Wissen und Können zum Maßstab und zur Ähnlichkeit1

Wissen und Können zum Maßstab und zur Ähnlichkeit1
1. Bedeutungen der Begriffe in der Mathematik
Der Begriff Maßstab wird in der Mathematik nur bei der Eintafelprojektion eines Köpers zur
Angabe der Höhe der Punkte über der Projektionsebene verwendet (Höhenmaßstab). Er
wird ansonsten in der Mathematik nicht definiert, da er Beziehungen zwischen mathematischen und außermathematischen Objekten beinhaltet.
Dies betrifft auch die mit dem Begriff Maßstab verbundenen Begriffe Verhältnis und Größe.
In der Mathematik wird lediglich der Begriff Streckenverhältnis als Quotient der Längen zweier Strecken erklärt, der grundlegend für die Ähnlichkeit ist. Der Maßstab im geographischen
Sinne ist eine spezielle Form eines Streckenverhältnisses.
Auf den Begriffen Verhältnis und Größe bauen allerdings solche Gebiete der Schulmathematik wie Proportionalität und Prozentrechung auf, die ebenfalls zwischen Mathematik und
Wirklichkeit angesiedelt sind. Z. B. ist das dabei verwendete Zeichen in der Mathematik
nicht erklärt. Beim Umgang mit Maßstäben wird die direkte Proportionalität verwendet.
Der Begriff Ähnlichkeit kann in der Mathematik auf zwei Arten definiert werden. Die figurgeometrische Definition über die Gleichheit von Winkeln und Streckenverhältnissen ist allerdings nur für ebene geradlinig begrenzte Figuren möglich. Die abbildungsgeometrische Definition über die Existenz einer Ähnlichkeitsabbildung (Zusammensetzung aus einer Bewegung und einer zentrischer Streckung) gilt für beliebige Figuren.
Im Mathematikunterricht kann die Ähnlichkeit auch als Verallgemeinerung der maßstäblichen
Vergrößerung bzw. Verkleinerung von Figuren eingeführt werden. Dieser Weg ist eine gewisse „Verbindung“ aus den beiden mathematischen Zugängen und knüpft an die Kenntnisse und Vorstellungen der Schüler zum Maßstab in der Geographie an. Er sollte deshalb in
der Schule verwendet werden. Die Gleichheit der Winkel bei zueinander ähnlichen ebenen
Figuren kann man dabei in der Realschule mit in die Begriffserklärung einbeziehen und im
Gymnasium für Spezialfälle auch aus der Verhältnisgleichheit der Strecken beweisen.
2. Bedeutungen der Begriffe außerhalb der Mathematik
Als Maßstab bezeichnet man in der Geographie und der Technik das Verhältnis zwischen
der abgebildeten Größe auf einer Karte, einem Plan oder bei einem Modell und der entsprechenden Größe in der Wirklichkeit. Ein Maßstab wird in der Geographie immer als Verhältnis
in der Form „1 : n“ angeben. Die Zahl n wird als Maßstabszahl bezeichnet und gibt an, wie
viel Einheiten in Wirklichkeit einer Einheit auf der Karte entsprechen.
Neben dieser Bedeutung wird das Wort Maßstab noch verwendet für eine vorbildhafte Norm,
mit der Leistungen von Menschen beurteilt werden (Er hat Maßstäbe gesetzt,) und (selten)
für ein Lineal mit einer maßstäblichen Einteilung.
Der Begriff Verhältnis bedeutet allgemein eine Beziehung, bei der zwei Dinge oder zwei
Sachverhalte miteinander verglichen werden. In den Naturwissenschaften wird dazu der
Quotient zweier Größen gebildet. Bei nichtgleichartigen Größen (z. B. Weg und Zeit, Masse
und Preis) bedeutet dies eine Normierung der einen Größe (im Zähler) auf eine Einheit der
anderen Größe (im Nenner). Bei gleichartigen Größen ist das Verhältnis dimensionslos.
Die andere Bedeutungen des Wortes Verhältnis als Beziehung zwischen Menschen haben
keine gemeinsamen Bedeutungen mit der Verwendung in der Mathematik.
Zwei Dinge werden als einander umgangssprachlich ähnlich bezeichnet, wenn sie in bestimmten Merkmalen übereinstimmen. (ähnliche Gedanken, ähnliche Bilder). Man sagt, zwei
Personen sind einander ähnlich, wenn sie sich im Aussehen nur wenig unterscheiden. Sie
können dabei gleichgroß (Zwillinge) oder unterschiedlich groß (Mutter und Tochter) sein.
Bei Vergrößerungen oder Verkleinerungen von ebenen oder räumlichen Objekten spielen die
Winkel keine vordergründige Rolle, da es sich oft um rechte Winkel handelt.
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In: Bluhm, S.; Brandt, K.; Heldner, I.; Julius, R.; Lindstädt, M.; Lorenz, J.; Merchel, M.; Roscher, M.; Scherff, K.; Seebahn, A.; Sikora, Ch.; Sill, H.-D.; Sobjetzki, Ch.: Sicheres Wissen und Können : Ebene Geometrie : Sekundarstufe I. –
Schwerin : Landesinstitut für Schule und Ausbildung Mecklenburg-Vorpommern, 2005
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Bei Vergrößerungen oder Verkleinerungen haben beide Objekte ein unterschiedliches Wesen. Eines ist immer das Original, d.h. die Realität, das andere ist ein neu geschaffenes,
künstliches Objekt, das aus einem anderen Material besteht (z. B. Papier) und als Vergrößerung oder Verkleinerung einen bestimmten Zweck erfüllt. Bei den mathematischen Begriffen
Bild und Original, die bei Abbildungen und so auch in der Ähnlichkeit verwendet werden, sind
beide Objekte von gleichem Status, es handelt sich in beiden Fällen um mathematische Figuren. Sie können ihre Rolle auch tauschen, wenn man die inverse Abbildung betrachtet.
Die Ähnlichkeit ist eine symmetrische Relation. Bezieht man aber den Ähnlichkeitsfaktor in
die Betrachtungen ein (was bei dem Weg über Vergrößerungen und Verkleinerungen sinnvoll ist), so ergibt sich der Kehrwert des Faktors, wenn man die Seiten der Relation vertauscht (wenn F1 ~ F2 mit dem Faktor k, so ist F2 ~ F1 mit dem Faktor 1/k).
3. Standpunkte zum sicheren Wissen und Können
Die Schüler wissen, dass Maßstabsangaben der Form 1 : n eine Verkleinerung und Angaben
der Form n : 1 eine Vergrößerung der Originals beschrieben. Sie können maßstäbliche Vergrößerungen und Verkleinerungen für einfache Figuren (Strecken, Dreiecke, Quadrate,
Rechtecke) auf Kästchenpapier vornehmen und Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen dieser Figuren identifizieren.
Die Schüler können zu gegebenen Kartenmaßstäben berechnen, welche Strecke in Wirklichkeit einem Zentimeter auf der Karte entspricht. Sie verwenden dabei das Zeichen . Sie
können in einfachen Fällen Entfernungen auf Karten bestimmen.
Die Schüler können Streckenverhältnisse auch als Bruch angeben.
Sie sind in der Lage, zu einem Dreieck oder Rechteck ein ähnliches durch Berechnen der
Seitenlängen bzw. Verwenden der Gleichheit der Winkel zu zeichnen.
Sie können weiterhin zwei Dreiecke in verschiedenen Lagen auf Ähnlichkeit untersuchen,
indem sie die Seitenverhältnisse bilden oder die Winkel vergleichen.
Die Schüler können in einer einfachen Figur ähnliche Dreiecke bzw. Strahlensatzfiguren erkennen und Figuren zu Strahlensatzfiguren ergänzen. Sie können fehlende Streckenlängen
durch Lösen von Verhältnisgleichungen ermitteln, wobei die Zahlenwerte einfach sind. Sie
können auch Aufgabenstellungen unter Verwendung eines Koordinatensystems bearbeiten.
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Aufgaben zur Ähnlichkeit
1. Entscheide, ob mit dem angegebenen Maßstab eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung der Wirklichkeit vorgenommen wird. Kreuze an.
Maßstab
Vergrößerung Verkleinerung
Maßstab
a) 1 : 1000
b) 1 : 2500
c) 2 : 1
d) 1000 : 1
e) 10 : 1
f) 1 : 1 Mill.
Vergrößerung Verkleinerung
2. Vergrößere das Quadrat maßstäblich im Verhältnis 3 : 1.
3. Verkleinere das Rechteck maßstäblich im Verhältnis 1 : 2.
4. Gegeben ist ein Koordinatensystem mit folgenden Figuren (Buchstaben).
a) Untersuche, ob die Figuren maßstäblich vergrößert wurden. Kreuze an.
richtig
falsch
Buchstaben L
Buchstabe T
Buchstabe H
b) Berichtige in der Zeichnung mit einem farbigen Stift alle die großen Buchstaben, die
nicht richtig maßstäblich vergrößert wurden.
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5. Gib an, welche Streckenlänge in Wirklichkeit einer Strecke von 1 cm auf einer Landkarte
bei dem angegebenen Maßstab entspricht. Rechne in Meter und Kilometer um.
a) Maßstab 1 : 10 000
Karte in Wirklichkeit
b) Maßstab 1 : 25 000
Karte in Wirklichkeit
c) Maßstab 1 : 50 000
Karte in Wirklichkeit
1 cm
_________ cm
1 cm
_________ cm
1 cm
_________ cm
1 cm
_________ m
1 cm
_________ m
1 cm
_________ m
1 cm
_________ km
1 cm
_________ km
1 cm
_________ km
6. Bestimme näherungsweise folgende Entfernungen.
Strecke
auf der Karte
in Wirklichkeit
a) von Stralsund nach Greifswald
b) von Ribnitz-Damgarten nach Stralsund
c) von Sassnitz nach Bergen
7. Zur Anfertigung maßstäblicher Zeichnungen wurde einer Streckenlänge in Wirklichkeit
eine bestimmte Streckenlänge in der Zeichnung zugeordnet. Berechne jeweils, welche
Strecken 1 m in Wirklichkeit bzw. 1 cm in der Zeichnung entsprechen.
a) 100 m
10 cm
1m
b) 14 m
1m
1 cm
d) 1 m
10 cm
1m
c) 3 m
1 cm
e) 2 m
6 cm
1m
6 cm
1m
1 cm
4
7 cm
1 cm
f) 180 m
6 cm
1m
1 cm
1 cm
8. Gib die Streckenverhältnisse als Bruch und Dezimalbruch an.
9. Zeichne zwei Strecken (nebeneinander) mit den folgenden Streckenverhältnissen.
a) AB : CD = 3 : 1
d)
AB
CD

3
5
b) AB : CD = 1 : 4
e)
AB
CD

4
3
c) AB : CD = 2 : 5
f)
AB
CD

5
1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
10. Vergleiche die Begriffe Maßstab und Streckenverhältnis miteinander. Gib eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied an.
Gemeinsamkeit: ________________________________________________________
________________________________________________________
Unterschied:
________________________________________________________
________________________________________________________
11. Vergleiche die Bedeutung des Wortes „ähnlich“ in der Mathematik mit seiner Bedeutung
in dem Satz: „Die Zwillinge sehen sich sehr ähnlich.“
Gib eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied an.
Gemeinsamkeit: ________________________________________________________
________________________________________________________
Unterschied:
________________________________________________________
________________________________________________________
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12. Gib an, welche der drei Rechtecke zu dem links stehenden Rechteck ähnlich sind.
a)
b)
c)
a) ___________
b) ______________
c) ________________
13. Zeichne zu den Dreiecken ein dazu ähnliches mit dem angegebenen Ähnlichkeitsfaktor.
a) k = 2
b) k =
c) k =
6
1
3
1
4
14. Entscheide jeweils, ob die beiden Dreiecke zueinander ähnlich sind. Miss dazu die Länge
aller Seiten und schreibe diese an die Figur. Kreuze an.
a)
b)
c)
Dreiecke ähnlich
ja
nein
a)
b)
c)
15. Markiere in den Zeichnungen eine Strahlensatzfigur. Verwende für das Zentrum, die
Strahlen und die Parallelen jeweils eine andere Farbe.
a)
b)
c)
16. Vervollständige die Zeichnungen zu einer Strahlensatzfigur.
a)
b)
c)
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Bestimme die Länge der mit x bezeichneten Strecken!
17. Welche geometrischen Figuren oder Körper sind immer ähnlich zueinander?
Kreuze an.
immer ähnlich
zueinander
ja
nein
immer ähnlich
zueinander
ja
nein
a)
Kreise
g)
Würfel
b)
Trapeze
h)
Quader
c)
Quadrate
i)
Kugeln
d)
Rechtecke
j)
Pyramiden
e)
rechtwinklige Dreieck
k)
Zylinder
f)
gleichseitige Dreiecke
l)
Halbkugeln
18. Gib drei Paare von Objekten aus deiner Umgebung an, die näherungsweise im mathematischen Sinne zueinander ähnlich sind.
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