Realschule Abschlussprüfung

Realschule Abschlussprüfung
Annegret Sonntag
4. Januar 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Strategie zur Berechnung von ebenen Figuren (Trigonometrie)
1.1 Skizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Berechnen aller Dreiecke, die jetzt gehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Eintragen der berechneten Werte in Skizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Noch einmal Skizze anschauen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Auch, wenn noch nicht klar ist wozu: alles ausrechnen, was geht . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Immer wieder alles, was jetzt ausgerechnet ist, in Skizze eintragen . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Je mehr an der Figur bekannt ist, desto eher können die gesuchten Strecken/Winkel berechnet
werden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3
3
3
3
2 Oberflächenberechnungen an zusammengesetzten/veränderten Körpen
2.1 Aufschreiben aller Formeln aus Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Welche Flächen fallen weg welche kommen hinzu ? . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Aufstellen der Gesamtformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ausrechnen fehlender Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Einsetzen in Formel und Berechnen des Körpers . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
4
4
4
4
4
4
3 Berechnung der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks
3.1 Berechnung der Strecke M B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
4 Berechnung der Seitenhalbierenden eines beliebigen
4.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Anwenden des Kosinussatzes . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Berechnen der Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Berechnen der Seitenhalbierenden mit Pythagoras . .
Dreiecks
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
7
5 Parabelaufgaben
5.1 Normalparabel y = x2 + px + q . . . . . . . . .
5.1.1 Bestimmen einer Normalparabel . . . .
5.1.2 Scheitelform bestimmen . . . . . . . . .
5.1.3 Nullstellen bestimmen . . . . . . . . . .
5.2 gestreckte oder gestauchte Parabel y = ax2 + c
5.3 Geraden y = mx + b . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Schnittpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
8
8
8
8
8
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
6 Pyramide
6.1 Rechtwinklige Dreiecke an der quadratischen Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
7 Aufgaben Nachtermin 2007
10
7.1 Aufgabe P 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.2 Aufgabe P 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8 Aufgaben Nachtermin 2008
11
8.1 Aufgabe P 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8.2 Aufgabe P 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9 Aufgaben Nachtermin 2004
12
9.1 Aufgabe P 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2
1
Strategie zur Berechnung von ebenen Figuren (Trigonometrie)
1.1
Skizze
• Markieren von allen angegebenen Größen
• Berechnung aller Winkel aus den Angaben und Eintragen in Skizze
• Rechtwinklige Dreiecke suchen, bei denen ein Winkel und eine Seite bekannt sind
• 30◦ /60◦ und 45◦ rechtwinklige Dreiecke suchen
1.2
Berechnen aller Dreiecke, die jetzt gehen
• Bei 30◦ /60◦ Dreiecken ist die √
kleinste Seite halb so groß wie die Hypotenuse. Ist die größere Kathete
gegeben, muss man sie durch 3 teilen,um die andere Kathete zu erhalten.
• Bei 45◦ Dreiecken sind die√Katheten gleich groß und die Hypotenuse berechnet sich aus der Kathete
durch Multiplikation mit 2
1.3
Eintragen der berechneten Werte in Skizze
1.4
Noch einmal Skizze anschauen
• Noch einmal Frage anschauen
• Was wäre schön, wenn ich es berechnen könnte
• Kann man z.B. Höhen an Dreiecken einzeichnen, die nicht rechtwinklig sind
1.5
Auch, wenn noch nicht klar ist wozu: alles ausrechnen, was geht
1.6
Immer wieder alles, was jetzt ausgerechnet ist, in Skizze eintragen
1.7
Je mehr an der Figur bekannt ist, desto eher können die gesuchten Strecken/Winkel berechnet werden
3
2
Oberflächenberechnungen an zusammengesetzten/veränderten
Körpen
2.1
Aufschreiben aller Formeln aus Formelsammlung
• Auswählen der Formeln, die in der Aufgabe gebraucht werden
• Quader : O = 2(ab + ac + bc)
• Würfel: O = 6a2
• P risma : O = 2G + M = 2G + U × h
• QuadratischeP yramide : O = G + M = a2 + 2a × hs
• Zylinder : O = 2G + M = 2πr2 + 2πrs
• Kegel : O = G + M = 2πr2 + πrs
• Kugel : O = 4πr2
2.2
Welche Flächen fallen weg welche kommen hinzu ?
• Vergleichen der Grundkörper mit den in der Aufgabe vorkommenden veränderten Körpern.
2.3
Aufstellen der Gesamtformel
• Aufstellen einer grundsätzlichen Formel für die gesuchte Oberfläche also welche Grundflächen welche
Mäntel braucht man bzw. welche Teile davon. Es ist leichter nur G und M der enthaltenen Körper zu
verwenden.
• Einsetzen der Grundformeln für die verschiedenen Grund- und Mantelflächen.
2.4
Ausrechnen fehlender Größen
• Welche Variablen der Formel fehlen ?
• Wie können diese berechnet werden ?
• Die Aufgabenstellung kann auch zweistufig sein, wenn z.B. ein Schnitt gegeben ist, und zunächst
bestimmte Werte aus der Fläche dieses Schnitts zu berechnen sind. Dann muss evtl. auch die Formel
für die Fläche des Schnitts verwendet werden.
2.5
Einsetzen in Formel und Berechnen des Körpers
4
3
Berechnung der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks
Abbildung 1: gleichschenkliges Dreieck
• gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seiten a und c
• berechnet werden soll die Seitenhalbierende M B
3.1
Berechnung der Strecke M B
• nach Strahlensatz ist M D = 12 h und AD = 14 c
• h2 = a2 − ( 2c )2
2
• also kann M B mit Pythagoras berechnet werden (M B)2 = ( h2 )2 + ( 3c
4 )
5
4
Berechnung der Seitenhalbierenden eines beliebigen Dreiecks
4.1
Aufgabenstellung
Abbildung 2: beliebiges Dreieck
• gegeben seien die Seiten a,b,c
• berechnet werden soll die Seitenhalbierende SC
• AS = SB
4.2
Anwenden des Kosinussatzes
• a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
• b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
• c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
• Durch Umstellen wie cos α =
b2 +c2 −a2
2bc
kann jeder Winkel im Dreieck berechnet werden
6
4.3
Berechnen der Höhe
• sowohl die Höhe h als auch die Strecke AH kann so berechnet werden, wenn der Winkel ∠CAHbekannt
ist
• Beachtet werden muss ob S links oder rechts neben H liegt.
4.4
Berechnen der Seitenhalbierenden mit Pythagoras
2
• SH + h2c = SC
5
2
Parabelaufgaben
5.1
5.1.1
Normalparabel y = x2 + px + q
Bestimmen einer Normalparabel
• Ist der Scheitel S(d|c) gegeben, stellt man die Scheitelform auf:
y = (x − d)2 + c und multipliziert gegebenenfalls aus
• Merkspruch:
Den Parabelscheitel setzen wir sofort
in die Scheitelform am richt’gen Ort.
Dabei drehn wir gar nicht dumm
nur dem x sein Zeichen um.
• Sind 2 Punkte gegeben, setzt man die Punke in die Grundformel ein und erhält so zwei Gleichungen
für p und q
• Merkspruch:
Zwei Punkte der Parabel setzt man ein
in die p-q-Form das ist fein.
• Es kann auch ein Punkt gegeben sein und entweder p oder q steht schon als Zahl in der Gleichung.
Dann diesen Punkt einsetzen und die fehlende Variable (p oder q) ausrechnen
5.1.2
Scheitelform bestimmen
• Grundformel quadratisch ergänzen:
y = (x + ( p2 ))2 − ( p2 )2 + q
• Zahlen hinter der binomischen Formel verrechnen und Scheitel ablesen
• Beispiel: y = x2 − 5x + 3 also ist p = −5 und q = 3.
• Quadratisch ergänzt ergibt das y = (x − 52 )2 − 2, 52 + 3
• also y = (x − 2, 5)2 − 3, 25
7
5.1.3
Nullstellen bestimmen
• Nullstellen sind die Punkte der Parabel auf der x-Achse, also y = 0. Sie werden auch als Schnittpunkte
mit der x-Achse bezeichnet.
• Grundformel gleich 0 setzen. x2 + px + q = 0
• Mit Mitternachtsformel x-Werte der Nullstellen bestimmen.
• Der x-Wert des Scheitels liegt übrigens genau in der Mitte zwischen den x-Werten der Nullstellen.
5.2
gestreckte oder gestauchte Parabel y = ax2 + c
• Diese Parabeln haben den Scheitel immer auf der y-Achse
• nur für a = 1 oder a = −1 kann man sie mit der Schablone zeichnen. Sonst muss man eine Wertetabelle
anlegen.
• Auch hier können wieder zwei Punkte gegeben sein, um a und c zu bestimmen.
• Es ist aber auch möglich, dass man a und c aus einem Schaubild ablesen muss. c ist dann der yAchsenabschnitt und a muss aus dem Punkt (1|a + c) bestimmt werden.
5.3
Geraden y = mx + b
• Immer wieder müssen Geraden bestimmt werden.
• Gegeben sind dabei entweder zwei Punkte oder die Steigung und ein Punkt. Also auch hier Punkte
einsetzen und m und/oder b bestimmen.
• Geraden, die parallel sind, haben die gleiche Steigung.
• Der Steigungswinkel der Geraden kann aus der Steigung berechnet werden: tan α = m also ist
tan−1 (m) = α
5.4
Schnittpunkte
• Schnittpunkte muss man entweder zwischen zwei Parabeln oder zwischen einer Gerade und einer Parabel bestimmen.
• Schnittpunkte zwischen zwei Kurven erhält man immer, indem man sie gleichsetzt und die Gleichung
löst.
• Die x-Werte muss man dann in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um den y-Wert der Punkte zu
berechnen.
5.5
Verschiedenes
• Bei Angabe eines Punktes kann eine Koordinate auch variabel sein z.B. P (1, 5|yp ) oder P (xp |4) . Dann
muss die jeweilige variable Koordinate aus der Gleichung der Kurve berechnet werden.
• Wenn man prüfen muss, ob ein Punkt auf einer Parabel oder Geraden liegt, einfach x-Wert in die
Gleichung einsetzen und nachrechnen, ob der y-Wert rauskommt.
• Berechnung von Strecken zwischen zwei Punkten werden mit Pythagoras
p berechnet. Die folgende Abstandsformel steht in der Formelsammlung (meistens bei Geraden): d = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ,
wobei x1 ,x2 ,y1 ,y2 die Koordinaten der Punkte sind. Vorsicht bei negativen Koordinaten: 3−(−5) = 3+5
8
6
6.1
Pyramide
Rechtwinklige Dreiecke an der quadratischen Pyramide
Abbildung 3: quadratische Pyramide
9
7
Aufgaben Nachtermin 2007
7.1
Aufgabe P 1:
Im Rechteck ABCD gilt:
AD = 3, 9cm
AF = 6, 3cm
= 64, 0◦
ϕ = 84, 8◦
Berechnen Sie die Länge AB.
7.2
Aufgabe P 2:
Im Dreieck ABC sind gegeben:
AB = 8, 4cm
BE = DE = 4, 4cm
β = 48◦
Berechnen Sie den Winkel α.
Abbildung 4: Aufgabe P1 und P2
10
8
8.1
Aufgaben Nachtermin 2008
Aufgabe P 1:
Das Viereck ABCD ist ein rechtwinkliges
Trapez.
Es gilt:
BD = 7, 4cm
β1 = 40, 0◦
Berechnen Sie den Flächeninhalt des
Vierecks ABCD.
8.2
Aufgabe P 2:
Im rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben:
AB = 4, 4cm
AC = 8, 3cm
α1 = 16, 5◦
Berechnen Sie die Länge DE.
Abbildung 5: Aufgabe P1
Abbildung 6: Aufgabe P2
11
9
9.1
Aufgaben Nachtermin 2004
Aufgabe P 2:
Auf dem Würfel liegt der Streckenzug
DPQR.
Es gilt:
α = 21, 8◦
a = 8, 0cm
DP = 8, 6cm
P Q = 5, 5cm
QR = 8, 9cm
Berechnen Sie die Länge von RF
Abbildung 7: Aufgabe P1
12