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Mathematische Logik II Vorlesung 14 07.06.2005 Dieses Dokument wurde von der Homepage www.sigma-mathematics.de runtergeladen. Es darf zu nichtkommerziellen Zwecken verwendet und frei weitergegeben werden. Jeglicher Mißbrauch ist untersagt. Ich hafte nicht für eventuelle Schäden, die durch Verwendung dieses Dokuments auftreten. Sollte das Dokument Fehler enthalten, so melden Sie diese bitte an [email protected]. Definition. A sei eine τ -Struktur, B ⊆ A. Dann ist AB die Expansion von A und Konstanten b für jedes b ∈ B. T vollständige Theorie, A |= T , B ⊆ A, so ei T (B) := Th(AB ). Fall B = A: T (A) = Th(AA ), das elementare Diagramm von A, T (A = {ϕ(ā) | ϕ(x̄) ∈ FO(τ ), ā aus A, A |= ϕ(ā)}. (atomares) Diagramm D(A) = {ϕ(ā) ∈ T (A) | ϕ(ā) atomar oder ? atomar}. Definition. A ist elementare Substruktur von B (A B), wenn A ⊆ B und für jede Formel ϕ(x̄) ∈ FO und alle ā aus A gilt: B |= ϕ(ā) ⇔ A |= ϕ(ā) (insbesondere A ≡ B) (A ⊆ B ⇒ A B) Satz. (Tarski-Vaight-Test) Sei A ⊆ B. A B genau dann, wenn für jede Formel ϕ(x̄, y) ∈ FO und alle ā ⊆ A gilt: B |= ∃yϕ(ā, y) ⇒ B |= ϕ(ā, a′ ) für ein a′ ∈ A. Beweis. Sei A B und B |= ∃yϕ(ā, y). Also A |= ∃yϕ(ā, y) (da A B) und also A |= ϕ(ā, a′ ) für ein a′ ∈ A. Da A B folgt B |= ϕ(ā, a′ ). Umgekehrt: Das Kriterium des Tests sei erfüllt. Z.z.: Für jede Formel ψ(x̄) und alle ā aus A gilt: A |= ψ(ā) ⇔ B |= ψ(ā). Induktion über den Formelaufbau: • ψ = (x = y) oder Rx̄ klar. • ψ =6= ϕ, ϕ ∨ ϕ′ , ϕ ∧ ϕ′ klar. • Sei ψ(x̄) = ∃yϕ(x̄, y). – A |= ∃yϕ(ā, y) ⇒ A |= ϕ(ā, a′ ) für ein a′ ∈ A. Mit der Induktionsvoraussetzung folgt B |= ϕ(ā, a′ ) ⇒ B |= ∃yϕ(ā, y). – B |= ∃yϕ(ā, y). Mit dem Text folgt B |= ϕ(ā, a′ ) für a′ ∈ A ⇒ A |= ϕ(ā, a′ ) ⇒ A |= ∃yϕ(ā, y). f : A → B ist elementare Einbettung (f : A B), wenn für alle ϕ(x̄) ∈ FO und alle ā aus A: A |= ϕ(ā) ⇔ B |= ϕ(f ā). Also: A ∼ = f (A) B. Bemerkung. Sei A ⊆ B und BA |= Th(AA ) = T (A) elementares Diagramm von A. Dann ist A B. Beweis. A |= ϕ(ā) ⇒ ϕ(ā) ∈ T (A) ⇒ B |= ϕ(ā), A |= ¬ϕ(ā) ⇒ ¬ϕ(ā) ∈ T (A) ⇒ B |= ¬ϕ(ā). Definition. Eine Kette (Aβ )β<α ist elementar, wenn Aβ Aγ für β < γ < α. S Satz. Für jede elementare Kette (Aβ )β<α gilt Aβ γ<α Aγ für alle β < α. Beweis. Übung. 1 www.sigma-mathematics.de/semester5/malo2/vorlesungen/vorlesung14.pdf 2 Definition. Sei A eine τ -Struktur, B ⊆ A. (a) Ein n-Typ über B ist eine Menge p von Formeln ϕ(x0 , . . . , xn−1 ) ∈ FO(τ ∪B) (mit Frei(ϕ) ⊆ {x0 , . . . , xn−1 }), so dass p ∪ Th(AB ) erfüllbar ist. (b) Der Typ eines Tupels ā aus A über B ist tp(ā/B) := {ϕ(x̄, b̄) | A |= ϕ(ā, b̄), b̄ ⊆ B}. (c) A realisiert einen n-Typ p über B, wenn ein n-Tupel ā aus A existiert, so dass p ⊆ tp(ā/B). (d) Ein n-Typ p über B ist vollständig, wenn kein n-Typ q über B existiert, so dass p ⊂ q. (e) Sn (B): Menge aller vollsändigen n-Typen über B (Stone-Baum). Beispiel. A = (ω, s, 0), s(n) := n + 1 für alle n ∈ ω. S 1 (∅) = {p0 , p1 , . . . } ∪ {p∞ }. • pn = tp(n/∅) |= x = s . . . s0 (n-Mal), pn 6= pm für alle n 6= m. • p∞ |= x 6= s . . . s0 (n-Mal) für alle n ∈ ω. Wieso ist p∞ ⊇ {x 6= s . . . s0 | n ∈ ω} ein Typ? z.z.: p∞ ∪ Th(ω, s, 0) erfüllbar. Offensichtlich ist p∞ nicht realisiert in (ω, s, 0). Da jede endliche Teilmenge erfüllbar ist, gilt dies nach dem Kompaktheitssatz aber trotzdem. Beispiel. A = (Q, <), A ⊆ Q, mögliche 1-Typen über A? • (a): p |= (x = a) für a ∈ A. • (a+ )(a ∈ A): p |= x > b für alle b ≤ a, b ∈ A. p |= x < b für alle b > a, b ∈ A. „p direkt über a“ • (a− ) analog. • (+∞): p |= x > a für alle a ∈ A. • (−∞): p |= x < a für alle a ∈ A. ˙ 1 , A0 hat kein größtes Element, √A1 hat kein kleinstes Element. p: p |= x > a für a ∈ A0 , • A = A0 ∪A √ p |= x < a für a ∈ A1 . (A0 = {a ∈ Q | a ∈ 2}, A1 = {a ∈ Q | a > 2} nicht realisiert in (Q, <), aber z.B. in (R, <)) Lemma. A τ -Struktur, B ⊆ A, p ein n-Typ über B. Es gibt elementare Erweiterung A C, in der p realisiert ist. Beweis. Sei Φ := p ∪ Th(AA ). Wenn CA |= Φ, dann ist A C und es gibt ein c̄ mit tp(c̄/A) ⊇ p. Also z.z.: Φ ist erfüllbar. Dank Kompaktheitssatz reicht es zu zeigen: Jedes endliche Φ0 ⊆ Φ ist erfüllbar. Sei Φ0 = {ϕ1 , . . . , ϕm } ⊆ Φ. In Φ V0 kommen nur endliche viele Konstante aus B und nur endlich viele Konstanten aus A \ B vor. Wir schreiben Φ0 = ϕ1 ∧ · · · ∧ϕm in der Form ψ(x̄, b̄) ∧ ϕ(b̄, c̄) mit b̄ ⊆ B, c̄ ⊆ A \ B, A |= ϕ(b̄, c̄). Also ∃ȳϕ(b̄, ȳ) ∈ Th(AB ). Da p Typ über B existiert nach Definition ein Modell D |= ψ(x̄, b̄) ∧ ∃ȳϕ(b̄, ȳ). Wähle ¯ b̄). D |= Φ0 . d¯ so, dass D |= ψ(d, Satz. (Amalgamationssatz) Seien B, C τ -Strukturen und ā ⊆ B, c̄ ⊆ C Folgen von Elementen mit (B, ā) ≡ (C, c̄). Dann gibt es eine elementare Erweiterung B D und eine elementare Einbettung f : C D mit f (ci ) = ai für alle i. Da B, ā ≡ C, c̄, gibt es eine elementare Einbettung g : haiB → C mit g(ā) = c̄. Durch Umbenennen können wir o.B.d.A. annehmen, dass ā = c̄ und B ∩ C = ā.
