Formelsammlung Physik
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Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 Formelsammlung Physik 1. Grundlagen ......................................................................................................................... 3 1.1. Grundgrössen: Raum, Zeit, Masse und Ladung ......................................................... 3 1.2. Grundeigenschaften von Körpern und Stoffen ........................................................... 3 1.2.1. Volumen ............................................................................................................. 3 1.2.2. Masse .................................................................................................................. 4 1.2.3. Atome ................................................................................................................. 4 1.2.4. Dichte ................................................................................................................. 4 1.3. Zusammengesetzte Geschwindigkeit ......................................................................... 5 1.4. Geradlinige, gleichförmige Bewegung: Geschwindigkeit ......................................... 6 1.5. Lichtgeschwindigkeit ................................................................................................. 6 2. Kreisbewegung ................................................................................................................... 7 2.1. Periode, Frequenz, Bahngeschwindigkeit .................................................................. 7 2.2. Kreisbeschleunigung .................................................................................................. 7 2.3. Freier Fall ................................................................................................................... 8 3. Impuls und Impulserhaltung............................................................................................... 8 4. Geradlinige, gleichmässig beschleunigte Bewegung: Beschleunigung ............................. 8 5. Der waagerechte Wurf ....................................................................................................... 9 6. Die Schwingungsdauer eines Federpendels ..................................................................... 10 7. Kräfte ................................................................................................................................ 11 7.1. Definition der Kraft: Newtonsche Bewegungsgesetz .............................................. 11 7.1.1. Kraftstoss .......................................................................................................... 11 7.2. Ausgewählte Kräfte .................................................................................................. 11 7.2.1. Gewichtskraft (Schwerkraft) ............................................................................ 11 7.2.2. Federkraft ......................................................................................................... 12 7.2.3. Normalkraft ...................................................................................................... 12 7.2.4. Reibungskraft zwischen Festkörpern ............................................................... 12 7.2.5. Zentripetalkraft ................................................................................................. 13 7.3. Das zusammenwirken von Kräften .......................................................................... 13 7.3.1. Kräfteaddition und Kräftegleichgewicht .......................................................... 13 7.3.2. Kräftezerlegung ................................................................................................ 14 8. Arbeit und Leistung .......................................................................................................... 15 8.1. Kraft-Weg-Diagramm (Arbeitsdiagramm)............................................................... 15 8.2. Arbeitsformen ........................................................................................................... 16 9. Energie und Energieerhaltung .......................................................................................... 17 9.1. Energie und Energieformen...................................................................................... 17 9.2. Energieumwandlungen ............................................................................................. 18 9.3. Energieerhaltung ...................................................................................................... 18 10. Kinetische Gastheorie .................................................................................................. 19 10.1. Temperatur im Teilchenmodell ............................................................................ 19 10.1.1. Teilchenmodell und Aggregatszustände .......................................................... 19 10.1.2. Innere Energie und Temperatur ........................................................................ 19 10.2. Gasdruck und Teilchengeschwindigkeit .............................................................. 19 10.3. Die Zustandsgleichung idealer Gase .................................................................... 21 10.3.1. Zustandsgleichung und Gasgesetze .................................................................. 21 10.4. Äquipartitionsgesetz: Gleichverteilung der inneren Energie ............................... 21 11. Wärme .......................................................................................................................... 21 11.1. Wärme als Energieübertragung ............................................................................ 21 11.2. Spezifische Wärmekapazität ................................................................................ 22 11.3. Mischtemperatur ................................................................................................... 23 Stefan Schuler 481342806 1/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 12. Änderung der Aggregatzustände .................................................................................. 23 12.1. T-Q-Diagramm ..................................................................................................... 23 Stefan Schuler 481342806 2/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 1. Grundlagen 1.1. Grundgrössen: Raum, Zeit, Masse und Ladung Die ersten drei Mechanik Die ersten vier Elektromagnetismus, statische Mechanik (Wärmelehre) und moderne Physik (Atom- und Quantenphysik) 1. Länge (m für Meter) 2. Zeit (s für Sekunden) 3. Masse (kg für Kilogramm) 4. Ladung (C für Coulomb) Ampère (A für Stromstärke) = 1A = 1C / s Beschleuni gung [a ] m s2 kg m 2 Energie [ E ] J s2 kg m 2 J elektr. Spannung [U ] 2 C s C http://de.wikipedia.org/wiki/SI-Einheiten noch einfügen Naturkonstanten sind Grössen, deren Masszahl einen festen Wert hat, welcher i.d.R. nicht theoretisch, sondern nur im Experiment bestimmbar ist. Die Einheiten sind ebenfalls aus den Basiseinheiten zusammengesetzt. Beispiel: Vakuumlichtgeschwindigkeit c ≈ 300’000 km/s. SI-Vorsilben Vorsilbe Nano Abkürzung n Zehnerpotenz ∙10-9 1.2. Mikro μ ∙10-6 Milli m ∙10-3 Kilo k ∙103 Mega M ∙106 Giga G ∙109 Grundeigenschaften von Körpern und Stoffen Es gibt rund 120 Grundstoffe (Atomsorten, chemische Elemente). Aus diesen sind alle Stoffe (Substanzen) der Welt zusammengesetzt (z.B. Wasserstoff H, Sauerstoff O, Kohlenstoff C, Wasser H2O, Kohlendioxid CO2). Ein Körper ist eine abgegrenzte Menge eines Stoffes, der sich in einem der drei sogenannten Aggregatzustände fest, flüssig oder gasförmig befindet (z.B. Stein, Wasser, Luft). 1.2.1. Volumen Das Volumen V eines Körpers gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Stefan Schuler 481342806 3/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik Quader: Zylinder: V = b∙h∙l V = r2∙π∙l 1 L = 0.001m3 = 1dm3 1 ml = 1 cm3 = 0,001 l 1 cl = 0,01 l 1 dl = 0,1 l 1 hl = 100 l l = L = Liter m3 = Kubikmeter ml = Milliliter cl = Zentiliter dl = Deziliter hl = Hektoliter 13.01.2008 Kugel: V 4 3 r 3 dm3 = Kubikdezimeter 1.2.2. Masse Körper mit gleichem Volumen, aber aus verschiedenen Materialien bestehend, sind im Allgemeinen unterschiedlich schwer. Dies gilt unabhängig davon, wo sich der Körper befindet. Diese vom Ort unabhängige Eigenschaft des Körpers heisst Masse. Sie gibt an, wie schwer (oder wie leicht) ein Körper ist. (Die Masse gibt auch an, wie träge ein Körper ist, d.h. wie einfach er sich beschleunigen lässt) kg = [m] m = Masse t = Tonne kg = Kilogramm 1 t = 1000 kg = 1000'000 g 1000 g = 1 kg = 0.001 t g = Gramm 1.2.3. Atome Atomkern: 10-15 – 10-14 m m = Meter Und ca. 100'000 mal grösseren Elektronenhülle Sogar Atomkerne sind teilbar: sie sind aus weiter nicht mehr teilbaren Nukleonen (Kernteilchen) zusammengesetzt: den Protonen und den Neutronen. Der kleinste aller Atomkerne ist derjenige des Wasserstoffatoms, er besteht nur aus einem einzigen Proton. Die kleinsten atomaren Massen sind daher die Protonen-, die Neutronen- und die Elektronenmasse: mp ≈ mn ≈ 1.67 ∙ 10-27 kg me ≈ 9.1 ∙ 10-31 kg 1.2.4. Dichte Je mehr Atome einer Sorte sich in einem Körper gegebenen Volumens zusammendrängen und je schwerer diese Atome sind, desto mehr Masse ist im Volumen enthalten. Diese charakteristische Materialeigenschaft wird durch folgende Grösse beschrieben: Masse Volumen kg = Kilogramm Dichte Stefan Schuler m kg3 V m 3 m = Kubikmeter ρ = Rho bzw. 481342806 4/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 Die Dichte ist eine form- und volumenunabhängige, temperaturabhänige Materialkonstante, d.h. ein bestimmter Stoff hat bei einer vorgegebenen Temperatur (z.B. bei 20°C) einen genau festgelegten Dichtewert. V m V = Volumen in Kubikmeter = m3 m = Masse in kg ρ = Dichte Ein Körper, dessen Dichte kleiner ist als die seiner Umgebung, steigt nach oben. Ist seine Dichte grösser als die seiner Umgebung, so sinkt er. 1.3. Zusammengesetzte Geschwindigkeit Eine Bewegung ist durch Ort- und Zeitveränderung bezüglich eines Koordinatensystems mess- und beschreibbar. Bewegungen werden bezüglich eines gewählten Bezugssystems (dem verwendeten Koordinatensystem) beschrieben. Ist eine Bewegung aus unabhängigen Teilbewegungen zusammengesetzt, so lässt sich jeder Teilbewegung ein eigenes Bezugssystem zuordnen. Die Geschwindigkeit hat nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung. Sie ist eine gerichtete Grösse, ein so genannter Vektor. Vektorelle Grössen werden durch Pfeile dargestellt; sie sind nur durch Angabe des Betrages (bzw. der Länge) und der Richtung vollständig bestimmt. Die aus unabhängigen Teilbewegungen zusammengesetzte Geschwindigkeit ergibt sich mittels Vektoraddition: der resultierende Geschwindigkeitsvektor ist die Vektorsumme der einzelnen Geschwindigkeitsvektoren. Allgemein gilt für eine aus unabhängigen Teilbewegungen zusammengesetzte Bewegung bzw. für Bezugssysteme in relativer Bewegung zueinander: Bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit V in einem Bezugssystem A, und A bewegt sich dieses mit der Relativgeschwindigkeit V gegenüber einem Bezugssystem 0 B, so hat der Körper in Bezug auf das System B die resultierende Geschwindigkeit V V V . B 0 A Dies gilt also für gleich- und entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeitsüberlagerungen, für im rechten Winkel zueinander gerichtete Geschwindigkeitsüberlagerungen und für in einem beliebigen Winkel zueinander gerichtete Geschwindigkeitsüberlagerungen. Stefan Schuler 481342806 5/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 1.4. Physik 13.01.2008 Geradlinige, gleichförmige Bewegung: Geschwindigkeit Bei der gleichförmigen Bewegung werden in gleichen Zeitspannen t gleiche Weglängen s zurückgelegt. Der Quotient s / t ist daher konstant. Insbesondere ist er auch gleich dem Quotienten s/t aus dem insgesamt zurückgelegten Weg s und der dafür benötigten Zeit t. Er heisst Geschwindigkeit und wird mit v nach frz. vitèsse bzw. engl. velocity bezeichnet. Weg s s 2 s1 s v Zeit t t 2 t1 t s = Sekunden Geschwindigkeit m = Meter s Weg in meter t Zeit in sekunden Bewegungsdiagramm: Ort-Zeit-Diagramm v m s Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm Bewegungsgleichung für eine gradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v: s s0 s s0 v t und daraus v t v m s s v ·t t v = Geschwindigkeit in meter/sekunden s = Strecke in meter s t = Zeit in sekunden v 1.5. m = Meter s = Sekunden v = Geschwindigkeit in meter/sekunden t = Zeit in sekunden s = Strecke in meter v = Geschwindigkeit in meter/sekunden Lichtgeschwindigkeit c 300'000 km / s Stefan Schuler 481342806 6/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 2. Kreisbewegung Ein Körper, der sich auf einer kreisförmigen Bahn bewegt, vollführt eine Kreisbewegung. Erfolgt die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, so liegt eine gleichförmige Kreisbewegung vor. 2.1. Periode, Frequenz, Bahngeschwindigkeit Anders als bei einer geradlinigen Bewegung wiederholt sich der Ort des Körpers nach jedem Umlauf: die Bewegung ist periodisch mit einer Umlaufdauer bzw. Periode T [T] = s Somit ist für n Umläufe die Zeit t = nT erforderlich. Umgekehrt ist die Anzahl Umläufe pro Sekunde die Drehfrequenz oder einfach die n 1 1 Frequenz f [f] = s-1 = Hz (Hertz) T t T f Die mit 2π multiplizierte Frequenz heisst 2 Kreisfrequenz 2 f T Oder Winkelgeschwindigkeit. f 2 Da bei einem Kreisradius r der Kreisumfang 2π r beträgt, gilt die Konstante 2 r a 2 r 2 f r r T Bahngeschwindigkeit v T v v v = Geschwindigkeit in meter/sekunden Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors einer gleichförmigen Kreisbewegung ist konstant, die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist tangential zum Kreis und ändert sich ständig. Für Winkelgeschwindigkeit: v r 2.2. v r f 2 Kreisbeschleunigung v2 2 r v Kreis- oder Zentralbeschleunigung a r Erste kosmische Geschwindigkeit v 7.9 km / s v 2 f r Stefan Schuler 481342806 7/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 2.3. Physik 13.01.2008 Freier Fall Ein Objekt im freien Fall fällt beschleunigt und hat nach der Zeit t eine Geschwindigkeit von v g · t 10 t erreicht. g 9.81 m / s 2 3. Impuls und Impulserhaltung Um den Zustand einer geradlinig gleichförmigen Bewegung genauer zu charakterisieren, genügt die vektorielle Angabe der Geschwindigkeit durch Betrag und Richtung allein nicht. Die Masse des bewegten Objekts ist mit einzubeziehen. Das führt auf folgende Bewegungsgrösse: pmv [ p] kg m / s Impuls Bei geradlinigen Bewegungen kann der Impuls je nach Richtung einen positiven oder negativen Wert aufweisen. Impuls vorher ist gleicht lang wie der Impuls nachher, wenn es elastisch ist. Stösse bewirken eine Impulsänderung beim Stosskörper: Impulsänderung = Impuls nachher – Impuls vorher bzw. p p p Der Vergleich der Impulse vor und nach einer Wechselwirkung heisst Impulsbilanz. Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Summe der Impulsänderungen von n Körpern bei einer Wechselwirkung Null. M.a.W., der Gesamtimpuls bleibt erhalten. Stets gilt p1 p2 ... pn p1 p2 ... pn . (konstante Vektorsumme!) Der Impulserhaltungssatz (kurz auch Impulssatz genannt) gilt für alle Wechselwirkungen materieller Körper, zwischen Elementarteilchen genau so wie zwischen Sternen. 4. Geradlinige, gleichmässig beschleunigte Bewegung: Beschleunigung Viele Bewegungen in Natur und Technik verlaufen nur während einer gewissen Zeit gleichförmig, früher oder später werden sie schneller oder langsamer. Ein Mass für Geschwindigkeitsänderungen ist die Beschleunigung (engl. acceleration), definiert durch v v2 v1 v m Beschleunigung a [a] 2 t t 2 t1 t s Dabei sind v die Geschwindigkeitsänderung und t die währenddessen verflossene Zeit. Für eine gleichmässig beschleunigte Bewegung ist die Beschleunigung konstant, a = konst., und die Geschwindigkeit wächst linear mit der Zeit (d.h. proportional zur Zeit): die Geschwindigkeit nimmt jede Sekunde um denselben Betrag a zu. Somit ist die aus dem Stand nach t Sekunden erreichte Geschwindigkeitsänderung bzw. Geschwindigkeit v at . Erfolgt hingegen die Beschleunigung nicht aus dem Stand, sondern erhöht die Beschleunigung eine schon vorliegende Anfangsgeschwindigkeit v0 , so gilt einfach v v0 at . Stefan Schuler 481342806 8/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 Im v-t-Diagramm stellt die Beschleunigung aufgrund der Definition eine Gerade mit Steigung a dar. Die Fläche unterhalb der Geraden ist (In Analogie zur gleichförmigen Bewegung!) gleich der während der Beschleunigung zurückgelegten Strecke. Daraus lässt sich einfach ableiten, dass der zurückgelegte Weg quadratisch mit der Zeit bzw. der Geschwindigkeit wächst und daher die Bewegung im s-t-Diagramm durch eine sog. Parabel dargestellt wird. Hier drei Diagramme zeichnen Bewegungsgleichung der gleichmässig beschleunigten Bewegung aus dem Stand: s 1 vt 2 t v/a s 1 v2 2 a v at s 1 2 at 2 Für unendlich kleine Zeitintervalle ergäbe sich eine kontinuierliche s-t-Kurve (Parabel). Je steiler die Fallrinne liegt, desto grösser ist die Beschleunigung und desto schneller wächst die Parabel; eine vertikal gestellte Fallrinne führt auf die Fallbeschleunigung. Bewegungsgleichung der gleichmässig beschleunigten Bewegung mit Anfangsbedingungen 1 s s 0 v0 t at 2 2 Statt als in der Zeit t quadratisch lässt sich die Bewegungsgleichung der gleichmässig beschleunigten Bewegung auch als in der Geschwindigkeit v quadratisch ausdrücken: Die v v0 Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit v v0 at ist äquivalent zu t ; a eingesetzt in die Bewegungsgleichung für den Ort ergibt sich nach einigen Umformungen 2 v 2 v0 s s0 2a v 2 v0 2a(s s0 ) 2 5. Der waagerechte Wurf sx v0 · t sowie 1 sy g · t 2 2 2 sx in die v0 Gleichung für sy eingesetzt, so ergibt sich die Gleichung der Bahnkurve; sie ist ein Teilstück einer nach unten offenen Parabel: Diese Gleichungen gelten auch für andere waagerecht geworfene Körper. Wird t Stefan Schuler 481342806 9/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 2 1 s sy · g · x2 2 s0 Für den Betrag v der Geschwindigkeit gilt nach: v v x v y = 2 Ortskoordinaten: s x v0 · t, s y Bahnkurve: s y 2 v0 ( g · t ) 2 2 1 g ·t2 2 1 g 2 · 2 ·sx 2 v0 Geschwindigkeiten: v x v0 , v y g · t Daraus folgt: v v x v y v0 ( g t ) 2 2 2 2 v0 wird mit den Werten für s x und s y aus der Gleichung der Bahnkurve berechnet: v0 1 g · sx 2 sy Die Zeit beträgt: s t x v0 Nun kann die Auftreffgeschwindigkeit v berechnet werden: v v0 ( g t ) 2 2 6. Die Schwingungsdauer eines Federpendels m = Masse eines angehängten Körpers D = Federkonstante der Feder T = Schwingungsdauer Masse ist proportional zu T2. T m T m D T ist proportional zu Quadratwurzel von m T2 1 D Die Schwingungsdauer eines Federpendels ist gemäss den gefundenen Ergebnissen sowohl von der angehängten Masse (m) als auch von der Stärke der Feder (D) abhängig: Je grösser die angehängte Masse oder je weicher die Feder ist, desto länger ist die Schwingungsdauer. m Letztere ist allerdings nicht einfach proportional zu , sondern es gilt D m T D Proportionalitätskonstante ist 2 6.28... Stefan Schuler 481342806 10/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik Die Schwingungsdauer eines Federpendels ist T 13.01.2008 m · 2 D Diese Beziehung ist unabhängig von der anfänglichen Deformation und gilt sogar allgemein für Systeme, deren Rückstellkraft wie bei der Feder proportional zur Deformation ist. 7. Kräfte 7.1. Definition der Kraft: Newtonsche Bewegungsgesetz Der gleichförmige Bewegungszustand einer Masse ist charakterisiert durch den p mv Impuls Erfährt der Masskörper während der Zeitspanne t eine gleichmässige Beschleunigung a , so erfolgt eine Geschwindigkeitsänderung p a t , was gleichbedeutend ist mit einer p m v ma t Impulsänderung Hierbei wurde eine Konstante vorausgesetzt (was nicht immer der Fall ist). Die Ursache einer Impulsänderung bzw. einer Beschleunigung wird als Kraft bezeichnet. Die Kraft ist formal über die zeitliche Impulsänderung bzw. über die Beschleunigung definiert: p kg m F ma [F ] 2 N Kraft Newtonsches Bewegungsgesetz t s Das Symbol F steht für force (engl. Kraft), das N für die Einheit der Kraft, das Newton. In Worten: Die Änderung des Gesamtimpulses eines Systems dividiert durch die Zeitdauer dieser Änderung ist gleich der gesamten von aussen während dieser Zeit angreifenden Kraft. Anders und knapper gesagt, Kraft ist gleich Masse mal deren Beschleunigung. Dabei gilt, dass die Richtung der Kraft die Richtung der Beschleunigung festgelegt! Von aussen auf einen Massekörper einwirkende Kräfte können verschiedenen Ursprungs sein: Sie lassen sich durch Schlag, Druck, Zug und Reibung, durch Kreisbewegung und durch Massenanziehung, durch elektrische Ladungsanziehung oder –abstossung, etc. hervorrufen. 7.1.1. Kraftstoss Definition: Eine für kurze Zeit einwirkende Kraft verursacht einen Kraftstoss. Das Produkt aus Kraft mal Zeitintervall heisst Kraftstoss und ist somit formal gleich der Impulsänderung. 7.2. Ausgewählte Kräfte 7.2.1. Gewichtskraft (Schwerkraft) Eine im freien Fall der Erdoberfläche zufliegende Masse m erfährt die Fallbeschleunigung g 9.81 m / s 2 (Ortsfaktor). Ursache dieser Beschleunigung ist die Erdanziehungskraft, auch Stefan Schuler 481342806 11/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 Gewichtskraft (oder kurz Gewicht) genannt: Die Masse der Erde zieht die Masse m eines Körpers an mit der Gewichtskraft FG m g p Schweredruck FG A 5 10 N m2 1 bar 7.2.2. Federkraft Die Rückstellkraft einer um die Strecke x aus der Ruhe- oder Nulllage ausgelenkten Schraubenfeder ist proportional zu dieser Auslenkung x: F Dx Federkraft D: Federkonstante D F m Je grösser die Auslenkung, desto grösser die Rückstellkraft. Diese Beziehung wird auch Hookesches Gesetz genannt; es gilt nicht nur für Schraubenfedern, sondern für beliebige elastische Körper, sofern die Deformation genügend klein ist und somit das Material keine bleibende Verformungen erleidet. Die Federkonstante charakterisiert die Härte oder Stärke einer gegebenen Schraubenfeder; sie ist umso grösser, je härter die Feder ist. Kräftegleichgewicht FG FF bzw. m g D x 7.2.3. Normalkraft Ein Buch, das auf einem Tisch liegt, bleibt im Zustand der Ruhe, obwohl auf das Buch die Gewichtskraft wirkt. Offensichtlich wirkt der Gewichtskraft eine vom Tisch ausgehende Kraft entgegen, denn ohne Tisch fällt das Buch auf den Boden. Diese von der Unterlage an der Berührungsfläche ausgeübte Gegenkraft heisst Normalkraft FN ; sie steht immer „normal“ (was im mathematischen Jargon rechtwinklig bedeutet) auf der stützenden Unterlage. Auf horizontalen Unterlagen kompensiert sie die Gewichtskraft: FN FG ; auf schiefen Unterlagen kompensiert sie die zur Unterlage rechtwinklige Komponente der Gewichtskraft: FN FG h FG cos l I 2 h2 l cos 7.2.4. Reibungskraft zwischen Festkörpern Die Verzögerung der Bewegung wird durch die so genannte Reibungskraft (kurz Reibung) verursacht. Reibung ist ein spezielles Stossphänomen: es finden dauernd Stösse zwischen den – mikroskopisch gesehen – rauen Flächen des Körpers und der Unterlage statt: Je glatter oder härter die Oberflächenbeschaffenheit eines Körpers bzw. einer Unterlage ist, desto weniger Stösse ereignen sich und umso kleiner ist die Reibung. Stefan Schuler 481342806 12/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 Die Reibungskraft erweist sich als proportional zur Normalkraft (d.h. zur Kraft bzw. Kraftkomponente senkrecht auf die Unterlage), doch sie ist – dies vielleicht etwas überraschend – unabhängig von der Kontaktfläche oder der Geschwindigkeit der Bewegung. Es wird zwischen Gleittreibung und Haftreibung unterschieden. Gleitreibungskraft FR G FN G Gleitreibungszahl Haftreibungskraft FR H FN H Haftreibungszahl v2 2s m = Masse in kg a = Beschleunigung in meter/s2ekunden v = Geschwindigkeit in meter/sekunden s = Strecke in meter a/ g mamg a g = 9.81 m/s2 7.2.5. Zentripetalkraft Ein Massekörper in gleichförmiger Kreisbewegung erfährt die zum Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalbeschleunigung a Z v 2 / r 2 r , wo r der Kreisradius, v r die Bahngeschwindigkeit und die Kreisfrequenz ist. Diese Beschleunigung verursachende Kraft heisst daher m v2 Zentripetalkraft FZ m a Z m 2 r r 7.3. Das zusammenwirken von Kräften 7.3.1. Kräfteaddition und Kräftegleichgewicht Wirken zwei oder mehr Kräfte gleichzeitig auf einen Körper, so heisst deren gemeinsame Wirkung die resultierende Kraft oder kurz die Resultierende. Sie lässt sich mittels Vektoraddition ermitteln. Ist die Summe der Kräfte Null, so liegt ein Kräftegleichgewicht vor. Zusammenwirken paralleler Kräfte zwei Kräfte wirken in gleicher Richtung zwei Kräfte wirken in entgegen gesetzter Richtung F1 F2 F2 F F1 F2 F F1 F2 ein Velo zieht ein Skateboard F F1 F2 F F1 F2 F F1 F2 wie eine Lokomotive F1 wie ein Skilift, Seilziehen F2 F 1 F 1 F 0 Kräftegleichheit Stefan Schuler 481342806 13/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 Zusammenwirken nicht paralleler Kräfte Die Resultierende ergibt sich o Zeichnerisch durch die Diagonale im Kräfteparallelogramm; o Rechnerisch mit dem Satz von Pythagoras oder mit dem Cosinussatz. zwei Kräfte wirken im rechten Winkel zueinander F F1 F2 zwei Kräfte wirken in beliebiger Richtung zueinander F F1 F2 F F1 F2 2 F1 F2 · cos 2 2 Wirken auf einen Körper mehr als zwei Kräfte, so kann man durch Addition von jeweils zwei Kräften schrittweise die resultierende Kraft ermitteln. 7.3.2. Kräftezerlegung Eine Kraft kann in Teilkräfte, in so genannte Komponenten, zerlegt werden, wenn die Richtung der Komponenten zweckmässig gewählt oder vorgegeben sind. Die Resultierende der Teilkräfte ergibt wieder die angreifende Kraft. Die Berechnung der Komponenten erfolgt mit Hilfe der Winkelfunktionen. In den folgenden drei Anwendungen wird die Gewichtskraft durch geeignete Komponenten ersetzt, doch ist die Methode allgemein auf Kräfte anwendbar. 1. Zug- und Druckkraft in der Statik Zweiseitige Aufhängung Doppelstrebe Bild einfügen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Bild einfügen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2. Kräftezerlegung auf der schiefen Ebene. Die Gewichtskraft wird zerlegt in die Normalkraft (die Komponente senkrecht zur geneigten Ebene) und in die Hangabtriebskraft (die Komponente parallel zur geneigten Ebene bzw. zur Bewegungsrichtung). Bild einfügen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3. Kräftezerlegung beim Fadenpendel. Stefan Schuler 481342806 14/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 Die Gewichtskraft wird zerlegt in Zentrifugalkraft (die Komponente senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung) und Beschleunigungskraft (die Komponente in Bahnrichtung, also parallel zur momentanen Bewegungsrichtung). Bild einfügen !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1 D D1 D2 1 8. Arbeit und Leistung Wenn auf einen Körper eine Kraft wirkt und sich der Körper deswegen bewegt und dabei eine gewisse Strecke zurücklegt, so wird am Körper Arbeit verrichtet. Mechanisch gilt: Die Arbeit W ist gleich dem Betrag der Kraft Fpar parallel zur Bewegungsrichtung mal dem dabei zurückgelegten Weg s, salopp gesagt: „Arbeit = Kraft mal Weg“. kg m 2 Mechanische Arbeit W Fpar · s [W ] N · m J s2 Die Einheit der Arbeit (engl. work) ist das Joule, kurz J. par = Parallel Je grösser die aufgewendete Kraft und je grösser der dabei zurückgelegte Weg, desto grösser die verrichtete Arbeit. Typischerweise wird ein Leiterwagen nicht genau von vorne gezogen, sonder Zugkraft und Bewegungsrichtung schliessen einen Winkel ein. Dies ist gleich wie beim Ziehen eines Koffers. Wenn die Kraft und die Bewegungsrichtung einen Winkel einschliessen, so verrichtet nur die Parallelkomponente der Kraft eine Arbeit, denn nur die Parallelkomponente bewerkt eine Bewegung. Für den Betrag der Parallelkomponente der h Kraft gilt F par F · F · cos l Da auch Bild / Zeichnung einfügen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8.1. Stefan Schuler Kraft-Weg-Diagramm (Arbeitsdiagramm) 481342806 15/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik F par kons tan t F par D s 13.01.2008 Das Kraft-Weg-Diagramm zeigt, wie gross der Betrag der Kraft Fpar, die auf den Körper wirkt, an verschiedenen Orten s ist. Bei konstanter Kraft Fpar entspricht die Arbeit W F par · s der Rechtecksfläche unter der horizontalen Geraden. Allgemein, d.h. auch bei nicht konstanter Kraft, gilt, dass die Arbeit W gleich der Fläche unter der Kurve im KraftWeg-Diagramm ist. 8.2. Arbeitsformen Die Arbeit, die erforderlich ist, um eine Masse m um h Meter anzuheben, heisst Hubarbeit W FG · h m g h Die Arbeit, die erforderlich ist, um eine Masse m vom Ruhestand mit einer gleichmässigen Beschleunigung a auf eine Geschwindigkeit v zu beschleunigen heisst v2 v2 1 Beschleunigungsarbeit W F· ma m v2 2a 2a 2 2 1 v 1 v 1 v2 s at 2 v at t s a 2 s 2 a 2 a 2 a Die Arbeit, die erforderlich ist, um eine Schraubenfeder der Federkonstanten D um s Meter zu dehnen, heisst 1 1 W F ·s D s2 Spannarbeit 2 2 Die Arbeit, die erforderlich ist, um auf einer Strecke von s Metern gegen eine Reibungskraft FR anzukommen, heisst Reibungsarbeit W FR · s FH s Es ist nicht dasselbe, ob jemand eine 5m hohe Kletterstange in 4s oder in 10s hinaufklettert. Obwohl die Hubarbeit dieselbe ist, ist die Arbeitszeit nicht dieselbe. Es ist eine grössere Leistung, wenn zur Überwindung der Höhendifferenz weniger Zeit beansprucht wird. Kurz: Je schneller eine Arbeit verrichtet wird, desto grösser ist die erbracht Leistung. Dies ist nicht nur im allgemeinen Sprachgebrauch so, auch in der Mechanik gilt dieser Zusammenhang: verrichtete Arbeit W J P [ P] W Mechanische Leistung = benötigte Zeit t s Die Einheit der Leistung (engl. power) ist das Watt, kurz W. Es handelt sich typischerweise um die mittlere Leistung, da die Kraft im Zeitintervall t eventuell nicht konstant ist. Stefan Schuler 481342806 16/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 1 PS 735 N ·1 m/s 735 W Kennt man die mittlere Leistung eines Geräts und die Zeitspanne t, während der das Gerät in Betrieb ist, so lässt sich die verrichtete Arbeit berechnen: W P t Beim Antrieb von Fahrzeugen sind of die Antriebskraft F und die Fahrgeschwindigkeit v von Interesse. Die Leistung wird daher auch folgendermassen angegeben: Fs W PFv Fv Herleitung: P t t 9. Energie und Energieerhaltung 9.1. Energie und Energieformen Die Arbeit, die an einem Körper, oder allgemeiner gesprochen, an einem System verrichtet wird, beeinflusst den Zustand des Systems. Eine den Systemzustand beschreibende Zustandsgrösse ist die Energie (von griech. Energeia = Wirksamkeit). Wird von aussen Arbeit am System verrichtet, so nimmt die Zustandsgrösse Energie zu; verrichtet das System hingegen Arbeit nach aussen, so nimmt die Zustandsgrösse ab. Energie ist eine Zustandsgrösse eines Systems; sie informiert darüber, in welchem Zustand sich das System aufgrund in ihm oder an ihm verrichteter Arbeit befindet. Energieformen: Wird Hubarbeit verrichtet, so ändert der Lagezustand des Systems, welches sich danach in erhöhter Lage befindet; somit hat dessen Lageenergie (auch potenzielle Energie genannt) zugenommen und ist nun Teil des veränderten Systemzustands. Wird Bewegungsarbeit verrichtet, so ändert der Bewegungszustand des ganzen Systems, und entsprechend nimmt die Bewegungsenergie (auch kinetische Energie genannt) zu. Das Spannen einer Schraubenfeder oder das Deformieren eines elastischen Körpers erfordert Spann- oder Dehnungsarbeit und ändert den Spannzustand des Körpers; daher nimmt die im System gespeicherte Spannenergie zu. Schliesslich verursacht Reibungsarbeit Wärme. Das ist gleichbedeutend damit, dass der Temperaturzustand des Systems (d.h. der Bewegungszustand der Teilchen innerhalb des Systems) ändert. Somit enthält das System thermisch Energie, hier wegen ihrer Ursache Reibungsenergie genannt. Arbeit ändert den Energiezustand eines Systems; dieser wird durch die auftretenden Energieformen beschrieben. Die vier genannten Energieformen sind formal gleich den vier verwandten Arbeitsformen: Lageenergie E pot FG · h m g h Bewegungsenergie E kin Stefan Schuler m v2 2 E K 481342806 m 2 2 (v2 v1 ) 2 1 m v2 2 17/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 1 1 1 F ·s D s2 D y2 2 2 2 mgs Reibungsenergie ER FR · s FH s 2 Die Einheit der Energie heisst: Joule (J) 1J = 1 kg m eter / s2ekunden Spannenergie E Die ersten drei genannten Energieformen stellen mechanische Energien dar. Darüber hinaus treten in der Natur neben der thermischen Energie weitere Energieformen in Erscheinung: Rotationsenergie Elektrische Energie Magnetische Energie Chemische Energie Strahlungsenergie (Lichtenergie) Kernenergie 9.2. Energieumwandlungen Energie als Zustandsgrösse ist die in einem System gespeicherte Arbeit; Energie ist die Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten; Energie kann von einer Form in andere umgewandelt werden. 9.3. Energieerhaltung Energie kann zwar von einer Form in die andere umgewandelt werden, aber Energie kann weder erzeugt noch verrichtet werden! Energiebilanz: Gesamtenergie vorher = Gesamtenergie nachher Achtung: Die durch Reibung(sarbeit) entstehende Wärme, die an die Umgebung (z.B. an die Luftteilchen) übergeht, ist zwar Teil der Gesamtenergie, doch ist sie nicht mehr zur Verrichtung von mechanischer Arbeit verfügbar. In diesem Sinne geht Energie „verloren“. Energieerhaltungssatz (oder kurz Energiesatz): Die Gesamtenergie in einem System, d.h. die Summe aller enthaltenen Energie, bleibt erhalten; sie ist, mathematisch gesprochen, konstant. E Spann E kin , also 1 1 mv 2 D y 2 m v 2 D 2 !!!!! da etwas e inf ügen ??? 2 2 y 1 mv 2 v 2 gh v gt t v / g 2 1 1 Etotal E pot E kin mgh(h s) mv 2 s gt 2 v gt 2 2 1 2 1 1 Etotal mg (h gt ) m ( gt ) 2 mgh mg 2 t 2 mgh 2 2 2 2 v 1 Ekin E pot m v02 mgh h 0 2 2g 1 E pot E kin mgh mv 2 v 2 gh 2 E pot E kin Stefan Schuler mgh 481342806 18/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 10. Kinetische Gastheorie 10.1. Temperatur im Teilchenmodell 10.1.1. Teilchenmodell und Aggregatszustände In der Wärmelehre ist ein Aggregat die Anhäufung oder Zusammenlagerung chemischer Elemente zu einem Stoff. Es werden drei Arten der Anordnung oder Strukturierung unterschieden: Stoffe können sich im festen, flüssigen oder gasförmigen Aggregatszustand befinden. Diese drei Zustände lassen sich plausibel im Teilchenmodell der Materie erklären, wonach Materie aus Atomen bzw. Molekülen besteht, zwischen denen anziehende Kräfte (Bindungskräfte) wirken und die typische mittlere Abstände zueinander einnehmen. Modell einfügen!!!!!!!!!!!!!! Ein ideales Gas besteht aus punktförmig gedachten Modell-Teilchen, deren gesamte Energie als kinetische Energie vorliegt. Reale Gase nähern sich in ihrem Verhalten dem idealen Gas bei niedrigem Druck, hinreichend grossem Volumen und nicht zu tiefer Temperatur an. 10.1.2. Innere Energie und Temperatur Die innere Energie eines Körpers ist die Summe der Energien all seiner Teilchen (kinetische Energie, potenzielle Energie, Bindungsenergie) im Innern des Körpers. Die kinetische Energie der Teilchen ist dabei der Teilchenbewegung zugeordnet: in einem a) gasförmigen oder flüssigen Stoff der ständigen ungeordneten Bewegungen der Teilchen; b) Festkörpergitter den Schwingungen (Vibrationen) der Teilchen um die Ruhelage. Die innere Energie eines idealen Gases ist folglich gleich der gesamten kinetischen Energie aller seiner Teilchen. Die Temperatur eines Körpers ist ein Mass für die mittlere kinetische Energie der Teilchen und somit auch für die innere Energie. Sie kennzeichnet die Stärke der Teilchenbewegungen. Je grösser die Temperatur eines Körpers ist, desto grösser ist die mittlere Geschwindigkeit seiner Teilchen. 10.2. Gasdruck und Teilchengeschwindigkeit Gesicht wird der Zusammenhang zwischen dem Druck eines Gases und der Geschwindigkeit seiner Teilchen. Folgende zwei Annahmen vereinfachen die Rechnung (gleichwohl sind die Ergebnisse allgemein gültig): Stefan Schuler 481342806 19/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 1. Ein würfelförmiges Gasvolumen V enthält N Teilchen, die alle gleiche Masse m und Nm Geschwindigkeiten mit gleichem Betrag v haben. Die Dichte des Gases sei konstant. V 2. Die Teilchen bewegen sich parallel zu einer der drei Würfelkanten, je 1/3 der Teilchen pro Kante. Grafik einfügen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Ein Teilchen fliegt also kantenparallel zwischen zwei gegenüberliegenden Wandflächen hin und her. Bei jedem senkrechten Stoss mit der Wand (d.h. bei jeder Umkehr) ändert sein Impuls von mv auf mv . Nach dem Impulserhaltungssatz überträgt jedes Teilchen seine Impulsänderung mv 2mv auf die Wand. Bei einer Würfelkantenlänge l beträgt der Weg von einer Wand zur gegenüberliegenden Wand und wieder zurück 2l. In der Zeit t durchfliegt ein Teilchen den Weg vt mehrmals: es trifft im Mittel vt / 2l -mal auf dieselbe Wand. Die Wand erhält so durch ein Teilchen den Impuls bzw. die Impulsänderung P 2mv · vt / 2l mv 2 t / l . Das Teilchen übt daher auf die Wandfläche A die mv 2 mv 2 mittlere Kraft F1 P / t und den Druck p1 F / A mv 2 / V aus. Wenn l Al sich gemäss der zweiten Annahme 1 / 3 aller N Teilchen wie beschrieben bewegen, ist der Druck auf die Wandfläche aufgrund der Teilchenstösse p 1 Nm 2 1 v v2 3 V 3 Druckgleichung von Daniel Bernoulli In Worten: Der Druck ist proportional zum Quadrat der mittleren Teilchengeschwindigkeit und zur Gasdichte. Folgerung 1: In einem Gas beträt die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen v 3p 1 bar 1 ·105 Pa normalen Luftdruck: 1013 hPa Folgerung 2: Bei einer mittleren kinetischen Energie E kin 1 2 m v 2 eines Teilchen ergibt sich 1 2 1 2 aus der Druckgleichung p V N mv 2 N mv 2 , also pV N E kin 3 3 2 3 In Worten: Das Produkt aus Druck und Volumen ist proportional zur Gesamten kinetischen Teilchen (und somit konstant); dies gilt jeweils bei einer bestimmten Temperatur. Stefan Schuler 481342806 20/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 10.3. Physik 13.01.2008 Die Zustandsgleichung idealer Gase 10.3.1. Zustandsgleichung und Gasgesetze Zustandsgleichung idealer Gase (universelle Gasgleichung): pV k B NT [ N ] AnzahlderT eile [T ] k (!) Kelvin N Pa m J / K heisst Boltzmann-Konstante. [V ] m 3 Die Proportionalitätskonstante k 1.38 ·10 -23 Kuchlin S. 310-312!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! [ p] abgeleitete Gasgesetze: Grafik einfügen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10.4. Äquipartitionsgesetz: Gleichverteilung der inneren Energie Das Produkt aus Druck und Volumen eines idealen Gases ist Einerseits proportional zur Temperatur des Gases, pV N k T und ist andererseits proportional zur mittleren kinetischen Energie aller vorhandenen Teilchen, 2 pV N E kin 3 Somit hat ein freies Teilchen in einem idealen Gas der Temperatur T die mittlere kinetische Energie 3 E kin k T Gleichverteilungsgesetz (Äquipartitionsgesetz). 2 Die qualitative Definition der Temperatur als Mass für die Bewegungsenergie der Teilchen findet im Äquipartitionsgesetz ihre quantitative Präzisierung und Rechtfertigung. Da beim Modell des idealen Gases kinetische und innere Energie identisch sind, besagt das Gleichverteilungsgesetz, dass sich die kinetische bzw. die innere Energie eines idealen Gases 1 3 gleichmässig auf die Gasteilchen verteilt. Im Mittel gilt also mv 2 k T je Teilchen. 2 2 3kT Folgerung: Die temperaturabh., mittlere Geschwindigkeit eines Teilchens ist v m 11. Wärme 11.1. Wärme als Energieübertragung Die Temperatur beschreibt den Zustand eines Körpers, nämlich den der inneren Energie in Form vorhandener kinetischer Energie. Sie erfasst quantitativ, was im alltäglichen Sprachgebrauch mit „heiss“, „warm“, „kalt“, umschrieben wird. Wärme hingegen ist ein Vorgang in oder um einen Körper und bezeichnet nicht den thermischen Zustand des Körpers. Stefan Schuler 481342806 21/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 Kurz gesagt: Wärme ist thermischer Energieaustausch. Genauer gesagt: Wärme ist die auf Grund von Temperaturdifferenzen übertragene (kinetische) Energie. Noch genauer gesagt: Wärme ist Energieübertragung, die spontan von einem Gebiet höherer Temperatur (stärkere Teilchenbewegungen) zu einem Gebiet tieferer Temperatur (schwächere Teilchenbewegungen) stattfindet. Einen Körper „erwärmen“ oder einem Körper „Wärme zuführen“ oder die „Zufuhr von Wärmeenergie“ meint also die Zufuhr von kinetischer Energie, was einer Temperaturerhöhung gleichkommt. Umgekehrt meint „Abkühlung“ eines Körpers oder die „Abfuhr von Wärme“ die Abfuhr von kinetischer Energie, was eine Temperaturerniedrigung bedeutet. Gemäss dem Energieerhaltungssatz gilt allgemein der erste Hauptsatz der Wärmelehre: Die Summe aller Energien eines abgeschlossenen Systems kann nur durch Arbeit von aussen verändert werden. Entsprechend der oben gegebenen, empirisch gewonnenen Definition der Wärme lautet der zweite Hauptsatz der Wärmelehre: Wärme fliesst spontan (nur) von einem Bereich höherer Temperatur zu einem Bereich tieferer Temperatur. Die Wärme fliesst vom heisseren zum kälteren Bereich, bis sich die Temperaturen der beiden Bereiche angeglichen haben: das System befindet sich dann im thermischen Gleichgewicht. Die SI-Einheit der Wärme Q entspricht der Einheit der Energie: [Q] 1 J 1 kg m 2 s 2 Die klassische Einheit der Wärme ist die Kalorie, abgekürzt cal. 1 Kalorie ist definiert als die Wärmemenge, welche man einer Probe von 1 g Wasser H20 unter dem Druck von 1013 hPa zuführen muss, um sie um ein Grad, genauer, um sie von 14.5 °C auf 15.5 °C zu erwärmen. Es ist 1 cal = 4.185 J. 11.2. Spezifische Wärmekapazität Temperatur Q Wärme Q P Q P ·t t T Temperaturdifferenz Vielleicht Tabelle einfügen!!!!!!!!!! Wird einem Körper der Masse m die Wärme Q zugeführt, so steigt dessen Temperatur zum T gemäss Q C · m · T c siehe Kuchlin S. 629 c Kons tan te m Masse T Temperaturdifferenz Die zugeführte Wärme Q dient der Erhöhung der mittleren Bewegungsenergie der Teilchen und ist daher in plausibler Weise proportional sowohl zur Anzahl der Körperteilchen bzw. zur Masse m des Körpers als auch zum Temperaturanstieg T . Die materialabhängige Proportionalitätskonstante c heisst spezifische Wärmekapazität. Stefan Schuler 481342806 22/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 (Der Buchstabe c steht für engl. capacity, was hier soviel wie Wärmeaufnahme- oder Wärmeabgabevermögen bedeutet.) Ihr Zahlenwert gibt an, welche Energie in J benötigt wird, um 1 kg des betreffenden Stoffs um 1 K zu erwärmen. Grafik einfügen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 11.3. Mischtemperatur Bilden zwei Körper ein abgeschlossenes System und erfolgt zwischen ihnen ein Wärmeaustausch, so ist auf Grund der Energieerhaltung die vom Körper höherer Temperatur abgegebene Wärme gleich der dem Körper niedrigerer Temperatur zugeführten Wärme: Qab Qzu Dieser Zusammenhang lässt sich nutzen, um die Mischungstemperatur M beispielsweise zweier Flüssigkeiten zu bestimmen (mit den anfänglichen Temperaturen 1 und 2 , den Körpermassen m1 und m2 sowie den spezifischen Wärmekapazitäten c1 und c2 ): Richmann c m c 2 m2 2 M 1 1 1 c1 m1 c2 m2 bzw. für c1 c2 : M m1 1 m2 2 m1 m2 12. Änderung der Aggregatzustände 12.1. Stefan Schuler T-Q-Diagramm 481342806 23/24 Letzte Änderung: 22.01.2008 Physik 13.01.2008 Am Schluss noch alles Blocksatz machen.!!! Und alles „schön“ machen!!!!! Wikipedia, Kuchlin, Physik Duden, sonstige Formeln Stefan Schuler 481342806 24/24
