Mehrstufige Zufallsexperimente

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Mehrstufige Zufallsexperimente
Glücksspiele, Ziehen einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit u.ä. lassen sich durch Ziehen aus
einer geeigneten Urne simulieren. Haben wir uns erst einmal auf eine Wahrscheinlichkeit geeinigt, so
lässt sich fast jedes Zufallsexperiment durch eine Urnensimulation modellieren. Es genügt also im
Folgenden, mehrstufige Zufallsexperimente bei Urnen zu betrachten.
Urnenexperimente lassen sich in Form von Baumdiagrammen darstellen: Zu jedem der möglichen
Ergebnisse des Zufallsversuch gehört ein so genannter Pfad im Baumdiagramm. Er beginnt an der
Wurzel des Baumes, verläuft über die verschiedenen Verzweigungen und endet mit der letzten Stufe.
Beispiel 3: Eine Münze wird geworfen. Es interessiert, ob die Zahl Z oder das Wappen W oben liegt.
Die Erfahrung zeigt, dass für die Wahrscheinlichkeiten gilt: p (Z)  p (W)  0,5 . Das Baumdiagramm
für das dreistufige Experiment: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimaligem Wurf einer
Münze zweimal Wappen und einmal Zahl erscheint“ hat das folgende Aussehen:
1. Wurf
2. Wurf
1
2
W-keit p
3. Wurf
Ergebnis
Z
Z/Z/Z
1
2
 12  12 
1
8
W
Z/Z/W
1
2
 12  12 
1
8
Z
Z/W/Z
1
2
 12  12 
1
8
W
Z/W/W
1
2
 12  12 
1
8
Z
W/Z/Z
1
2
 12  12 
1
8
W
W/Z/W
1
2
 12  12 
1
8
Z
W/W/Z
1
2
 12  12 
1
8
W
W/W/W
1
2
 12  12 
1
8
Z
1
2
1
2
Z
1
2
1
2
1
2
W
1
2
S
1
2
1
2
Z
1
2
1
2
W
1
2
1
2
W
1
2
Abb.1: Dreifacher Münzwurf
Blau eingefärbt wurden drei Pfade:
(1) Z  W  W
(2) W  Z  W
(3) W  W  Z
Diese Wege müssen wir einschlagen, wenn wir die Wahrscheinlichkeit für „zweimal Wappen und
einmal Zahl“ beim dreimaligen Werfen berechnen wollen.
1
Längs der Pfade gilt die Produktregel:
p (Z/W/W )  p (W/Z/W )  p (W/W/Z) 
1
2
 12  12 
1
8
.
Da wir hier drei Pfade, die für uns günstig sind, müssen wir diese addieren. Hier gilt für das Ereignis E:
„zweimal Wappen und einmal Zahl“:
E   (Z/W/W), (W/Z/W), (W/W/Z) und p (E) 
1
8

1
8

1
8

3
8
.
Beispiel 4: Beim „Mensch-ärgere-Dich-nicht“ dürfen wir bei einer „6“ starten. Dazu haben wir maximal
drei Versuche. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Start gelingt?
Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf eine „6“ zu werfen beträgt 1/6. D.h. in 5/6 aller Fälle sind wir
noch nicht fertig. In 1/6 der Würfe von diesen 5/6 schaffen wir es im zweiten Wurf eine „6“ zu werfen.
5
1/6 von 5/6 sind 16  56  36
. Also können wir in 5/36 aller Fälle im zweiten Versuch starten, in 5/6 von
den 5/6 die im ersten Versuch keine „6“ ergeben haben fällt auch im zweiten Versuch keine „6“, d.h. in
5 5
25
  36
aller Fälle müssen wir es noch ein drittes Mal versuchen. Dabei gelingt es wahrscheinlich in
6 6
1/6 dieser Fälle endlich eine „6“ zu werfen.
Die Wahrscheinlichkeit im Dritten Versuch eine 6 zu werfen ist also:
25 1

36 6
 56  56  16 
25
216
.
Man beschreibt diesen Zufallsversuch ebenfalls durch ein dreistufiges Baumdiagramm (Abb.2). Die
Wahrscheinlichkeit, dass wir überhaupt starten können, ist dann die Summe der Wahrscheinlichkeiten
der drei Möglichkeiten eine „6“ zu werfen – also:
1
6
1. Wurf
1
6

5
36

25
216

125
216
 0,42 ( 42 %) .
2. Wurf
3. Wurf
Ergebnis
W-keit p
„6“
1
6
6
5
6
„¬6“,“6“
S
5
6
 16 
5
36
6
1
6
¬6
1
6
5
6
¬6
6
„¬6“,
5
6
 56  16 
25
216
„¬6“,“6“
Abb.2: Dreifacher Würfelwurf (Es interessiert nur, ob eine „6“gewürfelt wird oder nicht.)
Merksatz
Pfadaddition: Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ein Ereignis aus den Ergebnissen
verschiedener Pfade im Baumdiagramm zusammen, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses durch die Addition der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade die zu dem Ereignis gehören.
2
Pfadmultiplikation: Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines
Ergebnisses (d.h. eines Pfades im Baumdiagramm) gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten
entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.
Rechenkontrolle: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist gleich 1!
Allgemein verlangt man, dass das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ein Laplace-Experiment ist. Bei
jedem Zug muss also jede sich in der Urne befindende Kugel die gleiche Chance haben, gezogen zu
werden.
Der zugehörige Wahrscheinlichkeitsraum heißt dann Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum oder
kurz: Laplace-Raum.
Anmerkung: (1) Bei vielen Glücksspielen stellt man geradezu die Forderung, dass alle möglichen Ergebnisse
gleichwahrscheinlich sind. Durch strenge Bestimmungen wird z. B. beim Zahlenlotto die Gleichwahrscheinlichkeit aller Kugeln
gefordert.
(2) Ist  eine Ergebnismenge und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Potenzmenge   , so nennen wir das Paar (, P)
einen Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Wahrscheinlichkeitsraum mit endlicher Ergebnismenge
Wahrscheinlichkeitsraum, wenn jedem Elementarereignis dieselbe Wahrscheinlichkeit, d.h. p 
1


heißt Laplacescher
zugeordnet ist.
Bekannt ist uns bereits: Sei (, P) ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum, dann wird durch
p A  
A

die Wahrscheinlichkeit eines beliebiges Ereignisses A aus   bestimmt. Wollen wir in einem
Laplace-Raum Wahrscheinlichkeiten angeben, müssen wir also die Anzahl der Elemente der
Teilmengen von  berechnen. Dabei bedienen wir uns oft der Mittel der Kombinatorik.
Die Ergebnisse eines n-stufiges Zufallsexperimentes können wir, wie oben erwähnt, durch so
genannte n-Tupel a1 a 2 ... a n notieren, wobei an der i-ten Stelle, i  1, 2, ..., n  , das Ergebnis des
i-ten Zufallsexperimentes steht.


Bilden wir nun solche n-Tupel, wobei für jede Stelle eine bestimmte Anzahl ( m1 bzw.
von Elementen zugelassen ist, so ist die Gesamtzahl aller möglichen solcher n-Tupel
m2 bzw. mn )
n
 mi .
k 1
Der beschriebene Weg ist hinlänglich als Allgemeines Zählprinzip bekannt. Das allgemeine
Zählprinzip verwenden wir schließlich, um die Anzahl der Möglichkeiten zu bestimmen, aus einer
Menge (Urne) mit N Elementen (Kugeln) n Elemente herauszugreifen. Wir unterscheiden dabei zwei
grundlegende Urnenmodelle: (I) mit und (II) ohne Zurückziehen.
Tabelle 3 gibt eine Übersicht über die zu betrachtenden Fälle:
Tabelle 3: Urnenmodelle aus Sicht der Kombinatorik
Ziehen von n Kugeln aus
N Kugeln
mit Zurücklegen
(Modell I)
mit Berücksichtigung der
Reihenfolge
Nn
Möglichkeiten
N!
ohne Zurücklegen
(Modell II)
N  n !
n

N  i  1

i
1
Möglichkeiten
ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge
 N  n  1



n 

Möglichkeiten
N!
N  n !n !
N 
  
 n
Möglichkeiten
3
Anmerkung: (1) Zur Herleitung der Ergebnisse in der Tabelle vergleiche beispielsweise Plachky (1983). (2) Wir verzichten an
dieser Stelle auf die Beschreibung der einzelnen Ergebnismengen. Einen Überblick liefert z.B. Plachky (1983).
Merksatz
Beim Ziehen ohne Zurücklegen können n Kugeln einzeln oder auch gleichzeitig ausgewählt werden.
Für dieses Modell gilt unter Anwendung der obigen Tabelle:
Eine Urne enthalte N Kugeln, von denen M rot und die übrigen N-M weiß sind. Daraus werden zufällig
und ohne zwischenzeitliches Zurücklegen n Kugeln gezogen. Das Ereignis E: „Unter den n
ausgewählten Kugeln befinden sich genau k rote“ besitzt die Wahrscheinlichkeit
M  N  M 
   

k   n  k 

p k  p E  
N 
 
 n
,
n  N.
Merksatz
Beim Ziehen mit zwischenzeitlichem Zurücklegen müssen die Kugeln einzeln gezogen und vor dem
nächsten Zug wieder in die Urne zurückgelegt werden. Hier gilt: Eine Urne enthalte N Kugeln, von
denen M rot und die übrigen N-M weiß sind. Daraus werden nacheinander n Kugeln gezogen. Jede
Kugel werde vor dem nächsten Zug in die Urne zurückgelegt. Das Ereignis E: „Unter den n
ausgewählten Kugeln befinden sich genau k rote“ besitzt die Wahrscheinlichkeit
k
n   M  
M
p k  p E         1  
N
N 
k
    
n k
.
für k = 0, 1, 2, ..., n; n  IN.
n 
Anmerkung: Neben der Kombinatorik findet der so genannte Binomialkoeffizient   eine Anwendung u.a. bei der Berechnung
k 
höher Binome:
(a  b )n 
n
n 
  k   a n k
k  0

bk .
So lässt sich beispielsweise die erste Binomische Formel (a  b )2  a 2  2ab  b 2 mit Hilfe von Binomialkoeffizienten
schreiben als:
(a  b ) 2 
2
2 
  k   a 2  k
k  0 
2
2
2
 b k     a 2  0  b 0     a 2 1  b 1     a 2  2  b 2  a 2  2ab  b 2
0
1 
2
oder
(a  b )3 
3
3 
  k   a 3k
k  0

 b k  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 usw.
4
Aufgaben
11. Im Fußballtoto werden jeweils elf Spiele gleichzeitig betrachtet. In jedem Spiel gibt es drei
Tippmöglichkeiten (0, 1, 2). Wie viele Möglichkeiten gibt es, denn Tippschein auszufüllen?
12. Beim Pferdetoto erzielt man den Hauptgewinn, wenn man die ersten drei Pferde in der
Reihenfolge ihres Eintreffens im Ziel angeben hat. Wie groß ist die Anzahl der
Tippmöglichkeiten, wenn zehn Pferde im Rennen sind?
13. Beim Zahlenlotto interessiert man sich für die Anzahl der Möglichkeiten, sechs Zahlen
(Kugeln) aus 49 zu ziehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? (Achtung: Die Reihenfolge spielt
keine Rolle.)
14. Eine Kiste enthalte N  10 Rundfunkröhren, von denen S  4 defekt seien. Jemand nimmt
n  3 Röhren ohne Zurücklegen heraus und probiert, ob sie defekt sind. Man kann die drei
Röhren auch mit einem Griff herausnehmen. Insofern kommt es auf die Reihenfolge der
gezogenen Röhren nicht an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit p k werden genau k defekte
Röhren gezogen? ( k  0, 1, 2, 3 )
15. Eine Urne enthalte N  10 Kugeln, von denen S  4 schwarz seien. Jemand nimmt eine
Kugel heraus und stellt fest, ob sie schwarz ist. Danach legt er sie zurück und wiederholt der
Vorgang noch zweimal. Nun wird gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit p k genau k
( k  0, 1, 2, 3 ) schwarze Kugeln gezogen werden.
16. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim sechsmaligen Würfelwurf mindestens einmal
„6“ fällt.
17. Eine Reisegesellschaft besteht aus N Personen. Während der Fahrt diskutiert man die Frage,
ob unter den Anwesenden zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Ab welcher
Gruppengröße würde sich eine Wette auf einen „Doppelgeburtstag“ lohnen?
18. Zwei Personen X und Y treffen sicher in der Zeit zwischen 11.00 und 12.00 Uhr an einem
bestimmten Ort unabhängig voneinander ein. Wir nehmen für jede der Personen an, dass die
Wahrscheinlichkeiten, innerhalb bestimmter Zeitintervalle anzukommen, proportional zu deren
Zeitlängen sind. Weiter nehmen wir an, dass jede Person genau zehn Minuten auf die andere
wartet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden treffen? (Lösung: 11
)
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