Widerstand, Heizstab Ein Heizstab wird mit einer Spannung U von

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Widerstand, Heizstab
Ein Heizstab wird mit einer Spannung U von 230 V
betrieben. Sein elektrischer Widerstand R beträgt dabei
60 Ω. Mit ihm soll 1 Liter Wasser von 21°C auf 100°C
erwärmt werden.
a) Wie viel Wärme Q muss dafür dem Wasser zugeführt
Lösungsidee Lösung
werden?
b) Wie groß ist die Stromstärke I des Heizstabes?
Lösungsidee Lösung
c) Wie lange dauert es bis die Temperatur 100°C beträgt, Lösungsidee Lösung
wenn die gesamte elektrische Arbeit W für die
Temperaturerhöhung genutzt wird?
Hilfestellung
d) Wie lange dauert die Erhitzung des Wassers, wenn
Lösungsidee Lösung
20% der zugeführten Energie ungenutzt bleiben?
Häufig gemachte Fehler
Hinweis:
Wärmekapazität von Wasser
c≈4,2
zum Anfang der Aufgabe
kJ
kg⋅K
Heizstab (Quelle: Wikipedia)
Widerstand, Heizstab
1
Lösungsidee a):
Die Formel (1) für die Erwärmung des Wassers muss hier verwendet
werden.
(1)
Q=m⋅c⋅ 
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Widerstand, Heizstab
Lösung
2
Lösungsidee b):
Zur Berechnung der Stromstärke I muss man das Ohmsche Gesetz
(2) benutzen.
(2)
U =R⋅I
zurück zur Aufgabe
Widerstand, Heizstab
Lösung
3
Lösungsidee c):
Um diesen Aufgabenteil zu lösen, muss man die elektrische Arbeit Wel
gleich der zur Erwärmung des Wassers erforderliche Wärmemenge Q
setzen. Da in der Aufgabe nicht anders erwähnt nehmen wir einen
Wirkungsgrad von 100% an.
W el =Q
(3)
U⋅I⋅t=m⋅c⋅ 
und nach der Zeit t umformen.
t=
m⋅c⋅ 
U⋅I
(4)
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Widerstand, Heizstab
Hilfestellung Lösung
4
Lösungsidee d):
Hier bleiben 20% der Energie ungenutzt; das heißt 80% werden
genutzt. Man verfährt wie in Aufgabenteil c). Anders als in c) muss
jetzt der Wirkungsgrad in der Formel (4) berücksichtigt werden. Für
Q und W muss jeweils Formel (1) und (6) eingesetzt werden.
=
Q
W
(5)
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Lösung
Hilfestellung:
Die Formel für die elektrische Arbeit W lautet eigentlich:
W =P⋅t
Widerstand, Heizstab
(6)
5
Die Formel für die elektrische Arbeit W lautet eigentlich:
Da man die Leistung P nicht hat setzt man
(7)
P=U⋅I
in die Formel (6) ein. Daraus ergibt sich:
(8)
W =U⋅I⋅t
zurück zur Aufgabe
Widerstand, Heizstab
zurück zur Lösungsidee
Lösung
6
Lösung a):
Gegeben: m=1 l=1 kg
c≈4,2
kJ
kg⋅K
 =100°C−21°C=79 K
Gesucht:
Q
Ansatz:
Q=m⋅c⋅ 
(9)
Die Wärme Q, die dem Wasser zugeführt wird, berechnet man mit
Formel (9).
Q=m⋅c⋅ 
Q=1 kg⋅4,2
kJ
⋅79 K
kg⋅K
(10)
Q=331,8 kJ
Ergebnis: Die dem Wasser zugeführte Wärme Q beträgt also 331,8 kJ.
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Widerstand, Heizstab
7
Lösung b):
Gegeben: U =230 V
R=60 
Gesucht:
I
Ansatz:
U =R⋅I
(11)
Um die Stromstärke I des Heizstabes zu berechnen, muss man das
Ohmsche Gesetz (11) nach I umformen.
U =R⋅I
∣: R
U
I=
R
(12)
Nun kann man die gegebenen Größen in die Gleichung (12)
einsetzen.
I=
U
R
I=
230 V
60 
(13)
I =3,83 A
Ergebnis: Die Stromstärke I des Heizstabes beträgt 3,83 A.
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8
Lösung c):
Gegeben: m=1 l=1 kg=1000 g
c≈4,2
J
g⋅K
 =100°C−21°C=79 K
U =230 V
I =3,83 A
Gesucht:
t
Ansatz:
t=
m⋅c⋅ 
U⋅I
(14)
Um zu ermitteln, wie lange es dauert, das Wasser zu erwärmen,wenn
die gesamte elektrische Arbeit W für die Temperaturerhöhung genutzt
wird, setzt man alle gegebenen Größen in die Formel (14) ein.
t=
m⋅c⋅ 
U⋅I
J
⋅79 K
g⋅K
230 V⋅3,83 A
1000 g⋅4,2
t=
t=
(15)
331800 J
880,9 W
t≈376,66 s
Ergebnis: Es dauert demnach 376,66 s, also etwa 6 ¼ Minuten, bis das Wasser
eine Temperatur von 100 °C hat.
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Widerstand, Heizstab
9
Lösung d):
Gegeben: m=1 l=1 kg=1000 g
c≈4,2
J
g⋅K
 =100°C−21°C=79 K
U =230 V
I =3,83 A
Gesucht:
Ansatz:
t
t=
m⋅c⋅ 
80
U⋅I⋅
100
(16)
Einfacher, als die Größen wieder in die Formel (16) einzusetzen, ist
es, wenn man die in der vorhergehenden Lösung c) berechnete
Zeitdauer durch 0,8 dividiert.
t=
t=
m⋅c⋅ 
80
U⋅I⋅
100
m⋅c⋅  80
:
U⋅I 100
()
t=376,66 s :0,8
t≈470,83s
Ergebnis: Statt ca. 6 ½ Minuten dauert es ungefähr 8 Minuten, wenn 20% der
zugeführten Energie ungenutzt bleiben.
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10
Häufig gemachte Fehler:
●
●
Umrechnung Prozentzahlen in Dezimalzahlen
Bei Temperaturdifferenzen gilt:
Wärmekapazität mit K rechnen.
Widerstand, Heizstab
1° C=1 K
Wegen der Einheit der spez.
11
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