051031L

051031L
Es ist
z = 1 331
= 1  103 + 3  102 + 3  101 + 1 = (10 + 1)3
z = 103 030
= 1  106 + 3  104 + 3  102 + 1 = (102 + 1)3
z = 1 003 003 001 = 1  109 + 3  106 + 3  103 + 1 = (103 + 1)3
Folgen bei der Zahl z in der angegebenen Weise jeweils k Nullen direkt aufeinander, so erhält man
z = 1  103(k + 1) + 3  102(k + 1) + 3  10k + 1 + 1 . Das aber ist gleich (10k + 1 + 1)3. Also ist z eine
Kubikzahl.
051032L
a)
b)
Für die Konstruktion
Die Diagonalen im Rhombus haben folgende Eigenschaften:
(1)
Sie halbieren einander.
(2)
Sie stehen aufeinander senkrecht.
(3)
Sie halbieren je zwei Innenwinkel des Rhombus.
E sei der Schnittpunkt der Diagonalen
In der Figur in Abb. L 10; 2 gilt wegen (1)
f
(4)
DE  EB 
2
e
und AE  EC 
(5)
2
Der Winkel
AE  ED.
EAD hat ebenso wie der Winkel
EAB wegen (3) das Maß

. Ferner gilt wegen (2)
2
Der Rhombus läßt sich mithin konstruieren, wenn sich das rechtwinklige Dreieck  AED aus
e f
2

konstruieren läßt.
2
Die Aufgabe, den Rhombus ABCD zu konstruieren, ist damit auf die Aufgabe zurückgeführt worden,
ein rechtwinkliges Dreieck aus der Summe seiner Katheten und einem der beiden spitzen Winkel zu
konstruieren.
Es sei  UVW dieses Dreieck mit dem rechten Winkel bei V. Gegeben sei die Summe der Katheten
UV + VW und der Winkel
WUV. Dann zeichnet man die Strecke UT mit UT UV  UW und trägt in
und
U an UV den Winkel
WUV sowie in T an UT den Winkel UTW an, der wegen
WVT  R und
VTW  VWT (Das Dreieck  WVT ist gleichschenklig mit VW VT laut Konstruktion) ein
Winkelmaß von 45° hat. Die freien Schenkel beider Winkel schneiden einander im Punkt W. Das
Dreieck  UVW ist das verlangte Dreieck. Die Konstruktion ist sicher ausführbar und eindeutig, wenn
WUV spitz ist (siehe Abb. L.10; 2a).

Da im Rhombus ABCD stets 0° <  < 180° und mithin 0   90 gilt, läßt sich der Rhombus über das
2
Teildreieck  AED stets in der oben beschriebenen Weise konstruieren, wobei die Punkte B und C
infolge (4) und (5) leicht bestimmt werden können.
051033L
Die gegebene Gleichung ist äquivalent mit den folgenden Gleichungen
a + bc = a2 + ac + ab + bc
a2 + ac + ab – a = 0
a (a + b + c –1 ) = 0
(1)
Da das Produkt zweier Zahlen dann und nur dann Null ist, wenn wenigstens einer seiner Faktoren
Null ist, folgt, daß entweder
a=0
(2)
oder a + b + c – 1 = 0
sein muß, und umgekehrt ist in jedem dieser Fälle die Gleichung (1)
und damit auch die gegebene erfüllt.
Die gegebene Gleichung ist also erfüllt
für a = 0 und alle reellen Zahlen b und c und
für alle reellen Zahlen a, b und c, für die a + b + c = 1 gilt.
In allen anderen Fällen ist sie nicht erfüllt.
051034L
Angenommen log2 6 wäre eine rationale Zahl. Dann gäbe es zwei ganze Zahlen p, q mit
(p, q) = 1, q > 0, so daß
p
log2 6 =
gilt.
(1)
q
Hieraus folgt nach der Definition des Logarithmus
p
q
2 =6
Diese Aussage ist äquivalent mit
2 p  6 q   2  3
(2)
q
Also müßte 2 p  q  3q gelten.
Es sei p – q = n Dann ist n ganz und es müßte 2n  3q gelten, woraus folgt, daß n > 0 sein muß.
Daraus ergäbe sich 2 | 2n, was wegen 2 Œ3q nicht möglich ist. Also ist log2 6 keine rationale Zahl.
051035L
Wenn die Gleichung (*) eine Lösung x, besitzt, so gilt
a  x0  1  b ax0  b

, c  x0  1  d  0, cx  d  0
c  x0  1  d cx0  d
Daraus folgt
 a  x0  1  b    cx0  d   c  x0  1  d    ax  b  , c 2  d 2  0
(1)
(2)
und weiter
(3)
ad  bc, c2  d  0.
Wenn (*) eine Lösung besitzt, so muß (3) gelten und umgekehrt, wenn (3) gilt, dann hat (*) eine
Lösung; denn aus (3) folgt, daß für alle reellen Zahlen x 0 sicher (2) gilt, und daraus folgt weiter
I.
falls c = 0 ist, d  0 und daher, daß für jede reelle Zahl x0 sicher (1) erfüllt ist,
d
d c

II.
falls c  0 ist, daß für jede reelle Zahl x0  mit x0   und x0  
 die Gleichung (1) erfüllt
c
c 

d
d c
ist, während x0 =  und x0 = 
nicht Lösung von (*) sind.
c
c
051036L
Es seien M der Mittelpunkt der gegebenen konzentrischen Kreise und A und B die Endpunkte eines
Durchmessers des inneren Kreises (siehe Abb.. L 10; 6).
Man zeichne die durch M und P verlaufende Gerade und fälle auf sie die Lote vom Punkt A
(Schnittpunkt sei C) und vom Punkt B (Schnittpunkt sei D).
2
2
Behauptung: PA  PB  k
Beweis: Fallen die Punkte C und D nicht zusammen, so gilt für die Dreiecke  ACM und  BDM
(als Radien des inneren Kreises),
AM  BM
ACM  BDM (als rechte Winkel),
AMC  BMD (als Scheitelwinkel).
Folglich sind die Dreiecke  ACM und  BDM kongruent, also gilt auch CM  DM und AC  BD .


2
2
2
BP  BD   MP  DM  und
2
2
Aus dem Dreieck  ACP folgt nach dem Lehrsatz des Pythagoras: AP  AC  CM  MP
Aus dem Dreieck  BPD folgt nach dem Lehrsatz des Pythagoras:
2
2

wegen BD  AC und DM  CM daraus BP  AC  MP  CM
2
2
2
2
2
2
2

2
2
. Also ist.
2

2
2
AP  BP  AC  CM  2 CM MP  MP  AC  MP  2 CM MP  CM  2 AC  CM  MP
2
2
2
2

2
2
.
2
Aus dem Dreieck  ACM folgt nach dem Lehrsatz des Pythagoras: AM  AC  CM .
Daher gilt AP  BP  2 AM  MP
2
  k , da AM und MP die Radien der konzentrischen Kreise
sind.
Die letzte Gleichung gilt auch, wenn C = D (=M) ist. Damit ist die Behauptung bewiesen.