Gleichstromtechnik

TU Bergakademie Freiberg
Institut für Elektrotechnik
Gleichstromtechnik
Skriptum für Nichtelektrotechniker
Verfasser:
Prof. Dr.-Ing. habil. U. Beckert
Datum:
2001
Umfang:
28 Seiten
TU BAF, Inst.
f. Elektrotechnik
TU Bergakademie
Freiberg
Institut für Elektrotechnik Prof. Beckert
Prof. Dr.-Ing. habil. U. Beckert
..\bt\vorles\grdl_et\Gleichstromtechnik_Skript 2001 (üa08)
Inhaltsverzeichnis
1.
Berechnung elektrischer Stromkreise mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze
1.1
Algorithmus
1.2
Beispiele für die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze
2.
Vereinfachte Verfahren
2.1
Reihenschaltung, Spannungsteilerregel
2.2
Parallelschaltung, Stromteilerregel
2.3
Strom- und Spannungsteilerregel, Ersatzwiderstand
2.4
Messbereichserweiterung
2.5
Überlagerungssatz
3. Grundstromkreis
2
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1. Berechnung elektrischer Stromkreise mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze
Ein elektrisches Netzwerk besteht aus Zweigen, die an Knotenpunkten zusammenstoßen. Die
Aneinanderreihung von Zweigen zu geschlossenen Umläufen nennt man Maschen.
Die Grundlage für die Berechnung der unbekannten Ströme in den Zweigen bilden die beiden
Kirchhoffschen Gesetze:
Für jeden Knotenpunkt gilt der erste Kirchhoffsche Satz: Die Summe der zum Knotenpunkt
hinfließenden Ströme ist gleich der Summe der vom Knotenpunkt wegfließenden Ströme.
∑
Iγ =
∑
Iµ
Für jede Masche des elektrischen Netzwerkes gilt der zweite Kirchhoffsche Satz: Beim
Umlauf in einer Masche ist die vorzeichenbehaftete Summe aller Spannungsabfälle (U) gleich
der vorzeichenbehafteten Summe aller Urspannungen (E).
∑
Uγ =
∑
Eµ
Dabei ist der Spannungsabfall über einen Widerstand positiv definiert in Richtung des
durchfließenden Stromes. Eine Spannungsquelle ist von – nach + positiv definiert, d.h. in
Richtung des Antriebes eines positiven Stromes.
Im Folgenden wird gezeigt, wie man das vollständige System unabhängiger Knotenpunktund Maschengleichungen erhält:
R6
E3
R2
R4
E2
R1
R3
E1
R5
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit den Spannungsquellen E1...E3
und den Widerständen R1...R6.
Gesucht seien alle Zweigströme.
3
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1.1 Algorithmus
1. Alle Spannungsquellen mit Richtungspfeilen versehen.
2. In jeden Zweig einen Strom einführen und kennzeichnen (I1, I2 usw.). Die Pfeilrichtung ist
beliebig. Sie gibt nur an, wie der Strom positiv gezählt werden soll. Liefert die Rechnung
ein positives Vorzeichen, so stimmen tatsächliche Stromrichtung und gewählte
Zählrichtung überein, andernfalls sind sie entgegengesetzt.
3. Aufstellen der unabhängigen Knoten- und Maschengleichungen. Bei z Zweigen erhält man
auch z unabhängige Gleichungen. Bei k Knotenpunkten erhält man (k-1) unabhängige
Knotenpunktgleichungen und m = z – (k-1) unabhängige Maschengleichungen.
4. Auflösen des Gleichungssystems nach den unbekannten Zweigströmen.
E3
R6
I6
III
R2
R4
2
1
3
I2
R1
I1
I4
I3
R3
I
II
E2
I5
R5
E1
4
Mit den gewählten Zählpfeilen erhält man folgendes Gleichungssystem:
Knoten 1:
Knoten 2:
Knoten 3:
Masche I:
Masche II:
Masche III:
I1 + I 6 = I 2
I 2 = I3 + I 4
I 4 + I5 = I6
E1 = R 1 I1 + R 2 I 2 + R 3 I 3
E 2 = R 5 I5 − R 4 I4 + R 3 I3
E3 = R 6 I6 + R 2 I2 + R 4 I4
Dieses Gleichungssystem ist mit den bekannten Methoden nach den unbekannten
Zweigströmen aufzulösen.
Der Knotenpunktsatz für den Knoten 4 stellt keine unabhängige Gleichung dar, sondern ist die
Summe der drei übrigen.
4
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1.2. Beispiele für die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze
Beispiel 1
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze ist in der Schaltung nach Bild 1 der Strom durch R 2 zu
berechnen.
R2
R1
R4
R3
Bild 1
E
Lösung
1. Spannungsquelle E mit Richtungspfeil versehen.
2. Zweigströme einführen, nummerieren und mit Richtungspfeilen versehen. Die Richtungen
der Zweigströme können grundsätzlich beliebig gewählt werden. Da die gegebene
Schaltung nur eine Spannungsquelle enthält, sind die Richtungen aller Zweigströme
bekannt. Es empfiehlt sich, die tatsächlichen Stromrichtungen zu wählen (Bild 2).
I2
R2
R1
R4
I
I
R3
I3
II
Bild 2
E
3. Die Spannungsabfälle über den Widerständen haben die gleiche Richtung wie die
hindurchfließenden Ströme.
4. Drei unbekannte Zweigströme erfordern drei unabhängige
Knotenpunktgleichung und zwei Maschengleichungen.
Gleichungen,
eine
5
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Man erhält:
I = I 2 + I3
(1)
R 2 I 2 − R 3 I3 = 0
(2)
R 1 I + R 3 I3 + R 4 I = E
(3)
Der Maschensatz, angeschrieben für die dritte denkbare Masche, liefert keine neue
Information, er ergibt sich aus den beiden ersten Maschensätzen. Die Auflösung des
Gleichungssystems (1) bis (3) ergibt für I 2 :
I2 =
E R3
(R 2 + R 3 ) (R 1 + R 4 ) + R 2 R 3
(4)
Beispiel 2
R1
R3
E1
R4
E2
R2
Bild 3
Mit Hilfe der Kirchhoffschen
Gesetze ist in der Schaltung
nach Bild 3 der Strom durch
den Widerstand R 4 zu
berechnen.
I1
I3
R1
E1
I
R2
I2
R3
II
E2
Lösung
R4
Bild 4
Die Schaltung wird mit den
Strom- und Spannungspfeilen
versehen.
Die Kirchhoffschen Sätze liefern:
I1 = I 2 + I 3
(R 1 + R 2 ) I1 + R 3 I 2 = E1 + E 2
R 4 I3 − R 3 I 2 = − E 2
(5)
(6)
(7)
Das Auflösen nach I 3 ergibt:
I3 =
E 1 R 3 − E 2 (R 1 + R 2 )
R 4 (R 1 + R 2 + R 3 ) + R 3 (R 1 + R 2 )
(8)
6
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Beispiel 3
Gegeben ist die bekannte Potentiometerschaltung nach Bild 5. Mit ihr kann man aus einer
konstanten (Eingangs-) Gleichspannung U = E eine variable (Ausgangs-) Gleichspannung
U A erzeugen. Mit der variablen Spannung U A wird der Verbraucher R L gespeist.
x=1
R
E
x
x=0
U
UA
RL
Bild 5
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze ist die Abhängigkeit
UA
= f (x )
U
zu bestimmen.
Lösung
Durch Einführen der Koordinate x lässt sich der Potentiometerwiderstand R in die
Widerstände x R und (1 - x) R aufteilen (Bild 6).
I
(1-x) R
E
I
IL
xR
U
II
IP
UA
RL
Bild 6
Die Kirchhoffschen Gesetze ergeben:
IP + IL = I
(1 − x ) R I + x R I P = U = E
(9)
(10)
R L IL − x R IP = 0
(11)
UA = R L IL = x R IP
(12)
bzw.
7
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Durch Auflösen nach U A erhält man:
UA
=
U
x
(13)
R
1 + x (1 − x )
RL
Speziell für Leerlauf R L → ∞ erhält man die bekannte lineare Charakteristik:
UA
= x
U
(14)
Die Beispiele 1 bis 3 bezogen sich auf die Berechnung von Gleichstromkreisen. Die
Kirchhoffschen Gesetze bilden auch die Grundlage für die Berechnung elektrischer Netzwerke
bei zeitlich beliebig verlaufenden Strömen und Spannungen. Dies soll im Beispiel 4 gezeigt
werden.
Zur Schreibweise: Gleichgrößen, d.h. Gleichspannungen und Gleichströme, werden durch
große Buchstaben gekennzeichnet, z.B. U, E und I. Die Augenblickswerte zeitveränderlicher
Größen werden durch Kleinbuchstaben gekennzeichnet, z.B. u, e und i. Um die
Zeitabhängigkeit zu betonen, wird oftmals auch u(t), e(t) und i(t) geschrieben.
Beispiel 4
Für die Schaltung nach Bild 7 ist mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze die
Differentialgleichung zur Berechnung der Kondensatorspannung u C ( t ) aufzustellen.
uR
i
A
R
iC
I
C
uC
uAB
iL
L
II
uL
Bild 7: Netzwerk mit R, L und C
B
Gegeben ist der zeitliche Verlauf der Klemmenspannung u AB ( t ) . Die Schaltung enthält außer
Widerständen auch Spulen (Induktivitäten) und Kondensatoren (Kapazitäten) Zum Aufstellen
der Kirchhoffschen Gleichungen werden somit die Strom-Spannungsbeziehungen für alle drei
Grundelemente benötigt:
8
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Am Widerstand gilt das Ohmsche Gesetz auch für zeitlich veränderliche Ströme:
u R (t) = R i R (t)
(15)
Aus der Schulphysik sind noch die Strom-Spannungszusammenhänge für Kondensator und
Spule bekannt.
Am Kondensator mit der Kapazität C gilt:
i C (t) = C
d uC
dt
(16)
Beim Kondensator fließt also nur dann ein Strom, wenn sich die Kondensatorspannung
u C zeitlich verändert, d.h., wenn sich die Ladung des Kondensators
Q = C uC
(17)
ändert.
An der Spule mit der Induktivität L gilt:
uL = L
d iL
dt
(18)
Über einer Induktivität tritt nur dann ein Spannungsabfall u L auf, wenn sich der Strom i L
zeitlich ändert, d.h. wenn sich der (magnetische) Spulenfluss
Φ = Li
(19)
zeitlich ändert und eine Spannung induziert wird.
Die angegebene Strom-Spannungsbeziehungen für Widerstand, Spule und Kondensator gelten
unter der Voraussetzung, dass die positiven Zählrichtungen für u und i (gemäß Bild 8) gleich
gewählt werden.
uR
R
iR
uC
C
iC
uL
L
Bild 8: Positive Zählrichtung
für u und i an den
Grundelementen R, C, L
iL
9
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Lösung
Die Kirchhoffschen Sätze ergeben für die Schaltung nach Bild 8:
i( t ) = i C ( t ) + i L ( t )
u R ( t ) + u C ( t ) − u AB ( t ) = 0
u C (t ) − u L (t) = 0
(20)
(21)
(22)
Aus (22) erhält man unter Berücksichtigung von (18):
uL = L
iL =
diL
= uC
dt
1
uC d t
L∫
(23)
Gl. (16) und (23) in den Knotenpunktsatz Gl. (20) eingesetzt, ergibt:
i = C
d uC 1
+ ∫ uC d t
dt
L
(24)
Gl. (24) und (15) eingesetzt in den Maschensatz Gl. (21) ergibt schließlich für u C ( t ) die
Differentialgleichung zweiter Ordnung.
RC
d uC
R
+ u C + ∫ u C d t = u AB
dt
L
d2 uC
1 d uC
1
1 d u AB
+
+
uC =
2
dt
RC d t
LC
RC d t
(25)
Ihre Lösung ergibt den Verlauf von u C ( t ) bei gegebenem Verlauf von u AB ( t ).
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2. Vereinfachte Verfahren
Für einfache Schaltungen, die nur eine Spannungsquelle enthalten, gibt es einfachere
Berechnungsverfahren als den aufwändigen Lösungsweg über die Kirchhoffschen Gesetze.
Diese Berechnungsverfahren basieren auf den Gesetzmäßigkeiten der Reihen- und
Parallelschaltung, der Spannungs- und der Stromteilerregel sowie auf der Zusammenfassung
von Widerständen zu Ersatzwiderständen.
2.1 Reihenschaltung, Spannungsteilerregel
Die Spannungsteilerregel beschreibt die Verhältnisse bei der Reihenschaltung. Kriterium der
Reihenschaltung ist, dass alle Widerstände vom gleichen Strom durchflossen werden.
I
R1
R2
Rn
U1
U2
Un
I
U
R ers
U
Bild 9: Reihenschaltung und Ersatzschaltung
Betrachtet man die Reihenschaltung von n Widerständen und die Ersatzschaltung, die das
gleiche Klemmenverhalten wie das Original besitzen soll, so erhält man:
U = U1 + U 2 + ... + U n
U1 = R 1 I
(Maschensatz)
U2 = R 2 I
U = R ers I
Durch Kombination der Gleichungen erhält man
I ( R 1 + R 2 + ... + R n ) = I R ers
R ers = R 1 + R 2 + ... + R n
Der Ersatzwiderstand der Reihenschaltung ist die Summe der Einzelwiderstände.
Für die Teilspannungen folgt:
U1
R
= 1
U2
R2
Die Teilspannungen verhalten sich wie die zugehörigen Widerstände.
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Für das Verhältnis der Teilspannungen zur Gesamtspannung folgt:
U1
R1
=
U
R ers
U2
R2
=
U
R ers
Eine Teilspannung verhält sich zur Gesamtspannung, wie der entsprechende Widerstand
zum Ersatzwiderstand der Reihenschaltung.
2.2 Parallelschaltung, Stromteilerregel
Die Stromteilerregel beschreibt die Verhältnisse bei der Parallelschaltung. Kriterium der
Parallelschaltung ist, dass alle Widerstände an der gleichen Spannung liegen.
I1
R1
I
I
I2
R ers
R2
U
U
Bild 10: Parallelschaltung und Ersatzschaltung
Betrachtet man zunächst nur zwei Widerstände, so gilt:
I = I1 + I 2 (Knotenpunktsatz)
I1 =
U
R1
I2 =
U
R2
Für die Ersatzschaltung, die das gleiche Klemmenverhalten wie das Original besitzen soll, gilt:
I =
U
R ers
Durch Kombination der Gleichungen erhält man für den Ersatzwiderstand:
1
1
1
=
+
R ers
R1
R2
R ers = R 1 || R 2 =
R1 R 2
R1 + R 2
Der Kehrwert des Ersatzwiderstandes ist gleich der Summe der Kehrwerte der
Einzelwiderstände.
Für die Teilströme und für das Verhältnis eines Teilstromes zum Gesamtstrom folgt:
I1
R
= 2
I2
R1
Die Teilströme verhalten sich umgekehrt wie die zugehörigen Widerstände.
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I1
R
R2
= ers =
I
R1
R1 + R 2
I2
R
R1
= ers =
I
R2
R1 + R 2
Ein Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom, wie der gegenüber liegende Widerstand
zur Ringsumme der Widerstände.
2.3 Strom- und Spannungsteilerregel, Ersatzwiderstand
Beispiele
Beispiel 1
R2
I2
R1
I
R4
In der Schaltung nach Bild 11 ist mit
Hilfe
R3
a) der Stromteilerregel
U2 3
und
b) der Spannungsteilerregel
der Strom nach dem Widerstand R 2 zu
berechnen.
E
Bild 11
Lösung
Zunächst werden die Widerstände R 1...R 4 zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst:
R ges = R 1 + R 2 R 3 + R 4
= R1 + R 4 +
R2 R3
(R 1 + R 4 ) (R 2 + R 3 ) + R 2 R 3
=
R2 + R3
R2 + R3
(26)
Angetrieben von E fließt durch R ges der Gesamtstrom
I =
E
.
R ges
(27)
Nach der Stromteilerregel gilt für den Teilstrom I 2 :
R3
I2
Widerstand des anderen Zweiges
=
=
I
R2 + R3
Ringwiderstand der Parallelschaltung
Bemerkenswert ist, dass das Stromverhältnis I 2 / I unabhängig von R 1 und R 4 ist !
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I2 =
=
R3
R3
E (R 2 + R 3 )
I =
R2 + R3
R 2 + R 3 (R 1 + R 4 ) (R 2 + R 3 ) + R 2 R 3
E R3
(R 1 + R 4 ) (R 2 + R 3 ) + R 2 R 3
(28)
Nach der Spannungsteilerregel gilt für die Spannung U 23 über der Parallelschaltung R 2 R 3 :
R R
U 23
U
R2 R3
= 23 = 2 3 =
U ges
E
R ges
(R 1 + R 4 ) (R 2 + R 3 ) + R 2 R 3
(29)
Der Strom durch R 2 ergibt sich nach dem Ohmschen Gesetz:
I2 =
U 23
E R3
E R2 R3
=
=
R2
R 2 R ges
(R 1 + R 4 ) (R 2 + R 3 ) + R 2 R 3
(30)
Beispiel 2
Für die Potentiometerschaltung
nach Bild 12 ist mit Hilfe der
Spannungsteilerregel die Abhängigkeit
x=1
R
E
x
x=0
U
RL
UA
UA
= f (x )
U
zu bestimmen.
Bild 12
Lösung
(1-x) R
E
xR
U
RL
UA
Durch Einführen der Koordinate x lässt
sich der Potentiometerwiderstand R in
die beiden Widerstände xR und (1-x) R
aufteilen. Der Verbraucherwiderstand
R L liegt parallel zu Widerstand xR und
bestimmt die Spannungsteilung mit.
Bild 13
14
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Die Spannungsteilerregel liefert
xR R L
UA
U
= A =
,
U ges
U
R ges
(31)
wobei für den Gesamtwiderstand gilt:
R ges = (1 − x ) R + xR R L = (1 − x ) R +
xR R L
xR + R L
(32)
Damit erhält man
UA
x RL
=
=
U
(1 − x ) ( xR + R L )
x
R
1 + x (1 − x )
RL
(33)
Man erkennt, die Höhe von U A hängt außer von der Koordinate x auch vom Verhältnis
R / R L ab.
Beispiel 3
Gegeben ist die Wheatstonesche Brückenschaltung nach Bild 14. Im Zweig CD liegt ein
Anzeigeinstrument mit dem Innenwiderstand
R I . Mit Hilfe der Spannungsteilerregel ist das
Abgleichkriterium zu bestimmen.
C
RX
RN
RI
R1
A
R2
D
B
E
Bild 14
Lösung
Im abgeglichenen Zustand fließt kein Strom durch das Anzeigeinstrument. Die Spannung
U CD = 0 . Die Widerstände R 1 und R 2 werden dann vom gleichen Strom I1 und die
Widerstände R x und R N vom gleichen Strom I 2 durchflossen (Bild 15).
15
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I2
UN
UX
RX
U1
RN
U CD + U1 − U x = 0
U2
UC D
R1
Der Maschensatz liefert
U CD = U x − U1
(34)
R2
I1
E
Bild 15
Nach der Spannungsteilerregel sind
Ux = E
Rx
Rx + RN
und
U1 = E
R1
R1 + R 2
(35)
Die Spannung U CD wird demnach Null, wenn
U x = U1
Rx
R1
=
Rx + RN
R1 + R 2
Rx
R
= 1
RN
R2
(36)
Mit Hilfe von Gl.(36) erfolgt eine Bestimmung des unbekannten Widerstandes R x aus den
bekannten Größen R N und R 1 / R 2 .
Beispiel 4
R1
R3
R2
U1
U2
Gegeben ist die Schaltung nach Bild
16. An den Eingangsklemmen liegt die
Spannung U1 .
Mit Hilfe der Spannungsteilerregel ist
die Spannung U 2 an den Ausgangsklemmen zu bestimmen.
Bild 16
16
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Lösung
An den Ausgangsklemmen ist kein Verbraucher angeschlossen, es liegt Leerlauf vor.
Demzufolge fließt durch R 3 kein Strom, über R 3 tritt kein Spannungsabfall auf, d.h. der
Widerstand R 3 ist für das Verhalten der Schaltung ohne Bedeutung. Die Ausgangsspannung
U 2 tritt auch als Spannungsabfall über R 2 auf (Bild 17).
R1
Für die verbleibende Reihenschaltung
R 1 und R 2 liefert die Spannungsteilerregel:
R3
I3 = 0
R2
U2
U1
U2
U2
R2
=
U1
R1 + R 2
(37)
Bild 17
Beispiel 5
R2
R1
R3
U1
U2
Gegeben ist die Schaltung nach Bild
18. An den Eingangsklemmen liegt die
Spannung U1 .
Mit Hilfe der Spannungsteilerregel ist
die Spannung U 2 an den Ausgangsklemmen zu berechnen.
Bild 18
Lösung
Es gilt zu erkennen, evtl. durch Umzeichnen der
Schaltung gemäß Bild 19, dass die Spannung U1
sowohl an den Eingangsklemmen, als auch über
dem Widerstand R 1 und auch als Gesamtspannung über dem Zweig (R 2 + R 3 ) liegt.
R2
R1
R3
U1
U2
Bild 19
(An einer Parallelschaltung liegt bekanntlich über jedem Zweig die gleiche Spannung !)
17
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Die Spannungsteilerregel ergibt
R3
U2
=
U1
R2 + R3
,
(38)
d.h. der Widerstand R 1 hat keinen Einfluss auf die Spannungsaufteilung.
Beispiel 6
R4
R1
U23
R2
Gegeben ist die Schaltung nach Bild 20.
Mit Hilfe der Spannungsteilerregel ist das
U3
Spannungsverhältnis
zu berechnen.
U
R3
U3
U
Bild 20
Lösung
Es ist zu beachten, dass die Spannungsteilerregel nur für die Reihenschaltung von
Widerständen gilt. Deshalb werden die Widerstände R 2 , R 3 , R 4 zu einem Ersatzwiderstand
zusammengefasst:
R ers = (R 2 + R 3 ) R 4
=
(R 2 + R 3 ) R 4
R2 + R3 + R4
Über diesem Ersatzwiderstand tritt der Spannungsabfall
Spannungsteilerregel liefert:
U 23
R ers
(R 2 + R 3 ) R 4
=
=
U
R 1 + R ers
R 1 (R 2 + R 3 + R 4 ) + (R 2 + R 3 ) R 4
(39)
U 23
auf, für den die
(40)
Bei einer Parallelschaltung liegt bekanntlich über jedem Zweig die gleiche Spannung. D.h.,
die Spannung U 23 liegt also auch über der Reihenschaltung R 2 , R 3 . Die nochmalige
Anwendung der Spannungsteilerregel ergibt
U3
R3
=
U 23
R2 + R3
(41)
18
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Die Kombination der Gln. (40) und (41) ergibt schließlich:
U3
U U
R3 R4
= 23 3 =
U
U U 23
R 1 ( R 2 + R 3 + R 4 ) + (R 2 + R 3 ) R 4
(42)
Beispiel 7
R2
I1
I
Gegeben ist die Schaltung nach Bild 21.
Mit Hilfe der Stromteilerregel sind die
Stromverhältnisse
R1
R3
R4
I1
I2
I2
und
I1
I
Bild 21
zu bestimmen. Außerdem ist der Gesamtwiderstand der Schaltung zu berechnen.
Lösung
Die Stromteilerregel liefert:
R + R4
I1
= 3
I2
R2
(43)
und
I1
Widerstand des anderen Zweiges
=
I
Ringwiderstand der Parallelschaltung
R3 + R4
I1
=
I
R2 + R3 + R4
(44)
R 1 hat keinen Einfluss auf die Stromteilung.
19
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Für den Gesamtwiderstand liest man ab:
R ges = R 1 + R 2 (R 3 + R 4 )
= R1 +
R 2 (R 3 + R 4 )
R2 + R3 + R4
(45)
Beispiel 8
I23
I
R1
R2
Gegeben ist die Schaltung nach Bild 22.
Mit Hilfe der Stromteilerregel ist das
Stromverhältnis
R3
R4
I 23
I
R5
zu bestimmen.
Bild 22
Lösung
I23
I
R2 + R3
R1
R 4||R 5
Bild 23
Die
bekannte
Stromteilerregel
beschreibt die Stromaufteilung bei
der Parallelschaltung zweier Widerstände. Die vorliegende Schaltung
besitzt drei parallele Zweige. Um die
Stromteilerregel anwenden zu können, werden gemäß Bild 23 zunächst
die Widerstände R 4 und R 5 zu
einem Ersatzwiderstand zusammengefasst.
Die Stromteilerregel, angewandt auf die Ersatzschaltung, liefert:
R4 R5
I 23
R4 R5
=
=
I
R 4 R 5 + (R 2 + R 3 )
(R 2 + R 3 ) ( R 4 + R 5 ) + R 4 R 5
(46)
20
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Beispiel 9
R2
I
I1
R1
R4
R5
Gegeben ist die Schaltung nach
Bild 14 und die Spannung U1 . Zu
berechnen sind der Gesamtwiderstand R ges , der Gesamtstrom I
und der Strom I1 .
U1
R3
Bild 24
Lösung
Bei der Berechnung des Gesamtwiderstandes werden zunächst die Widerstände R 4 und R 5
durch einen ersten Ersatzwiderstand
R4 R5
R4 + R5
R 45 = R 4 R 5 =
ersetzt. Anschließend wird dieser Ersatzwiderstand mit den Widerständen R 2 und R 3 zu
einem zweiten Ersatzwiderstand
R ers = R 2 + R 3 +
R4 R5
R4 + R5
(47)
zusammengefasst.
Dieser ergibt zusammen mit R 1 den Gesamtwiderstand
R ges = R 1 R ers =
R 1 [(R 2 + R 3 ) (R 4 + R 5 ) + R 4 R 5 ]
(R 1 + R 2 + R 3 ) (R 4 + R 5 ) + R 4 R 5
(48)
Über das Ohmsche Gesetz erhält man für den Gesamtstrom
I =
U1
.
R ges
(49)
Da die Spannung U1 außer an den Eingangsklemmen auch als Spannungsabfall über R 1
auftritt, gilt für den Zweigstrom
I1 =
U1
R1
,
(50)
d.h., auf I1 haben die Widerstände R 2 , R 3 , R 4 und R 5 keinen Einfluss !
21
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2.4 Messbereichserweiterung
Zu den klassischen Anwendungsbeispielen der Spannungs- und Stromteilerregel gehört die
Messbereichserweiterung eines Instrumentes:
Gegeben sei ein Messgerät, das bei einem Strom von I I = 1 mA (Index I = Instrument)
Endausschlag zeigt und einen Widerstand von R I = 10 Ω besitzt (Bild 25).
Bild 25: Messgerät
Demzufolge beträgt der Spannungsabfall über dem Instrument U I = R I I I = 10 mV. Mit
diesem Messgerät lassen sich also Ströme bis 1 mA und Spannungen bis 10 mV messen.
Das Ziel der Messbereichserweiterung ist es, mit Hilfe von Zusatzwiderständen die
Messbereiche für Spannung und Strom jeweils um den Faktor p zu erweitern, so dass mit dem
Messgerät z. B. Spannungen von 100 V oder Ströme von 10 A gemessen werden können.
Zur Erweiterung des Spannungsmessbereiches wird dem Messwerk ein Vorwiderstand in
Reihe geschaltet (Bild 2), über dem die Spannungsdifferenz U − U I = (p − 1) U I auftritt.
Bild 26: Erweiterung des U-Bereiches
Der erforderliche Vorwiderstand R V wird mit Hilfe der Spannungsteilerregel berechnet:
UI
RI
=
U
RV + RI
(51)
Unter Berücksichtigung von
U = p UI
(52)
erhält man:
R V = (p − 1) R I
(53)
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Zur Erweiterung des Strommessbereiches wird dem Messwerk ein Widerstand (Shunt) parallel
geschaltet (Bild 27).
Bild 27: Erweiterung des I-Bereiches
Der Parallelwiderstand R p wird mit Hilfe der Stromteilerregel berechnet:
Rp
II
=
I
Rp + RI
(54)
Unter Berücksichtigung von
I = p II
(55)
erhält man
Rp =
RI
p −1
(56)
2.5 Überlagerungssatz
Der Überlagerungssatz ermöglicht besonders dann eine sehr effektive Berechnung von
Stromkreisen, wenn eine Schaltung mehrere Spannungsquellen enthält und nur ein
Zweigstrom oder ein Spannungsabfall zu berechnen sind.
Der Überlagerungssatz, das Prinzip der Superposition, ist ein in der Physik (z.B. in der
Mechanik) häufig angewandtes Prinzip. Es besagt, dass sich in einem physikalischen System
die Gesamtwirkung aus der Überlagerung von Teilwirkungen ergibt, die von einzelnen
Ursachen herrühren. Voraussetzung für die Anwendung des Überlagerungssatzes ist, dass
zwischen Ursache (U) und Wirkung (W) ein linearer Zusammenhang besteht:
W = K 1 U 1 + K 2 U 2 + ....
K 1 , K 2 ... Konstanten
(57)
Übertragen auf die Berechnung elektrischer Stromkreise besagt der Überlagerungssatz:
Enthält eine Schaltung mehrere Spannungsquellen, so kann der Strom I x in einem bestimmten
Zweig x als Überlagerung, als vorzeichenbehaftete Summe, von Teilströmen berechnet
werden, die jeweils von einer Spannungsquelle angetrieben werden:
I x = I x ,E1 + I x , E 2 + ...
(58)
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Zur Berechnung eines Teilstromes ersetzt man alle anderen Spannungsquellen bis auf eine
durch Kurzschlüsse. Der Vorteil dieser Methode ist, dass die Berechnung der Teilströme meist
sehr einfach ist. Voraussetzung ist, dass sie Schaltung nur lineare Widerstände enthält, d.h. der
Wert jedes Widerstandes muss konstant (stromunabhängig) sein.
Beispiel: In der vorliegenden Schaltung kann der Zweigstrom I 4 als Überlagerung der
Teilströme I 4,E1 und I 4, E 2 aufgefasst werden:
I 4 = I 4, E1 − I 4, E 2
(59)
Die Teilströme I 4, E1 und I 4, E 2 lassen sich mit Hilfe der Stromteilerregel sofort anschreiben:
I 4,E1 =
E1
R2
⋅
R 1 + R 2 || (R 3 + R 4 ) R 2 + R 3 + R 4
(60)
I 4, E 2 =
E2
R1
⋅
R 2 + R 1 || (R 3 + R 4 ) R 1 + R 3 + R 4
3. Grundstromkreis
Durch das Zusammenschalten eines Generators und eines Verbrauchers entsteht der sog.
Grundstromkreis, s. Bild 28. Das Ersatzschaltbild des Generators besteht aus einer Spannungsquelle mit der Urspannung E und einem Innenwiderstand Ri. Beim Gleichstromgenerator z.B.
entsprechen die Urspannung E der im Anker induzierten Spannung und der Innenwiderstand Ri
dem Wicklungswiderstand der Ankerwicklung. Der Verbraucher wird durch den sog. Außenwiderstand Ra repräsentiert. Auf diesem Grundstromkreis lassen sich, zumindest näherungsweise, alle auch noch so komplizierten Stromkreise der Elektrotechnik und Elektronik
zurückführen. Bei Kenntnis seiner Gesetzmäßigkeiten lassen sich wichtige Schlussfolgerungen
für das Zusammenwirken von elektrischen Energieerzeugern und -verbrauchern ziehen.
Ui
A
Ri
E
+
-
I
Ra
Bild 28:
Schaltbild des Grundstromkreises
U
B
Generator
Verbraucher
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Am Grundstromkreis interessiert neben der Leistungsbilanz vor allem der Zusammenhang
zwischen dem Strom I und der Klemmenspannung U:
Der Maschensatz liefert für den Grundstromkreis
E = Ui + U .
(61)
Am Innenwiderstand Ri tritt der innere Spannungsabfall
Ui = Ri I
auf.
(62)
Die Klemmenspannung U ist identisch mit dem Spannungsabfall am Verbraucherwiderstand Ra:
U = Ra I .
(63)
Damit erhält man aus dem Maschensatz:
I =
E
Ri + Ra
U = E
Ra
Ri + Ra
(64)
Bei der Untersuchung des Zusammenhanges zwischen Klemmenspannung U und Strom I sind
drei Betriebsfälle - Leerlauf, Kurzschluss und Anpassung - von besonderem Interesse.
Mit Ra → ∞ entsteht der Betriebszustand Leerlauf (Bild 29). Es gilt:
I
= 0
U = UL = E
(65)
UL wird als Leerlaufspannung bezeichnet. Sie ist gleich der Urspannung des Generators.
Ri
Ri
Ik
E
+
-
UL
E
+
-
Bild 29:
Betriebsfälle
Leerlauf und Kurzschluss
Mit Ra → 0 entsteht der Betriebszustand Kurzschluss (Bild 29). Es gilt:
I = Ik =
E
Ri
U = 0
(66)
I k wird als Kurzschlussstrom bezeichnet. Er hängt allein von den Parametern des Generators
ab. Bei gegebener Urspannung E wird der Kurzschlussstrom durch den GeneratorInnenwiderstand begrenzt.
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In der Nachrichtentechnik ist der Betriebszustand Anpassung von großer Bedeutung. Dieser
ist durch R a = R i gekennzeichnet. Für den Strom und die Klemmenspannung gilt hierbei:
IA =
I
E
= k
2 Ri
2
UA =
UL
E
=
2
2
(67)
Bild 30 zeigt die Strom-Spannungskennlinien des Grundstromkreises. Strom I und Klemmenspannung U werden sowohl durch den Generator als auch durch den Verbraucher bestimmt.
Gemäß Maschensatz gilt für die Klemmenspannung des Generators:
(68)
U = E − Ri I = UL − Ri I
Im U = f ( I ) − Diagramm stellt diese Gleichung eine fallende Gerade dar, die umso stärker
fällt, je größer der Innenwiderstand Ri ist. Ihr Schnittpunkt mit der Ordinate stellt die
Leerlaufspannung UL dar, ihr Schnittpunkt mit der Abszisse ist der Kurzschlussstrom Ik.
U
R a steigend
UL
U = Ra I
Arbeitspunkt
Bild 30:
U = U L -R i I
R i steigend
U = f ( I ) − Kennlinien von
Generator und Verbraucher
Ik
I
Die Klemmenspannung U des Generators ist andererseits identisch mit dem Spannungsabfall
am Verbraucherwiderstand Ra
U = Ra I .
(69)
Diese Beziehung stellt im U = f ( I ) − Diagramm eine Ursprungsgerade dar (Bild 30). Ihr
Anstieg wächst mit Ra. Der Schnittpunkt beider Geraden ergibt den Arbeitspunkt des
Grundstromkreises. Man liest z.B. ab, dass mit wachsender Belastung, d.h. mit steigendem
Strom I auch der innere Spannungsabfall Ui zunimmt und damit die Klemmenspannung U
absinkt.
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Die Verhältnisse im Grundstromkreis werden entscheidend durch das Widerstandsverhältnis
Ra/Ri bestimmt. Dies wird besonders deutlich, wenn man die Beziehungen für den Strom I und
die Klemmenspannung U in normierter Form anschreibt:
I
Ik
=
Ra
Ra / Ri
U
=
=
UL
Ri + Ra
1 + Ra / Ri
Ri
1
=
Ri + Ra
1 + Ra / Ri
(70)
Beide Funktionen sind in Bild 31 dargestellt.
1
U
_
UL
I
_
Ik
U ,_
I
_
UL I k
0,5
0
0
1
4
2
Bild 31:
Verhalten von Strom und
Klemmenspannung
R
_a
Ri
6
Leistungsbilanz und Wirkungsgrad
Im Grundstromkreis lassen sich drei Leistungen definieren: Die gesamte im Generator
erzeugte elektrische Leistung entspricht dem Produkt von Urspannung und Strom:
Pg = E I =
E2
E2
1
=
Ri + Ra
Ri 1 + Ra / Ri
(71)
Im Kurzschluss ( R a = 0) erhält man die sog. Kurzschlussleistung, die größte Leistung, die
der Generator erzeugen kann:
Pk
E2
=
Ri
(72)
Für die an den Verbraucher Ra abgegebene Leistung gilt:
Pa = U I =
E2
Ri
Ra / Ri
(73)
[1 + R a / R i ]2
Im Generator-Innenwiderstand Ri entsteht die Verlustleistung
Pi = U i I = R i I 2 =
E2
Ri
1
[1 + R a / R i ] 2
.
(74)
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Der Wirkungsgrad η wird sinnvollerweise als das Verhältnis von im Verbraucher genutzter
Leistung zur Gesamtleistung definiert:
η =
Pa
Ra / Ri
=
1+ Ra / Ri
Pg
(75)
Bild 32 zeigt die Abhängigkeiten der abgegebenen Leistung und des Wirkungsgrades vom
Widerstandsverhältnis Ra/Ri.
In der elektrischen Energietechnik, insbesondere bei der elektrischen Energieübertragung, ist
das Ziel, die erzeugte Leistung möglichst vollständig an den Verbraucher abzugeben, also ein
hoher Wirkungsgrad. Nach der Beziehung für η muss man Ra >> Ri anstreben.
In der elektrischen Informationstechnik spielt dagegen der Wirkungsgrad keine Rolle. Die
elektrischen Leistungen liegen im mW...µW-Bereich. Hier kommt es darauf an, die
Information möglichst sicher von der Signalquelle (Generator) zum Signalempfänger
(Verbraucher) zu übertragen. Dies ist dann der Fall, wenn die maximale Leistung an den
Verbraucher abgegeben wird ( Pa → Pa ,max ). Über
d Pa
= 0
d (R a / R i )
erhält man, dass dies bei Ra = Ri, bei Anpassung, der Fall ist (Bild 32). Für die sog. verfügbare Leistung erhält man:
E2
=
4 Ri
Pa ,max
(76)
Interessant ist, dass bei Anpassung der Wirkungsgrad 50% beträgt.
1
η
Pa
_
Pa,max
Pa
η,_
Pa,max
0,5
0
0
1
2
4
R
_a
Ri
6
Bild 32:
Verhalten von abgegebener Leistung und
Wirkungsgrad
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