Beispiele aus dem täglichen Leben

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
I. Zufällige Ereignisse
 Beispiel (Einmaliges Würfeln):
Alle möglichen Ausgänge 1, 2,…, 6 des Experiments werden
zur Ergebnismenge Ω ( Ergebnisraum ) zusammengefasst.
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Anzahl der Elemente von Ω: |Ω| = 6
 Definition:
 Teilmengen von Ω heißen Ereignisse und werden mit
A, B, C,… abgekürzt.
 Einelementige Teilmengen heißen Elementarereignisse:
ω1, ω2, ω3,…
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 85 -
 Beispiel (Einmaliges Würfeln):
verbal
mengentheoretisch
gerade Zahl
ungerade Zahl
Primzahl
keine Primzahl
Zahl ≤ 2
Zahl > 4
A
B
C
D
E
F
=
=
=
=
=
=
{ 2, 4, 6 }
{ 1, 3, 5 }
{ 1, 2, 3, 5 }
{ 4, 6 }
{ 1, 2 }
{ 5, 6 }
 Definition:

Schnittmenge ( A  B ) : Alle Elementarereignisse
aus A und B
 Vereinigungsmenge ( A  B ) : Alle Elementarereignisse
aus A oder B
 Beispiel (Einmaliges Würfeln):
 Ungerade Zahl oder Primzahl:
B  C = { 1, 2, 3, 5 } = C
 Zahl > 4 oder gerade Zahl:
F  A = { 2, 4, 5, 6 }
 Zahl > 4 und gerade Zahl:
F  A = {6}
 Gerade Zahl und ungerade Zahl: A  B = Ø = { }
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 86 -
 Beispiel (Einmaliges Würfeln):
verbal
gerade Zahl
ungerade Zahl
Primzahl
keine Primzahl
Zahl ≤ 2
Zahl > 4
mengentheoretisch
A
B
C
D
E
F
=
=
=
=
=
=
{ 2, 4, 6 }
{ 1, 3, 5 }
{ 1, 2, 3, 5 }
{ 4, 6 }
{ 1, 2 }
{ 5, 6 }
 Definition:
Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt (unvereinbar), falls
A  B = Ø.
 Beispiel (Einmaliges Würfeln):
 C und D sind disjunkt.
 E und F sind disjunkt.
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
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 Beispiel (Einmaliges Würfeln):
verbal
gerade Zahl
ungerade Zahl
Primzahl
keine Primzahl
Zahl ≤ 2
Zahl > 4
mengentheoretisch
A
B
C
D
E
F
=
=
=
=
=
=
{ 2, 4, 6 }
{ 1, 3, 5 }
{ 1, 2, 3, 5 }
{ 4, 6 }
{ 1, 2 }
{ 5, 6 }
 Definition:
Die Menge A aller Elemente in Ω, die nicht in A liegen, heißt
Komplementärereignis zu A.
 Beispiel (Einmaliges Würfeln):
 B ist Komplementärereignis zu A.
 C ist Komplementärereignis zu D.
 E und F sind zwar disjunkt, aber keine
Komplementärereignisse.
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 88 -
 Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
 Ω = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 6),
(2, 1), (2, 2), …
…

… …
…
, (6, 6)}
 Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }  { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
 : Kartesisches Produkt (von Mengen)
 |Ω| = 6 ∙ 6 = 36.
 Satz:
Wird ein Zufallsexperiment mit k Elementarereignissen n-mal
wiederholt, dann hat das zusammengesetzte Zufallsexperiment
k n Elementarereignisse.
 Beispiel (Dreimaliges Würfeln):
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  {1, 2, 3, 4, 5, 6}  {1, 2, 3, 4, 5, 6}

|  |  63  216
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
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II. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen
 Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
 Ereignisse:
A : Beide Zahlen sind gleich
B : Keine Sechs
C : Nur ungerade Zahlen
D : Augensumme ist 7
E : Beide Zahlen  3
 Gesucht:
P(A), P(B), P(C), P(D), P(E)
( P für Probability = Wahrscheinlichkeit)
 Definition:
Falls alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind,
spricht man von einem Laplace-Experiment.
 Satz:
Bei einem Laplace-Experiment gilt für die Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses A
P( A) 
A
.

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
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 Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
 Ereignisse:
A:
B:
C:
D:
E:
 Zweimaliges Würfeln
Beide Zahlen sind gleich
Keine Sechs
Nur ungerade Zahlen
Augensumme ist 7
Beide Zahlen  3

|Ω| = 6 2 = 36
 A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
 | A |  6  P( A) 
6 1

36 6
 B = {1, 2, 3, 4, 5}  {1, 2, 3, 4, 5}
 | B |  25  P( B) 
25
36
 C = {1, 3, 5}  {1, 3, 5}
 | C |  9  P(C ) 
9 1

36 4
 D = { (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) }
 P( D ) 
6 1

36 6
 E = {3, 4, 5, 6}  {3, 4, 5, 6}
 P( E ) 
16 4

36 9
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
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 Satz:
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
 P(Ω) = 1
 P(Ø) = 0
 P( A )  1  P( A)
 P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
 Sind A und B disjunkt ( A  B = Ø ) , dann gilt:
P( A  B)  P( A)  P( B)
 P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( A  B)
 P( A  C )  P( B  C )  P( A  B  C )
 P( A)  P( A  B)  P( A  B )
 Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
 Es war:
A : Beide Zahlen sind gleich
C : Nur ungerade Zahlen
 Gesucht:
(i) P(beide Zahlen verschieden)
P( A )  1  P( A)  1 
1 5

6 6
(ii) P(beide Zahlen gleich oder nur ungerade Zahlen)
P( A  C )  P( A)  P(C )  P( A  C )
6
9
3 12 1





36 36 36 36 3
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
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 Beispiel (Zweimaliges Würfeln):
 Es war:
B : Keine Sechs
D : Augensumme ist 7
E : Beide Zahlen  3
 Gesucht:
(iii)
P(Keine Sechs oder
Augensumme ist 7 oder
beide Zahlen  3)
B  D  { (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) }
B  E  { 3, 4, 5 }  { 3, 4, 5 }
D  E  { (3,4), (4,3) }
B  D  E  { (3,4), (4,3) }

P( B  D  E )  P( B )  P( D)  P( E )
 P( B  D)  P( B  E )  P( D  E )
 P( B  D  E )
25 6 16


36 36 36
4
9
2



36 36 36
2

36
34 17


36 18

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
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 Situation ():
 Ein Unternehmen hat 520 Beschäftigte, davon sind 208
weiblich. 286 der Beschäftigten fahren nicht mit dem Auto
zur Arbeit, davon 156 weiblich.
 Sie gehen über den Flur des Firmengebäudes und hören
hinter der nächsten Ecke Schritte.
(Es ist Kernarbeitszeit, d.h. alle Beschäftigten sind
anwesend, und die Wahrscheinlichkeit, um diese Ecke zu
kommen, ist für jeden Beschäftigten gleich
→ Laplace-Firma)
 Gesucht:
Wahrscheinlichkeit, in der Firma einem
männlichen PKW-Fahrer zu begegnen.
 Bezeichnung der Ereignisse:
W : Weibliche Angestellte
A : Autofahrer/-in
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
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 Lösung zur Situation ():
 Bezeichnung der Ereignisse:
W : Weibliche Angestellte
A : Autofahrer/-in
 Bekannt:
P(W ) 
208
 0,4
520
P( A ) 
P(W  A ) 
 Gesucht:
●
286
 0,55
520
156
 0,3
520
P(W  A)
P(W )  1  P(W )
 1  0,4  0,6
●
P( A )  P(W  A )  P(W  A )
 0,55  0,3  P(W  A )
 P(W  A )  0,25
●
P(W )  P(W  A)  P(W  A )
 0,6  P(W  A)  0,25
 P(W  A)  0,35
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 95 -
Noch einfachere Lösung zur Situation ():
W
W
A
P(W  A)
P(W  A)
P( A)
A
P(W  A )
P(W  A )
P( A )
P(W )
P(W )
1

W
W
A
0,1
0,35
0,45
A
0,3
0,25
0,55
0,4
0,6
1
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
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