Arbeitsblatt 1 zur Binomialverteilung - klaus

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 1
07.04.2017
Arbeitsblatt 1 zur Binomialverteilung
1. Eine Familie hat 6 Kinder. Die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen zu gebären
betrage p = 0,5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, das unter den 6 Kindern
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Mädchen sind und zeichnen Sie das Histogramm der
Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender
Ereignisse:
A: Genau die Hälfte der Kinder sind Mädchen.
B: Höchstens die Hälfte der Kinder sind Mädchen.
C: Mindestens die Hälfte der Kinder sind Mädchen.
2. Eine Münze wird 5 mal geworfen. p sei 0,5.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X: Anzahl der
Wappen.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man
(1) höchstens 3 mal Wappen
(2) weniger als 3 mal Wappen
(3) mindestens 1 mal Wappen
(4) mehr als einmal Wappen?
3. Eine Münze wird 20 mal geworfen.
a) Zeichnen Sie das Histogramm der Binomialverteilung.
b) Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse:
(1) Genau 10 mal Wappen.
(2) Höchstens 15 mal Wappen.
(3) Mindestens 7 mal Wappen.
(4) Mindestens 6 mal und höchstens 16 mal Wappen.
c) Zeichnen Sie das Histogramm der kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Die Daten der Wahrscheinlichkeitsverteilung sind in folgender Tabelle zusammengestellt.
Dabei sind die Werte auf 3 Stellen nach dem Komma gerundet. Die Tabelle enthält
zusätzlich auch die kumulierten (aufaddierten) Wahrscheinlichkeitswerte.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PX  k 0
0
0
0,001 0.005 0,015 0,037 0,074 0,12
0,16
0,176
PX  k 0
0
0
0,001 0,006 0,021 0,058 0,132 0,252 0,412 0,588
k
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
P  X  k  0,16
0,12
0,074 0,037 0,015 0,005 0,001 0
0
0
P  X  k  0,748 0,868 0,942 0,979 0,994 0,999 1
1
1
1
Bemerkung: Für k < 3 ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit natürlich nicht Null. Ebenso sind die Werte
für 17  k  20 auch nicht 1. Sie unterscheiden sich aber kaum noch von diesen Werten, so dass man
in den meisten Fällen für praktische Berechnungen die gerundeten Tabellenwerte verwenden kann.
4. Ein Multiple- Choice- Test besteht aus 50 Aufgaben mit jeweils 5 Antworten, von denen
nur jeweils eine richtig ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man durch bloßes Raten
folgende Anzahl von Aufgaben richtig beantworten?
a) Mehr als 20 Aufgaben
c) Weniger als 10 Aufgaben
b)
d)
Mindestens 10 und höchstens 20 Aufgaben
Genau 15 Aufgaben
Die Trefferwahrscheinlichkeit pro Aufgabe ist 1/5 = 0,2. Da diese Wahrscheinlichkeit bei
jeder der 50 Aufgaben besteht, kann der Vorgang als 50 stufiger Bernoulli Versuch
betrachtet werden.
Der Auszug aus der kumulierten Binomialverteilung mit n = 50 und p = 0,2 soll als
Hilfestellung genutzt werden.
Erstellt von R. Brinkmann 481335984
29.11.2006 23:08:00
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R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
k
PX  k
k
PX  k
9
0,444
16
0,986
10
0,584
19
0,999
Seite 2
11
0,711
20
1
14
0,939
21
1
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15
0,969
22
1
5. Eine Münze wird 100 mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl ist
jeweils p = 0,5. Bestimmen Sie mit den Daten der Tabelle die Wahrscheinlichkeit
folgender Ereignisse:
A: Es wird genau 52 mal Kopf geworfen.
B: Mindestens 43 mal wird Kopf geworfen.
C: Mindestens 38 mal und höchstens 56 mal wird Kopf geworfen.
D: Weniger als 45 mal wird Kopf geworfen.
E: Mindestens 40 mal und höchstens 60 mal wird Kopf geworfen.
F: Mehr als 47 mal wird Kopf geworfen.
G: Mindestens 45 mal und höchstens 55 mal wird Kopf geworfen.
H: Es wird genau 50 mal die Zahl geworfen.
Kumulierte Binomialverteilung für n  100 und p  0,5
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
32
33
34
35
36
37
0,000
0,000
0,001
0,002
0,003
0,006
38
39
40
41
42
43
0,010
0,018
0,028
0,044
0,067
0,097
44
45
46
47
48
49
0,136
0,184
0,242
0,309
0,382
0,460
50
51
52
53
54
55
0,540
0,618
0,691
0,758
0,816
0,864
56
57
58
59
60
61
0,903
0,933
0,956
0,972
0,982
0,990
62
63
64
65
66
67
0,994
0,997
0,998
0,999
1,000
1,000
6. In 50% aller Haushalte in Deutschland sind zwei Autos vorhanden.
Für eine Befragung werden 100 Haushalte zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: In weniger als 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.
B: In genau 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.
C: In mehr als 40 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.
D: In mindestens 40 und höchstens 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.
7. Ein Würfel wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit folgender
Ereignisse:
A: Man wirft höchstens 10 Sechsen.
B: Man wirft mindestens 10 Sechsen
C: Man wirft genau 10 Sechsen.
D: Die Anzahl der Sechsen liegt zwischen 5 und 11 einschließlich.
1
Kumulierte Binomialverteilung für n  50 und p 
6
k PX  k k PX  k
0
1
2
3
0,000
0,001
0,007
0,024
4
5
6
7
0,064
0,139
0,251
0,391
Erstellt von R. Brinkmann 481335984
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k 
8
9
10
11
0,542
0,683
0,799
0,883
12
13
14
15
0,937
0,969
0,986
0,994
16
17
18
19
0,998
0,999
1,000
1,000
20
21
22
23
1,000
1,000
1,000
1,000
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