Fernunterricht Mathematik Vorkurs VK
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481332469 FERNUNTERRICHT ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN FACHHOCHSCHULREIFE - LEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE M A T H E M A T I K LEHREINHEIT 07 INHALT: Geometrie 1 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 INHALTSVERZEICHNIS ZUR LEHREINHEIT 07 Seite 7 Geometrie 3 - 20 7.1 Grundbegriffe 3 - 4 7.1.1 Punkt und Linie 3 - 4 7.1.2 Winkel 4 7.2 Kongruente Abbildungen 4 - 7 7.3 Dreiecke 7 - 10 7.3.1 Winkel, Seiten, Arten 7 - 8 7.3.2 Kongruenzsätze 8 - 9 7.3.3 Höhen, Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende 9 - 10 7.4 Der Satz des Pythagoras und die Strahlensätze 11 - 13 7.4.1 Der Satz des Pythagoras 11 7.4.2 Die Strahlensätze 12 - 13 7.5 Vierecke 13 - 14 7.6 Kreis 14 - 15 7.7 Körper 15 - 18 7.7.1 Prisma und Zylinder 15 - 16 7.7.2 Pyramide und Kegel 16 - 17 7.7.3 Kugel 17 - 18 Aufgaben zur Lehreinheit 07 18 Lösungen der Übungen und Aufgaben 19 Einsendeaufgaben 20 2 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 7 GEOMETRIE Kennen Sie das folgende Problem? Mit 6 Streichhölzern gleicher Länge sollen vier gleich große Dreiecke gebildet werden, dabei soll soll jedes Streichholz die Länge einer Seite bilden. Offensichtlich scheint dies unmöglich zu sein. Das ist der Fall, wenn man sich auf ein Hinlegen der Streichhölzer beschränkt. Neben einer Geometrie in der Ebene gibt es aber auch eine Geometrie im Raum! Stellt man die Streichhölzer als Pyramide auf, dann ist das Problem gelöst. Welche Erinnerungen haben Sie an die Geometrie aus der Schulzeit? Vielleicht waren Sie von Dreieckskonstruktionen und Konstruktionsbeschreibungen begeistert (oder auch nicht), oder Sie haben versucht, möglichst viele Formeln zu erlernen und diese bald wieder vergessen. Aus dem großen Stoffgebiet der Geometrie wird Ihnen hier eine Kurzfassung präsentiert, in deren Vordergrund die für die Fachhochschulreifelehrgänge benötigten Themen stehen. Grundlagen aus der Geometrie werden vor allem in der Vektorrechnung benötigt. Auf Beweise von Sätzen wird hier weitgehend verzichtet. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal werden meist nur dann angesprochen, wenn andere Hilfsmittel versagen. Formeln werden nach Möglichkeit auf anschauliche Weise erklärt, sie werden aber meist nicht bewiesen. Sie sollten nicht versuchen, möglichst viele Formeln auswendig zu lernen. Sie sollten sich wenige wichtige Formeln merken, mit deren Hilfe andere Formeln auf einfache Weise gefunden werden können. Zusätzlich, ist die Anschaffung einer Formelsammlung empfehlenswert. Für die Übungen und Aufgaben benötigen Sie einen Zirkel und ein Geodreieck. 7.1 Grundbegriffe 7.1.1 Punkt und Linie Punkt: Punkte werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet, z.B. A, B, C, ... , P, Q, R usw. Die Lage eines Punktes wird durch ein Kreuz angegeben (vgl. Punkte im Koordinatensystem in LE 06/6.1). Ein Punkt hat keine Ausdehnung. Linie: Linien werden mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet, z.B. mit a, b, c, ..., g, h usw. . Es gibt gekrümmte Linien und gerade Linien. Linien haben keine Breite. Gerade: Eine Gerade ist eine gerade Linie, die nach beiden Seiten unbegrenzt ist. Zur Kennzeichnung nimmt man meist ein g. Die Lage einer Geraden ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. Orientierte Gerade: Eine Gerade mit vorgeschriebener Durchlaufrichtung heißt orientierte Gerade (siehe Zahlengerade). Zu jeder Geraden gibt es zwei mögliche orientierte Geraden. Halbgerade: Eine Halbgerade ist eine gerade Linie, die auf einer Seite durch einen Punkt begrenzt ist und auf der anderen Seite unbegrenzt ist. Strahl: Ein Strahl ist eine gerichtete Halbgerade. Man wählt zur Kennzeichnung oft ein s. Strecke: Eine Strecke ist eine gerade Linie, die durch zwei Punkte begrenzt ist. Zur Kennzeichnung werden meist die Buchstaben a, b, c, ... gewählt. Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Für die Länge einer Strecke schreibt man AB (lies: Länge der Strecke AB), PQ usw. . 3 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 Pfeil: Ein Pfeil ist eine orientierte Strecke (vgl. LE 03/3.1), d.h. eine Strecke A mit vorgeschriebener Durchlaufrichtung. Bezeichnungen: AB , BA , PQ , usw. Abstand: Abstand eines Punktes von einer Geraden: Der Abstand ist die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade. Parallele Geraden: Zwei verschiedene Geraden verlaufen parallel zueinander, wenn sie überall den gleichen Abstand haben (vg. LE 06/6.3). Schreibweise: g1 ll g2 (lies: g1 parallel g2). 7.1.2 Winkel Winkel: Zwei von einem Punkt ausgehende Halbgeraden (oder Strecken) bilden einen Winkel. Winkel werden mit den Buchstaben a, ß, , , usw. gekennzeichnet, der Punkt mit S, die Halbgeraden mit s 1 und s2. Der Punkt S heißt Scheitel des Winkels, die Halbgeraden s1 und s2 heißen Schenkel des Winkels. Winkel kann man auch so bezeichnen ∢( s1, s2 ) (lies: Winkel zwischen s1 und s2). Drehsinn: Ein Uhrzeiger, der sich von der 12 auf die 3 gedreht hat, hat einen Winkel "zurückgelegt". Es handelt sich um eine Rechtsdrehung. In der Mathematik spricht man bei einer Rechtsdrehung von einem negativen Drehsinn, bei einer Linksdrehung von einem positiven Drehsinn. Winkelmessung: Winkel werden in Grad gemessen. Ein Vollwinkel hat 360 Grad (kurz: 360°). Weitere Unterteilungen: 1° = 60 ’ (Minuten), 1' = 60 ’' (Sekunden). Wichtige Winkelarten: Spitzer Winkel: 0° < < 90° ; rechter Winkel: = 90° ; stumpfer Winkel: 90 ° < < 180°. Winkel an Geraden, die sich schneiden: Es entstehen 4 Winkel (siehe Abbildung).Die Winkel und sowie ß und heißen Scheitelwinkel. Scheitelwinkel sind gleich groß. Zwei nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel (z.B. und ß, ß und ). Nebenwinkel ergeben zusammen 180°. Winkel an zwei parallelen Geraden, die von einer Geraden geschnitten werden (siehe Abbildung). Stufenwinkel: Stufenwinkel sind und ’, und ’, und ’, und ’. Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß. Wechselwinkel: Wechselwinkel sind und ’, und ’ , und ’, und ’ . Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß. (Warum? ) Beachten Sie: und ’ sind Stufenwinkel, d.h. = ’, ’ und ’ sind Scheitelwinkel, d.h. ' = ’ = ’ . 7.2 Kongruente Abbildungen Werden Sie photographiert, dann befindet sich auf dem Photo eine Abbildung von Ihnen. Wenn Sie das Photo vor einen Spiegel halten, sehen Sie im Spiegel eine kongruente Abbildung des Photos (falls der Spiegel nicht verzerrt). Abbildung bedeutet: Jedem Punkt einer "Urbildmenge" wird genau ein Punkt einer "Abbildmenge" zugeordnet (vgl. Begriff " Funktion" in 6.2). Punkte der Urbildmenge werden mit A, B, C, u.s.w. … gekennzeichnet, Punkte der Abbildung mit A’, B’, C’, u.s.w. … Kongruent bedeutet: Urbild und Abbild sind deckungsgleich. Bei kongruenten Abbildungen handelt es sich demnach um deckungsgleiche Abbildungen. 4 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 Gleichsinnige und ungleichsinnige Kongruenz: Betrachten Sie die abgebildeten Dreiecke mit ihren Eckpunkten von A über B nach C. Diese Dreiecke sind kongruent. Die Dreiecke I und II sind gleichsinnig kongruent (in beiden Fällen geht man von A über B nach C “links herum“). Im Unterschied dazu sind die Dreiecke I und III ungleichsinnig kongruent (im Dreieck III geht man von A über B nach C “rechts herum“). Die obigen Dreiecke kann man geometrisch zur Deckungsgleichheit bringen ( auch durch Ausschneiden und Aufeinanderlegen). Sehen Sie dazu folgende Darstellung: Hält man Dreieck I gedanklich in B fest, dann kann man es so „nach oben drehen“, dass es sich danach auf Dreieck II verschieben lässt. Stellt man einen Spiegel genau zwischen den Dreiecken II und III auf, dann kann man das Dreieck III als Spiegelbild von Dreieck II auffassen, es ist „spiegelverkehrt“ (Dreieck II wird umgeklappt). Dadurch ist die ungleichsinnige Kongruenz begründet. In der Geometrie gibt es verschiedene Möglichkeiten kongruenten Abbildungen. Es werden jetzt nacheinander behandelt: 1. Achsenspiegelung, 2. Verschiebung, 3. Drehung, 4. Punktspiegelung. 1. Die Achsenspiegelung Aufgabe: Das Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C (kurz: das Dreieck ABC) soll an der Geraden g gespiegelt werden, d.h. g ist die Spiegelachse. Lösung: Der Abstand von A bis g wird auf der anderen Seite von g abgetragen, man erhält den Punkt A'. Ebenso werden die Punkte B' und C' ermittelt. Verbindet man die Punkte, so erhält man das Dreieck A'B'C'. Die Dreiecke ABC und A'B'C' sind ungleichsinnig kongruent. Die Achsenspiegelung ist eine ungleichsinnig kongruente Abbildung. Man sagt: Zwischen Bild und Urbild besteht eine Achsensymmetrie bezüglich der Spiegelachse. Übung zur Achsenspiegelung: Tragen Sie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem die Punkte A(2/1), B(4/3) und C(2/5) ein. Verbinden Sie die Punkte zu einem Dreieck ABC. Spiegeln Sie das Dreieck ABC an der y-Achse und geben Sie die Koordinaten der gespiegelten Punkte A' , B' , C' an. 5 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 2. Die Verschiebung Aufgabe: Das Dreieck ABC soll so verschoben werden, dass B auf B' liegt und die Seiten des verschobenen Dreiecks parallel zu den entsprechenden Seiten des Dreiecks ABC verlaufen. Lösung: Man verbindet die Punkte B und B' durch einen Pfeil BB' : Dieser Pfeil hat eine bestimmte Länge, eine bestimmte Richtung ("schräg") und eine bestimmte Orientierung (von B nach B'). Im Punkt A kann man einen Pfeil AA' anlegen , der die gleiche Länge, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung wie BB' hat. Ebenso lässt sich ein Pfeil CC' anlegen. Verbindet man die Punkte A', B', C', so erhält man ein zu dem Dreieck ABC gleichsinnig kongruentes Dreieck A' B' C' . Die Verschiebung ist eine gleichsinnig kongruente Abbildung. Sie ist eindeutig ausführbar, wenn ein (Verschiebungs-) Pfeil mit einer bestimmten Länge, einer bestimmten Richtung und einer bestimmten Orientierung gegeben ist. Ein derartiger Pfeil heißt Vektor und wird mit a (oder b , c , …) gekennzeichnet. Er lässt sich an jedem Punkt , der verschoben werden soll, anlegen. Übung zur Verschiebung: Zeichnen Sie in einem Koordinatensystem einen Pfeil von dem Punkt P(2/-3) zu dem Punkt Q(5/-1). Verschieben Sie das Dreieck mit den Eckpunkten A(1/2), B(4/1) und C(2/3) mit dem Pfeil als Vektor und geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte A', B' , C' an. 3. Die Drehung Aufgabe: Das Dreieck ABC soll um den Punkt D 150° nach links gedreht werden, wobei D mit den Eckpunkten fest verbunden ist. D heißt Drehpunkt, der Winkel = 150° heißt Drehwinkel. Lösung: An der Strecke DA wird in D ein Winkel von 150° nach links abgetragen ("abgemessen"). Man erhält einen sogenannten freien Schenkel s 1 des Winkels . Auf diesem freien Schenkel wird DA abgetragen (durch Messung oder mit Zirkel), man erhält den Punkt A'. Ebenso verfährt man bezüglich der Punkte B und C. Nach Verbindung der Punkt A' , B' , C' erhält man ein zu dem Dreieck ABC gleichsinnig kongruentes Dreieck A' B' C' . Die Drehung ist eine gleichsinnig kongruente Abbildung. Übung zur Drehung: In einem Koordinatensystem ist ein Dreieck durch die Punkte A(1/1), B(4/1) und C(2/4) gegeben. Drehen Sie das Dreieck um den Punkt D(0/0) um 90° nach links und geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte A', B', C' an. 6 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 4. Die Punktspiegelung Aufgabe: Das Dreieck ABC soll am Punkt Z gespiegelt werden. Z heißt Spiegelzentrum. Lösung: Man verbindet A mit Z und trägt auf der Geraden durch A und Z den Punkt A' so ein, dass er von Z den gleichen Abstand hat wie A. Ebenso verfährt man mit den Punkten B und C. Nach Verbindung der Punkte A', B', C' erhält man ein zu dem Dreieck ABC gleichsinnig kongruentes Dreieck A' B' C'. Das gleiche Dreieck A' B' C' erhält man, wenn man das Dreieck ABC um 180° dreht (nach links oder rechts, Sie haben die freie Wahl). Die Punktspiegelung ist eine gleichsinnig kongruente Abbildung. Sie entspricht einer Drehung um 180°. Man sagt: Zwischen Bild und Urbild besteht eine Punktsymmetrie bezüglich des Spiegelzentrums. Übung zur Punktspiegelung: In einem Koordinatensystem ist ein Dreieck durch die Punkte A(1/1), B(5/0) und C(0/4) gegeben. Spiegeln Sie das Dreieck am Punkt Z(0/0) und geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte A', B', C' an. Symmetrien In der Mathematik spielen zwei Arten von Symmetrien eine große Rolle: die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie. Beim Verlauf von Funktionsgraphen sind die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Nullpunkt (0/0) von Bedeutung. In der Geometrie sind die Eigenschaften "Symmetrieachse vorhanden" und "Symmetriepunkt vorhanden" wichtige Hilfsmittel zur Beschreibung von Figuren (siehe "System der Vierecke" in 7.5). Übungen zu 7.2 1. Spiegeln Sie das Rechteck mit den Eckpunkten A(1/1), B(3/1), C(3/2) und D(1/2) a) am Punkt E(4/2) ; b) am Punkt A ; c) an der Geraden x = 2 . 2. Spiegeln Sie das Dreieck mit den Eckpunkten A(2/2), B(3/4) und C(0/6) an der Geraden y = x und geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte A', B', C' an. 3. Gegeben Sind die Punkte P(2/1), Q(3/4) und D(3/0). a) Drehen Sie die Strecke PQ um D 90° nach rechts. b) Verschieben Sie die Strecke PQ so, dass P auf P´´(-1/0) abgebildet wird. 7.3 Dreiecke Die Dreieckslehre spielt in der Geometrie eine große Rolle. Daneben haben bei den Flächen lediglich noch Viereckslehre und Kreislehre eine größere Bedeutung. Ein Grund: Jedes Vieleck lässt sich in Dreiecke zerlegen. 7.3.1 Winkel, Seiten, Arten Die Eckpunkte eines Dreiecks werden mit A, B, C gekennzeichnet. Die Winkel an den Eckpunkten A, B, C werden mit a, ß, y gekennzeichnet. Für die den Eckpunkten A, B, C gegenüberliegenden Seiten schreibt man a, b, c. Die Bezeichnung der Punkte, Winkel und Seiten erfolgt immer in einem positiven Drehsinn ("links herum"). 7 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 Alle Winkel im Dreieck ergeben zusammen 180°. Die Begründung: Man zeichnet durch C eine Gerade parallel zu einer Geraden durch A und B (siehe Abb.). Die Winkel ', und ß' ergeben zusammen 180°, d.h. ' + + ß' = 180° . Da aber = ' und ß = ß' ist (es handelt sich um Wechselwinkel an Parallelen), folgt daraus + + ß = 180°. Dreiecksarten Man kann Dreiecke bezüglich der Winkel oder bezüglich der Seiten unterscheiden. Bezüglich der Winkel gibt es folgende Arten: spitzwinklige Dreiecke: In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90°. rechtwinklige Dreiecke: In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel 90°. Die Schenkel des rechten Winkels heißen Katheten, die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. stumpfwinklige Dreiecke: In einen stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90°. Bezüglich der Seiten gibt es folgende Arten: gleichseitige Dreiecke: In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Jeder Winkel hat 60°. Ein gleichseitiges Dreieck hat 3 Symmetrieachsen. gleichschenklige Dreiecke: In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Sie heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis. Die Winkel an der Basis sind gleich groß. Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Symmetrieachse. ungleichseitige Dreiecke: In einem ungleichseitigen Dreieck haben alle Seiten voneinander verschiedene Längen. Ungleichseitige Dreiecke besitzen keine Symmetrieeigenschaften. 7.3.2 Kongruenzsätze Ein See, der zu klein ist: Ein Landvermesserlehrling soll die Entfernung zwischen den Punkten A und B am Ufer eines Sees bestimmen (siehe Skizze). Nach seiner Schätzung ist der See dort mindestens 60m breit. Von A aus wählt er sich einen Hilfspunkt C und misst AC = 39m. Anschließend misst er CB = 44m. In B angekommen bestimmt er mit Hilfe eines Teodolithen (Winkelmessgerät) den Winkel ß zwischen AB und CB mit ß = 37°. Im Büro fertigt er zur Bestimmung von AB eine Zeichnung im Maßstab 1 : 1000 (10m entsprechen 1cm) folgendermaßen an: Er zeichnet CB = 4,4cm, dann trägt er ß = 37° ein und erhält einen freien Schenkel s von ß, auf dem A liegen muss. Er zeichnet um C einen Kreisbogen mit dem Radius 3,9cm und ermittelt den Punkt A als Schnittpunkt mit dem Schenkel s (siehe Abb.) Er erhält ein ernüchterndes Ergebnis: Bei einer geschätzten Entfernung von 60m für AB gelangt er mit Hilfe der Zeichnung zur Erkenntnis, dass AB ungefähr 7m ist. Oder? 8 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 Bei der Überprüfung der Zeichnung hat er ein „Aha-Erlebnis“ (siehe Abb.). Der Kreisbogen um C schneidet den Schenkel s von noch einmal! Er liest ab A2B 64m !! Die Kongruenzsätze geben an, welche Seiten oder Winkel mindestens benötigt werden, um ein Dreieck eindeutig zeichnen zu können. Die obigen Messungen im Gelände liefern zwei nicht kongruente Dreiecke, also keine Eindeutigkeit. Folgende Messungen hätten ein eindeutiges Ergebnis geliefert: a) AC , , CB , mit AC = 39m, = 100°, CB = 44m. Probieren Sie! b) AC , , , mit AC = 39m, = 43°, = 100°. Probieren Sie! c) Der obige Landvermesserlehrling hatte etwas Pech. Wäre die Strecke AC größer als CB , dann hätte auch er ein eindeutiges Ergebnis gefunden. Probieren Sie mit einem Hilfspunkt C, und folgenden Messungen: AC1 = 45m, C1B = 28m, ß = 37°. Bemerkung: Vielleicht haben Sie anhand Ihrer Zeichnungen für AB geringfügig" unterschiedliche Ergebnisse erzielt (63m, 64m, 65m). Mit Hilfe der Trigonometrie kann man Seiten (und Winkel) eines Dreiecks exakt berechnen. Nach Bearbeitung der LE 08 werden Sie dieses auch können. In LE 08 wird das obige Beispiel noch einmal für eine genaue Berechnung aufgegriffen. Die Kongruenzsätze: Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in (oder: Ein Dreieck lässt sich, abgesehen von der Lage, eindeutig konstruieren, wenn gegeben sind) 1. drei Seiten, kurz (sss) 2. zwei Seiten und dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel (sws), (siehe oben Fall a)) 3. einer Seite und zwei Winkeln (sww), siehe oben Fall b)) 4. zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren von den beiden Seiten gegenüber liegt (sswg), (siehe oben Fall c)). Noch ein Beispiel zum 1. Kongruenzsatz: Es soll ein Dreieck mit a = 4cm, b = 3cm und c = 6cm konstruiert werden. Lösung: Man zeichnet zunächst eine der gegebenen Seiten, z.B. c = AB = 6cm. Es ist jetzt nicht möglich, ohne Zirkel die genaue Lage von Punkt C zu finden! Versuchen Sie! Mit Zirkel: Um A wird ein Kreisbogen mit dem Radius b = 3cm gezeichnet und um B ein Kreisbogen mit dem Radius a = 4cm. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist der Punkt C. Man verbindet A mit C und B mit C. Übung zu 7.3.2 Konstruieren Sie jeweils ein Dreieck, wenn folgende Größen gegeben sind: a) c = 3cm, ß = 55°, a = 2cm ; b) a = 4cm, b = 5cm, c = 3cm c) b = 3cm, = 60°, ß = 40° ; d) a = 5cm, c = 3cm, = 35° 7.3.3 Höhen, Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende 1. Die Höhen: Eine Höhe in einem Dreieck ist der Abstand von einem Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite (bzw. bis zu deren Verlängerung, siehe Abb.). Die Höhen werden mit ha, hb und hc gekennzeichnet. In einem spitzwinkligen Dreieck liegen alle Höhen innerhalb des Dreiecks, in einem rechtwinkligen Dreieck sind zwei Höhen gleich den Katheten. Eine besonders wichtige Eigenschaft: Jedes Dreieck kann durch (mindestens) eine Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt werden. 9 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 2. Die Seitenhalbierenden: Eine Seitenhalbierende in einem Dreieck ist eine Strecke, die von einem Eckpunkt bis zur Mitte der diesem Eckpunkt gegenüberliegenden Seite verläuft (Abb.). Die Seitenhalbierenden werden mit sa, sb und sc gekennzeichnet. Sie schneiden sich alle in einem Punkt S, dieser Punkt ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Außerdem gilt: Die Seitenhalbierenden teilen sich in S im Verhältnis 2:1 (vom Eckpunkt aus gesehen). 3. Die Mittelsenkrechten: Eine Mittelsenkrechte in einem Dreieck ist eine Gerade, die durch die Mitte einer Seite verläuft und mit dieser Seite einen rechten Winkel bildet. Die Mittelsenkrechten werden mit ma , mb und mc gekennzeichnet (Abb.). Sie schneiden sich alle in einem Punkt M, dieser Punkt ist der Mittelpunkt des sog. Umkreises (auf dem Umkreis liegen alle Eckpunkte). Dieser Mittelpunkt liegt in einem spitzwinkligen Dreieck innerhalb des Dreiecks, in einem stumpfwinkligen Dreieck liegt er außerhalb. In einem rechtwinkligen Dreieck liegt er auf der Mitte der Hypotenuse. Daraus ergibt sich der Satz des Thales: Der Winkel im Halbkreis ist ein Rechter. Das bedeutet: Sie können auf einen Halbkreisbogen irgendwo einen Punkt C markieren, Sie erhalten immer ein rechtwinkliges Dreieck ABC. 4. Die Winkelhalbierenden Eine Winkelhalbierende in einem Dreieck ist eine Strecke, die von einem Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite verläuft und den Winkel im Eckpunkt halbiert. Die Winkelhalbierenden werden mit w , w und w gekennzeichnet. Sie schneiden sich alle in einem Punkt W, dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Inkreises (der Inkreis berührt alle Seiten). Bemerkung: Dreiecke lassen sich auch (oft eindeutig) mit Hilfe von Höhen, Seitenhalbierenden, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden konstruieren. Auf diese zum Teil recht schwierigen Konstruktionen soll hier nicht eingegangen werden. Es folgt lediglich ein Beispiel einer Konstruktion mit einer Höhe, was manchmal benötigt wird. Beispiel: Ein Dreieck mit hC = 4cm, c = 3cm und = 60° soll konstruiert werden. Lösung: In fast allen Fällen ist es bei einer gegebenen Höhe sinnvoll, zunächst zwei parallele Geraden g1 und g2 im Abstand der gegebenen Höhe zu zeichnen. Auf g1 wird ein beliebiger Punkt A festgelegt. Von A aus wird auf g1 die Strecke c = AB = 3cm abgetragen. In A wird der Winkel = 60° eingezeichnet. Der Schnittpunkt des freien Schenkels von mit g2 ist der Punkt C. C und B werden verbunden. Vorsicht! Wenn Höhen gegeben sind, gibt es häufig 2 Lösungen (zwei nicht kongruente Dreiecke)! Beachten Sie dies bei der folgenden Übung. Übung zu 7.3.3 Konstruieren Sie zwei nicht kongruente Dreiecke mit c = 4cm, hc = 2cm; a = 2,5cm. Hinweis: In einem der Dreiecke ist ß ein stumpfer Winkel. 10 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 7.4 Der Satz des Pythagoras und die Strahlensätze Der Satz des Pythagoras und die Strahlensätze sind wichtige Hilfsmittel zur Berechnung von Strecken. 7.4.1 Der Satz des Pythagoras Wer kennt ihn nicht? Es ist wohl der bekannteste Satz der Geometrie: c² = a² + b² Merken Sie sich den Satz bitte folgendermaßen: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: (Hypotenuse)² = (1. Kathete)² + (2. Kathete)² oder: " Das Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe der Kathetenquadrate". Sie sind so nicht von den Bezeichnungen a, b und c abhängig. In einem Dreieck mit ß = 90° gilt b² = a² + c². Der Satz wird hier nicht bewiesen. Sie sollten jedoch folgendes Dreieck konstruieren und nachprüfen, dass es rechtwinklig ist: a = 5cm, b = 3cm, c = 4cm. Beachten Sie bei der Anwendung des Satzes: 1. Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke! Ein Trost: In der Trigonometrie gibt es einen "verallgemeinerten Satz des Pythagoras" für beliebige Dreiecke. 2. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber! Das wird häufig nicht beachtet. Da jedes beliebige Dreieck durch mindestens eine Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt werden kann, lässt sich der Satz in vielfältiger Weise nutzen. Beispiel: In einem Dreieck sind folgende Größen gegeben (Abb.): hc = 2,0cm; c1 = 1,5cm; a = 3,5cm. Gesucht sind die genauen Längen der Seiten b und c. Berechnung von b: b2 = c12 + hC2 b2 = (1,5cm)2 + (2cm)2 b2 = 2,25cm2 + 4cm2 b2 = 6,25cm2 | Von welcher (positiven) Zahl ist das Quadrat 6,25? Es ist die Zahl 2,5. Mit dem Taschenrechner erhalten Sie mit 6,25 das gewünschte Ergebnis. In LE 09 werden Wurzeln ausführlich behandelt. b = 2,5cm Berechnung von c: Zunächst muss c2 berechnet werden: a2 = hC2 + c22 I –hc² a2 – hc2 = c2² (3,5cm)2 - (2cm)2 = c22 12,25cm2 - 4cm2 = c22 8,25cm2 = c22 c2 2,9cm c = c1 + c2 c 4,4cm Bemerkung: Man kann während der Rechnung auf die "lästigen" Einheiten cm und cm² verzichten; am Ende einer Berechnung muss aber die entsprechende Einheit angegeben werden. (Wenn Größen in unterschiedlichen Einheiten gegeben sind, müssen sie allerdings zuerst so umgeformt werden, dass alle die gleiche Einheit haben). Übung zu 7.4.1 In einem Dreieck sind folgende Größen gegeben (Bezeichnungen wie im Beispiel oben): c1 = 3,0cm , b = 5,0cm , c2 = 4,0cm. Berechnen Sie hc und a. Mit Zeichnung! Anleitung für die Zeichnung: Zeichnen Sie zunächst c mit c 1 = AP und c2 = PB . Den Punkt C erhalten Sie als Schnittpunkt eines Kreisbogens um A (Radius 5cm) mit der Senkrechten auf AP in P. 11 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 7.4.2 Die Strahlensätze Ein Problem: Sie möchten die Höhe eines Turmes bestimmen (siehe Abb.). Sie sind ausgerüstet mit einem Zollstock, die Sonne scheint. Die Lösung des Problems: (siehe Abb.) Zu dem Turm mit der Höhe h gibt es eine Schattenlänge s1. Diese Länge wird gemessen (z.B. s1 = 18m). Nun stellen Sie den Zollstock der Länge 2m senkrecht so auf, dass dessen Schattenende mit dem Schattenende S des Turmes übereinstimmt. Sie markieren den Standort des Zollstocks (Punkt A) und messen die Schattenlänge s2 des Zollstocks (z.B. s2 = 3m). Die Turmhöhe lässt sich jetzt berechnen! h : 18 = 2 : 3 (vgl. h 2 "Steigungsdreiecke" in 6.3) oder besser h = 12, h = 12m 18 3 Anmerkung: Das Problem lässt sich auch lösen, wenn das Gelände (gleichmäßig) schräg ist, der rechte Winkel ist also nicht notwendig. Entscheidend ist nur: Der Zollstock muss parallel zur Turmhöhe aufgestellt werden. Verallgemeinerung: Bezogen auf die Abbildung gilt (vgl. Turmbeispiel) A2B2 A1B1 A2B2 A1B1 (1) ; (2) SA2 SA1 SB2 SB1 Durch Umstellung der Gleichungen (1) und (2) erhält man A2B2 SA2 A2B2 SB2 (1*) und (2*) . A1B1 SA1 A1B1 SB1 Die Gleichungen (1*) und (2*) bilden den 2. Strahlensatz. In den Gleichungen (1*) und (2*) ist die linke Seite gleich, man kann daher auch die rechten Seiten SA1 SB1 SA2 SB2 gleichsetzen: (3) . Schließlich gilt noch: (4) . A1 A2 B1 B 2 SA1 SB1 Die Gleichungen (3) und (4) bilden den 1. Strahlensatz. Die Strahlensätze in Worten: Werden zwei von einem Punkt S ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, dann verhalten sich zwei Streckenlängen auf einem Strahl wie die entsprechenden Streckenlängen auf dem anderen Strahl (1. Strahlensatz), und dann verhalten sich die Streckenlängen auf den Parallelen wie die vom Punkt S aus gemessenen Streckenlängen auf einem Strahl (2. Strahlensatz). Ein Tipp: Es ist wenig sinnvoll, die obigen Gleichungen auswendig zu lernen. Entscheidend ist, dass Sie die Situation "Strahlensatz ist anwendbar" erkennen. Wenn mindestens eine Streckenlänge auf einer Parallelen gegeben ist (das ist häufig der Fall), erinnern Sie sich zur Bestimmung von Verhältnissen an das Turmbeispiel. Beispiele: 1. In einem Dachgiebel mit den in der Abbildung angegebenen Maßen soll in 2,05m Höhe eine Decke eingezogen werden. Gesucht ist die Länge der Strecke x an der schrägen Wand. 12 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 Lösung: Mit Hilfe des 1. Strahlensatzes erhält man den Ansatz: 2,05 x 3,40 3,10 x 2,25m 2. Gesucht ist die Länge der Strecke CD der abgebildeten Figur. Gegeben: CD II BE (parallel); BE = 1,0cm; DA = 3,9cm; EA = 1,3cm Lösung: Mit Hilfe des 2. Strahlensatzes erhält man den Ansatz: CD 3,90 CD 3,0cm 1,0 1,30 Übungen zu 7.4.2 1. In der abgebildeten Figur (1) ist ED II CA . Gegebene Größen: AB = 3,0cm, AC = 2,0cm, EB = 3,5cm Berechnen Sie DB . (1) 2. In der Figur (2) ist AB II DE . Gegebene Größen: AD = 1,0cm, CE = 3,0cm, EB = 2,0cm Berechnen Sie CD . (2) 7.5 Vierecke Abgebildet ist ein allgemeines Viereck mit den üblichen Bezeichnungen. Die Strecken e = AC und f = DB sind die Diagonalen des Vierecks. Die Vierecke lassen sich bezüglich Symmetrieachsen und Spiegelzentrum systematisch gliedern. 4 Symmetrieachsen, 1 Spiegelzentrum 2 Symmetrieachsen, 1 Spiegelzentrum eine Symmetrieeigenschaft Eine in dem System "höher stehende Figur" ist immer ein Spezialfall einer weiter unten stehenden Figur. So ist z.B. ein Quadrat ein spezielles Rechteck, ein Rechteck ein spezielles Parallelogramm. 13 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 Sonstige wichtigen Eigenschaften der Vierecke in einer Übersicht: Viereck Quadrat Seiten alle gleich lang, gegenüberliegende parallel Winkel alle 90° Diagonalen gleich lang, senkrecht aufeinander, halbieren sich Flächeninhalt A = a² Rechteck gegenüberliegende gleich lang, gegenuberliegende parallel alle 90° gleich lang, halbieren sich A=a∙b Raute alle gleich lang, gegenüberliegende parallel gegenüberliegende gleich groß senkrecht aufeinander, halbieren sich A=a∙h Parallelogramm gegenüberliegende gleich lang, gegenüberliegende parallel gegenüberliegende gleich groß halbieren sich A=a∙h Trapez ein Paar parallel A = (a+c) : 2 ∙ h gerader Drachen senkrecht aufeinander, eine wird durch die andere halbiert A = (e ∙ f) : 2 Da jedes Dreieck als Hälfte eines Parallelogramms aufgefasst werden kann, gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecks: A = (Seite ∙ Höhe auf der Seite) : 2 7.6 Kreis 3,141592654... = Die Zahl ist die entscheidende Zahl für Berechnungen am Kreis. ist eine irrationale Zahl, sie hat also unendlich viele Stellen (nicht-periodisch) hinter dem Komma, von denen die ersten durch die -Taste auf dem Taschenrechner angezeigt werden. Bei Berechnungen ist eine bezüglich der Aufgabenstellung sinnvolle Rundung zu beachten. Die Lage eines Kreises wird bestimmt durch den Mittelpunkt M und den Radius r (bzw. den Durchmesser d). Alle Punkte der Kreisumfangslinie haben von M die gleiche Entfernung r. Formeln: Für den Durchmesser gilt: d = 2r Für den Kreisumfang gilt: u = 2r Für die Kreisfläche gilt: A = r2 Merken Sie sich diese Formeln! Beispiel: Ein Kreis mit dem Radius r = 3,2cm hat den Durchmesser d = 6,4cm, den Umfang u = 2 ∙ 3,2cm 20,1cm und den Flächeninhalt A = ∙ (3,2cm)2 32,2cm2. Begriffe: Eine Gerade g, die einen Kreis schneidet, heißt Sekante. Eine Strecke s, die von zwei Punkten eines Kreises begrenzt ist, heißt Sehne. In der Abbildung ist s = AB . Eine Gerade t, die einen Kreis in einem Punkt berührt, heißt Tangente. In der Abbildung berührt t den Kreis im Punkt T. 14 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 Der Kreissektor (Kreisausschnitt) In der Abbildung ist die Fläche eines Kreissektors dargestellt. heißt Mittelpunktswinkel, b heißt Kreisbogen. u A α ; ASektor = α 360 360 Es gibt noch eine manchmal recht nützliche Formel zur Berechnung der Kreissektorfläche, in der nicht enthalten ist. π r² r πr α r πr α r r b Beachten Sie: ASektor = α b ASektor = 360 2 180 2 180 2 2 Formeln: b= Auf die Behandlung des Kreisabschnitts (Fläche zwischen einer Sehne und dem entsprechenden Bogen) wird hier verzichtet. Übungen zu 7.6 1. Ein Kreis hat den Umfang u = 8,4cm. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt. 2. Berechnen Sie den Bogen und den Flächeninhalt eines Kreissektors mit r = 3,5cm und = 20°. 7.7 Körper Wenn Sie eine bestimmte Anzahl Bierdeckel stapeln wollen, können Sie die Deckel zu einem geraden Körper aufeinander legen und anschließend durch einen leichten gleichmäßigen Druck in einen schiefen Körper umformen. Bei dieser Umformung bleibt die Höhe h des Stapels unverändert (wenn er nicht umkippt). Der Rauminhalt (das Volumen) aller Bierdeckel ändert sich ebenfalls nicht. Es gilt in beiden Fällen V = Grundfläche ∙ Höhe. An dieser Stelle genügt es, wenn nur gerade Körper behandelt werden. Folgende (geometrischen!) Körper werden hier angesprochen: 1. Prisma und Kreiszylinder (kurz: Zylinder) 2. Pyramide und Kreiskegel (kurz: Kegel) 3. Kugel 7.7.1 Prisma und Zylinder Prisma (gerade): Eigenschaften (siehe Abb.): Grund- und Deckfläche sind kongruente Vielecke und haben überall den gleichen Abstand (sie sind parallel). Dieser Abstand ist die Höhe des Prismas. Die Seitenflächen sind Rechtecke und stehen senkrecht auf der Grundfläche. Sonderfälle: Ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche heißt Quader. Ein gerades Prisma, dessen Grundfläche und Seitenflächen alle Quadrate sind, heißt Würfel. Zylinder (gerade): Eigenschaften: Grund- und Deckfläche sind kongruente Kreise. Diese sind parallel zueinander im Abstand h. Die "abgewickelte" Seitenfläche (der Mantel) ist ein Rechteck. 15 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 Formeln: Ob Prisma oder Zylinder, für das Volumen V gilt: V = G ∙ h Das sollten Sie sich merken. (Grundfläche ∙ Höhe) Für den Oberflächeninhalt O gilt: O = 2 ∙ G + Summe aller Seitenflächen. Die folgenden Formeln ergeben sich zwangsläufig. Volumen eines Würfels: Volumen eines Quaders: Volumen eines Zylinders: V = a² ∙ a = a³ V = a ∙b ∙ h V = r² ∙ h Oberfläche eines Würfels: O = 6a² Oberfläche eines Quaders: O = 2ab + 2ah + 2bh Oberfläche eines Zylinders: O = 2 r² + 2 r h Beispiele: 1. Ein Würfel hat eine Oberfläche von 150cm 2. Gesucht ist sein Volumen. Lösung: O = 150 = 6a² a² = 25 a = 5cm V = a³ = 125 = V = 125cm³ 2. Ein Zylinder hat ein Volumen von 1000cm 3 und eine Höhe von 20cm. Gesucht ist seine Oberfläche O. Lösung: V = 1000 = r² ∙ 20 I : 20; r 4cm O 2 ∙ 16 + 2 ∙ 4 ∙ 20 O 603cm² Übungen zu 7.7.1 1. Berechnen Sie in einem Würfel mit der Kantenlänge a = 4,0cm die Länge der Raumdiagonalen. Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Diagonale in der Grundfläche. 2. Ein Zylinder hat die Oberfläche O = 100cm 2 und den Grundkreisradius r = 3,0cm. Berechnen Sie sein Volumen. 7.7.2 Pyramide und Kegel Es handelt sich um spitze Körper. Pyramide (gerade): Eigenschaften (siehe Abb.): Die Grundfläche ist ein Vieleck, die Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke, die Höhe h ist der Abstand von der Spitze S bis zur Grundfläche, sie steht also senkrecht auf der Grundfläche in deren Mittelpunkt. Sonderfall: Eine Pyramide, deren Grundfläche und Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind, heißt Tetraeder (alle Kanten sind gleich lang; vgl. Lösung zur Knobelfrage: im Anfang dieser LE: es handelt sich um einen Tetraeder). Kegel (gerade): Eigenschaften (siehe Abb.): Die Grundfläche ist ein Kreis, die "abgewickelte" Seitenfläche, (der Mantel) ist ein Kreissektor, die Höhe h ist der Abstand von der Spitze S bis zur Grundfläche. 16 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 Formeln: Für das Volumen aller Pyramiden und Kegel gilt: V = (Grundfläche ∙ Höhe) : 3 . Diese Formel sollten Sie sich auch merken. Für den Oberflächeninhalt O gilt: O = G + Summe aller Seitenflächen Für den Kegel gilt: V= 1 3 r² h ; O = r² + r s Warum r s für die Mantelfläche M? Die Mantelfläche ist ein Kreissektor mit Radius s und dem Kreisbogen u = 2 r (vgl. Formel für den Kreissektor in 7.6) . Beispiel: Eine Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat der Seitenlänge a = 3,0cm und die Höhe h = 4,0cm. Gesucht sind V, hs (Höhe der Seitenfläche), s (Länge der Seitenkante) und O. 1 Berechnung von V: V = G∙h = 12 V = 12 cm3 3 Berechnung von hs : a hs² = ( )² + h² = 1,5² + 4² = 18,25 hs 4,3cm 2 Berechnung von s: Im rechtwinkligen Dreieck ECS ist s die Hypotenuse s² = ( a )² + hs² = 1,5² + 18, 25 = 20, 5 s 4, 2 5cm 3 4,3 a hs = 34,80 O 34,80cm² 3² 4 2 2 (Mit dem nicht gerundeten Wert für hs wird die Berechnung von O genauer, man erhält O 34,63cm2.) Berechnung von O: O = a² + 4 ∙ Übungen zu 7.7.2 1. Eine Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 4cm ist, hat die Höhe h = 6cm. Berechnen Sie Volumen und Oberflächeninhalt der Pyramide. 2. Ein Kegel hat das Volumen V = 100cm 3 und den Radius r = 3cm. Berechnen Sie seinen Oberflächeninhalt. Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Höhe des Kegels. Anschließend wird der Satz des Pythagoras benötigt. An dieser Stelle könnten noch Pyramidenstumpf und Kegelstumpf behandelt werden. Wegen des jetzt schon großen Umfangs der Lehreinheit wird darauf verzichtet. 7.7.3 Kugel Zum Kegeln werden Kugeln benötigt. Während die dort umzuwerfenden Kegel nicht den Anspruch erheben können, im geometrischen Sinn Kegel zu sein, sind die Kugeln schon eher Kugeln im geometrischen Sinn. Allerdings dürfte auch hier der Idealfall einer Kugel kaum anzutreffen sein: Jeder Punkt der Oberfläche muss vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sein. 17 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 4 π r³ 3 Experimentell lässt sich diese Formel eindrucksvoll anhand einer hohlen Halbkugel nachweisen, in die ein hohler Kegel genau passt (siehe Abb.). Der Kegel wird mit Wasser gefüllt und das Wasser in die Halbkugel geschüttet. Es passen genau zwei Kegelfüllungen in die Halbkugel hinein, d.h., 1 1 2 2 4 VHalbkugel = 2 ∙ VKegel = 2 ∙ r² h = 2 ∙ r² ∙ r = r³ VKugel = 2 ∙ r³ = r³ 3 3 3 3 3 Für den Oberflächeninhalt einer Kugel gilt: O = 4 r² Für das Volumen einer Kugel gilt: V= Kugelteile werden hier nicht mehr behandelt. Bei Bedarf können Sie die entsprechenden Formeln in einer Formelsammlung nachlesen. Beispiel: Für eine Kugel mit dem Radius r = 4cm gilt: V 268cm³ ; O 201cm² Übung zu 7.7.3 Eine Kugel hat den Oberflächeninhalt O = 50cm³. Berechnen Sie ihr Volumen. AUFGABEN ZUR LEHREINHEIT 07 1. Gegeben ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Die Seitenlängen des Rechtecks sind a = 2,5cm und b = 1,1cm. Berechnen Sie den Umfang und den Flächeninhalt der Figur. 2. In einem Dreieck sind folgende Größen gegeben: hc = 1,5cm; c2 = 2,0cm; b = 1,6cm. Berechnen Sie a und den Flächeninhalt des Dreiecks. 3. In der abgebildeten Figur liegt ein Rechteck in einem rechtwinkligen Dreieck. Gegeben sind folgende Größen: a = 2,0cm; c = 1,5cm; x = 1,3cm. Berechnen Sie y. 4. In einem Dreieck ist α = 30° und c = 2,4cm. Berechnen Sie a, b und den Flächeninhalt. [Hinweis: Das Dreieck lässt sich als die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks auffassen] 5. In dem abgebildeten Dreieck ist c1 = 2,1cm; c2 = 3,7cm und a1 = 0,6cm. Berechnen Sie a2. 6. Gegeben ist ein Quader (siehe Abb.) mit a = 8,0cm, b = 5,6cm und h = 6,0cm. Berechnen Sie das Volumen, den Oberflächeninhalt und die Länge der Raumdiagonale EC . 7. Gegeben ist ein Kreissektor mit = 120° und r = 25cm. a) Berechnen Sie den Flächeninhalt und die Länge seines Bogens. b) Der Kreissektor stelltt den Mantel eines Kegels dar. Welches Volumen hat der dazugehörige Kegel? 8. Gegeben ist ein Würfel der Kantenlänge a = 5cm. a) Berechnen Sie das Volumen des größtmöglichen Zylinders, der in dem Würfel liegen kann. b) Berechnen Sie das Volumen des kleinstmöglichen Zylinders, in dem der Würfel liegen kann. c) Lösen Sie a) und b) für Kugel und Würfel. 18 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 LÖSUNGEN DER ÜBUNGEN UND AUFGABEN Übung zur Achsenspiegelung (7.2): A'(-2/1), B'(-4/ 3), C'(-2/5) Übung zur Verschiebung (7.2): A'(4/4), B'(7/3), C'(5/5) Übung zur Drehung (7.2): A'(-1/1 ), B'(-1/ 4), C' (-4 /2 ) Übung zur Punktspiegelung (7.2): A'(-1/-1), B'(-5/0), C'(0/-4) Übungen zu 7.2: 1. a) A´(7/3), B´(5/3), C´(5/2), D´(5/3) b) A=A, B´(-1/1), C´(-1/0), D´(1/0) ; c) A=B, D=C 2. A´(2/2), B´(4/3), C´(6/0) 3. a) P´(4/1), Q´(7/0) ; b) Q´´(0/3) Übung zu 7.3.2 a) b 2,5cm ; b) β = 90° ; c) γ = 80°, c 4,6cm ; d) b 7,1cm Übung zu 7.3.3 b 3,2cm oder b 5,8cm Übung zu 7.4.1: hc = 4cm; a 5,7cm Übungen zu 7.4.2: 1. DB = 5,25cm; Übungen zu 7.6: 1. A 5,6cm2 ; Übungen zu 7.7.1: 1. 6,93cm ; 2. V 65,18cm³ Übungen zu 7.7.2: 1. V = 48cm³ ; O = 66,60cm²; 2. O 132,19cm² Übung zu 7.7.3: V 33,25cm3 Aufgabe 1: u Aufgabe 2: a = 2,5cm ; A 1,9cm2 Aufgabe 3: y = 0,525cm Aufgabe 4: a = 1,2cm ; b 2,1cm ; A 1,25cm2 Aufgabe 5: a2 1,06cm Aufgabe 6: V = 268,80cm³ ; O = 252,80cm2 ; EC 11,5cm Aufgabe 7: a) ASektor 654,50cm2 ; b 52,4cm; b) rKegel 8,33cm ; V 1714cm3 Aufgabe 8: a) V 98,17cm³ ; b) V 196,35cm3 ca) V 65,45cm3 ; cb) V 340,09cm3 2. CD = 1,5cm 2. b 4,9cm ; ASektor 8, 6cm2 8,6cm ; A 5,2cm2 19 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 FERNUNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 07 Dienstgrad, Name, Einheit, Privatanschrift Vorname Standort, DZE Datum Email 1. a) Zeichnen Sie ein Dreieck mit a = 4,0cm; b = 3,0cm; = 90°. b) Berechnen Sie c. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt. d) Berechnen Sie hc . 2. Gegeben ist ein Kreissektor mit r = 4,0cm und der Bogenlänge b = 5,0cm. a) Berechnen Sie die Fläche des Kreissektors. b) Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel . 3. Ein Zelt hat die Form einer quadratischen Pyramide mit der Seitenflächenhöhe hs = 2,5m. Die Grundfläche ist 9m2 groß. Welches Volumen hat das Zelt? 4. Berechnen Sie in der abgebildeten Figur die Länge x. Senden Sie die Lösungen auf dem beigefügten DIN A 4 Blatt an die für Sie zuständige Bundeswehrfachschule (Name und Adresse nicht vergessen!). 20 / 21 Stand: 28.09.2006 481332469 DStG Name Vorname Blatt: Lösungen zu den Einsendeaufgaben LE 07 21 / 21 Stand: 28.09.2006
