Spin und Statistik

Falk May und Thomas Beyer
Spin und Statistik
06.12.2004
6. Spin und Statistik
Vortrag von F. May und T. Beyer
zum Seminar Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
im WS 04/05
Kap. I:
Kap. II:
Wiederholung: Der Spin
- Definitionen
- Kopplung zweier Spin-1/2-Teilchen
Identische Teilchen in der QM
Kap. III:
Der Permutationsoperator
- Eigenschaften
- Symmetrisierer/Antisymmetrisierer
Kap. IV:
Das Symmetrisierungspostulat
- symmetrische Observablen
- symmetrische/antisymmetrische Zustände
Kap. V:
Das Spin-Statistik-Theorem
- Fermionen und Bosonen
Kap. VI:
Systeme von N identischen Teilchen
- Das Pauli-Prinzip
- Fermi/Dirac- und Bose/Einstein-Statistik
Kap. VII:
Bose-Einstein-Kondensate
- Superfluidität des Helium
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
S.1
06.12.2004
Spin und Statistik
Falk May und Thomas Beyer
1. Wdh: Spin des Elektrons
Experimentelle Nachweise und Definitionen
Der Spin ist eine intrinsische (d.h. körperfeste) Eigenschaft zahlreicher Teilchen, ebenso wie zum
Beispiel deren Ruhemasse. Im Experiment hat man schon früh den Elektronenspin, mit dem wir
uns nun im folgenden beschäftigen wollen, nachgewiesen. Er zeigt sich an vielen physikalischen
Phänomenen, z.B. den magnetischen Eigenschaften zahlreicher Stoffe, insbesondere
ferromagnetischer Metalle. Andere Nachweise des Spins haben wir schon im Stern-GerlachVersuch mit den Silberatomen, beim Zeeman-Effekt und der Feinstruktur der Spektrallinien
(atomare Spektrallinien zeigen innerhalb der Linien Komponenten mit annähernd gleicher
Frequenz, die jedoch mit ausreichender Auflösung klar unterschieden werden können)
kennengelernt.
Zu der vorher untersuchten Quantisierung der Bahnvariablen der fundamentalen Variablen r und p,
deren Observablen R und P im Bahnzustandsraum r wirken, mussten wir nun noch Spinvariablen
hinzufügen, deren Spinoperator S folgende Postulate erfüllen muss:
1. S ist ein Drehimpuls, dessen drei Komponenten als Observablen die Vertauschungsregel
(I.1)
[Sx ,S y ] = ÂÑSz (zyklisch)
erfüllen.
2. S wirkt in einem neuen Raum, dem Spinzustandsraum S , in dem S2 und (z.B.) Sz einen
v.S.k.O. (vollständigen Satz kommutierender Observablen) bilden: der Raum wird also durch die
Menge der gemeinsamen Eigenzustände |s,m\ von S2 und Sz aufgespannt:
S2 |s,m\ = s(s+1)Ñ2 |s,m\
(I.2)
(I.3)
Sz |s,m\ = mÑ |s,m\
mit s ganz- oder halbzahlig und m = -s, ..., +s. S hat die Dimension (2s+1).
3. Der Zustandsraum des Teilchens ist nun das Tensorprodukt aus Bahnzustandsraum und
Spinzustandsraum:
(I.4)
= r
S
und aus diesem Grund vertauschen alle Spinobservablen mit Bahnobservablen. Um einen
Teilchenzustand vollständig zu beschreiben, ist also eine Linearkombination notwendig, die
ihrerseits Tensorprodukte je eines Ketvektors aus r und S sind.
4. Das Elektron ist ein Spin-1/2-Teilchen, womit die Dimension des Raumes (2s+1) = 2 ist. Sein
D
inneres magnetisches Moment ist durch MS = 2 ÅÅÅÅÑBÅÅ S gegeben, wobei die 2 für das
gyromagnetische Moment steht, das beim Elektron (wie wir bereits wissen) immer gleich zwei ist.
Um sich den Spin vorstellen zu können, müssten wir annehmen, dass das Teilchen, in dem Fall
unser Elektron, eine räumliche Ausdehnung besitzt. Die Rotation um seine Achse würde dann den
inneren Drehimpuls ergeben. Wie beim Kreisel müsste man nun dafür nicht drei, sondern sechs
Variablen festlegen, nämlich die drei Ortsvariablen sowie drei Winkel für die Orientierung im
Raum. Unsere Theorie hier ist aber anders: Wir behandeln das Elektron weiterhin als einen
S.2
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
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Massenpunkt (dessen Lage durch drei Ortskoordinaten festgelegt ist), und der Spindrehimpuls wird
nicht aus aus irgendeiner Orts- oder Impulsvariablen abgeleitet. Daher besitzt der Spin kein
klassisches Analogon.
Eigenschaften des Spins 1/2
Der Spinzustandsraum ist, wie gesagt, zweidimensional. Als Basis nehmen wir das
Orthonormalsystem {|+\, |–\}, das aus gemeinsamen Eigenvektoren von S2 und Sz besteht:
S2 |±\ = ÅÅÅÅ34 Ñ2 |±\ ,
(I.5)
1
(I.6)
Sz |±\ = ± ÅÅÅÅ2 Ñ|±\,
X+|–\ = 0 ,
X+|+\ = X–|–\ = 1 ,
(I.7)
|+\X+| + |–\X–| = 1 .
Somit wird der allgemeinste Spinzustand durch einen beliebigen Vektor in S beschrieben:
(I.8)
|c\ = c+ |+\ + c– |–\
mit c+ und c– œ . In Analogie zum Drehimpuls werden die Operatoren S = Sx ±  S y definiert,
deren Wirkung auf Die Basisvektoren gegeben ist durch
S+ |+\ = 0 ,
S+ |–\ = Ñ |+\ ,
S– |+\ = Ñ |–\ ,
(I.9)
S– |–\ = 0 .
Jeder Operator in S kann darüber hinaus in der {|+\, |–\}-Basis als 2×2-Matrix dargestellt
werden:
(I.10)
S = ÅÅÅÅÑ2 s ,
ij 0 1 yz
, sy =
wobei s die Menge der Pauli-Matrizen bezeichnet, die gegeben sind durch sx =
k1 0 {
ij 0 –Â yz
i 1 0 yz
und sz = j
und die die bekannten Eigenschaften haben, dass
k 0 {
k 0 –1 {
s2x = s2y = s2z = 1 ,
sx s y + s y sx = 0 ,
[sx ,s y ] = 2 Â sz ,
s x s y = Â sz
sowie Sp sx = Sp s y = Sp sz = 0 und det sx = det s y = det sz = –1 .
Addition zweier Spins 1/2
Um später auf ein N-Teilchen-System gekoppelter Teilchen mit Spin zu kommen, werden wir
zunächst einmal ein System aus 2 Spin-1/2-Teilchen betrachten (z.B. Elektronen oder Silberatome
im Grundzustand), deren Spinoperatoren S1 und S2 sind. Der Zustandsraum eines solchen Systems
ist das Tensorprodukt der einzelnen Spinzustände der beiden Teilchen, und damit vierdimensional.
Eine Orthonormalbasis könnte zum Beispiel, in Analogie zu unserer vorherigen Betrachtung, die
folgende sein:
{|e1 , e2 \} = {|+,+\, |+,–\, |–,+\, |–,–\}.
(I.11)
2
2
Diese Vektoren sind wieder die Eigenzustände unserer vier Obsvervablen S1 , S1 z , S2 und S2 z (bei
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S.3
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denen es sich nun um Erweiterungen auf den Tensorproduktraum von den ursprünglich in den
einzelnen Spinräumen definierten Observablen handelt),
S21 |e1 , e2 \ = S22 |e1 , e2 \ = ÅÅÅÅ34 Ñ2 |e1 , e2 \ ,
(I.12)
1
(I.13)
S1 z |e1 , e2 \ = e1 ÅÅÅÅ2 Ñ|e1 , e2 \ ,
1
S2 z |e1 , e2 \ = e2 ÅÅÅÅ2 Ñ|e1 , e2 \ .
(I.14)
Der Gesamtspin S des Systems wird definiert durch
(I.15)
S = S1 +S2 ,
2
das wiederum ein Drehimpuls ist. Der Operator S ist das skalare Quadrat davon,
S2 = S21 + S22 + 2S1 S2 mit
(I.16)
1
S1 S2 = ÅÅÅÅ2 (S1+ S2 – + S1 – S2+ ) + S1 z S2 z .
Wir können nun eine neue Basis aus Eigenvektoren konstruieren, die nun aus dem neuen Satz von
kommutierenden Observablen {S21 , S22 , S2 , Sz } entsteht. Somit nennen wir unsere Basis nun |S,M\
und die neuen Observablen erfüllen die Gleichungen
S21 |S,M\ = S22 |S,M\ = ÅÅÅÅ34 Ñ2 |S,M\ ,
S2 |S,M\ = S(S+1)Ñ2 |S,M\ ,
(I.17)
Sz |S,M\ = MÑ|S,M\ .
S ist ein Drehimpuls, und daher muss S positiv ganz- oder halbzahlig sein. M liegt in ganzzahligen
Schritten zwischen -S und +S. Desweiteren rufen wir uns den Operator
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(I.18)
S |S,M\ = Ñ SHS + 1L – MHM 1L |S,M±1\
zurück ins Gedächtnis.
Beispiel: Kopplung zweier Spins 1/2
Mit diesen Voraussetzungen können wir uns nun folgendes Beispiel betrachten:
Ein System von zwei Spin-1/2-Teilchen hat die möglichen Gesamtspinzustände 1 und 0. Das
berechnet man, wie wir aus dem vorletzten Referat wissen, durch Abzählen der Spinzustände in
ganzen Schritten von (S1 +S2 ) abwärts bis |S1 –S2 |, also in unserem Fall von ( ÅÅÅÅ12 + ÅÅÅÅ12 ) = 1 abwärts bis
| ÅÅÅÅ12 – ÅÅÅÅ12 | = 0. Es ergeben sich also zwei Unterräume für den Spin, nämlich (S=1) und (S=0), die
wir getrennt betrachten.
Der Unterraum (S=1):
In diesem Unterraum finden wir ein Spintriplett, da M von –S bis +S läuft. Für M=1 ist der
Ketvektor |+,+\ der einzige Eigenvektor von Sz , und wegen der Vertauschungsregel von Sz und S2
ist dieser auch Eigenvektor von S2 . Wir können die Phase des Vektors nun so wählen, dass
|1,1\ = |+,+\ .
(I.19)
Um die anderen Zustände des Tripletts zu finden, wenden wir einfach den "Absteigeoperator"
(I.18) an, um M in kleinen Schritten abzusenken:
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
S– |1,1\ = Ñ 1 H1 + 1L – 1 H1 –1L |1,1–1\
è!!!!
= Ñ 2 |1,0\,
also mit (I.19) dann
1
|1,0\ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ S– |+,+\.
(I.20)
è!!!!
Ñ
2
Um unseren Zustand |1,0\ jetzt explizit in unserer oben genannten Basis ausdrücken zu können,
erinnern wir uns an die Definition des Gesamtspins (I.15), woraus folgt, dass
S– = S1 – + S2 – .
(I.21)
S.4
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Damit erhalten wir
1
|1,0\ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ (S1 – +S2 – ) |+,+\
è!!!!
Ñ
2
Ñ
2
1
= ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ [Ñ|–,+\ + Ñ|+,–\]
è!!!!
1
= ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ [|–,+\ + |+,–\]
è!!!!
(I.22)
2
Wir wenden unseren Operator S– erneut auf |1,0\ an, um zu unserer dritten S-Entartung M= –1 zu
gelangen:
1
ÅÅÅÅÅ S– |1,0\
|1,–1\ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!
2
Ñ
1
1
ÅÅÅÅÅ (S1 – + S2 – ) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ [|–,+\ + |+,–\]
= ÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!
è!!!!
Ñ 2
1
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ [S1 – |–,+\
2Ñ
2
+ S1 – |+,–\ + S2 – |–,+\ + S2 – |+,–\]
=
Wie wir aus (I.9) wissen, geben der 1. und 4. Term Null, sodass der gesuchte Zustand wird zu
1
|1,–1\ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ [Ñ|–,–\ + Ñ|–,–\]
2Ñ
= |–,–\.
(I.23)
Auf dieses Ergebnis hätten wir natürlich auch wieder durch Überlegen kommen können, die
Rechnung ermöglicht uns jedoch, dass der bei |1,1\ festgelegte Phasenfaktor gleich dem
Phasenfaktor bei |1,0\ und |1,–1\ ist.
Der Unterraum (S=0):
Für S=0 tritt nur ein Zustand auf, da M nur den Wert 0 annehmen kann. Die Bedingung für unseren
Zustand |0,0\ liegt nun darin, dass er orthogonal zu den drei anderen Zuständen |1,M\ ist.
Da er orthogonal zu |1,1\ = |+,+\ und |1,–1\ = |–,–\ ist, muss er eine Linearkombination von |+,–\
und |–,+\ sein:
|0,0\ = a |+,–\ + b |–,+\.
Dieser Vektor ist normiert für
X0,0|0,0\ = 1 = » a »2 + » b »2 .
(I.24)
Er muss nun noch zum letzten der drei Vektoren aus dem anderen Unterraum orthogonal sein, und
somit muss sein Skalarprodukt mit |1,0\ verschwinden:
1
ÅÅÅÅÅ (a + b)
X0,0|1,0\ = 0 = ÅÅÅÅ
è!!!!
2
Ø a = –b .
Mit (I.24) sind a und b damit bis auf einen Phasenfaktor bestimmt:
1
a = –b = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ‰Â¿ mit ¿ e
è!!!!
2
Wir nutzen die Phasenfreiheit, wählen ¿ = 0 und erhalten
1
ÅÅÅÅÅ [|+,–\ – |–,+\]
|0,0\ = ÅÅÅÅ
è!!!!
2
(I.25)
Wir haben somit die vier Vektoren |S,M\ auf einfache Weise berechnet.
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2. Systeme identischer Teilchen
Zwei Teilchen sind identisch, wenn alle inneren Eigenschaften von ihnen übereinstimmen, so z.B.
Masse, Spin, Ladung etc.: mit keinem Experiment könnte man diese Teilchen unterscheiden. So
sind beispielsweise alle Elektronen des Universums gleich, oder alle Protonen oder alle
Wasserstoffatome. Aus dieser Definition folgt schon einmal die wichtige Eigenschaft, dass ein
System mit zwei identischen Teilchen seine Eigenschaften und seine Zeitentwicklung nicht ändert,
wenn die beiden Teilchen ihre Rollen tauschen, wie wir später noch durch den Kommutator einer
Vertauschungsoperation mit dem Zeitentwicklungsoperator sehen werden.
Identische Teilchen in der klassischen Mechanik
In der klassischen Mechanik ist dies kein besonderes Problem, dieser Spezialfall identischer
Teilchen wird wie der allgemeine Fall behandelt. Das sich jedes Teilchen entlang seiner
wohldefinierten Bahnkurve bewegt, können wir es während der zeitlichen Entwicklung genau
beobachten. Nehmen wir ein System von zwei identischen Teilchen:
r1 (t) und v1 (t) beschreiben Teilchen eins, und r2 (t) und v2 (t) Teilchen zwei. Wir geben nun noch
einen Anfangszustand vor
r1 (t0 ) = r0 , r2 (t0 ) = r0 ' , v1 (t0 ) = v0 und v2 (t0 ) = v0 ' .
Wir nehmen nun an, dass die durch diese Anfangsbedingungen definierte Lösung der
Bewegungsgleichungen lautet:
r1 (t) = r(t) , r2 (t) = r'(t) .
Da beide Teilchen nun identisch sind, wird das System nicht geändert, wenn sie ihre Rollen
tauschen. Lagrange- und Hamiltonfunktion sind demnach invariant unter Austausch der Indizes 1
und 2. Folglich lauten die Anfangsbedingungen der ausgetauschten Teilchen dann
r1 (t0 ) = r0 ' , r2 (t0 ) = r0 , v1 (t0 ) = v0 ' und v2 (t0 ) = v0
und die Lösungen werden zu
r1 (t) = r'(t) , r2 (t) = r(t) ,
wobei r'(t) und r(t) dieselben Funktionen sind wie in der Lösung davor. Da beide Beschreibungen
auf die gleichen physikalischen Vorhersagen führen, sind sie äquivalent. Es genüg daher, uns nur
eine dieser beiden Beschreibungen des Systems anzuschauen, die andere (die ja äquivalent ist)
können wir ignorieren. Die Zahlen 1 und 2 verhalten sich wie innere Eigenschaften der Teilchen,
die sie unterscheiden. Wir wissen zu jedem Zeitpunkt genau, an welcher Stelle und mit welcher
Geschwindigkeit sich jedes der beiden Teilchen befindet.
Identische Teilchen in der Quantenmechanik
Ganz anders in der Quantenmechanik. Wir wissen, dass wir quantenmechanischen Teilchen keine
wohldefinierten Bahnen zuweisen können. Sind die zu den Teilchen gehörenden Wellenfunktionen
auch zur Zeit t0 räumlich komplett voneinander getrennt, so werden sie sich im Laufe der Zeit
S.6
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
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06.12.2004
überlappen können. Dabei verliert man sozusagen die "Spur" der Teilchen, betrachtet man nämlich
ein räumliches Gebiet, in dem beide Teilchen eine nichtverschwindende
Aufenthaltswahrscheinlichkeit haben, so lässt sich im Anschluss nicht mehr feststellen, welches das
Teilchen mit der Numerierung 1 und welches das Teilchen mit der Numerierung 2 ist. Natürlich
gibt es Sonderfälle derart, dass die Wellenpakete stets vollkommen getrennt bleiben, doch das soll
uns hier im weiteren nicht weiter beschäftigen, da man daraus keine weiteren Erkenntnisse
gewinnen kann. Dass ein System auf verschiedenen Wegen seinen Anfangszustand verlassen kann,
wollen wir nun am Beispiel des Stoßes zweier Teilchen zeigen.
Vor dem Stoß sind die Wellenfunktionen vollständig voneinander getrennt, während des Stoßes
überlappen sich die Wellenpakete. Nach dem Zusammentreffen hat der Bereich, in dem
Aufenthaltswahrscheinlichkeit ungleich Null ist, die Form einer Kugelschale (wie wir aus der
Sommerfeldschen Ausstrahlungsbedingung wissen), deren Radius mit der Zeit anwächst. Weist
man nun in einem Detektor ein Teilchen nach, so kann man nicht mehr feststellen, ob es anfangs
zum einen oder anderen Wellenpaket gehörte, man weiß nur, wo das andere Teilchen (aufgrund der
Impulserhaltung) hingeflogen sein müsste.
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3. Permutationsoperatoren
Zwei-Teilchen-System
Wir untersuchen nun zunächst Operatoren, die auf dem Gesamtzustandsraum des betrachteten
Systems defniert sind und deren Wirkung die Vertauschung der Teilchen des Systems ist. Sei
wieder ein 2-Teilchen-System gegeben, wobei die Teilchen zwar gleichen Spin haben, aber nicht
identisch sein müssen; ihre Zustandsräume müssen jedoch isomorph sein.
Definition des Permutationsoperators P21
Wir wählen eine Basis {|ui \} im Zustandsraum (1) des Teilchens (1). Beide Teilchen haben
denselben Spin, (2) ist isomorph zu (1) und kann von derselben Basis aufgespannt werden. Im
Zustandsraum des Systems bilden wir durch Tensorprodukt die Basis
{|1:ui ;2:u j \}.
(III.1)
Die Reihenfolge der Vektoren in einem Tensorprodukt spielt keine Rolle, daher ist
|1:ui ;2:u j \ = |2:u j ;1:ui \.
(III.2)
Als Permutationsoperator definieren wir nun denjenigen linearen Operator, der die Teilchen
vertauscht, d.h. Teilchen (1) in die Basis des Teilchens (2) bringt und umgekehrt:
P21 |1:ui ;2:u j \ = |2:ui ;1:u j \ = |1:u j ;2:ui \.
(III.3)
Aus dieser Gleichung folgt sofort die erste der
Eigenschaften von P21
HP21 L2 = 1,
(III.4)
der Operator ist also zu sich selbst invers. Desweitern ist er hermitesch:
P21 † = P21 .
(III.5)
In der {|1:ui ;2:u j \} Basis lauten die Matrixelemente von P21 nämlich
(III.6)
X1:ui' ;2:u j' | P21 |1:ui ;2:u j \ = X1:ui' ;2:u j' |1:u j ;2:ui \ = di' j d j' i
†
und diejenigen von P21 :
X1:ui' ;2:u j' | P21 † |1:ui ;2:u j \ = HX1 : ui ; 2 : u j » P21 » 1 : ui' ; 2 : u j' \L*
= HX1 : ui ; 2 : u j » 1 : u j' ; 2 : ui' \L*
= dij' d ji'
(III.7)
†
Also ist jedes Matrixelement von P21 gleich dem entsprechenden in P21 , woraus die Hermitezität
(III.5) folgt. Aus dieser und der Eigenschaft (III.4) folgt dann auch, dass P21 unitär ist:
P21 † P21 = P21 P21 † = 1.
(III.8)
Aus der Hermitezität (III.5) folgt des Weiteren, dass die Eigenwerte von P21 reell sind. Damit ihre
Quadrate auch gleich 1 sind (III.4), sind diese Eigenwerte einfach +1 und –1. Die Eigenvektoren
zum Eigenwert +1 heißen symmetrisch, diejenigen zu –1 heißen antisymmetrisch:
P21 |yS \ = +|yS \, P21 |y A \ = –|y A \.
S.8
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
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Symmetrisierer und Antisymmetrisierer
Wir betrachten die beiden Operatoren
(III.10a)
S = ÅÅÅÅ12 (1 + P21 ) und
1
A = ÅÅÅÅ2 (1 – P21 ).
(III.10b)
2
2
Sie sind Projektoren, denn aus (III.4) folgt S = S und A = A. Mit (III.5) gilt auch, dass S† = S und
A† = A. S und A projizieren auf orthogonale Unterräume, da mit (III.4) SA = AS = 0 gilt. Die
Unterräume sind komplementär, da die Definition (III.10) ergibt, dass S + A = 1 (Achtung: dies gilt
nicht mehr für N>2).
Für einen beliebigen Vektor |y\ des Zustandsraums ist S|y\ ein symmetrischer und A|y\ ein
antisymmetrischer Vektor, weil mit (III.4) folgt, dass
P21 S|y\ = S|y\ und
P21 A|y\ = –A|y\.
(III.11)
Daher bezeichnet man S als den Symmetrisierer (Symmetrizer) und A als den Antisymmetrisierer
(Anti-Symmetrizer).
Die Wirkung auf Observablen ist
P21 O(1,2) P21 † = O(2,1),
wobei O(2,1) diejenige Observable ist, die sich aus O(1,2) durch Vertauschen aller Indizes 1 und 2
ergibt. Eine Observable heißt symmetrisch, wenn gilt
(III.12)
OS (2,1) = OS (1,2)
und nach (III.10) erfüllen alle symmetrischen Observablen die Relation
P21 OS (1,2) = OS (1,2) P21 ,
wonach sie mit dem Permutationsoperator vertauschen:
[OS (1,2), P21 ] = 0.
(III.13)
Systeme mit beliebiger Teilchenzahl
In einem System mit N Teilchen, die wir vorerst als unterschiedlich annehmen, lassen sich N!
Permutationsoperatoren finden (wobei einer der Einheitsoperator ist). Deren Eigenschaften sind
etwas komplizierter als die von P21 . Untersuchen wir dafür kurz den Fall N = 3.
Definition der Permutationsoperatoren
Wir konstruieren wieder unsere Basis des Zustandsraums, diesmal aus drei nicht unbedingt
identischen Teilchen mit gleichem Spin bestehend:
{|1:ui , 2:u j , 3:uk \}.
(III.14)
In diesem Fall gibt es also 3! = 6 Permutationsoperatoren, die wir schreiben als
P123 , P312 , P231 , P132 , P213 , P321 .
(III.15)
Die Wirkung eines dieser Operatoren Pnpq (mit n,p,q beliebige Permutationen der Zahlen 1,2,3) auf
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S.9
06.12.2004
Spin und Statistik
die Basisvektoren ist nach Definition
Pnpq |1:ui , 2:u j , 3:uk \ = |n:ui , p:u j , q:uk \,
also zum Beispiel
P231 |1:ui , 2:u j , 3:uk \ = |2:ui , 3:u j , 1:uk \
= |1:uk , 2:ui , 3:u j \ .
Falk May und Thomas Beyer
(III.16)
(III.17)
Eigenschaften der Permutationsoperatoren
Die Permutationsoperatoren bilden eine Gruppe, wie sich leicht am Beispiel der Operatoren
(III.15) zeigen lässt:
1. Der Einheitsoperator ist P123 .
2. Das Produkt zweier Permutationsoperatoren ist wieder ein Permutationsoperator:
z.B. ist
P312 P132 = P321 ,
(III.18)
wie wir kurz zeigen.
P312 P132 |1:ui , 2:u j , 3:uk \
= P312 |1:ui , 3:u j , 2:uk \
= P312 |1:ui , 2:uk , 3:u j \
= |3:ui , 1:uk , 2:u j \
= |1:uk , 2:u j , 3:ui \
(III.19)
= P321 |1:ui , 2:u j , 3:uk \.
3. Jeder Permutationsoperator besitzt ein Inverses, das wieder ein Permutationsoperator ist. Zum
Beispiel ist P-1
312 = P231 , weil P312 P231 = P123 ist, wie man analog zu 2. zeigen kann. Zu beachten
ist an dieser Stelle, dass Permutationsoperatoren nicht miteinander vertauschen, da z.B. gilt
P132 P312 = P213 , was zusammen mit (III.18) zeigt, dass der Kommutator nicht verschwindet.
Parität
Eine Transposition ist eine Permutation, bei der nur zwei Teilchen vertauscht werden. So sind die
letzten drei Operatoren von (III.15) Transpositionsoperatoren. Transpositionsoperatoren sind
hermitesch, jeder ist zu sich selbst invers, so dass sie auch unitär sind (Beweis ist analog zu (III.4),
(III.5) und (III.8)).
Nun ist jeder Permutationsoperator ein Produkt von Transpositionsoperatoren (z.B. P312 =
P132 P213 ). Auch wenn die Zerlegung nicht eindeutig ist, so ist die Anzahl an Transpositionen eines
Permutationsoperators immer gleich, man nennt sie die Parität. Die ersten drei Operatoren in
(III.15) haben demnach gerade Parität (da sie zwei Transpositionen beinhalten), die letzten drei
ungerade Parität (da sie nur eine Transposition beinhalten, somit selbst Transpositionsoperatoren
sind, wie bereits festgestellt). Für beliebiges N gibt es genausoviele gerade wie ungerade
Permutationen.
Als Produkte von unitären Transpositionsoperatoren sind Permutationsoperatoren ebenfalls unitär.
Schließlich noch ist die Parität der Adjungierten eines Permutationsoperators die gleiche wie die
des Permutationsoperators selbst, da diese die Transpositionen in umgekehrter Reihenfolge
durchführt werden.
S.10
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
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06.12.2004
Totale Symmetrie/Antisymmetrie
Da Permutationsoperatoren für N>2 nicht vertauschen, kann man keine Basis aus gemeinsamen
Eigenvektoren dieser Operatoren konstruieren. Es gibt aber Vektoren, die Eigenvektoren aller
Permutationsoperatoren sind.
Wir bezeichnen mit Pa einen beliebigen Permutationsoperator eines Systems aus N Teilchen mit
gleichem Spin, wobei a eine beliebige Permutation unserer N Zahlen ist. Ein Vektor |yS \, für den
Pa |yS \ = |yS \
(III.20)
gilt, heißt total symmetrisch. Entsprechend erfüllt ein total antisymmetrischer Vektor die Beziehung
Pa |yA \ = ea |yA \
(III.21)
mit ea = +1 für Pa gerade Permutation
und ea = –1 für Pa ungerade Permutation.
Nun bildet die Menge der total symmetrischen Vektoren den Unterraum S des Zustandsraums ,
und die Menge der total antisymmetrischen den Unterraum A . Wir betrachten nun wieder den
Symmetrisierer und Antisymmetrisierer
1
ÅÅÅ a Pa ,
(III.22a)
S = ÅÅÅÅ
N!
1
ÅÅÅ a ea Pa .
(III.22b)
A = ÅÅÅÅ
N!
S und A sind die Projektoren auf S und A , wie wir nun zeigen werden. Sie sind hermitesch
S† = S,
(III.23a)
†
(III.23b)
A = A,
was man einsieht, wenn man sich überlegt, dass die Bildung der Adjungierten einfach einem
Wechsel der Reihenfolge der Terme in unserer Summe ist. Es gilt außerdem für einen beliebigen
Permutationsoperator Pa0
1
1
Pa0 S = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ a Pa0 Pa = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ a P b = S
(III.24a)
N!
N!
1
1
Pa0 A = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ a ea Pa0 Pa = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ e
e P = ea0 A
(III.24b)
N!
N! a0 a b b
mit Pa0 Pa = P b und ea0 ea = e b .
Mit dieser Erkenntnis folgt auch, dass
1
1
S2 = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ a Pa S = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ a S = S (aus (III.24a)),
(III.25a)
N!
N!
1
1
2
2
A = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ a ea Pa A = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ a ea A = A (aus (III.24b)).
(III.25b)
N!
N!
Außerdem gilt AS = SA = 0:
1
1
ÅÅÅ a ea Pa S = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ S a ea = 0,
(III.26)
AS = ÅÅÅÅ
N!
N!
weil die ea zur Hälfte +1 und –1 sind.
Also sind S und A Projektoren, deren Wirkung auf einen beliebigen Vektor |y\ des Zustandsraums
einen total symmetrischen oder total antisymmetrischen Vektor ergeben:
Pa0 S|y\ = S|y\,
Pa0 A|y\ = ea0 A|y\.
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S.11
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4. Das Symmetrisierungspostulat
Physikalische Operatoren in Systemen von N identischen Teilchen sind symmetrisch
Nachdem wir nun das Handwerkszeug besitzen, wollen wir uns das Symmetrisierungspostulat der
Quantenmechanik anschauen. Zunächst jedoch einige Vorbemerkungen :
Sinnvolle Observablen, mit denen wir ein Stystem von identischen Teilchen beschreiben wollen,
müssen symmetrisch unter Vertauschung der Teilchen sein. Operatoren, die eines dieser Teilchen
auszeichnen sind unphysikalisch, da ja alle identische Teilchen in der QM absolut ununterscheidbar
sind. Hinzu kommt dass die Bornsche Interpretation keine genauen Voraussagen über das
Verhalten eines einzelnen Teilchens zulässt. Die Aussagen der QM sind
Wahrscheinlichkeitsaussagen, und nur auf eine große Zahl identisch präparierter Teilchen
anwendbar, es macht daher keinen Sinn ein Teilchen auszuzeichnen.
Beispiele von Obeservablen in einem System von 3 identischen Teilchen, das heißt
m1 = m2 = m3 sowie q1 = q2 = q3 und auch s1 = s2 = s3 also gleiche Masse, Ladung und Spin
sind :
Schwerpunkt
1
RS = ÅÅÅÅ
ÅÅ
M
3
i=1 mi
Ri = ÅÅÅÅ13 HR1 + R2 + R3L
alle haben die selbe Masse : 1/3 M
Gesamtimpuls
P = P1 + P2 + P3 = m H v1 + v2 + v3 L
Gesamtspin
S = S1 + S2 + S3
elektrostatische Abstoßungsenergie
1
1
1
W = q2 * I ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M
»R1 -R2 »
»R2 -R3 »
»R1 -R3 »
alle haben ja die gleiche Ladung q.
Wie man sieht sind alle Observablen symmetrisch unter Vertauschung der Teilchen.
Wenn ich bsp.weise in RS die Teilchen 1 und 2 Vertausche, erhalte ich die Summe in anderer
Reihenfolge,
es passiert also nichts mit meiner Observablen.
Im zweiten Beispiel ändert eine Vertauschung der Teilchen wieder nichts, da alle die gleiche Masse
haben.
Analoges gilt für den Spin. Die Abstoßungsenergie ist ebenfalls symmetrisch, es kommt nur auf
Abstände an.
Ein weiteres Beispiel ist der Hamiltonoperator eines Atoms mit Z Protonen und Elektronen, wobei
S.12
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wir uns in das Ruhesystem des schweren Kernes setzen :
H=‚
Z
i=1
P i
Ze
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ - ‚
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ + ‚
ÅÅÅÅÅÅÅÅeÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 me
i=1 Ri
i < j »Ri -R j »
2
Z
2
2
Wobei wir Spinabhägige Terme und relativistische Korrekturen vernachlässigen wollen da sie klein
sind.
Der erste Term beschreibt die kinetische Energie der Elektronen der zweite die Anziehung durch
den Kern, der dritte die elektrostatische Abstoßung der Elektronen untereinander, wobei wir nur i<j
summieren und so z (z-1 Terme erhalten), um keine Wechselwirkung doppelt zu zählen.
Auch dieser Hamiltonoperator ist symmetrisch unter Vertauschung, wie man schnell sieht.
Physikalische Zustände sind entweder symmetrisch oder antisymmetrisch
Betrachten wir nun der einfachheit halber ein System aus 2 identischen Teilchen, so gilt mit dem
Operator p, der die beiden Teilchen vertauscht:
p O p-1 = O
für alle Observablen O, da sie symmetrisch sind. (siehe Kapitel 2 )
Außerdem gilt aber für Eigenzustände y des Operators zum Eigenwert E (Entartung sei
ausgeschlossen)
Oy= E y
oder da p-1 p = 1
O p-1 p y = E y
wenden wir nun p von links auf beiden Seiten an, so folgt:
-1
p O p p y = p E y da aber O symmetrisch ist, gilt:
O p y = E p y das heißt, dass mit y auch p y Eigenzustand des Operators zum selben Eigenwert
E ist
und daher proportional zu y sein muss, da wir Entartung ausgeschlossen
hatten.
wobei z aber +1 oder -1 sein muss, da nur dies die möglichen Eigenwerte
p y = zy
von p sind.
Das ist gleichbedeutend damit, dass der Zustand y total symmetrisch oder total antisymmetrisch ist.
Zeitentwicklung der symmetrischen oder antisymmetrischen Zustände
Könnte nun die Symmetrie (oder Antisymmetrie ) eines solchen Zustandes über die Zeit verloren
gehen ?
Dazu betrachten wir den Zeitentwicklungsoperator
U = exp@- ÅÅÅÅÑi H Ht - t0 L].
Wir wissen, dass der Hamilton Operator H (wie jeder andere physikalische Operator) unter p
unverändert bleibt:
[p , H D = 0
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Ist nun » yH t0 L \ ein symmetrischer oder antisymmetrischer Vektor, dann ist es auch » yH tL \ mit t
> t0 , denn
der Zeitentwicklungsoperator U vertauscht auch mit dem Permutationsoperator p.und lässt so die
Symmetrie invariant. Das sieht man, wenn man die exponential Funktion entwickelt :
Ht-to L
exp@- ÅÅÅÅÑi H Ht - t0 L] = 1 - ÅÅÅÅÑi H t - t0 L H - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅ H 2 ....
2Ñ
2
Da [p , H D = 0 gilt auch sofort [p , H n D =
n-1
r=0
H r @ p , H D H n-r-1 = 0. ö [ p , U ] = 0
(Diese Formel hatten wir in Theo III aus dieser induziert : [A,BC]=[A,B]C + B [A,C])
Ob ich zuerst Vertausche und dann zeitlich entwickle oder andersrum ist egal:
Für alle physikalisch sinnvollen Zustände gilt also : einmal (anti)symmetrisch immer
(anti)symmetrisch !
Das Symmetrisierungspostulat
Wenn ein System aus mehreren identischen Teilchen besteht so werden seine Observablen
durch Operatoren beschrieben, die symmetrisch unter Vertauschung der Teilchen sind.
Physikalisch sinnvolle Zustände müssen entweder antisymmetrisch oder symmetrisch
bezüglich Vertauschungen der Teilchen sein.Verhalten sich die Zustände antisymmetrisch so
nennt man die Teilchen Fermionen, sind sie symmetrisch so nennt man sie Bosonen.
Zustände die weder symmetrisch noch antisymmetrisch sind, können nicht physikalisch sein,
genau wie Überlagerungen zwischen symmetrischen und antisymmetrischen Zuständen.
Kurzgefasst gilt mit einer Permutation pa wobei a für eine beliebige Zahlenreihenfolge z.b. 132
(Vertauschung vom dritten und zweiten Teilchen) für die Zustände » y \ folgendes:
p » y\ = » y \
p » y \ = H-1Lp » y \
Permutation.
S.14
dann handelt es sich um Bosonen.
dann handelt es sich um Fermionen. Dabei war H-1Lp das Vorzeichen der
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5. Das Spin-Statistik-Theorem
Fermionen, Bosonen und das Spin-Statistik-Theorem
Das Symmetrisierungspostulat teilt die in der Natur vorkommenden Teilchen in zwei verschiedene
Klassen ein, die folgende emprische Regel befolgen:
Teilchen mit halbzahligen Spin (Elektronen, Protonen etc) verhalten sich wie Fermionen
und Teilchen mit ganzzahligem Spin (Photonen, Mesonen etc ) wie Bosonen.
Dies ist die Aussage des Spin-Statistik-Theorems, das auf M.Fierz und W.Pauli zurückgeht, aber
erst in der
Qunatenfeldtheorie bewiesen wird. Es kann als Folgerung von allgemeineren Hypothesen
gewonnen werden, die sich jedoch auch als falsch erweisen könnten: die Entdeckung z.b eines
Bosons mit halbzahligem Spin bleibt möglich.
Schluss von elementaren Fermionen und Bosonen auf zusammengesetzte Teilchen
Weiß man, wie sich Elementarteilchen verhalten, so kann man daraus folgern wie sich "größere"
Teilchen die aus diesen zusammengesetzt sind verhalten: Vertauscht man zwei identische "große"
Teilchen so passiert das gleiche, wie wenn man alle Elementarteilchen des ersten mit denen des
zweiten Vertauschen würde.
Beide "großen" Teilchen bestehen aber aus den gleichen Elemtarteilchen, sodass sie sich unter
Vertauschung insgesamt symmetrisch verhalten, wenn sie entweder nur aus ("Elementar"-)Bosonen
bestehen, und/oder eine gerade Zahl von ("Elementar"-)Fermionen beinhalten, dann gäbe eine
Vertauschung -> H-1L2 n = 1 auch keinen Vorzeichenwechsel.
Da up-und down-Quarks spin 1/2 haben folgt, dass Proton und Neutron Fermionen sind:
sie bestehen beide aus insgesamt 3 dieser Quarks.
Zudem handelt es sich bei Kernen mit gerader Zahl von Nukleonen ("Massenzahl" A) um Bosonen,
da die Protonen und Neutronen jeweils spin 1/2 haben. Beispiel dafür:
Helium mit 2 Protonen und 2 Neutronen sowie 2 Elektronen : 4 He ist Boson
: 3 He ist Fermion.
Isotop des Helium mit nur 1 Neutron, 2 Protonen, 2 e(Auf diese Isotope kommen wir später zurück; sie verhalten sich bei tiefen Temperaturen total
unterschiedlich, obwohl ihre chemischen Eigenschaften gleich sind.)
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Beispiele von Fermionen und Bosonen
Fermionen
Teilchen
Elektron
Postitron
up-Quark
donw-Quark
strange-Quark
Proton
Neutron
Wismut
Bosonen
Photon
Higgsboson
Pionen
Heliumkern
S.16
Symbol
Ladung[e]
Spin
ee+
u
d
s
p
n
-1
+1
+2/3
-1/3
-1/3
1
0
83
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
9/2
0
0
+-1,0
2
1
0
0
0
209
Bi
g
H
p+-0
a
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6. Systeme von N identischen Teilchen
System aus zwei identischen Spin 1/2 Teilchen also Fermionen:
Die Wellenfunktion der Relativbewegung (nachdem wir uns in den Schwerpunkt gesetzt haben)
sieht aus wie beim Wasserstoffatom:
”
ya, l, m H r L = Ra H r L Yl, m H q, f L
”
÷÷” ÷÷”
mit der Relativkoordinate r = r2 - r1
Die Spinwellenfunktionen sind mit Clebsch-Gordon-Koeffizienten zum Gesamtspin S = s1 + s2
gekoppelt:
» SM\ =
m1 ,m2
H s m1 , s m2 » S M L » s m1 \ » s m2 \
Ein Austausch der beiden Teilchen kommt einer Spiegelung des Systems am Ursprung gleich:
wir wissen aber wie die Wellen, bzw Spinfunktionen darauf reagieren:
p : ya, l, m H x L ö ya, l, m H- x L = H-1Ll ya, l, m H x L
» S M \ ö H-1L2 s - S » S M \
gesehen).
(haben wir im letzten Vortrag gesehen)
(haben wir im vorletzten Vortrag
Macht also insgesamt mit s = 1 ê 2 bei der Vertauschung ein H-1L2 * 1ê2 - S + l = H-1L1 -S + l .
In unserem Beispiel aus Kapitel 1 sind die Produktspin Zustände im Triplett mit S = 1 :
» 1,1\ = »+,+\
1
» 1,0\ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ( »+,-\ + »-,+\ )
è!!!!
» 1,-1\ = »-,-\
2
Sie folgen der allgemeinen Regel H-1L2 s -S = H-1L1-S = H-1L0 = 1 und sind symmetrisch unter
Vertauschung:
Für den ersten und den dritten ist das klar, der mittlere ist dank dem + in der Mitte symmetrisch:
vertauscht man die Plus und Minuszeichen steht die Summe nur anderherum da.
Es handelt sich um ein Fermionensystem also muss die Vertauschung zweier Teilchen ein
Minuszeichen bringen,
sie ist eine ungerade Permutation da sie nur eine Transposition enthält.
Diese Spintripletts können also nur mit ungeradem relativen Drehimpuls l = 1, 3 , 5 ... auftreten.
Nur dann ist H-1L1 -S + l = H-1Ll = H-1L und das Minuszeichen folgt.
Dagegen gilt für den Singulett Zustand mit S = 0 der nicht entartet ist:
1
» 0,0\ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ( »+,-\ - »-,+\ )
è!!!!
2
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Auch er folgt der allgemeinen Regel H-1L2 s -S = H-1L1-S = H-1L1 = -1 ist daher antisymmetrisch;
Das sieht man, wenn man die beiden Teilchen vertauscht :
1
1
p» 0,0\ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ p( »+,-\ - »-,+\ ) = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ( »-,+\ - »+,-\ ) = -» 0,0\
è!!!!
è!!!!
2
2
Das Spin Singulett kann also nur mit geradem relativem Drehimpuls l = 0, 2 , 4 ... vorkommen,
damit der Austausch der beiden Teilchen wieder ein Miunszeichen ergibt.
Konstruktion der physikalischen Zustände im N identische Teilchen System
Nach diesem instruktiven Beispiel, das uns zeigt dass nicht alle Zustände in solchen Systemen
existieren dürfen, weil das Symmetrisierungspotulat es verhindert, wollen wir nun allgemein die
Konstruktion der physikalischen Zustände für ein System aus N identischen Teilchen
nachvollziehen:
1.) Nummeriere die N Teilchen willkürlich durch, und konstruiere den Produkt Zustand » u \
1
2.) Sind die Teilchen Bosonen, so wende den Symmetrisierer S = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ
N!
Handelt es sich um Fermionen, den Antisymmetrisierer
1
A = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ
N!
a
a
pa
an,
H-1Lpa pa
3.) Normiere den so erhaltenen Vektor
Beispiel am System aus zwei identischen Teilchen
Ein Teilchen befinde sich im ("Einteilchen"-) Zustand »f\ , das andere in »c\.
Diese beiden Zustände seien zunächst verschieden.
1.) Wir nummerieren folgendermaßen: Das Teilchen in »f\ erhält die 1 das andere die Nummer 2.
Die Konstruktion des Produkt-Kets ergibt also: » u \ = » 1 : f ; 2 : c \
Das heißt: Teilchen 1 in seinem Zustand f und teilchen 2 in seinem Zustand c.
1
2.) Sind die Teilchen Bosonen, so müssen wir Symmetrisieren mit S = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ a pa = ÅÅÅÅ12 (1 + p21 )
N!
denn bei 2 Teilchen gibts nur die Vertauschung p21 oder die Identität (p12 ) , die ja auch eine
"Permutation" ist.
Das liefert für Bosonen:
ÅÅÅÅ12 (1 + p21 ) » 1 : f ; 2 : c \ = ÅÅÅÅ12 ( » 1 : f ; 2 : c \ + » 1 : c ; 2 : f \ )
1
Für Fermionen müssen wir antisymmetrisieren mit A = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ a H-1Lpa pa = ÅÅÅÅ12 H1 - p21 L
N!
Hier tritt das Minuszeichen auf, weil eine Vertauschung von 2 Teilchen genau eine
Transposition ist.
ÅÅÅÅ12 (1 - p21 ) » 1 : f ; 2 : c \ = ÅÅÅÅ12 ( » 1 : f ; 2 : c \ -
S.18
»1: c ; 2 :f \ )
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3.) Diese Zustände sind im allgemeinen noch nicht normiert. Nimmt man aber an, dass »f\ und »c\
orthogonal, und
è!!!!
selbst schon normiert sind, muss man einfach den Faktor 1/2 durch 1/ 2 ersetzen: der so
erhaltene Zustand, in
dem nun (irgendeins der beiden) im Zustand »f\ und das andere in »c\ ist sieht dann so aus:
Bosonen:
Fermionen:
1
ÅÅÅÅÅ ( » 1 : f ; 2 : c \ +
» f ; c \ = ÅÅÅÅ
è!!!!
»f;c\ =
2
1
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅÅ
è!!!!
2
»1: c ; 2 :f \ )
( »1:f ; 2 : c \ - »1: c ; 2 :f \ )
Nehmen wir nun an, dass die beiden ("Einzel"-) Zustände gleich sind, also Teilchen 1 und 2 beide
in »f\ .
Dann ist » u \ = » 1 : f ; 2 : f\ , das heißt der Zustand ist schon symmetrisch, denn:
ÅÅÅÅ12 (1 + p21 ) » 1 : f ; 2 : f \ = ÅÅÅÅ12 ( » 1 : f ; 2 : f\ + » 1 : f ; 2 : f \ ) = » 1 : f ; 2 : f \
Dies ist also der physikalische Zustand in dem sich das 2 Bosonensystem befindet.
Handelt es sich um Fermionen, so müssen wir antisymmetrisieren :
ÅÅÅÅ12 (1 - p21 ) » 1 : f ; 2 : f \ = ÅÅÅÅ12 ( » 1 : f ; 2 : f \ -
» 1:f; 2 :f \ ) = 0
Es gibt also keine Möglichkeit, dass sich die beiden Fermionen im selben Zustand aufhalten.
Da sich laut Spin-Statistik Theorem Elektronen (s=1/2) wie Fermionen verhalten gilt diese Regel
insbesondere für Elektronen und ist als Pauli Prinzip bekannt. Dazu später mehr.
Verallgemeinerung von 3 auf N Teilchen
Aus der Betrachtung von 3 identischen Teilchen wollen wir auf N identische Teilchen schließen:
Seien also 3 Teilchen in den ("Einzel"-)Zuständen »f\ »c\ und »w\.
Wir nummerieren der Reihenfolge nach und bilden den Produkt Zustand
» u \ = » 1 : f ; 2 : c ; 3 : w\
a) Es handelt sich um Bosonen, dann muss Symmetrisiert werden, es gibt 3! = 6 Permutationen :
1
S » u \ = ÅÅÅÅ
Å ( » 1 : f ; 2 : c ; 3 : w\ + » 1 : w ; 2 : f ; 3 : c\ + » 1 : c ; 2 : w ; 3 : f\
3!
+ » 1 : f ; 2 : w ; 3 : c\ + » 1 : c ; 2 : f ; 3 : w\ + » 1 : w ; 2 : c ; 3 : f\ )
è!!!!
Sind die 3 Einzel Zustände orthonormal so ist die Normierung einfach 1/ 6 statt 1/6.
Sind zwei der 3 Einzelzustände gleich, z.b : »f\ = »c\ und orthogonal zu »w\ dann gilt:
è!!!!
» u \ = » f; f; w\ = 1/ 3 ( » 1 : f ; 2 : f ; 3 : w\ + » 1 : f ; 2 : w ; 3 : f\
+ » 1 : w ; 2 : f ; 3 : f\ )
è!!!!
Dabei ist die Normierung nun 1/ 3 , weil es nur 3!/2!=3 mögliche Permutationen gibt, die
zueinander orthogonal sind:
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S.19
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Ich habe zwar 3! mögliche Permutationen aber davon sind 2! die gleichen, weil ich 2!
Mögichkeiten habe die beiden
gleichen Zustände zu vertauschen, denn » 1 : f ; 2 : f ; 3 : w\ = » 2 : f ; 1 : f ; 3 : w\ .
(identische Teilchen)
» u \ = » 1 : f ; 2 : f ; 3 : f\ bereits normiert, es gibt nur 3!/3! also eine
Sind alle 3 gleich so ist
Permutation.
Wieviele Permutationen gibt es, bei N Teilchen, von denen sich n1 im selben Zustand, n2 in einem
dazu orthogonalen
und so weiter bis nk Teilchen im zu allen vorigen orthogonalen Zustand befinden ?
N ! ê H n1 ! n2 ! ... nk ! L
b) (und viel interessanter) es handelt sich um Fermionen; es muss Antisymmetrisiert werden.
1
A » u \ = ÅÅÅÅ
Å
3!
a
H-1Lpa pa » 1 : f ; 2 : c ; 3 : w\
Wir addieren also alle möglichen 6 Permutationen und versehen sie jewiels mit dem Vorzeichen
der Permutation:
Handelt es sich um eine gerade Anzahl von Vertauschungen, so gibts ein + , sonst ein - davor.
Diese Vorschrift ist aber genau der Entwicklungssatz von Leibnitz mit dem wir die
Determinante der folgenden Matrix berechnen würden:
A»u\ =
1
ÅÅÅÅ
Å
3!
ij » 1 : f\
j
det Ajjj » 2 : f\
j
k » 3 : f\
» 1 : c\ » 1 : w\ y
zz
» 2 : c\ » 2 : w\ zzzE
z
» 3 : c\ » 3 : w\ {
Diese Determinante verschwindet sofort, wenn mindestens zwei SpaltenVektoren gleich sind.
Sind also mindestens 2 Fermionen im gleichen Einteilchen Zustand dann kann dieser Produkt
Zustand nicht existieren.
Der Schluss auf N Teilchen ist nun nicht mehr schwer
Für ein N Teilchen- System aus Bosonen bei dem sich n1 Teilchen im Zustand » f1 \,
n2 Teilchen im Zustand » f2 \ und so weiter bis nk Teilchen im Zustand » fk \ befinden gilt daher für
die normierte Produktwellenfunktion :
n1 ! n2 ! ... nk !
» y \ = "######################
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
N!
pa (
» 1 : f1 ; 2 : f1 ... n1 : f1 ; Hn1 + 1L : f2 ... Hn1 + n2 L : f2 ; ... Hn1 + n2 + ... nk L : » fk \ )
a
dabei muss man aufpassen, dass man keine Produktzustände wie » 1 : f; 2 : f; 3 : w\ =
» 2 : f; 1 : f; 3 : w\ doppelt zählt,
S.20
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
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Spin und Statistik
06.12.2004
zulässige Permutationen im Symmetrisierer müssen unterschiedlich sein.
Für ein N Teilchen- System aus Fermionen gilt dagegen für die normierte Produktwellenfunktion :
ij » 1 : f1 \ » 1 : f2 \ ... » 1 : fN \ yz
jj
z
jj » 2 : f1 \ » 2 : f2 \ ... » 2 : fN \ zzz
1
j
zzE
» y \ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!!!ÅÅÅÅÅ det Aj
jj
zz
N!
:
jj
zz
j
z
k » N : f1 \ » N : f2 \ ... » 3 : fN \ {
Diese Determinanten heißen Slater Determinanten, und verschwinden, wenn sich mehrere
Fermionen im selben Zustand aufhalten wie das alle Determinanten gerne machen, wenn sie aus
linear abhängigen Spalten bestehen, daraus folgt das bereits aus der Chemie bekannte Pauli Prinzip,
das dort für Elektronen (die ja Fermionen sind) gilt.
Das Auschließungsprinzip von Pauli
In einem System mit identischen Fermionen können sich nie zwei oder mehr Teilchen im
selben
Einteilchen Zustand befinden, weil sonst die Slater Determinante verschwindet.
Alle Einteilchen Zustände müssen die Besetzungszahl 1 oder 0 haben : jeder Einzelzustand
» fi \ kann also nur
leer sein, oder maximal ein Fermion enthalten.
Dies ist genau die definierende Eigenschaft der Fermi-Dirac-Statistik, der alle Fermionen
gehorchen.
Wir haben sie zum Beispiel in der Festkörperphysik kennengelernt :
1
f HEL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
exp@HE-mLêHk TLD +1
Dabei sind E die Energie, k ist die Boltzmannkonstante,T die Temperatur und m das chemische
Potential oder in der Halbleiterphysik die Fermi Energie. Dort repräsentiert sie die Energie eines
Zustands, bei dem es eine 50% Chance gibt, ein Elektron anzutreffen, wenn alle möglichen
Energiewerte erlaubt wären.
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
S.21
06.12.2004
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Besetzung bei Fermionen
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Energie@E F D
Hier ist die Besetzungswahrscheinlichkeit für Elektronen in einem Halbleiter in Abhängigkeit der
Energie in Einheiten der Fermi Energie dargestellt. Die blaue Kurve kennzeichnet die tiefste
Temperatur.Bei der Fermienergie E f ist die Wahrscheinlichkeit ein Elektron in diesem Nivau
anzutreffen genau 50 % für alle Temperaturen.
Je kälter der Halbleiter, desto steiler ist die "Fermi-Kante", die mit einem Elektron besetzte von
unbesetzten Zuständen an der Fermi Energie trennt.
Die Fermi-Dirac Statistik wird aus einer thermodynamischen Betrachtung von Fermi Gasen
gewonnen, ähnlich wie
die Bose- Einstein-Statistik, der die Bosonen gehorchen.
Diese hat im Nenner einfach ein Minuszeichen, und kommt zum Beispiel in der Planckschen
Strahlungsformel vor, sie gibt dort die mittlere Bestzungszahl von Photonen in einer Mode der
Energie Ñw an, wobei in diesem Beispiel m für die Photonen 0 ist. Bose- Einstein-Statisitk
êê
1
mê HEL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
exp@HE-mLêHk TLD -1
S.22
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
Falk May und Thomas Beyer
Spin und Statistik
06.12.2004
Besetzung bei Bosonen
30
25
20
15
10
5
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Energie @kTD
Bei der Bose-Verteilung sieht man hier für m = 0 dass die Zustände vor allem bei geringen
Energien mit vielen Teilchen besetzt sein können, das ist die Vorraussetzung für die Bose-EinsteinKondensation, die wir weiter unten besprechen.
Die Besetzung bei niedrigen Energien ist um so höher je stärker das System gekühlt wird : die
blaue Kurve ist wieder die mit der kleinsten Temperatur und hat die höchsten Besetzungszahlen für
kleine Energien.
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
S.23
06.12.2004
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7. Bose-Einstein-Kondensate und der
Atomaufbau
Grundzustand eines Systems aus N unabhängigen aber identischen Teilchen
Diese Frage ist besonders interssant für den Aufbau der Atome, daher wollen wir sie kurz
diskutieren.Besteht ein System also aus N gleichen Teilchen, so können wir den Hamilton Operator
als Summe der einzelnen schreiben, wenn wir die Teilchen als unabhängig annehmen, oder ihre
Abhängigkeit vernachlässigen:
H H1, 2, ... NL = hH1L + hH2L ... + hHNL
Dabei ist zum Beispiel hH1L der Hamilton Operator für das 1. Teilchen, und hängt nur von ihm ab.
Aus der Identität der Teilchen folgt, dass alle hH jL gleich sind.
Um die Eigenzustände und -Funktionen des Gesamten Hamilton Operators zu berechnen, genügt
daher die Kenntnis der
hH jL und ihr Spektrum:
hH jL » ja \ = ea » ja \
die » jn \ sind Einzelzustände der Teilchen, en ihre Energieen a steht für alle Quantenzahlen.
Hier haben wir außerdem diskrete nichtentartete Eigenwerte vorausgesetzt, um alles zu
vereinfachen.
Für Bosonen ergeben sich die Eigenzustände » Fa1 , a2 , ... aN \ des Gesamt Hamiltonian durch
Symmetrisierung der Tensorprodukte von N beliebigen Einzelzuständen :
» Fa1 , a2 , ... aN \ = Cnor
a
pa »1: ja1 , 2 : ja2 , ... N : jaN \
( die Normierungskonstante Cnor hängt davon ab, wieviele der Einzelzustände gleich sind, siehe
Kapitel 4.)
Die zugehörige Energie des Zustandes entspricht einfach der Summer der Einzelenergien :
E a1 , a2 , ... aN = ea1 + ea2 + ... eaN
Ist zum Beispiel ea1 der kleinste Eigenwert von hH jL und » j1 \der dazugehörige Eigenvektor, dann
befindet sich das Gesamtsystem im Grundzustand, wenn alle N Bosonen sich in diesem Zustand
» ja1 \ befinden.
Dann ist
E a1 , a1 ... a1 = N ea1
und
»Fa1 , a1 ... a1 \ = »1: ja1 , 2 : ja1 , ... N : ja1 \
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Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
Falk May und Thomas Beyer
Spin und Statistik
06.12.2004
Ein solchen System von Bosonen, die sich alle im gleichen Zustand befinden, nennt man
Bose-Einstein-Kondensat.
Wie würde der Grundzustand des selben Systems aussehen, wenn es sich um Fermionen handelt ?
Jetzt können auf Grund des Pauli Prinzips nicht mehr alle Fermionen in den Grundzustand,
vielmehr erhält man
diesen, wenn man von unten nach oben alle Einzelenergieniveaus mit je einem Fermion besetzt:
Sind zum Beipiel: ea1 < ea2 < ... eaN dann hat der Grundzustand die Energie
E a1 , a2 ... aN = ea1 + ea2 + ... eaN
» Fa1 , a2 , ... aN
und wird durch den normierten Vektor:
ij » 1 : fa1 \ » 1 : fa2 \ ... » 1 : faN \ yz
jj
z
jj » 2 : fa1 \ » 2 : fa2 \ ... » 2 : faN \ zzz
1
j
zzE
\ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ!Å det Ajj
è!!!!!!!
zz
N!
jj
:
zz
jj
z
k » N : fa1 \ » N : fa2 \ ... » 3 : faN \ {
beschrieben.
Hier wäre die größte Einzelenergie die Fermienergie.
Das Ausschliesungsprinzip von Pauli spielt zum Beispiel für den Aufbau der Atome eine
wesentliche Rolle:
Die Elektronen sind Fermionen, und müssen deshalb für die Grundzustände der Atome energetisch
von unten nach oben eingesetzt werden.
Aufbau der Atome
Die maximale Anzahl an Elektronen in einer gegebenen Energie En, l ist gleich ihrer Entartung : 2
(2 l + 1)
Die erste 2 kommt aus der Spin Entartung da die Elektronen ja Spin up oder down haben können,
die zweite aus der m-Entartung, denn m kann ja werte von -l bis l einnehmen, einschließlich der 0.
Die Menge der Einzelzustände zu einer gegebenen Energie En, l nennt man "Schale".
Die Elektronenkonfiguration des Atoms wird durch die Bestzung der einzelnen Schalen
beschrieben:
Für ein Atom im grundzustand füllen wir einfach die Schalen von unten auf.
Fangen wir beim Wasserstoff an, so gibt es dort nur das 1s Niveau (Hauptquantenzahl n = 1,
Drehimpquantenzahl l = 0ª s, wobei das s für "sharp" steht.)
Da s Niveaus 2 ( 0 +1 ) = 2 fach entartet sind, vervollständigt das nächste Elektron beim Helium
die erste Schale. Hier haben beide Elektronen gleiche Ortswellenfunktionen aber orthogonale Spins.
Für das Lithium wird die 2. Schale aufgemacht : diese 2s Schale ist wieder zweifach entartet und
wird von Berillium vervollständigt.
Man schreibt kurz: Be : 1 s2 ,2 s2
Das heißt Berillium besitzt je 2 Elektronen in den Schalen 1s und 2s.
Als nächstes wird die 2 p Schale geöffnet sie ist (da l = 1) sechsfach entartet, und wird bis zum
Edelgas Neon gefüllt. Für die Drehimpulsquantenzahlen schreibt man: statt l = 0, 1, 2, 3. .. :
s(harp), p(rincipal), d(iffuse), f,g,h,i...
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
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Spin und Statistik
Falk May und Thomas Beyer
So kann man das Spiel fortsetzen, bis man das ganze Perioden System der Elemente aufgbaut hat.
Leider hat die Sache einen Haken: für höhere Niveaus liegen die einzelnen Schalen so eng
beieinander, das für manche Atome zuerst die eine für andere Atome aber eine andere Schale als
nächstes besetzt werden würden ...
Erwähnenswert ist noch, dass eine vollbesetzte Schale immer Gesamtdrehimpuls 0 besitzt, da zu
jedem Bahn- und Spindrehimpuls gleich viele Zustände mit Projektionen m auf die positive wie auf
die negative 3 Achse existieren.
Silber ist mit 47 Protonen in der Konfiguration des Edelgases Krypton [Kr], hat aber zusätzlich 10
Elektronen in der 4d Schale und eins in der 5s Schale.
Das Edelgas Krypton hat nur volle Schalen, und die 4d Schale ist bein Silber ebenfalls voll: 2(
2*2+1)=10. Das heißt, dass das einzige für den Drehimpuls entscheidende Elektron das äußere
Elektron in der 5s Schale ist Ag : [Kr] 4 d 10 , 5s
Da Silber also den Gesamt Drehimpuls dieses Elektrons erbt, hat das Atom als ganzes einen
Banhrehimpuls von 0, aber einen Spin von 1/2. Im Gegensatz dazu hat das vorangegangenen
Palladium Pa: [Kr] 4 d 10 , oder das folgende
Cadmium Cd : [Kr] 4 d 10 5 s2 (also wieder eine mit 2 e- volle Schale) kein Spinmoment.
Das ist also der Grund warum im Stern-Gerlach-Experiment mit Silber Atomen gearbeitet wurde:
sie spalten im inhomogenen Magnetfeld in 2 Teilbündel auf, wenn man sie vorher verdampfen lässt.
Bose-Einstein-Kondensation und Superfluide
Zum Schluss wollen wir noch kurz auf die Superfluidität von Helium eingehen.
Kühlt man 4 He im flüssigen Zustand auf ca 2 Kelvin ab, so kann man es ohne Reibungsverluste
durch Rohre leiten, oder andere Gasmoleküle im He reibungsfrei rotieren lassen, was in der
Spektroskopie Verwendung findet. Diesen Reibungsverlust bei tiefen Temperaturen nennt man
Superfluidität. Er kommt dadurch zu Stande, dass sich beim abkühlen die Wellenlänge der
einzelnen Atome so stark vergrößert, bis die Skala auf der sich ihre Amplitude ändert größer ist als
der Abstand zweier Atome. Dann kann man nicht mehr zwischen den einzelnen Atomen
unterscheiden, jedes Atom ist gleichzeitig überall und im gleichen Zustand.
Da man aber nun nicht mehr sagen kann, wo welches 4 He Atom ist, gibt es auch keinen Begriff wie
Reibung mehr, bei dem es ja darauf ankommt, einzelne Teilchen von ihren Positionen
gegeneinander zu verschieben.
Im Vergleich dazu zeigt ein 3 He, das genau die gleichen chemischen Eigenschaften wie sein
schwerer Bruder hat aber ein Neutron weniger besitzt, bei den selben Temperaturen nicht mehr
diesen Effekt : 3 He ist ein Fermion, die Atome können nicht in den gleichen Zustand.
Trotzdem ist es einer Froschergruppe 1996 gelungen, bei noch tieferen Temperaturen 3 He zum
Superfluid zu machen.
Das ist kein Widerspruch zu unserer Theorie, wenn man in Betracht zieht, dass sich bei ca 2 mK je
zwei 3 He Fermionen zusammen tun, und ein Boson bilden. Ein ähnliches Verhalten kann man bei
der Supra-Leitung beobachten, wo sich je 2 fermionische Elektronen bei tiefen Temperaturen zu
bosonischen Cooper Paaren vereinigen.
Zur Motivation für eine eventuelle weitere Vertiefung des Themas:
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Spin und Statistik
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John Bardeen, Leon Cooper and Robert Schrieffer erhielten den Nobel Prize in Physics 1972
für die Cooper Paare
David M. Lee, Douglas D. Osheroff und Robert C. Richardson entdeckten die Superfluidität
von Helium-3 bei 0,002 K und erhielten dafür 1996 den Nobelpreis für Physik.
The phenomenology of condensed quantum liquids has been the winning theme in last year's
Nobel competition : Alexei A. Abrikosov , Vitaly L. Ginzburg , and Anthony J. Leggett share
the 2003 Nobel prize in physics.
" Es ist für mich ein der faszinierendsten Fragen in der Phyisk, warum ein kleines Neutron die
Eigenschaften des He total verändert"
(Zitat von Herrn Prof. Bloch am letzten Mittwoch)
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06.12.2004
Spin und Statistik
Falk May und Thomas Beyer
Literatur:
Claude Cohen, Tannoudji Bernard Dui Franck Laloe
"Quantenmechanik Vol. 1 und 2"
Walter de Gruyter 1999
Scheck, Florian
"Theoretische Physik 2"
Springer 2000
Hecht, Karl T.
"Quantum Mechanics"
Springer
Messiah, Albert
"Quantenmechanik Band 2"
Walter de Gruyter 1979
Internetrecherche:
Britney Guide to Semiconductor Physics Ø http://britneyspears.ac/lasers.htm
http://nobelprize.org/
http://www.europhysicsnews.com/
http://www.lassp.cornell.edu/
http://de.wikipedia.org/
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