Skript Wahrsre - Universität Siegen

Rumpfskript
Elementare
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prof. Dr. Ralf Runde
Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen
Vorbemerkung
Vorbemerkung
Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern ist auch nur ein
Rumpf skript. Als solches dient es sowohl zur Vorbereitung auf die nächste Vorlesung als auch zur Nachbereitung aller schon gehörten Vorlesungen. Dies beinhaltet
als natürliche Konsequenz den Besuch der Vorlesungen: Ein Akt, der unerlässlich
ist, wenn man nicht nur Statistik verstehen, sondern die Klausur auch bestehen will.
Als Ergänzung zum Skript sind die vorlesungsbegleitenden Materialien im Internet erhältlich.
Es schadet auch nicht unbedingt, mal in dem ein oder anderen Statistikbuch zu
schmökern.
Doch auch das allein reicht noch nicht aus, denn das Ziel ist schließlich das Lösen
von statistischen Problemen. Um den Studierenden hierzu das erforderliche Training
zu ermöglichen, werden Übungsveranstaltungen angeboten, deren Besuch ebenfalls
unbedingt notwendig ist.
Was letztendlich nachdrücklich empfohlen wird: Nach Möglichkeit ganz, ganz viele
Aufgaben rechnen.
gez. Prof. Dr. Ralf Runde
1
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Literaturliste
5
1 Grundbegriffe
6
1.1
Zufallsexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Ergebnisraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Ereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Spezielle Ereignisse
7
2.1
Elementarereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Sicheres Ereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Unmögliches Ereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4
Komplementärereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5
Durchschnitt von zwei Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6
Durchschnitt von n Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.7
Vereinigung von zwei Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.8
Vereinigung von n Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.9
Differenz von zwei Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.10 Teilereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.11 Rechenregeln für Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.12 Disjunkte Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.13 Paarweise Disjunkte Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2
Inhaltsverzeichnis
3 Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
12
3.1
Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2
Axiome von Kolmogoroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3
Laplace-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.4
Laplace’sche Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4 Wahrscheinlichkeit von speziellen Ereignissen
14
4.1
Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses . . . . . . . . . . . .
14
4.2
Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses . . . . . . . . . . .
14
4.3
Wahrscheinlichkeit des Teilereignisses . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.4
Wahrscheinlichkeit durch Zerlegung eines Ereignisses . . . . . . . . .
14
4.5
Additionssatz für zwei Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.6
Additionssatz für drei Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.7
Wahrscheinlichkeit der Differenz zweier Ereignisse . . . . . . . . . . .
16
5 Bedingte Wahrscheinlichkeit
17
5.1
Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5.2
Multiplikationssatz für zwei beliebige Ereignisse . . . . . . . . . . . .
17
5.3
Totale Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5.4
Formel von Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
6 Unabhängigkeit von Ereignissen
19
6.1
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
6.2
Unabhängigkeit von n Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
6.3
Multiplikationssatz für zwei unabhängige Ereignisse
19
. . . . . . . . .
3
Inhaltsverzeichnis
6.4
Multiplikationssatz für n unabhängige Ereignisse . . . . . . . . . . .
7 Kombinatorik
20
21
7.1
Fakultät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
7.2
Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
7.3
Anordnungsmöglichkeiten/Permutationen . . . . . . . . . . . . . . .
21
7.4
Auswahlmöglichkeiten mit Berücksichtigung der Reihenfolge . . . . .
22
7.5
Auswahlmöglichkeiten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge . . . .
22
7.6
Urnenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4
Literaturliste
Weiterführende Literatur zum Rumpfskript:
Bamberg, G.; Baur, F. (2002): Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg Verlag, München.
Bleymüller, J.; Gehlert, G.; Gülicher, H. (2002): Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 13. Auflage, Vahlen Verlag, München.
Mosler, K.; Schmid, F. (2004): Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, Springer Verlag, Berlin.
Pflaumer, P.; Heine, B.; Hartung, J. (2001): Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften: Induktive Statistik, Oldenbourg Verlag, München.
Weiterführende populärwissenschaftliche Literatur:
Beck-Bornholdt, H.-P.; Dubben, H.-H. (2001): Der Hund, der Eier legt - Erkennen
von Fehlinformationen durch Querdenken, Rowohlt, Reinbek.
Krämer, W. (2000): So lügt man mit Statistik, Piper Verlag, München.
Randow, G. von (1992): Das Ziegenproblem - Denken in Wahrscheinlichkeiten, Rowohlt, Reinbek.
Scheid, H. (1996): Zufall: Kausalität und Chaos in Alltag und Wissenschaft, BITaschenbuchverlag, Mannheim.
Singh, S. (2003): Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels, 8. Auflage, Deutscher Taschenbuch Verlag, München.
5
Grundbegriffe
1
1.1
Grundbegriffe
Definition (Zufallsexperiment)
Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen Vorgang, der nach einer ganz
bestimmten Vorschrift ausgeführt wird, der beliebig oft wiederholbar ist und dessen
Ergebnis vom Zufall abhängt, d.h. im voraus nicht eindeutig bestimmt werden kann.
1.2
Definition (Ergebnis)
Jeder einzelne der bei einem Zufallsexperiment möglichen Ausgänge, die sich gegenseitig ausschließen, heißt Ergebnis des Zufallsexperiments.
Symbol: ωi
1.3
Definition (Ergebnisraum)
Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnisraum.
Symbol: Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }.
Bemerkung:
Es ist auch n = ∞ möglich.
1.4
Definition (Ereignis)
Jede beliebige Teilmenge des Ergebnisraumes Ω heißt Ereignis.
Symbol: A, B, C, u.s.w.
Abbildung:
6
Spezielle Ereignisse
2
2.1
Spezielle Ereignisse
Definition (Elementarereignis)
Ein Ereignis A heißt Elementarereignis, wenn es nur ein einziges Ergebnis wi enthält.
2.2
Definition (Sicheres Ereignis)
Ein Ereignis A heißt sicheres Ereignis, wenn gilt:
A = Ω.
D.h. A tritt sicher ein.
2.3
Definition (Unmögliches Ereignis)
Ein Ereignis A heißt unmögliches Ereignis, wenn gilt:
A = ∅.
D.h. A tritt sicher nicht ein.
Bemerkung:
∅ bezeichnet die leere Menge.
2.4
Definition (Komplementärereignis)
Gegeben sei ein Ereignis A. Dann heißt A das Komplementärereignis von A, wenn
gilt:
A = {ω|ω 6∈ A}.
D.h. A tritt ein, wenn A nicht eintritt.
Bemerkung:
A=A
7
Spezielle Ereignisse
Abbildung:
2.5
Definition (Durchschnitt von zwei Ereignissen)
Gegeben seien zwei Ereignisse A und B. Dann heißt A ∩ B der Durchschnitt von A
und B, wenn gilt:
A ∩ B = {ω|ω ∈ A und ω ∈ B}.
D.h. A ∩ B tritt ein, wenn sowohl A als auch B eintritt.
Abbildung:
2.6
Definition (Durchschnitt von n Ereignissen)
Gegeben seien n Ereignisse A1 , . . . , An . Dann heißt
Tn
i=1 Ai
der Durchschnitt der
Ereignisse, wenn gilt:
n
\
Ai = {ω|ω ∈ A1 und ω ∈ A2 und . . . und ω ∈ An }.
i=1
D.h.
Tn
i=1 Ai
tritt ein, wenn alle n Ereignisse A1 , . . . , An gleichzeitig eintreten.
Bemerkung:
Tn
i=1 Ai = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An
8
Spezielle Ereignisse
2.7
Definition (Vereinigung von zwei Ereignissen)
Gegeben seien zwei Ereignisse A und B. Dann heißt A ∪ B die Vereinigung von A
und B, wenn gilt:
A ∪ B = {ω|ω ∈ A oder ω ∈ B}.
D.h. A ∪ B tritt ein, wenn mindestens eins der Ereignisse A oder B eintritt.
Abbildung:
2.8
Definition (Vereinigung von n Ereignissen)
Gegeben seien n Ereignisse A1 , . . . , An . Dann heißt
Sn
i=1 Ai
die Vereinigung der
Ereignisse, wenn gilt:
n
[
Ai = {ω|ω ∈ A1 oder ω ∈ A2 oder . . . oder ω ∈ An }.
i=1
D.h.
Sn
i=1 Ai
tritt ein, wenn mindestens eins der Ereignisse A1 , . . . , An eintritt.
Bemerkung:
Sn
i=1 Ai = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An
2.9
Definition (Differenz von zwei Ereignissen)
Gegeben seien zwei Ereignisse A und B. Dann heißt A\B die Differenz von A und
B (sprich: A ohne B), wenn gilt:
A\B = {ω|ω ∈ A und ω 6∈ B}.
D.h. A\B tritt ein, wenn A, aber nicht B eintritt.
9
Spezielle Ereignisse
Bemerkung:
A\B = A ∩ B
Abbildung:
Bemerkung:
A=Ω\A
2.10
Definition (Teilereignis)
Gegeben seien zwei Ereignisse A und B. Dann heißt A Teilereignis von B, wenn gilt:
A ∩ B = A und A ∪ B = B.
D.h. wenn A eintritt, tritt auch B ein.
Man schreibt dafür A ⊆ B (sprich: A ist enthalten in B).
Abbildung:
2.11
Satz (Rechenregeln für Ereignisse)
Assoziativgesetze:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C
10
Spezielle Ereignisse
Distributivgesetze:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Regeln von de Morgan:
A∪B =A∩B
A∩B =A∪B
2.12
Definition (Disjunkte Ereignisse)
Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt (unvereinbar), wenn gilt:
A ∩ B = ∅.
D.h. A und B können nicht beide gleichzeitig eintreten.
Abbildung:
2.13
Definition (Paarweise Disjunkte Ereignisse)
Gegeben seien n Ereignisse A1 , . . . , An . Die Ereignisse heißen paarweise disjunkt
(unvereinbar), wenn für alle i 6= j mit 1 ≤ i, j ≤ n gilt:
Ai ∩ Aj = ∅.
D.h. von den n Ereignissen A1 , . . . , An können nicht zwei gleichzeitig eintreten.
11
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
3
3.1
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
Definition (Wahrscheinlichkeit)
Bei einem Zufallsexperiment soll die Sicherheit bzw. Unsicherheit für das Eintreten
eines bestimmten Ereignisses A ⊆ Ω durch eine Maßzahl P(A) beschrieben werden.
Diese Maßzahl nennt man Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.
Bemerkung:
P für ”Probability”.
3.2
Definition (Axiome von Kolmogoroff )
A. N. Kolmogoroff (1903−1987) hat für Wahrscheinlichkeiten folgende widerspruchsfreien Grundsätze (Axiome) angegeben, auf die die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung aufbaut:
1.) Die Wahrscheinlichkeit P(A), die jedem Ereignis A ⊆ Ω zugeordnet wird, ist
eine reelle Zahl mit
0 ≤ P(A) ≤ 1.
2.) Für die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses Ω gilt:
P(Ω) = 1.
3.) Für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von n paarweise disjunkten Ereignissen gilt:
P(
n
[
Ai ) =
i=1
n
X
P(Ai ).
i=1
Bemerkung: Es ist auch n = ∞ möglich.
12
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
3.3
Definition (Laplace-Experiment)
Falls bei einem Zufallsexperiment mit endlich vielen Ergebnissen alle Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten können, spricht man von einem
Laplace-Experiment.
3.4
Definition (Laplace’sche Wahrscheinlichkeit)
Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A bei einem Laplace-Experiment gilt:
P(A) =
|A|
Anzahl der f ür A günstigen F älle
=
.
|Ω|
Anzahl aller möglichen F älle
Man nennt sie Laplace’sche Wahrscheinlichkeit.
Bemerkung:
|A| bezeichnet die Anzahl der Elementarereignisse in A. Alternativ schreibt man
auch: #A.
13
Wahrscheinlichkeit von speziellen Ereignissen
4
Wahrscheinlichkeit von speziellen Ereignissen
Die in diesem Kapitel aufgeführten Sätze lassen sich aus den Axiomen von
Kolmogoroff (3.2) folgern.
4.1
Satz (Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses)
Für die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses gilt:
P(∅) = 0.
Bemerkung:
Wenn ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit Null hat, folgt daraus nicht, daß es das
unmögliche Ereignis ist.
4.2
Satz (Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses)
Ist A das Komplementärereignis von A, so gilt für die Wahrscheinlichkeit:
P(A) = 1 − P(A).
4.3
Satz (Wahrscheinlichkeit des Teilereignisses)
Ist A Teilereignis von B, also A ⊆ B, so gilt für die Wahrscheinlichkeit:
P(A) ≤ P(B).
4.4
Satz (Wahrscheinlichkeit durch Zerlegung eines Ereignisses)
Seien A und B zwei beliebige Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit:
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
14
Wahrscheinlichkeit von speziellen Ereignissen
4.5
Satz (Additionssatz für zwei Ereignisse)
Ist A ∪ B die Vereinigung zweier beliebiger Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeiten:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Abbildung:
4.6
Satz (Additionssatz für drei Ereignisse)
Ist A ∪ B ∪ C die Vereinigung dreier beliebiger Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit:
P(A∪B ∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B ∩C)+P(A∩B ∩C).
Abbildung:
15
Wahrscheinlichkeit von speziellen Ereignissen
4.7
Satz (Wahrscheinlichkeit der Differenz zweier Ereignisse)
Ist A\B die Differenz zweier beliebiger Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit:
P(A\B) = P(A) − P(A ∩ B).
Bemerkung:
Falls B ⊆ A gilt: P(A\B) = P(A) − P(B).
16
Bedingte Wahrscheinlichkeit
5
5.1
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition (Bedingte Wahrscheinlichkeit)
Oft interessiert man sich bei einem Zufallsvorgang für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Voraussetzung, daß ein bestimmtes Ereignis B bereits
eingetreten ist. Man schreibt dafür P(A|B) und spricht von der bedingten Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung B (kurz: P von A gegeben B).
Sie wird definiert durch
P(A|B) =
P(A ∩ B)
,
P(B)
wobei P(B) > 0 vorausgesetzt ist.
5.2
Satz (Multiplikationssatz für zwei beliebige Ereignisse)
Sind A und B zwei beliebige Ereignisse mit P(A) > 0 bzw. P(B) > 0, so folgt für die
Wahrscheinlichkeit, daß sowohl A als auch B eintritt (Ereignis A ∩ B) unmittelbar
aus 5.1:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
5.3
bzw.
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B).
Satz (Totale Wahrscheinlichkeit)
Seien A1 , . . . , An paarweise disjunkte Ereignisse mit
Sn
i=1 Ai
= Ω. Dann gilt für die
Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses B:
P(B) =
n
X
P(B|Ai ) · P(Ai ).
i=1
17
Bedingte Wahrscheinlichkeit
5.4
Satz (Formel von Bayes)
Seien A1 , . . . , An paarweise disjunkte Ereignisse mit
Sn
i=1 Ai
= Ω. Weiter sei B ein
beliebiges Ereignis mit P(B) > 0. Dann gilt:
P(B|Aj ) · P(Aj )
P(Aj |B) = Pn
i=1 P(B|Ai ) · P(Ai )
,
j = 1, . . . , n.
18
Unabhängigkeit von Ereignissen
6
6.1
Unabhängigkeit von Ereignissen
Definition (Unabhängigkeit von zwei Ereignissen)
Die Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des einen Ereignisses nicht von dem Eintreten oder Nicht-Eintreten des anderen
Ereignisses abhängt. Das ist genau dann der Fall, wenn gilt:
P(A|B) = P(A|B) und P(B|A) = P(B|A) mit 0 < P(A), P(B) < 1
oder vereinfacht
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
6.2
Definition (Unabhängigkeit von n Ereignissen)
Die Ereignisse A1 , A2 , . . . , An (n ≥ 2) heißen genau dann (stochastisch) unabhängig,
wenn für alle Kombinationen von zwei und mehr Ereignissen gilt:
P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai ) · P(Aj ) für alle 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = P(Ai ) · P(Aj ) · P(Ak ) für alle 1 ≤ i, j, k ≤ n,i 6= j 6= k
..
.
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ) = P(A1 ) · P(A2 ) · . . . · P(An )
6.3
Satz (Multiplikationssatz für zwei unabhängige Ereignisse)
Sind A und B zwei unabhängige Ereignisse mit P(A) > 0 bzw. P(B) > 0, so gilt für
die Wahrscheinlichkeit, daß sowohl A als auch B eintritt (Ereignis A ∩ B):
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
19
Unabhängigkeit von Ereignissen
6.4
Satz (Multiplikationssatz für n unabhängige Ereignisse)
Sind A1 , . . . , An unabhängige Ereignisse mit P(Ai ) > 0, i = 1, . . . , n, so gilt für die
Wahrscheinlichkeit, daß alle n Ereignisse eintreten:
P(
n
\
i=1
Ai ) =
n
Y
P(Ai ).
i=1
20
Kombinatorik
7
7.1
Kombinatorik
Definition (Fakultät)
n! (sprich: n Fakultät) ist die Abkürzung für das Produkt der ersten n aufeinander
folgenden positiven ganzen Zahlen:
n! = 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n für n ∈ N.
Bemerkung:
Es gilt 0! = 1.
7.2
Definition (Binomialkoeffizient)
Der Ausdruck nk (sprich: n über k) ist eine Abkürzung für den Quotienten
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1)
n
n!
=
=
für k, n ∈ N, k ≤ n,
k
k!
k!(n − k)!
und heißt Binomialkoeffizient.
Bemerkung:
Es gilt nn =
7.3
(a)
n
0
= 1.
Satz (Anordnungsmöglichkeiten/Permutationen)
n verschiedene Dinge
lassen sich (mit Berücksichtigung der Reihenfolge) auf
n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 = n!
verschiedene Arten anordnen (Anzahl der Permutationen).
(b)
n Dinge, von denen jeweils n1 , n2 , . . . , nr gleich sind
lassen sich auf
n!
n1 ! · n2 ! · . . . · nr !
verschiedene Arten anordnen (Anzahl der Permutationen).
21
Kombinatorik
7.4
Satz (Auswahlmöglichkeiten mit Berücksichtigung der Reihenfolge)
Aus n verschiedenen Dingen werden k Stück mit Berücksichtigung der Reihenfolge
ausgewählt. Dann beträgt die Anzahl der verschiedenen Auswahlmöglichkeiten:
(a)
beim Ziehen ohne Zurücklegen
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
für k ≤ n.
(b)
beim Ziehen mit Zurücklegen
nk
für beliebiges k.
7.5
Satz (Auswahlmöglichkeiten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge)
Aus n verschiedenen Dingen werden k Stück ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
ausgewählt. Dann beträgt die Anzahl der verschiedenen Auswahlmöglichkeiten:
(a)
beim Ziehen ohne Zurücklegen
n
n!
=
k
k! · (n − k)!
für k = 1, . . . , n.
(b)
beim Ziehen mit Zurücklegen
n+k−1
k
für beliebiges k.
22
Kombinatorik
7.6
Satz (Urnenmodelle)
Eine Urne enthalte N Kugeln, von denen M schwarz und die restlichen N − M weiß
sind. Dabei gelte 1 ≤ M ≤ N . Aus dieser Urne werden n Kugeln zufällig ausgewählt.
pk sei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den n ausgewählten Kugeln genau k schwarze befinden. Die Wahrscheinlichkeit lautet:
(a)
beim Ziehen ohne Zurücklegen
pk =
M
k
N −M
n−k
N
n
für 0 ≤ k ≤ min(n, M ); 0 ≤ n − k ≤ N − M ; n ≤ N .
(b)
beim Ziehen mit Zurücklegen
k n
M
N − M n−k
pk =
·
·
k
N
N
für k = 0, 1, . . . , n; n beliebig.
23