie sie in den nicht-mathematischen
Disziplinen verwendet wird. Im 17 Jahrhundert hat
man darus die Methode der voll- ständigen Induktion gemacht, die in der Mathematik heute als Beweismethode gilt.
Prinzip der vollständigen Induktion. Eine Aussage A(n) (über Zahlen) gilt dann für jede beliebige
natürlichen Zahlen, n, wenn man die beiden folgenden Aussagen beweisen kann:
1. A(1) gilt.
2. Wenn A(n) gilt, dann auch A(n + 1).
Beweis. Nehmen wir an A(n) gilt nicht für alle
Zahlen n. Dann gibt es einen kleinsten Verbrecher, d.h. es gibt eine kleinste natürliche Zahl m für
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die A(m) nicht gilt. Dann gilt aber A(m−1), sofern
m − 1 existiert, d.h. sofern m > 1. Wenn m = 1,
dann gilt A(m) wegen (1). Wenn aber ansonsten
A(m − 1) wahr ist, dann ist wegen (2) auch A(m)
wahr. Dies widerspricht der Annahme. Also ist die
Annahme falsch und der Satz ist richtig. ♦
Bem. Für den Beweis wurden einige Eigenschaften
der natürlichen Zahlen implizit benutzt, wie z.B. dass
sie angeordnet sind und dass jede Ansammlung von
natürlichen Zahlen ein kleiste Zahl hat.
Wir beweisen die Aussage
A(n) : n2 + n = 2 · (1 + . . . + n)
Satz. Die Aussage A(n) gilt, für alle natürlichen
Zahlen n.
Beweis.
Induktions Anfang (I.A.):
A(1) : 12 + 1 = 2 = 2 · 1.
Also ist die Aussage A(1) wahr.
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§1 Pythagoräische Zahlenlehre
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Induktions Schluss (I.S.):
A(n) : n2 + n = 2 · (1 + . . . + n)
sei richtig. Dann gilt:
A(n + 1) : (n + 1)2 + (n + 1)
= n2 + 2n + 1 + n + 1
= (n2 + n) + (n + 1 + n + 1)
= 2 · (1 + . . . + n) + 2(n + 1)
= 2 · (1 + . . . + n + (n + 1))
Damit ist die Aussage A(n + 1) wahr, wenn die Aussage A(n) wahr ist.
Der Induktionsbeweis ist nun geführt und damit das
1. Lemma bewiesen. ♦
Indirekter Beweis.
Wir betrachten eine weitere Beweismethode, nämlich
den indirekten Beweis. Diese Methode wurde von den
Griechen erfunden. Viele der Sätze im Euklidischen
Lehrbuch sind indirekt bewiesen. Hier ist ein sehr
berühmtex Beispiel:
Satz. Es gibt keine Zahlen m, n ∈ N mit 2m2 = n2 .
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Beweis. (indirekter Beweis und Lehre vom Geraden
und Ungeraden)
Annahme. Der Satz ist falsch.
Dann gibt es eine Zahl m von Steinchen so dass
2 · m2 = n 2
für mindestens eine Zahl n von Steinchen. Sei m
die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft.
⇒ Es gibt keine Zahlen u, v so dass
2(2u)2 = (2v)2 ,
denn sonst wäre 22 (2u2 ) = 22 v 2 und so 2u2 = v 2
mit u < m.
⇒ m und n sind nicht beide Gerade.
Nach Annahme ist 2m2 = n2 .
⇒ n ist Gerade.
⇒ es gibt eine Zahl u mit 2m2 = n2 = (2u)2 = 4u2 .
⇒ m2 = 2u2 .
⇒ m ist Gerade.
⇒ m und n sind beide Gerade
⇒ Widerspruch. ♦
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Größter Gemeinsamer Teiler.
Wir beginnen mit einem einfachen Problem. Dem
Problem des Kürzens von Brüchen. Es ist klar, dass
2
4
=
6
3
Aber den Bruch 23 kann man nicht weiter kürzen.
Es ist ein gekürzter Bruch. Hier war leicht zu sehen
wie man den Bruch 46 kürzen soll. Da das Verfahren
in diesem Fall so einfach ist, ist es nicht weiter aufgefallen. Man hat nämlich einfach einen gemeinsamen
Faktor per Zufall gewählt. Es war in diesem Fall gerade 2. Wie sieht es aber mit dem folgenden Bruch
aus:
369
861
Ist dieser Bruch gekürzt? Und wenn nicht wie kann
man den gekürzten Bruch finden? Auch hier könnte
man wieder probieren. Aber die Griechen hatten ein
viel besseres Verfahen. Die sog. Wechselwegnahme.
Dahinter steht der folgende Satz.
Satz. (Divisions Algorithmus) Sind a, b zwei
(natürliche) Zahlen mit a > b. Dann gibt es eindeutig
(natürliche) Zahlen q, r so dass
a = q · b + r mit 0 < r < b.
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Beweis. Sei q die größte (natürliche) Zahl mit q ·b <
a und definiere r := a−q·b. Dann sind q, r eindeutig
bestimmt und erfüllen den Satz. ♦
Bem. Für natürliche Zahlen war der Beweis einfach.
Er gilt aber auch noch in viel allgemeineren Zusammenhängen. Insbesondere gilt er auch wenn wir ”natürliche Zahlen” durch ”ganze Zahlen” ersetzen. Dann
ist der Beweis etwas aber nicht viel schwerer.
Wir können nun den Divisionsalgorithmus wiederholt
anwenden auf jedes gegebene Zahlenpaar (a, b), so
auch für das obige Zahlenpaar (369, 961) (wir schreiben Klammern um das Zahlenpaar um anzudeuten,
dass es auf die Reihenfolge ankommt, d.h. (369, 961)
ist von (961, 369) verschieden).
Nun haben wir
(369, 861)
(369, 492)
(369, 123)
(246, 123)
(123, 123)
Damit ist 123 ein gemeinsamer Teiler. Wir haben
123 · 3
3
369
=
=
861
123 · 7
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und somit haben wir den gekürzten Bruch gefunden.
Hier sind also verschiedene Teilbarkeitseigenschaften
ausgenutzt worden. So z.B. dass eine Zahl c die
Summe a + b oder die Differenz a − b teilt, wenn c
sowohl a als auch b teilt.
Dies ist etwas schwerfällig ausgedrückt. Für das Folgende führen wir nun etwas Terminologie ein, um die
Sprechweise etwas übersichtlicher zu gestalten. Dies
machen wir über eine Definition.
Definition.
(1) Eine Zahl b teilt eine Zahl a, (Schreibweise:
b|a), wenn es eine Zahl x gibt mit a = x · b.
(2) b ist ein Teiler einer Zahl a, wenn b|a.
(3) c ist ein gemeinsamer Teiler von Zah- len a
und b, wenn c|a und c|b.
(4) c ist ein größter gemeinsame Teiler von a
und b (Schreibweise: c = ggT(a, b)), wenn c|a und
c|b sowie d|a und d|b ⇒ c ≥ d.
Satz. Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen
a, b ist eindeutig. ♦
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Satz. Für alle a, b ∈ N gibt es x, y ∈ Z mit
g := ggT(a, b) = xa + yb
Beweis. Seien x, y ganze (!) Zahlen, so gewählt,
dass
d := xa + yb
größer als Null und so klein wie möglich ist.
Beh. d = g, d.h. d = ggT(a, b).
Bew.
(1) Angenommen d ist kein Teiler von a
⇒a = dq + r mit 0 < r < d
⇒r = a − dq = a − q(xa + yb) = (1 − qx)a + (−qy)b
⇒Widerspruch
(da 0 < r < d und d minmal gewählt ist)
⇒d|a. Ebenso folgt d|b.
(2) a = gA, b = gB und d = xa + yb.
⇒d = g(xA + yB)
⇒g|d
⇒d = g
(da g der größte gemeinsame Teiler). ♦
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Literatur.
K. u. J. Appell, Mengen-Zahlen-Zahlbereiche, Elsevier
Bourbaki, Elemente der Mathematikgeschichte
H. Wussing, Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik
Oscar Neugebauer,
Springer Verlag
Vorgriechische
Mathematik,
Euclid, Die Elemente
Oskar Becker, Grundlagen der Mathematik, Suhrkamp
Taschenbuch
Oskar Becker, Größe und Grenze der mathematischen
Denkweise, Studium Universale, Verlag Karl Alber
Thomas Heath, A History of Greek Mathematics I, II,
Dover
D.J.Struik, Geschichte der Mathematik, Vieweg
D.J.Struik, A source book in mathematics 1200-1800,
Harvard
Arnold et al (eds.), Mathematics: Frontiers and perspectives, AMS
Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der
Mathematik im 19. Jahrhundert, Springer Verlag
Felix Klein, Famous Problems of Elementary Geometry, Dover publications
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Herbert Mehrtens et al (eds.), Social History of Nineteenth Century Mathematics, Birkhäuser
Herbert Mehrtens, Moderne Sprache Mathematik,
Suhrkamp Verlag
Michael Otte (ed.), Mathematiker über Mathematik,
Springer Verlag
Henri Poincare, Wissenschaft und Methode
Salomon Bochner, The role of mathematics in the rise
of Science
Rolph Stichweh, Zur Entstehung des modernen Systems wissenschaftlicher Disziplinen, Physik in
Deutschland 1740-1890, Suhrkamp
Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen
Ebbinghaus et al, Numbers, Springer Verlag
I.Niven-H.S.Zuckerman, An introduction to the theory
of numbers
A.H.Beiler, Recreations in the theory of numbers,
Dover publication
Konrad Jacobs, Invitations to mathematics, Princeton
University Press
Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen,
C. H. Beck Verlag
Klaus Johannson, Elementare Mathematik 1