Vorwort

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Optischer Zweig: Für den   Zweig ist 2 02   2 (natürlich gilt auch 2 02   2 ):
Benachbarte Teilchen schwingen in der entgegengesetzten Richtung. Für q  0 erhält
man für das Amplitudenverhältnis:
2 02
2 02
 02
A
m
.





2
2
2
2
2
2
B 2 0  
M
2 0  2( 0   0 )
0
Die Schwingungsamplituden verhalten sich gerade wie die reziproken Massen. Damit
bleibt der Schwerpunkt der Elementarzelle in Ruhe. Die Wellen breiten sich nicht aus,
vGruppen  0 .
M
m
M
m
optischer Mode, q = 0
M
m
M
m
Periodizität: 2a
Falls die Massen verschiedene Ladungen haben (vergleich mit ionischem Kristall),
entsteht bei der Schwingung ein zeitlich variierendes Dipolmoment, das an
elektromagnetische Strahlung ankoppelt und seinerseits als Quelle elektromagnetischer
Strahlung wirkt. Die Frequenzen  entsprechen dem infraroten (1013 s-1 – 1014 s-1)
Spektralbereich. Deshalb der Ausdruck “optische Schwingungen”. Beachte, dass nur
Schwingungen im Zonenzentrum ( q  0 ) mit der Frequenz 2( 02  02 ) angeregt
werden können, da aufgrund der Dispersionsrelation für elektromagnetische Strahlung
2  qc die Wellenlänge für infrarote Strahlung die Grössenordnung 50m  a (a =
Gitterkonstante) hat. Im Prinzip kann man mit Hilfe von Absorptionsmessungen mit
Infrarot wiederum die Federkonstante f bestimmen (und mit dem Ergebnis aus
Schallgeschwindigkeitsmessungen vergleichen). Vergleiche auch mit Messungen von
“Reststrahlen” in Alkalihalogeniden (J. T. Houghton and S. D. Smith, Infrared Physics
(Oxford University Press, London 1966), p. 95.).
An der Zonengrenze qZB   /( 2a) wird
q qZB
2 02
A

cos(
qa
)
 0.
B 2 02   2
Die schweren Massen M bleiben in Ruhe und die leichten Massen m oszillieren mit der
hohen Frequenz    20  2 f / M . Sowohl im Zonenzentrum ( q  0 ) als auch am
Zonenrand ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit 0.
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Peridodizität: 4a
optischer Mode, q = /(2a)
Bemerkung: Man beachte die Ähnlichkeit der optischen Zweiges für  0 /  0  0
( m / M  0 ) mit dem Einstein-Modell.
3.8. Schwingungen in einer ein-atomigen, ein-dimensionalen Kette
Wir betrachten jetzt den Spezialfall einer ein-dimensionalen Kette aus identischen
Atomen indem wir die Masse m gegen M gehen lassen. Die folgende Figur zeigt, dass die
Energielücke immer kleine wird und für m  M (  0   0 ) verschwindet. Die
Dispersionsrelationen   (q) ergeben dann
qa
qa
   2 0 cos
   2 0 sin
und
.
2
2
Diese Dispersionen sind in der Figur mit hellblau (   ) und dunkelblau (   )
eingezeichnet.
8
Dispersion für Frequenzen 0 = 3.8, 0 = 4
Frequenz 
6
4
2
0
-/a
-/(2a)
0
Wellenzahl q
/(2a)
/a
File Phonon.opj
Der   -Zweig hat nur eine physikalische Bedeutung, wenn sich benachbarte Massen
zum Beispiel im Vorzeichen der elektrischen Ladung oder dem magnetischen Verhalten
unterscheiden. Bitte beachten Sie dazu meine Bemerkungen in der Vorlesung. Wenn man
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die Dispersionsrelation direkt für eine ein-atomige Kette berechnet, erhält man nur den
Zweig
2f
qa
2 
(1  cos( qa))
  2 0 sin
,

m
2
wobei  02  f / m ist. Die Dispersionsrelation ist periodisch in q und kann auf die 1.


Brillouinzone beschränkt werden:   q  .
a
a
8
Dispersion für Frequenz 20 = 7.8
Frequenz 
6
4
2
0
-/a
-/(2a)
0
Wellenzahl q
/(2a)
/a
File Phonon.opj
Die Schallwellen mit Wellenvektoren q   / a können immer durch Addition oder
Subtraktion eines reziproken Gittervektors in die 1. Brillouinzone transformiert werden.
Die rot eingezeichnet Welle mit Q  q  Gk enhält nicht mehr Information als die
schwarz eingezeichnete Welle (grüne Punkte bezeichnen die Atome).
Aus der Dispersionsrelation folgt, dass die Schallgeschwindigkeit am Zonenrand Null ist,
was zu einer Divergenz in der Frequenzdichte am Zonenrand führt, im Gegensatz zur
Debye-Theorie, bei der  ( )   2 ist. Man erhält (siehe Übungsaufgabe) für den eindimensionalen Fall