Beispiele aus dem täglichen Leben

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
™ Beispiel (Einmaliges Würfeln):
verbal
mengentheoretisch
gerade Zahl
ungerade Zahl
Primzahl
keine Primzahl
Zahl ≤ 2
Zahl > 4
I. Zufällige Ereignisse
™ Beispiel (Einmaliges Würfeln):
A
B
C
D
E
F
=
=
=
=
=
=
{ 2, 4, 6 }
{ 1, 3, 5 }
{ 1, 2, 3, 5 }
{ 4, 6 }
{ 1, 2 }
{ 5, 6 }
Alle möglichen Ausgänge 1, 2,…, 6 des Experiments werden
zur Ergebnismenge Ω ( Ergebnisraum ) zusammengefasst.
™ Definition:
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
¾
Anzahl der Elemente von Ω: |Ω| = 6
Schnittmenge ( A ˆ B) : Alle Elementarereignisse
aus A und B
¾ Vereinigungsmenge ( A ‰ B) : Alle Elementarereignisse
aus A oder B
™ Definition:
¾ Teilmengen von Ω heißen Ereignisse und werden mit
A, B, C,… abgekürzt.
™ Beispiel (Einmaliges Würfeln):
¾ Einelementige Teilmengen heißen Elementarereignisse:
ω1, ω2, ω3,…
¾ Ungerade Zahl oder Primzahl:
B ‰ C = { 1, 2, 3, 5 } = C
¾ Zahl > 4 oder gerade Zahl:
F ‰ A = { 2, 4, 5, 6 }
¾ Zahl > 4 und gerade Zahl:
F ˆ A = {6}
¾ Gerade Zahl und ungerade Zahl: A ˆ B = Ø = { }
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 114 -
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 115 -
™ Beispiel (Einmaliges Würfeln):
verbal
™ Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
¾ Ω = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 6),
(2, 1), (2, 2), …
…
mengentheoretisch
gerade Zahl
ungerade Zahl
Primzahl
keine Primzahl
Zahl ≤ 2
Zahl > 4
A
B
C
D
E
F
=
=
=
=
=
=
{ 2, 4, 6 }
{ 1, 3, 5 }
{ 1, 2, 3, 5 }
{ 4, 6 }
{ 1, 2 }
{ 5, 6 }
… …
…
, (6, 6)}
¾ Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } … { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
… : Kartesisches Produkt (von Mengen)
¾ |Ω| = 6 ∙ 6 = 36.
™ Definition:
Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt (unvereinbar), falls
A ˆ B = Ø.
™ Satz:
™ Beispiel (Einmaliges Würfeln):
Wird ein Zufallsexperiment mit k Elementarereignissen n-mal
wiederholt, dann hat das zusammengesetzte Zufallsexperiment
k n Elementarereignisse.
¾ C und D sind disjunkt.
¾ E und F sind disjunkt.
™ Definition:
Die Menge A aller Elemente in Ω, die nicht in A liegen, heißt
Komplementärereignis zu A.
™ Beispiel (Dreimaliges Würfeln):
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} … {1, 2, 3, 4, 5, 6} … {1, 2, 3, 4, 5, 6}
™ Beispiel (Einmaliges Würfeln):
Ÿ
| : | 63
216
¾ B ist Komplementärereignis zu A.
¾ C ist Komplementärereignis zu D.
¾ E und F sind zwar disjunkt, aber keine
Komplementärereignisse.
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 116 -
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 117 -
II. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen
2
Zweimaliges Würfeln Ÿ |Ω| = 6 = 36
¾ A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
™ Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
Ÿ | A | 6 Ÿ P( A)
¾ Ereignisse:
A : Beide Zahlen sind gleich
B : Keine Sechs
C : Nur ungerade Zahlen
D : Augensumme ist 7
E : Beide Zahlen t 3
¾ Gesucht:
6
36
1
6
¾ B = {1, 2, 3, 4, 5} … {1, 2, 3, 4, 5}
Ÿ | B | 25 Ÿ P( B)
25
36
¾ C = {1, 3, 5} … {1, 3, 5}
P(A), P(B), P(C), P(D), P(E)
Ÿ | C | 9 Ÿ P(C )
( P für Probability = Wahrscheinlichkeit)
9
36
1
4
¾ D = { (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) }
Ÿ P( D)
™ Definition:
Falls alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind,
spricht man von einem Laplace-Experiment.
6
36
1
6
¾ E = {3, 4, 5, 6} … {3, 4, 5, 6}
Ÿ P( E )
16
36
4
9
™ Satz:
Bei einem Laplace-Experiment gilt für die Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses A
P( A)
A
.
:
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 118 -
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 119 -
™ Satz:
™ Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
¾ Es war:
B : Keine Sechs
D : Augensumme ist 7
E : Beide Zahlen t 3
¾ Gesucht:
(iii)
¾ P(Ω) = 1
¾ P(Ø) = 0
¾ P( A ) 1 P( A)
¾ P( A ‰ B)
P( A) P(B) P( A ˆ B)
¾ Sind A und B disjunkt ( A ˆ B = Ø ) , dann gilt:
B ˆ D { (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) }
B ˆ E { 3, 4, 5 } …{ 3, 4, 5 }
P( A ‰ B) P( A) P(B)
¾ P( A ‰ B ‰ C)
¾ P( A)
D ˆ E { (3,4), (4,3) }
P( A) P(B) P(C) P( A ˆ B)
P( A ˆ C) P(B ˆ C) P( A ˆ B ˆ C)
B ˆ D ˆ E { (3,4), (4,3) }
P( A ˆ B ) P( A ˆ B )
Ÿ
P( B ‰ D ‰ E )
P( B ) P( D) P( E )
P( B ˆ D) P( B ˆ E ) P( D ˆ E )
™ Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
P( B ˆ D ˆ E )
¾ Es war:
A : Beide Zahlen sind gleich
C : Nur ungerade Zahlen
¾ Gesucht:
(i) P(beide Zahlen verschieden)
P( A ) 1 P( A) 1 P(Keine Sechs oder
Augensumme ist 7 oder
beide Zahlen t 3)
1
6
5
6
(ii) P(beide Zahlen gleich oder nur ungerade Zahlen)
P( A ‰ C) P( A) P(C) P( A ˆ C)
6
9
3 12 1
36 36 36 36 3
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 120 -
25 6 16
36 36 36
4
9
2
36 36 36
2
36
34 17
36 18
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 121 -
™ Situation (Ä):
¾ Ein Unternehmen hat 520 Beschäftigte, davon sind 208
weiblich. 286 der Beschäftigten fahren nicht mit dem Auto
zur Arbeit, davon 156 weiblich.
¾ Sie gehen über den Flur des Firmengebäudes und hören hinter
der nächsten Ecke Schritte.
(Es ist Kernarbeitszeit, d.h. alle Beschäftigten sind anwesend,
und die Wahrscheinlichkeit, um diese Ecke zu kommen, ist für
jeden Beschäftigten gleich → Laplace-Firma)
¾ Gesucht:
Wahrscheinlichkeit, in der Firma einem
männlichen PKW-Fahrer zu begegnen.
¾ Bezeichnung der Ereignisse:
W : Weibliche Angestellte
A : Autofahrer/-in
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 122 -
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 123 -
Einfache Lösung zur Situation (Ä):
™ Lösung zur Situation (Ä):
¾ Bezeichnung der Ereignisse:
W : Weibliche Angestellte
A : Autofahrer/-in
¾ Bekannt:
P(W )
208
520
P( A )
0,4
156
P(W ˆ A )
520
¾ Gesucht:
●
286
520
0,55
W
W
A
P(W ˆ A)
P(W ˆ A)
P( A)
A
P(W ˆ A )
P(W ˆ A )
P( A )
P(W )
P(W )
1
0,3
P(W ˆ A)
Ø
P(W ) 1 P(W )
1 0,4 0,6
●
P( A ) P(W ˆ A ) P(W ˆ A )
Ÿ 0,55 0,3 P(W ˆ A )
W
W
A
0,1
0,35
0,45
A
0,3
0,25
0,55
0,4
0,6
1
Ÿ P(W ˆ A ) 0,25
●
P(W ) P(W ˆ A) P(W ˆ A )
Ÿ 0,6 P(W ˆ A) 0,25
Ÿ P(W ˆ A) 0,35
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 124 -
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 125 -
III. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
und unabhängige Ereignisse
™ Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
¾ A : mindestens eine 6 Ÿ P(A) =
11
36
¾ Bekannte Vorinformation:
B : Augensumme ist höchstens 7
Ÿ | B | 21 Ÿ P( A | B)
2
21
™ Definition:
P( A | B )
P( A ˆ B )
P( B )
heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B,
falls P(B) > 0.
™ Situation (Ä):
¾ Angenommen, Sie erkennen am Klang der Schritte, dass
die Person, die gleich um die Ecke kommt, eine Frau ist.
¾ Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine
Autofahrerin handelt, also
P( A | W )
P( A ˆ W )
P(W )
0,1
0,4
0,25
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 126 -
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 127 -
™ Definition:
™ Satz:
P( A ˆ B)
Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, falls
P( A ˆ B)
™ Beispiel:
™ Situation (Ä):
¾ Frage:
¾ Situation: In einer Schachtel befinden sich 6 Akkus,
davon sind zwei leer. Jetzt werden zwei
Akkus für die Digitalkamera gebraucht.
Sind Geschlecht und Beförderungsmittel
unabhängig?
¾ Bekannt:
P(B | A) ˜ P( A) ]
[
P( A) ˜ P(B) .
P( A | B) ˜ P(B)
P( A ) 0,55
P(W ) 0,4
Ÿ P(W ) ˜ P( A ) 0,4 ˜ 0,55 0,22
und P(W ˆ A )
¾ Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden
entnommenen Akkus voll sind.
0,3
A : Der erste Akku ist voll.
B : Der zweite Akku ist voll.
¾ Antwort: Nein.
¾ Gesucht: P ( A ˆ B)
™ Bemerkung:
Gründe für die Bedeutsamkeit der stochastischen Unabhängigkeit:
¾ Der Nachweis, dass zwei Ereignisse abhängig sind, führt oft zur
Suche nach dem kausalen Zusammenhang.
¾ Ermöglicht die Überprüfung, ob eine modellmäßige Annahme
der Unabhängigkeit mit konkret vorliegenden Beobachtungen
verträglich ist.
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 128 -
P( A)
4
6
Ÿ P( A ˆ B )
P( B | A)
P( B | A) ˜ P( A)
3
5
3 4
˜
5 6
0,4
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 129 -
Alternative Lösung über „Wahrscheinlichkeitsbaum“
™ Beispiel:
¾ Situation: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden
nacheinander 3 Karten gezogen.
¾ Gesucht:
Gesucht:
P( A3 )
P( A1 )
4
32
P( A1 )
1. Zug
eine 7
28
32
P( A2 | A1 )
3
31
P( A2 | A1 )
4
31
P( A2 | A1 )
28
31
P( A2 | A1 )
27
31
„Günstige“ Kombinationen
usw.
2. Zug
eine 7
2
30
Wahrscheinlichkeiten
4 3 2
˜ ˜
32 31 30
24
29.760
A1 A2 A3
4 28 3
˜ ˜
32 31 30
336
29 .760
A1 A2 A3
28 4 3
˜ ˜
32 31 30
336
29.760
A1 A2 A3
28 27 4
˜ ˜
32 31 30
3024
29 .760
¦
3720
29 .760
1. Zug
keine 7
3
31
A1 A2 A3
disjunkte Ereignisse Ÿ
28
32
4
32
Wahrscheinlichkeit, im dritten Zug eine 7 zu
ziehen.
Ai : Im i-ten Zug wird eine 7 gezogen
3. Zug
eine 7
4
31
2. Zug
keine 7
2. Zug
eine 7
27
31
2. Zug
keine 7
28
30
3
30
27
30
3
30
27
30
4
30
26
30
3. Zug
keine 7
3. Zug
eine 7
3. Zug
keine 7
3. Zug
eine 7
3. Zug
keine 7
3. Zug
eine 7
3. Zug
keine 7
Die jeweiligen „Wege“ zum Ziel „3. Zug eine 7“ sind disjunkt.
Deshalb ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Addition der
Einzelwahrscheinlichkeiten:
P(3. Zug eine 7) =
0,125
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
28
31
4 3 2
4 28 3 28 4 3 28 27 4
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
32 31 30 32 31 30 32 31 30 32 31 30
- 130 -
0,125
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 131 -
IV. Lotto (Auszüge der Kombinatorik)
™ Situation:
¾ Beim Lotto werden aus 49 durchnummerierten Kugeln
(zufällig) 6 Kugeln nacheinander durch Ziehen ohne
Zurücklegen ausgewählt. Dabei spielt die Reihenfolge der
gezogenen Zahlen keine Rolle.
(Hier: Ohne Zusatzzahl)
¾ Von Interesse:
A : 6 Richtige
¾ Jede Kombination der 6 gezogenen Zahlen ist gleich
wahrscheinlich → Laplace-Experiment
Ÿ P( A)
¾ Offensichtlich:
¾ Gesucht:
| A|
|:|
|A| = 1
|Ω|
|Ω| : Anzahl aller Möglichkeiten, aus 49 Kugeln 6
Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen.
™ Satz:
Sei k ≤ n, dann gibt es
n!
k!˜(n k )!
§n·
¨¨ ¸¸
©k ¹
Möglichkeiten, k-elementige Teilmengen aus einer
n-elementigen Menge zu bilden.
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 132 -
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 133 -
™ Beim Lotto:
Platz für Notizen
§ 49 ·
¨¨ ¸¸
©6¹
¾ |:|
49!
13 .983 .816
6! 43!
¾ Damit ist die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige
1
| 0,0000000715
13 .983 .816
P( A)
(also ca. 1:14 Millionen)
™ Noch ein Lotto-Beispiel:
¾ B : 4 Richtige beim Lotto
(ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl)
P( B)
¾ Gesucht:
|B|
|:|
§ 6 · § 43 ·
| B | ¨¨ ¸¸ ˜ ¨¨ ¸¸ 13 .545
© 4¹ © 2 ¹
Ÿ P( B )
|B|
|:|
§ 6 · § 43 ·
¨¨ ¸¸ ˜ ¨¨ ¸¸
© 4¹ © 2 ¹
§ 49 ·
¨¨ ¸¸
©6¹
13 .545
| 0,00096862
13 .983 .816
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 134 -