3.3 Ruhende Flüssigkeiten (Hydrostatik)

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44
3. Die mechanischen Eigenschaften der Stoffe und Ihre molc:kula ~ Struklur
sprüngliche Länge mit tJl = 0 an. Die zunächst zurOckgebliebene Verformung kann
sich aber im Laufe der Zeit zum Teil oder
p
M
Abb. 3.1'. Ruhedebnungs-
Oiaaramm eines Muskels
auch ganz wieder zur11ckbilden. Diesen Vorgang bezeichnet man als elastische Nachwirkung. - Bei weiterer Dehnung erreichen wir
die Fließ- oder Streckgrenze P,; der Stab beginnt bei konstant gehaltenem Zug sich zu
strecken oder zu fließen. Das Material wird
also plas,isch. Die zugehOrige Spannung gib'
die Zugfestigkeit an, vg!. Tab. 3.2. Bei P,
zerreißt er, meist nachdem sich an der Bruchstelle vorher eine Einschnürung gebildet hat.
Spröde S,offe, wie Glas und Gußeisen, haben keinen Fließbereich. sondern sie zerspri ngen nach Erreichen der Zugfestigkeit in
meist viele StOcke.
Das Ruhedehnungs-Diagramrn eines Muskels bis zu einer maximalen Deformation
und die ROckbildung zeigt Abb. 3.18. Es
liegt Uberelastische Beanspruchung vor.
Die bei der Dehnung geleistete Arbeit W
ergibt sich aus der Fläche unter der Kurve
p(e). Quantitativ iSllp de die Arbeit pro Volumeneinheit, denn es gilt p = F/ A und
e = iJl/ I, so daß der Integrand die Bedeutung
dW/ V hat. Bei verbleibender Deformation
(Abb. 3.18) iSl die zurockgewonnene Arbeit
kleiner als die geleistete.
tm molekularen Bilde ,leiten im Zusammenwirken
"on Dchnuna und Querkonlraklion Net.zebtncn geßcneinander, die schrA, zur Zu,richlUna liesen. Bei zu gr~
Ben KraflC:n überwindet dabei eine Rrihe von Molekülen
den Widmtand. um in eine bmlchbane Gleichge.
wkhlSlaae zu Jda~en . Ist dttse dtt IlfSpnlnalichen
J,leichlllerlia. so en15leht dadurch eine bkibende, plastische Verformuna. AnderersaIS kann aber in der neue"
KonfiauraLion auch hOhtre potentielle Encrgje Slcckeo;
dann setzt durch die Wlrmd»cwc:guna. IIICM der Körper
entlastet worden ist. mit zeitlicher VetZ.Ogerung eine
ROck ...... nderulll ein (c.luti.sche Nac.hwirkuna oder Rela·
xation).
Die: nach Oooschreiluna; der Flic:ßlI'mlc bei zabe:n
Metallen oder Fasern aus Kunsutoff eintretende Plasu·
tltlt ermoJ,licht ihre Bearbcituna durch Walz.c:n, Zkhcn
oder HAmmern. Dabei kommt es zu einer erheblichen
VerJcsuaullj des Materials. Bei der Kaltvmtreckuoa
von Fasa'n werden zw.tulich die: tansen Keltenmolckük
JCStrcc.kt und orientiert.
HlJr/~: Unlc:r der Hirte rincs Körpers, die nur eine
technische Stof!lconstante ist, versteht man den Wider·
stand, den er rincr io ihn eingedrOckten Kugel entgegen·
setzt . Man preßt tlnc aehlrtece Stahlk~1 mit der Kraft
F auf eme ebene, polierte FlIche des Werkstoffs. Aw
dem. Durthmesser d des zurQckbleibc:nden Kreises CIJibt
sich die 501. 8nn~lIltlJTlc als F l d. - In der MineraIosie
ordnet man die StoHe nach ihrer Hirte in 6ne Reihe
derart, daß JedcT Stofr vom nachfotaenckn anilZt wird.
So muteht dac Mo/ts:.Jcltc H6r/~tlla : I . Talk. 2. Gips.
3. Kalbpat. 4. Außspat • .5. Apatit, 6. Fdd5pat, 1.
Quarz. 8. Topas, 9. Korund, 10. Diamant.
Aufgaben
3.2.1 Bei der- Scbttuna in Abb. 3. 14 wirkt auch ein
Krlftc:paar (Abschn. 2..5.3) oder Drehmoment auf den
KOrper. Wie ist das zu bqr11ndcol
3.2.2 Eio A1uminium ......Qrfd "00 0.2 m Kante:n1Ange
soll um I· Icschert .... erdeo. vJ,l. Tabelle 3.2. Wie ar08
muß die Scherkraft .sein?
3.2.) Ein Hohlzylinder (Inl'k"fldurchmessn 3,0 DUn,
Außcndurchmcsscr 3,1 mm) wird durch ein DT~o­
mmt um 20· tOl'"diert. Welchen Durchmesser muß ein
&leich langer Vollzylinder aus tkmselbm Material ha·
btn. um vom ,leichen Drehmoment auch um 20° tor·
diert zu werden? Man ,·er&leiche die Massen bader KOr·
ptt.
3.2.4 Bei Gültigkeit des Hookcschen Oc5ctzeS ist das
Spannungsdehnunasdiagramm eine Gerade durch den
Nullpunkt. Ein Faden ~erde durch die Kraft 12 N um
3 mm aedehlll. Wie ,roß ist die am Faden geleistete Ar·
beit?
3.2.5
Ein Balken mit rechteckiaem Querschniu
2 x lOem biegt sich, in der Mitte belastet, hochkalll um
.1h l _ 2 mm durch . Wie &roß ist die Durchbiegung .1h2
unler gleichen Bcdinaunaen nachkant? In welchem Ver·
baltnis stehen die aespeiehCf1en elastischen Energien?
3.3 Ruhende Flüssigkeiten
(Hydrostatik)
3.3_1 AUgomeines, Ordounll>zuSlaod der
Moltküle in Flüssigkeilen. AUssigkeitCß unterscheiden sich von festen Körpern im we·
sentlichen durch die leicht. Verschieb~chkei,
der Moleküle. Jeder feste Körpe.r setzt einer
Formänderung Kräfte entgegen (Abschn.
3.2.2). Bei einer Flüss igkeit braucht man dagegen zu einer FormAnderung Oberhaupt keine Arbeit aufzuwenden, wenn sie nur genügend langsam erfolgt. Flüssigkeiten besitzen
also im Gegensatz zu festen Körpern keine
Formelaslizität. Nur bei raschen Formände·
rungen merken wir einen Widerstand, den
wir als ZtJhigkeit bezeichnen (Abschn.
3.3 Ruhende Flüssigkeiten (Hydrostatik)
45
3.5 .2). Die dabei auftretenden Kräfte stellen
aber nie die ursprUngliehe Form wieder her.
Eine weitere wichtige Eigenschaft der
Flussigkeiten ist ihr großer Widerstand gegen
Volumen(Jnderungen, wir können nur unter
Einsatz erheblicher Kräfte das Volumen einer Flüssigkeit verkleinern. So bedarf es des
tausendfachen Atmosphärendruckes (Absehn. 3.4.2), um bei Wasser das Volumen um
5010 zu verringern. Für die spezifische Volumenänderung gilt:
LI V ~ -~Llp
V
K
(3.12)
K nennen wir Kompressionsmodul mit der
SI-Einheit N / m2 • Der Kehrwert I / K ~ x
wird als K ompressibilil(J( bezeichne!. Flüssigkeiten besitzen also eine sehr ausgeprägte
Volumenelaslizif(Jf. Wir können sie meist als
praktisch inkompressibel be hand eln.
Stau der hier weniger anschaulichen SI-Einheil
benutzt man häufig zur Angabe von x die Einheit
10 -' m2/N "" I bar - I. vgl. Tab. 3.3. Dann gibt xdie relative Volumenverkleinerung bd Verdoppelung des normalen Luftdruckes an. Für Wasser ist x:: 50 . 10 - 6 bar - 1 •
für Benzol 95,4' 10- 6 bar - t und für Quecksilber nur
4 ' 1O - 6 bar- t ,
Diese und weitere rur den nüssigen Zustand charakteristische Eigenschaften, wie
die Einstellung der Flüssigkeitsoberfläche
und der Druckzusland in Flüssigkeiten
(Absehn. 3.3 .2 und 3.3.3) erklären sich
zwanglos aus der großen Beweglichkeit der
Moleküle, die in Flüssigkeiten leicht aneinander vorbeigleiten können. Andererseits
sind die Moleküle noch so dicht gepackt (die
Dichte ändert sich beim Schmelzen nur um
einige Prozent), daß der Körper einer Volumenverminderung einen se hr beträchtlichen
Widerstand entgegensetzt.
Im Kristall schwingen die MoleküJe oder Atome um
feste Gleichgewichls lagen. In der Flüssigkeit ist die Ordnung so gestör! und gelocken. daß die GleichgewichlSlagen, um die auch hier die MolekOle schwingen, sich im
Laufe der Zeit verschieben. Auch wechseln die MolekOle
bei ihrer Wärmebewegung häufig sprunghaft ihre Plat-
ze.
Trou dieser größeren Beweglichkeit haben wir in der
Flüssigkeit noch keine völlige Unordnung. In der Umgebung jedes willkorlich herausgegriffenen MolekOls sind
vielmehr die Nachbarn in bezug auf das betrachtete Molekül irgendwie geordnet, vgl. Abb. 3. 19, die eine Mo-
mentaufnahme an einer lebhaft hin und her geschüttelten Modellnüssigkeit ist 2. Da, wie man sieht . die Ordnung in bezug auf irgendein Teilchen schon nach wenigen MOlekülabstAnden verschwunden ist, bezeichnet
man sie als Nahordnung. Im Kristall ist die Ordnung regdmAßig und erstreckt sich auf große Bereiche, wir haben also eine Fernordnung; in Flüssigkeiten ist die Ordnung "verwackelt". auf die nachste Umgebung des betrachteten Moleküls beschränkt und ändert sich sehr
schnell.
3.3.2 Einstellung der Flüssigkeitsoberfläche.
Die Oberfläche einer Flüssigkeit hängt in ihrer Form von den einwirkenden äußeren
Kräften ab. Die FIUssigkeitsteilchen verschieben sich so lange, bis die Oberfläche senkrecht zur äußeren Kraft steht. Dann können
die Moleküle diesen Kräften nicht mehr folgen . - Betrachten wir als Beispiel die Oberfläche einer in einem weiten Gefäße befindlichen ruhenden Flüssigkeit unter Wirkung
der Schwerkraft. In der Molekülschicht an
der Flüssigkeitsoberfläche herrscht ein
Gleichgewicht zwischen der Schwerkraft und
den in diesem Falle abstoßenden Kräften der
nächsten Schicht. Die Oberfläche steht dann
horizontal. Die Krümmung an den Rändern
wird in Absehn. 3.3 .6 behandelt. So lange
die Oberfläche schräg zur Schwerkraft steht,
verschiebt ihre ParaLlelkomponente Moleküle, bis sie Null gewo rden ist.
Wirken mehrere Krafte ein, so stellt sich im Gleichgewicht die Oberfläche immer senkrecht zur Resultieren·
den ein. Befindet sich die FlOssigkeit in einem zylindri.
sehen Gefäß in Rotation um die vertikale Achse, s. Abb.
3.20, so kommt zur Schwerkraft G = mg die Zentrifugalkraft hinzu, und die Aüssigkeitsoberfläche wird gekrOrnmt. Je weiter die Teilchen von der Drehachse entfernt sind, um so größer wird die Zentrifugalkraft
mw 2r (Abschn. 2.4.2). Die resultierende Kraft R bildet
einen nach außen wachsenden Winkel mit der Vertikalen. Die Form der Oberfläche ist, unabhängig von der
Dichte der FlOssigkeit, das Rotationsparaboloid
h:: w 2 ,2/ 2g, wenn" die Höhe der Oberfläche Ober
ihrem tiefsten Punkt ist.
3.3.3 Der Druck in Flüssigkeiten. 1. Sfempeldruck. An ein geschlossenes Gefäß sonst be-
Abb. 3.19. Nahordnung in Modellflüssigkeilen. Stäbchen parallelisieren sich gegenseitig;
Modell des es!
",,,,,~
f
:
Ii
2 Experimente von W. Kost und H. A. Sluarl 1939,
IJ
.
Abb. 3.20. Obernäche einer rotierenden FIUssig"keit
3. Die mechanischen Eigemc.hafletl der Storre und ihre molekulare Slrulclur
F
I
'W
F
liebiger GestaJt ist ein Zylinder angesetzt. in
dem sich ein Kolben oder Stempel mit der
Stirnfläche A I bewegen kann, s. Abb. 3.21a.
Oefllß einschließlich Zylinder sind völlig mit
Wasser gefUIIt. Wir Oben auf diesen Kolben
in seiner Bewegungsrichtung eine Kraft F)
aus. Diese Obertragt sich auf die angrenzende
Schicht Yon PHissigkeitsmolekOlen. und wir
wollen auch bier. ähnlich wie beim Feslkörper (Abschn. 3.2.3) von einem Druck auf die
Flüssigkeit sprechen, worunter wir das VerhäJtnis von äußerer Kraft zur Kolbenfläche
verstehen:
F
p = -I .
AI
b
Abb. 3.11., b. Flo.ssigkcit unter
Stempeldruck (. ), Manormter (b)
F,
Abb. J.ll. Hydrauli.sche: Pn:sse:
Abb. 3.13. Zum Schwrru1ruck
(3.13)
Danach 1161 sieb dtr Orudzustand innerbalb einer
nlMndm Flüssi&kdl auch fol&cnd~ beschreiben:
Lege? wir eine beliebige Treonebene in die Fltissigkeil,
an die aur jeder ~he eine Molekflbdticht angrenzt.
dann üben beide aufeinander Krllne aus, die zur Ebene
senkreehl su::hen. Bei Stempeldruck habtn die Krafte
Überall pro FliIche.neinbeit die .Ieiche GrOße. Kraftkom.
polKnlen parallel zur Flicht. wie in Festkörpern
(Abschn. 3.2.3) Kibl es in ruhenden FlQssigkeiten niebt.
Sie WOrden d~ frei verschiebbaren FJüssigkeilsmolekOle
so lange bew~n. bis die Schubspannung Vtt5Chwunden
ist. - Wird ein zylindrischer Festkörper in Achsenricbtuns gezogen oder aedrOckl • .so ObI er an seinen Seitenflachen keine Krllne nach außen aus; wohl aber drückl
eine AUssigkeit umer denselben Bedingungen auf die
Seitenwinde des z.ylindriscben Topres.
Wir bauen jetzt zwei bewegliche Kolben
ein, vgl. Abb. 3.22. Dann herrscht nach den
besprOChenen Eigenschaften des Druckzustandes in AOssigkeiten GleichgewiCht. wenn
gilt:
Nun haben wir an drei Stellen der Wand
Druckmesser, sog. Manometer, angebracht,
vgl. Abb. 3.21 a. Jedes FlllssigkeilSmolekUl,
(3 .1 4)
das mit dem Stempel des Manometers in
Kontakt ist, Obt auf ihn eine Kraft aus~ und
zwar senkrecht zu dessen Obernäche, vg!. Wir verscbieben nun den Kolben A I langsam
Abb. 3.21 b. Er sa mmelt, sozusagen umge- um die Strecke SI nach unten und müssen dakehrt wie beim Druckstempel. alle diese auf bei die Arbeit W leisten:
seine Oberfläche A wirkenden Kräfte, die
(3.15)
skh darüber gleichmäßig verteiJen. Der daraus entstehenden Gesamtkraft F muß die elastische Kraft der eingedrückten Feder als Dy- Dieselbe Arbeit gewinnen wir "auf der andenamometer das Gleichgewicht halten. lhre ren Seite" nach dem Energiesatz wieder, wo
Deformation wird im Manometer auf einen der zweite Kolben um Sz hochgedrückt wird.
Zeiger übertragen; seine Skala ist aber un- Dort ergibt sich nämlich W = P V21 und beide
mittelbar in Druckeinheiten geeicht, vgl. Volumina sind wegen der Inkompressibilität
auch Abschn. 3.4.2.
der Flllssigkeit bei diesen Bewegungen gleiCh
Das Experiment ergibt, daß alle Manome- (VI = V,). Wir haben eine mechanische Mater den gleichen Druck anzeigen. Auch wenn schine, die sog. hydraulische Presse, ähnlich
wir ein derartiges Manometer im lnnern des wie die schiefe Ebene (Abscbn. 2.3.5) oder
großen Topfes anbringen wUrden, wäre seine der Hebel (Abschn. 2.5.2). Mit F, / F I =
Anzeige dieselbe. Wir können also sagen: In Az/A I wird die Kraft Fz auf der "Lastseite"
der Flüssigkeit, die unter Stempeldruck im Verhältnis der $tempelflächen vergrosteht, hat sich ein DruckzusJand ausgebildet, ßert.
Von besonderer Bedeutung ist der hier abund zwar durch ganz geringfügiges Aneinanderdrllcken der MolekOle. Wir können ihn geleitete Ausdruck fOr dIe Arbeit einer Flüsmessen durch die Druckkraf' F, welche die sigkeit, der natürlich keine neue Defmition
FIUssigkeilSmolek11Je einseitig auf eine ange- darstelll. Wenn in einem Rohr das F10ssigbotene Fläche A, d. h. einen Kolben aus- keitsvolumen .d V unter dem konstanten
Oben, indem wir rechnen p = F/ A. Gleich- Druck p durch einen Querschnitl transporgültig, wie d.iese Fläche im Raum orientiert tiert wird, so ist dazu die Arbeit erforderlich
ist, immer wirkt die Kraft F senkrecht auf
W=pLlV.
sie.
(3.16)
3.3
Ruh~nd~ FlQ55 igkeit~n
(Hydrostatik)
47
Aus dem Blutdruck und dem Volumen der
Herzkammer läßt sich so z. B. die Arbeit des
Herzens berechnen.
2. Schweredruck. Bisher haben wir die
Schwerkraft vernachlässigt. Wir behandeln
jetzt den vom eigenen Gewicht der Flüssigkeit herrilhrenden Druck, den sog. Schweredruck. Füllen wir ein zylindrisches senkrecht
stehendes Gefäß vom Querschnitt A bis zur
Höhe h mit einer Flüssigkeit von dem spezifischen Gewicht y, s. Abb. 3.23, so lastet das
Gewicht G = yhA der Flüssigkeitssäule auf
dem Boden des Gefäßes. Der dadurch entstehende Bodendruck p ist gleich der Gesamtkraft, d. h. dem Gewicht der Flüssigkeitssäule, dividiert durch die Bodenfläche, Ober die
das Gewicht gleichförmig verteilt ist. Es ist
also
G
P = - = yh = Ogh ,
A
(3.17)
wo y das spezifische Gewicht und e die Dichte der Flüssigkeit ist.
Mit der in Abb. 3.24 dargestellten Anordnung zur Messung des Bodendruckes untersuchen wir nacheinander unten offene Gefäße verschiedener Form, die aber die gleiche
Grundfläche besiLZen. Durch das immer
gleich gewählte Gegengewicht G' wird der
Boden von unten immer mit derselben Kraft
gegen die Gefäße gepreßt. Wir stellen nun
fest, daß wir alle Gefäße bis zur gleichen Höhe roUen müssen. damit der Bodendruck der
Flüssigkeit die Gegenkraft 0 = 0' ausüben
kann und die Flüssigkeit auszulaufen beginnt. Wir haben also das zunächst außerordentlich überraschende Ergebnis, daß der
Bodendruck von der Form des Gefäßes unabhängig ist und daß es nur auf die senkrechte Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem
Boden ankommt. Es ist also die Druckkraft
der Flüssigkeit auf die gleiche Bodenfläche
einmal kleiner (a), dann gleich (b) und
schließlich größer (c) als das Gewicht der gesamten Flüssigkeit. Diese als hydrostatisches
Paradoxon bezeichnete Erscheinung folgt
unmittelbar aus der Beziehung für den
Schweredruck p = yll, in der die Querschnittgestalt des Rohres nicht erscheint.
Man überlegt sich außerdem, daß der Flüssigkeitsdruck auch noch Kräfte auf den Halterungsring des Rohres verursacht, nach unten (a) und nach oben (c), bzw. bei (b) gar
keine. So wird auch das Verhalten der Anordnung (c) verständlich, bei der die formalgesetzliche Erklärung am wenigsten befriedigt: Die Gegenkraft der Halterung drückt
mit auf die Waagschale und ersetzt gerade
das fehlende Flüssigkeitsgewicht.
Lm lnnem der Flüssigkeitssäule nimmt der
Schweredruck von unten nach oben ab und
wird in der Höhe des Flüssigkeitsspiegels
schließlich Null. Dabei herrscht in jeder horizontalen Schicht E, s. Abb. 3.23. ein Druck,
der gleich dem Gewicht einer Flüssigkeitss/Jule ist, deren Querschnill 1 m 1 betr/Jgt und
deren H(Jhe gleich dem senkrechten Abstand
der be/reffenden Ebene von der FIUssigkeiisoberfl/Jche ist. Entsprechend dem Druckzustand in Flüssigkeiten erfahren natürlich
auch die Seitenwände Druckkräfte. Diese erkennen wir z. B. daran, daß das Wasser aus
einem seitlichen Loch um so schneller ausfließt, je tiefer das Loch unter der Flüssigkeitsoberflache liegt, s. Abb. 3.25.
Ebenso erfährt eine eingetauchte Platte einen von unten wirkenden Druck, vgl. Abb.
3.26. Solange die nach oben gerichtete
Druckkraft F größer ist als das Gewicht der
Platte mit aufgelegtem Gewichtsstück, wird
die Platte gegen den unten offenen Glaszylinder angepreßt.
In zusammenhängenden Flüssigkeitsräumen. kommunizierenden Röhren, steht die
Flüssigkeit im Ruhezustand überall gleich
hoch. Nur dann sind die Kräfte gleich, die
von heiden Seiten auf irgendeine in Gedanken hineingelegte Fläche A ausgeübt werden,
s. Abb. 3.27, so daß Gleichgewicht herrscht.
3.3.4 Auftrieb, Schwimmen. Wir betrachten
einen in eine Flüssigkeit vom spezifischen
Gewicht yeingetauchten festen Körper, dem
wir der Einfachheit halber zunächst die Geslalt eines Quaders mit der Bodenfläche A
geben, s. Abb. 3.28. Gegen die untere Fläche
wirkt die Druckkraft F = yhA nach oben.
Andererseits lastet auf der oberen Fläche die
Kraft F ' = yh'A. Da der Abstand h ' vom
FlüssigkeiLSspiegel kleiner als " ist, erfährt
\I.
b
1\
c
Abb. 3.24. - (. Zur Unabhängigkeit
des Bodendruckes von der Form der
FlQssigkeitssAule
Abb. 3.25. Zum Seitendruc.k
".
\J
Abb . 3.26. Nach oben geri cht~te
Kraft des Schweredruckes
.
.
..••
A
---;
.'.
--
Abb. 3.27.
Kommuni zj~rend e
Abb. 3.28.
Aurtri~b
Röhre.n
eines KOrpers
48
3. Die mechanischen Eigensc.haften der Stoffe und ihre molekula re Struktur
der Körper eine nach oben gerichtete, als
Auf/rieb gezeichnete Kraft von der Größe
F-F' = yA(h-h'). Wesentlich für den
Auftrieb ist also der höhere Druck gegen die
Bodennäche des Quaders. Da nun A(h-h')
das Volumen des Körpers darstellt, ist der
Auftrieb gleich dem Gewicht der durch den
KiJrper verdrlingten Flüssigkeicsmenge. Dieses Ergebnis gilt fUr jeden in eine Flüssigkeit
eingetauchten Körper ganz unabhängig von
seiner Gestalt, Archimedisches PrinzipJ.
•
b
Abb. 3.19.. b. Auftrieb Ca) und seine
Gegenkraft (b)
Als Schauversuch hängen wir einen KOrper an einen
Waagebalken und larieren die Waage aus. Wird er nun
in eine flüssigkeit eingetaucht, so erfAhrt er einen AurLrieb, die Waage gerAt aus dem Gleichgewicht, s. Abb.
].29a. Stellen wir dagegen ein GefAß mit Wasser auf die
Waage und tarieren dieses aus, so sinkt beim Eintauchen
eines Stabes die Schale mit dem GefIß herab, s. Abb.
3,29b. Letzteres erklArt sich daraus, daß nicht nur der
KOrpe:r einen Auftrieb erfAhrt. sondern daß er seinerseilS nach dem Prinzip von Kraft und Gegenkraft eine
Druckkrart auf das Wasser ausübt, So wirkt auf die
rechte Waagschale noch eine zusllzliche Klafl, die gera·
de gleich dem Auftriebe, also gleich dem Gewicht der
vom Korsxr verdrängten FlQssigkcitsmenge ist. Diese
Kraft wird letztlich von der Hand ausgeübt.
Mit Hilfe des Auftriebs Ug V eines Senkkörpers wird mit der Mohrsehen Waage die
Dichte e von Flüssigkeiten bestimmt, s. Abb.
3.30. Um ihn durch Abgleich der Waage zu
messen, werden Reiter mit dem Massenverhältnis 1000: 100: 10: 1 auf Marken gehängt,
die den rechlen Waagebalken in 10 gleiche
Teile teilen. Damit wird das Hebelgesetz angewendet (Absehn. 2.5.2). Das Gerät ist mit
vorgegebenem Volumen des Senk körpers so
kalibriert, daß an der Stellung der Reiter
unmittelbar die Ziffern des Dichtewertes in
glcm' abzulesen sind (g = O,8252g1cm' in
Abb. 3.30).
F,
Abb. 3.30. MohllChe Waage
A.bb. 3.31. Schwimmlage eines Schirfes
J Archimedes, 287 - 212 v. ehr. in Syrakus.
Um die Dichte von FestklJrpe.rn zu bestimmen, wiegt man sie in Luft (m) und in Wasser (m'). Die Differenz m - m ' ist dann die
Masse des verdrängten Wassers QH~O V. so
daO die gesuchte Dichte () des Festkörpers
beträgt:
m
Q=-=
V
m
rn-rn '
QH:zO '
(3.18)
Ist das spezifische Gewicht eines Körpers
kleiner als das der ihn umgebenden Flüssigkeit, so ist der Auftrieb größer als sein Gewicht. Der Körper steigt nach oben und
taucht schließlich nur so weit in die Flüssigkeit ein, daß das Gewicht der diW-n noch verdrängten Flüssigkeitsmenge seinem eigenen
Gewicht gleich ist; er schwimmt. Ein massives Eisenblech sinkt unter, Biegen wir es an
den Rändern genügend auf, so schwimmt es,
weil schon bei teilweisem Eintauchen so viel
Wasser verdrängt wird, daß der Auftrieb das
Eigengewicht erreicht.
Ein KOrper schwimmt immer stobil, wenn sein
Schwerpunkt liefer als der Schwerpunkl der verdrAngten
flüssigkeit liegt. Auch wenn dies nicht zutrifft, ist eine
stabile Schwimmlage noch möglich. Ein Schiff mit dem
Schwerpunkt So werde um den Winkel a aus der Gleichgewichtslage berausgcdrebt.• s. Abb . 3.31. Der Schwerpunkt der verdrängten FlQssigkeit in der GleichgewichtsJage ist S•. In d~r Schrllglage rOckt er nach ~, Wir ~r­
halten ein Drehmoment - der in ~ wirkende Auftrieb
und das in So wirkende Gewicht bilden ein Krllftepaar
-. das im falle der Abbildung das Schiff wieder aufrichtet, Das isl aber nur der fall, solange die senkrecht
nach oben laufende Wirkungslinie des Auftriebs Fa die
gestrichelt gezeichnete Mittellinie in einem Punkte M
schneidet, der hOher als der Schwerpunkl So liegt. M
nennt man Melauntrum, liegt es tiefer, so wird der
SchiffskOrpcr durch das auftretende Drehmoment noch
weiter aus einer Gleichgewichlslage herausgcdreht. Die
Schwimmlage ist dann labil. das Schiff kenten,
Zur schnelle:n. unmittelbaren Bestimmung der Dichte
von FlUssigkeiten benutzt man sog. Ar(lometer. Das
sind hohle und unten beschwerte Glaskörper, die obe:n
eine Teilung tragen , Das Gerät taucht in die flüssigkeit
um so tiefer ein, je geringer ihr spezifisches Gewicht ist.
Mü Hilfe einer vorher geeichten Teilung kann man die
Dichte der zu untersuchenden Flüssigkeit (Milch. Traubensah. Usw,) bestimmen,
Besonders elegant ist eine Schwebemethode. um die
Dichte von kleinen FestkOrpcrn, z, B. Stücken von Fasern oder Folien. zu bestimmen: In einem senkrecht ste~
henden Glasrohr stellt man durch geeignetes Einleiten
von zwei FlOssigkeiten unterschiedlicher, aber bekannter Dichte eine sog. GradientensiJule her, Das Konzcn-
3.3 Ruhende Flüssigkeiten (Hydrostatik)
49
trationsverhallnis der Mischflossigkeiten und damit die
Dichte nehmen in ihr von oben nach unten linear zu.
Hineingebrachte kleine FestkOrper kommen dann in der
HOhe der saufe zur Ruhe, wo ihre eigene Dichte gleich
der des AOssigkeitsgemisches ist.
3.3.5 Oberflächenspannung. Man kann eine
leicht eingefettete Nähnadel oder Rasierklinge auf das Wasser legen, ohne daß sie einsinkt. Manche Insekten können über eine TUhige Wassernäcbe laufen. Sobald jedoch der
Körper die Obernäche durchstößt, geht er
unter. Aus solchen Erscheinungen gewinnt
man den Eindruck, daß die Oberfläche einer
Flüssigkeit sich ähnlich wie eine dünne. gespannte Haut verhält. Diese eigentümliche
Eigenschaft ist die Folge der zwischenmolekularen Kräfte.
Zunächst machen wir uns klar. daß in der
Flüssigkeitsoberfläche potentielle Energie
steckt. Dazu stellen wir uns in Gedanken eine
neue Oberfläche dadurch her. daß wir eine
Ebene durch die kompakte Flüssigkeit legen
und die sie beidseitig begrenzenden Molekülschichten auseinanderziehen. Um auf diese
Weise ein MOlekülpaar zu trennen, muß Arbeit gegen die Kohäsionskräfte geleistet werden (Absehn. 3.1.4). Diese sinken mit steigender Enlfernung sehr schnell und sind bei
etwa 10 MolekUldurchmessern Abstand
nicht mehr merklich; nach Leis(ung einer begrenzten Arbeit sind daher die beiden MolekUle praktisch völlig getrennt und frei. Wir
multiplizieren diese Arbeit mit der Zahl der
Molekülpaare, die auf der Fläcbeneiobeit
unserer Trennebene lagen, und erhalten damit die Arbeit zur Erzeugung von 2 m 2 neuer
Oberfläche, da ja zwei neue Oberflächen entstanden sind. - 1m ganzen sei es eine Arbeit
W. die nun als potentielle Energie in der
Oberfläche A gespeichert worden ist. Die
spezifische Oberf/achenenergie u ist die
Energie pro Flächeneinheit; sie beträgt damit:
w
U=- .
(3 .19a)
A
Praktisch können wir eine neue Oberfläche an einer FtOssigkeitstamelle herstellen
und dabei die notwendige Arbeit studieren.
Die Lamelle entsteht in einem Drahtrahmen,
wenn er vorsichtig aus der Flüssigkeit herausgezogen wird, s. Abb . 3.32. Von der dabei aufgewendeten Gesamtkraft ist natürlich
das Drahtgewicht abzuziehen, so daß 2F allein für die Herstellung der neuen Oberfläche
benötigt wurden. Die geleistete Arbeit beträgt dann W = 2FI. Sie ist gleich der gespeicherten Oberflächenenergie W = u · 2bl.
Der Faktor 2 berücksichtigt die Tatsache.
daß die Lamelle zwei Oberflächen, eine vorne und eine hinten. besitzt. Als Kraft für jede
der heiden Oberflächen ist also notwendig
F = ub. Die Lamelle selbst übt mit bei den
Obernäehen eine Gegenkraft der Größe 2F
aus, die sog. OberjUJchenspannung, die der
äußeren Kraft das Gleichgewicht hält. Sie
zieht die Lamelle völlig zusammen, sobald
die äußere Kraft etwas nacbläßt (labiles
Gleichgewicht) . Jeder Oberflächenstreifen
der Breite b entwickelt also eine zusammenziehende Kraft F = ub senkrecht zu dieser
Breite. Sie ändert sich bei einer Verlängerung
des Streifens nicht, im Gegensatz zum elastischen Verhalten einer Gummilamelle nach
dem Hookeschen Gesetz (Absehn. 3.2.3).
So können wir u auch als Konstante der
Oberf/achenspannung bezeichnen mit der in
Abb. 3.32 gezeigten Meßvorschrift:
F
u=- .
(3.19b)
b
Die Einheiten J/ m' rur die spez. Obernächenenergie und N/ m für die Konstante
der Obernächenspannung sind identisch
(J = Nm).
Wichtig ist es, daß die Oberflächenspannung parallel zur Oberf/ache wirkt. Das veranschaulicht am besten eine Schleife in einer
SeifenlamelJe. Zerstören wir in ihrem Inneren die Lamelle durch Einstechen, so zieht
die Oberflächenspannung des außen stehengebliebenen Teiles der Lamelle die Schleife
sofort zu einem Kreis aus. Dabei erreichen
die Restobernäche und auch die Obernächenenergie ein Minimum. da die potentielle
Energie im Gleichgewicht stets einen Extremwert annimmt.
Abb. 3.32. Oberflachenspannung ei.
ner FIOssigkeiLSlamelle
). Die mechanischen E~.rlm der Stoffe und Ih~ molekulare Struktur
1O
f,
Wir gebC'n noch die Wcnc der Oberfllc:bc:nspannun.
t1
bei Zimmertemperatur ror dnise an Luflangel1lcnde
FlOssigkeilen in HIrn an:
Wasser
0,073
Abb. 3.33. Zum Überdruck in eIDer
SOfmblast
Quecksilber
0,470
Ethanol
0,022
8mzoI
0.029
OlivenOl
0.033
Die Luluchkht. angcnuod an die Oberf1lcM. ist vom
Dampf der Alluiakcll loltti'l ("'bschD. 5.4.3). Dtc
Orenuchicht u.c1h ell~n konunulCtlX:hm Überpnl
F1ß.ssipcil - Dampr dar. und in ihr ist der Sitz d~ tan·
,entialen OberfllchmspannullI zu sucbm. ~ EmdnnIfn .ndera- Dunpfc "on.u8m kann rJ erheblich \'UIn-
dtm.
Gekramm/e FIUssigkeilSoberfltJche. In einer
Seifenblase sind beide Grenzflachen, die in-
nere und die äußere, Kugelflächen. Die Obera11 tangential wirkenden Krafte der Obernächenspannung haben das Bestreben, die Blase zusammenzuziehen, und erhohen dadurch
deo Gasdruck in ihrem Innem so lange. bis
ein Gleichgewicht sich cinsteUl.
IM Dif(er(DZ t1p mm 1u8e:rm Luftdruck können wir
lur follende Wri5c berechnm: Wit betrachten zwei
Halbkugeln H 1 und Hl,' s. Abb. 3.33. Auf jede .. irken
durch den Überdruck Krtfte MIch lußen. Vek.toriell addiert rohren sie zur Oesamtlcraft auf die lanze HllblcuIcl fj _ .dp 11'
die zu Fj senkrechten Komponentcn .hebtn sich lendc auf. Unp des Icdachtcn Trcnnlcmscs
eneult die ObernAcherupannuna einc cntgeaen&cscw
acrichtdC Kraft F; _ 2· 27trO (dermtc Faktor 2 bc:rOcksichLiat .. icckl' Innere uod lufkre Obcrflacbc). 1m
Ctcic:h&ev;icht silt fj _ 17. und man erhalt tJp"" 401T.
r;
Jeder gekrümmten F1üssigkeitsoberf\ache
muß durch einen Oberdruck das Gleichgewicht gehalten werden, und zwar auf der
konkaven Seite, d.h. im Raum mit dem
Krümmungsmittelpunkl. Das gilt ganz allgemein, Ober das Beispiel der Seifenblase hinaus, für jede gekrümmte Grenzflache: Für
eine einzige Kugelfläche muß sein:
20'
iJp=-.
r
•
b
Abb. 3.35 •• b. Tropfen bd einer
bc:nrtundtn (a, und Cl~r nichtbc:nnztndm (b) FlOssiJ,kcit
(3.20)
Je grOßer die Krümmung I/ r ist, desto grOßer ist auch der Überdruck; bei ebenen Flachen mit I/ r= 0 verschwindet er. Die Zylinderflache ist nur einseitig gekrUmmt, LJp hat
don den halben Wen.
3.3.6 IIenelzung, KapUI.rlllt. Das Zusammenwirken der zwischenmolekuJaren Kräfte
an der Grenzfläche verschiedener Stoffe
fUhrt zu einigen bemerkenswerten Erscheinungen. Dabei sind außer KohlJsions- auch
Adh4rionskrAfte wirksam. Immer, auch an
der Grenu zwischen Flüssigkeit und Festkörper, verursachen sie eine tangemia/e
Grenznachenspannung.
I. Ausbreitung einer FlfJssigkeit auf einer
anderen. Betrachten wir einen Tropfen Öl
auf Wasser, so haben wir die drei Grenznlehen Wasser - Luft, Wasser-Öl und
ÖI- Luft, die an der Grenzlinie des Öltropfens zusammentreffen, s. Abb. 3.34. Hier
Abtt. 3.34. Zur AusbrdtUJ\l einer Aflssi&keit auf einer
a.odtten, instabiler Anranpzunand
greifen also drei Kräfte an. die den drei
Grenzflachenspannungen O"llt 0"21, an pre>
portionaJ sind, wobei an die Oberflächenspannung von Wasser (3) gegen Öl (2), 0',.
die von Öl gegen Luft (I) und 0'31 die von
Wasser gegen Luft bedeutet. Es ist selbstverständlich, daß ein Punkt an der Grenze
ÖI- Wasser nur dann in Ruhe bleiben
kann, wenn die drei Krafte im Gleichgewicht
stehen. In diesem Fall bildet die Flüssigkeit 2
einen Tropfen. Ist aber die eine der drei
Grenznachenspannungen, z.8. a lt' grOßer
als die Summe der beiden anderen, was in
unserem Beispiel zutrifft, so ist kein Gleichgewicht möglich. Oie Grenzflachenspannung
all zieht den Tropfen immer mehr auseinander. Dabei nimmt die Ausbreitung, falls die
Wassernache genUgend groß ist, erst ein En·
de, wenn das Öl eine monomolekulare
Schicht bildel. Da Wasser eine besondm
große Oberflacbeospannung besitzt, breiten
sich auf ihm fast alle Flüssigkeiten aus. So
kommt es, daß Wasser, wie auch Quecksilber, besonders leicht durch Ausbreitung von
fremden FlUssigkeiten verunreinigt wird.
2. Benet~ung. Befindet sich ein FlüssigkeilStropfen auf der ebenen Oberfläche eines
Festkörpers, so bleiben die drei Kräfte, die in
jedem Punkt des Randes wirken, von derselben An und Richtung wie in Abb. 3.34.
51
J.J Ruhende FIOssiakehen (Hydrostatik)
Wenn paraUel zu.r feslen Ebene O'JI größer
als 0'32 ist. so haben wir eine benetzende
Flüssigkeit. Dabei kann es nur zu einem
Gleichgewicht kommen. wenn die Oberflächenspannung der Flüssigkeit gegen Luft
0'21 größer ist aJs 0'31 - 0'32. Dann stellt sich
die FlüssigkeitsoberfJäche mit einem Randwinkel <p gegen die Platte ein, der durch die
Bedingung
= 0"32 + 0"" cos <p gegeben
iS4 s. Abb. 3.35 a. Das ist bei einem Wassertropfen auf fetugem Glas der Fall. Andem falls tritt sog. vollkommene Benetzung
mit dem Randwinkel 0 ein. die bei Wasser auf einer völlig fettfreien Glasplatte vorliegl. - Bei nichtbenetzenden FIUssigkeiten
wie Quecksilber ist 0']1 kleiner als 0']2, d. h.
die resultierende Kraft längs der festen Oberfläche wirkt zum Tropfen hin. Der Randwinkel rp wird damit größer als 90° , und der
Tropfen drückt sich wegen seines Eigengewichtes noch etwas platt, s. Abb. 3.35 b.
Dieselben Randwinkel bilden sich zwischen Gefäßwand und freier Flüssigkeitsoberfläche aus, s. Abb. 3.36 u. 3.37. Für
in
einem
Glasgefaß
gilt
Wasser
0'31 - 0'32 > 0'21, aJso ist kein Gleichgewicht
vorhanden. Der Randwinkel ist 0, und es
enLSteht eine die Glaswand überziehende
Wasserhaul.
0""
3. KapillaritOt. Die eben besprochenen
Randwinkel verursachen die bekannten Kapillarwirkungen. Tauchen wir ein enges
Glasrohr, eine sog. Kapillare, in Wasser ein,
so steigt die FlOssigkeit um eine bestimmte
Strecke hoch und wird oben von einem Me·
niskus begrenzt, der nach oben konkav ist, s.
Abb . 3.38a. Beim Eintauchen in Quecksilber
wird die Quecksilberkuppe gesenkt - wir
sprechen von einer Kapillardepression und nimmt eine nach oben konvexe Form
an, s. Abb. 3.38b. Die kapillare SteighOhe
bzw. Depression ist um so größer, je enger
das KapiUarrohr ist.
Die Erklärung ist folgende: ln der engen
Kapillaren bildet Wasser wegen des Randwinkels 0 eine halbkugelförmige Oberfläche,
deren Radius gleich dem der Kapillaren ist.
Der Krümmung muß ein Druck nach unten
das Gleichgewicht halten, und das macht in
diesem Fall der Schweredruck der Wasser-
sä ulep = y h. Man kann sich auch vorstellen,
daß der Wasser·Meniskus eine Kraft nach
oben zu seinem Zentrum ttin ausübt und daß
das Gewicht der hochgezogenen Wassersä ule
ihr das Gleichgewicht hält . Die Steighöhe beträgt daher:
h
=~.
(3.21)
yr
Die Depression von Quecksilber ist qualitativ
durch den konvexen Meniskus zu erklären.
Wegen des endlichen Randwinkels ist aber
sein Krümmungsradius größer als der Rohrradius.
Auf der Kapillarität beruht die Saugwirkung von Löschpapier, Schwämmen usw.,
ferner z. T. das Hochsteigen der Säfte in den
Pflanzen.
Bcnetzung und Kapillarillt werden in mechanischen
Werkstäuen beim LiJlvorgang ausgenutzt. Das nossig
gemachte Lot benetzt die Oberfläche der Werkstoffe
und bildet dabei eine Legierun.gsschichl. Dann entsteht
eine Kapillarwirkung im Spalt zwischen den beiden zu
verbindenden Metallteilen, durch die das nUSSige Lot
mit um so größerer Kraft in den Spalt hineingezogen
wird, je enger er ist.
4. Tropfenbildung. Eine benetzende FIUssigkeit ströme sehr langsam durch eine enge
Kapillare. An ihrer geschliffenen Endfläche
bildet sich dann ein Tropfen, der abreißt,
wenn sein Gewicht die Wirkung der Oberflächenspannung überwindet, s. Abb. 3.39.
Diese Anordnung wird auch als StalagmomeIer bezeichnel.
Weil hier nur eine einzige Oberfläche vor·
handen ist, beträgt die Kraft der Oberflächenspannung F= 2nRa. Das Tropfengewicht ist G = y V, so daß aus F = G das
Tropfenvolumen folgt mit:
V = 2nR~.
Abb. 3.36. Randwinkel 00 bei Wasser
an Glas
Abb. 3.31. Randwinkel bei einer nichtbenetzenden Flüssigkeit
-=-
~
- -==------
Wasst't'
•
b
Abb. 3.38a, b. Kapillarwirkungen bei
einer benetzenden (a) und einer nicht·
benetzenden (b) Flilssigkeil
(3.22)
y
Bei der Dosierung z. B. von Medikamenten
durch die Tropfenzahl muß diese Beziehung
beachtet werden.
,-
Aufgaben
3.3.1 Der Arbeit$kolbcn einer hydraulischen Presse
(Abb. 3.22) hat einen Querschniu \'on 8cm1 und soU in
Abb. 3.39. Stalagmometer, Tropfenbildung
52
um 20cm runtinacdrOd1 ,,-erdm. Welche LcistUlll
noc ...-mdiJ. WmD dtr QucnduUn des KoIbms
sog. KontinuumsnlJherung. bei der wir den
molekularen Aufbau und die \Värmebe... e_
auf der Lasurite 0.1";' und die' Kraft (Last) don 10' N
und?
gung der MolekOle nich' im einzelnen vmol·
gen. Auch ohne darauf einzugeben, lassen
3.3.1 Ot-r Druck in der Wwcr'dtulli bctra&e im ErdaeschoB etnc:s Hauses 2 · Ir! N1ml. Wie hoch Ist er 18 m
daro.ber im 6. Stochert?
sich nlmlich viele sehr wichtige Vorgänge in
4$
1)1 dazu
J.J.J Eine Plant IUS dem MalCriaJ der Dicbte
0.88 alc:m J ruht auf einer SaWosuna dt'r Oidue
1, IOa/cM . Wekhcr Tril ihres Volumens laucht nicht
an?
3.3.4 Wie poS ist der Oberdruck im G~ic:bl.
ck:n rine LurtbJas.e "on 0,1 mm Ourclunessct in Wasser
haben muß «(1 _ 0,013 Im)? WK hoch ist die WasserJluk, d~ auf der Erde dcnsdben hydronatiscben Druck
hal?
3.3.5 Das Glasrohr in Abb. J .38a ..ird so wnt herunleracschobcn. daß SCU)r Llnac .ukrhalb da Wassers
kleiner als dessen SICI,IhObc ist. StrOmt jetzt Was,sa
oben aus den Rohr IUS? BtarDndWJI.
Von nnem Medikamem sind bei cinc:m Radius
R _ 1.00 mm, ""I. Abb. ].39, 10 Tropfen verordnet.
3.3.6
Wlevicl Tropfen erleben bei R - 0,625 mm dieselbe
Masse (Oosis)1
·.
,
D
,
,
,
t
!,
S
3.4 Ruhende Gase
3.4. 1 DIebi<, Druck und Volum••• Die Dich·
te der Gase ist sehr gering. Bringen wir ein
lur,leer gepump'es Glasgeräß aur eine Waa-
I _1
..,.. Oll
A bb. 3.40. Momcntbild der MolekOk
in Zimmc:rluft. (Aus Poh/)
ge und lassen die Luft wieder einströmen, so
finden wir aus der kleinen Gewichtszunah-
me, daß I Liter Lur, bei Zimmenempera'ur
die Masse 1,293 g hal. Die Raumermllung
der LuflmolekOle in der NAhe der Erdobernache veranschaulich, uns Abb. 3.40. Sie is,
6.,
II
gewissermaßen eine Momentaufnahme in
H
der Vergrößerung 2·10".
f
Abb. 3.4" Mcuuna VOll Druck und
Volumm eines Qases
ur etwa 1/1000
des Raumes wird von den Luftmolekülen
selbst ausgeroUl. Die Moleküle eines Gases
haben also im Gegensatz rum festen und
nUssigen Aggregatzustande einen verhältnis-
mäßig großen Abstand. Die zwischenmolekularen KrAfte sind daher in Gasen außeror-
dentlich klein, und wir können sie im GrenzraU des sog. ideolen Gases völlig vemachllls·
sigen.
Ab.,. 3.41.
8o)'k-Mariottc:sc:ha Gc:sctz
Im rolgenden beschränken wir uns einmal
daraur und behandeln außerdem die mechanischen Stoffeigenschaften der Gase in der
Gasen gesetzmAßig formulieren. Die Spätere
Behandlung im molekularen Bilde kann aur
diesen empirischen Erfahrungen aufbauen,
muß aber vor allem die Temperatur als Zu·
standsgrOße und die kinetische Warmetheorie quantitativ mit einschließen. Darauf
kommen wir in Abschn. 5.3.1 rr. zurück.
Um sowohl das GleiChartige als auch das
Unterschiedliche im mechanischen Verhalten
von ADssigkciten und Gasen herauszustel·
len, beginnen wir mi, dem Srempeldruck. Er
wird am besten durch seine AOssigkeit, z. B.
Quecksilber, aur das Gas obemagen und mi,
einem FIOssigkeits.Manometer M gemessen,
s. Abb. 3.41. Ober den Druckzus,and im Gas
und die von ihm ausgeüb'en Druckkräf'e gilt
dasselbe wie beim S,empeldruck in FIOssig.
keiten. Nur verkleinert sich. anders als bei
der praktisch inkompressiblen FIDssigkeit,
das Gasvolumen sehr beträchtlich, wenn der
Stempeld ruck wächst. Bei konstan,er Tem·
peratur ergeben die Messungen das R oyte·
Mariottescht Gesetz:
pV = const.
(3.23)
Das ist die sog. Isotherme des idealen Gases,
eine Hyperbel, s. Abb. 3.42. Die eingeschlossene Gasmenge oder ·masse m muß dabei
selbstversUindlich kons,ant bleiben. So läßt
sich das Boyle.Mariottesche Gesetz auch ror·
mulieren als p/ q = const, wenn man be·
denk', daß die Dichte (l = m/ V isl. Der
Druck eines idealen Gases ist also seiner
Dichte proportional.
Schließlich ist ein Gas nicht nur stark
kompressibel. Umgekehn dehnt es sich nach
Boyle·Marioue bei nachlassendem äußeren
Druck beliebig aus, oder es fOUt ein ihm an·
gebotenes Volumen so aus, daß Uberall die
gleicbe Dichte herrscht. Weder Flüssigkeit
noch Festkörper haben wegen der Kollasionskrllf,e diese Eigenscharl. - Beim Ein·
atmen erweilern wir das Volumen der Lunge.
dadurch entsteht ein Unterdruck. und es
strömt Luft ein.
3. Die mechanischen Eigenschaften der StOrre und ihre molt'kulareSlruklUr
52
4 s um 2Q crn hineingedrückt werden. Welche Lrislung
isl dazu notwendig, wenn der Qu~tl des Kolbens
auf der Lastseite 0.1 m2 und die Kraft (last) don lOS N
sind?
3.3.1 Dtr Druck in der WasseTlellWl8 betrage im Enlgeschoß eines Hauses 2· lOS
Wie hoch ist er 18 m
dartlbe.r im 6. Stoclcwerk.?
N/nr.
3.3.3 Eine Plane aus dem Material der Dkhte
O,&8g1cm1 ruht auf e:intr Salz.IOsung der Diclue
t.lOg/c:ml . Welcher Teil ihres Volumens taucht nicht
ein?
3.3.4 Wie groß ist der Überdruck im Gleic:hgev.'ichl.
den eine Luftblase: \/on 0, I mm Durchmesser in Wasser
haben muß (q= 0,073 N/ m)? Wie hoch ist die WasserSäule. die auf der Erde denselben hydrostatischen Druck
hai?
3.3.5 Das Glasrohr in Abb. 3.38a wird so weit herunlcrgesc:hoben. daß seine Längt außerhaJb des Wasseß
Ideiner als dessen StcighOhe iSl. StrOmt jetzt Wasser
oben aus dem Rohr aus'? 8cgrttndung.
3.3.6
Von einem Medikament sind bei einem Radius
R =- 1.00 mm, val. Abb. 3.39. 10 Tropfen verordnel.
Wieviel Tropfen ergeben bei R
Masse (Dosis)?
..
I "
4
.,..,-{,n
Abb. J.40. MomeDlbild der Moleküle
in Zimmel'iu(1. (AUS Pohl)
Gas
/,11
----------
F
Abb. 3.41. Messuo8 von Druc.k: und
Volumen eines Gases
Abb.l.42.
8oyle-Marioll~es
0.6'25 mm dieselbe.
3.4 Ruhende Gase
.. !, ... !
5
=
Ge$e12.
3.4.1 DieMe, Druck und Volumen. Die Dichte der Gase ist sehr gering. Bringen wir ein
luftleer gepumptes Olasgefäß auf eine Waage und lassen die Luft wieder einströmen, so
fLnden wir aus der kleinen Gewichtszunahme, daß 1 Liter Luft bei Zimmertemperatur
die Masse 1,293 g hat. Die Raumerfüllung
der Luftmoleküle in der Nähe der Erdobernache veranschaulicht uns Abb. 3.40. Sie ist
gewissermaßen eine Momentaufnahme in
der VergrOßerung 2 · 10". Nur etwa 1/ 1000
des Raumes wird von den Luftmolekülen
selbst ausgefüllt. Die Moleküle eines Oases
haben also im Gegensatz zum festen und
flüssigen Aggregatzustande einen verhältnismäßig großen Abstand. Die zwischenmolekularen Kräfte sind daher in Oasen außerordentlich klein. und wir können sie im Grenzfall des sog. idealen Gases völlig vernachlässigen.
Im folgenden beschränken wir uns einmal
darauf und behandeln außerdem die mechanischen Stoffeigenschaften der Gase in der
sog. KontinuumsnlJherung, bei der wir deo
molekularen Aufbau und die Wärmebewegung der Moleküle nicht im einzelnen verfolgen. Auch ohne darauf einzugehen, lassen
sich nämJich viele sehr wichtige Vorgänge in
Gasen gesetzmäßig formulieren. Die spätere
Behandlung im molekularen Bilde kann auf
diesen empirischen Erfahrungen aufbauen,
muß aber vor allem we Temperatur als ZustandsgrOße und die kinetische Wärmetheorie quantitativ mh einschließen. Darauf
kommen wir in Abschn. 5.3.1 ff. zurück.
Um sowohl das Oleichartige als auch das
Umerschiedliche im mechanischen Verhalten
von Flüssigkeiten und Gasen h.erauszustellen, beginnen wir mit dem Stempeldruck. Er
wird am besten durch seine FLüssigkeit, z. B.
Quecksilber, auf das Oas übertragen und mit
einem Flüssigkeits-Manometer M gemessen.
s. Abb. 3.41. Über den Druckzustand im Gas
und we von ihm ausgeubten Druckkräfre gilt
dasselbe wie beim Slempeldruck in Flüssigkeiten. Nur verklei nert sich, anders als bei
der praktisch inkompressiblen Flüssigkeit,
das Gasvolu.men sehr beträchtlich. wenn der
Stempeldruck wächst. Bei konstanter Temperatur ergeben die Messungen das BoyleMariottesche Gesetz:
pV= CODSl.
(3.23).
Das iSl die sog. Isotherme des idealen Gases,
eine Hyperbel, s. Abb. 3.42. Die eingeschlossene Gasmenge oder -masse In muß dabei
selbsrverständlich konstant bleiben. So läßt
sich das Boyle-Mariottesche Oesetzauch formulieren als pI e = conSl. wenn man bedenkt, daß we Dichte (} = m/ V ist. Der
Druck eines idealen Gases ist also seiner
Dichte proportional.
Schließtich ist ein Oas nicht nur stark
kompressibel. Umgekehrt dehnt es sich nach
Boyle-Mariotte bei nachlassendem äußeren
Druck beliebig aus, oder es füllt ein ihm angebotenes Volumen so aus, daß überall we
gleiche Dichte hemcbt. Weder Flüssigkeit
noch FestkOrper haben wegen der Kohäsionskräfte wese Eigenschaft. - Beim Einatmen erweitern wir das Volumen der Lunge,
dadurch entsteht ein Unterdruck, und es
ströml Luft ein.
3.4 Ruhende Gase
53
Den isothermen Kompressionsmodul K. YS!. Abschn.
3.3.1. erhalten ~'ir filJ ein ideales GaJ mit (3.12) durch
Differentiation des Boyle.Marioltescben Gesetzes:
dp
K= - V - = p .
(3.24a)
dV
3.4.2 Die Lullhülle der Erde und der Lull·
druck. Da ein Gas ein Gewicht hat, haben
wir, wie bei einer Flüssigkeit, in jedem gaserfUIllen Raume einen von oben nach unten
zunehmenden Schweredruck, der sich nichl
nur als Bodendruck äußert, sondern je nach
Orientierung der angegriffenen Fläche auch
seitwärts oder nach oben wirkt. Daher erfährt auch in einem Gase jeder Körper einen
Auftrieb entsprechend dem Archimedischen
Prinzip.
Auf der Erde befinden wir uns auf dem
Boden eines gewaltigen Luflmeeres. Hier
steht die Luft unter einem Schweredruck, der
gleich dem Gewicht der auf der Flächenein·
heil lastenden Luftsäule ist. Dieser Druck
wird uns im allgemeinen nicht bewußt. weil
die von ihm allseitig auf unseren Körper ausgeUbten Kräfte sich stelS das Gleichgewicht
halten. Den Nachweis eines Llifldruckes hat
zuerst 0110 von Guericke 4 erbracht, als er
zeigte, wie zwei dicht aufeinander gesetzte
und luftleer gepumpte Halbkugeln durch den
äußeren Atmosphärendruck so stark zusammengepreßt wurden, daß beiderseits je 8
Pferde nötig waren, um sie zu trennen, vg!.
Abschn. 2.3.3. - Dem Versuch von Torricelli folgend, fUHen wir ei.ne an einem Ende
verschJossene, etwa I m lange GlasrOhre vollständig mit Quecksilber. Dann verschließen
wir dje Öffnung mit dem Finger, drehen das
Rohr um und tauchen es mit dem zugehalte~ Duo von Guericke.
1602-1682, Bürgermeister von
Magdeburs. Erfinder der Luftpumpe.
nen Ende in eine Schale mit Quecksilber.
Nehmen wir nun den Finger weg, so nießt
das Quecksilber so weit aus, bis es im Glasrohr etwa 76 cm höher als im äußeren Gefäße steht. In diesem Gleichgewichtszustande
ist also der Luftdruck auf den äußeren HgSpiegel gleich dem hydrostatischen Druck
der 76 cm hohen Quecksilbersäule, s. Abb.
3.43.
Neigen wir das Rohr, so bleibt die HOhe
von 76 cm erhalten, da ja der Druck der
Quecksilbersäule nur von ihrer vertikalen
HOhe abhängt. Im Raume oberhalb der
Quecksilberkuppe haben wir, abgesehen von
einer Spur von Quecksilberdampf, einen von
Materie freien Raum, ein Vakuum.
Da Quecksilber das spez. Gewicht
y= (lg = 13,59 10'·9,81 = 133,3 ./0' N/ m'
hat, beträgt der hydrostatische Druck einer
Hg·Säule von 0,76 m HOhe yh = 101 3· 10'
.
'
N/ m . Dtesen Druck nennt man auch eine
physikalische Atmosphäre (alm). Weitere auch frUher gebräuchliche. aber heUle nicht
mehr zugelassene - Druckeinheiten und ihre
exakten Umrechnungsfaklorcn findet man in
Tab. 3.3. Die SI· Einheit für den Druck ist
I N/ m' = I Pa (Pascal).
~ ~ ---I
'"
Abb.3.43.
Messung des Luftdruckes
,
Der Luftdruck ist zeitlichen Schwankungen untc,"",orfen und Indert sich außerdem noch mit der HOhe. Dc:r
Wert von IOIl mbar (101.3 kPa) ist ein fnr Meereshöhe
geltender DurchschniuS'A-ert . Da eine LuftsAule \on
10m HOhe und I m 2 Querschnitt uOIer Normalbedinsunsen ctwa die Masse m "" 12.9 kg hat. \'ermindert sich
der Luftdruck in Mec:reshOhe auf 10m HOhenzuwachs
um m · g. das sind rund 127 Pa odcr 1.27 mbar. Wlre
die Luft inkompressibel Wte eine AOssigkeit. so wOrde
der Druck linear mh der Höhe abnehmen und in 8 km
Höhe eine scharfe Grenze mit 0 mbar haben, s. Abb.
3.44 (semichehe Gerade). Die unteren Luftschichten
werden aber durch das Ge""icht der Ober ihnen liegenden
zusammcngedrUckt, die oberen haben entsprechend geringerc Dichte. Der Druckabfall auf 10m Höhenunter1fXX)
TaMile 3.3. DruckeinheitC1l. in eckigen Klammem nicht mehr zugelassene
I Pa (pascal) "'" 1 N/ m2 (- I ,019710 ., kplc:m z)
I mbar - 100 Pa oder 1 bar - 1~ Pa
Zum normalen Luftdruck :
1I atm - 760 mmHg - 101325 Pal
11 at- 1 kp/cm1 :: 98066.S Pal
I mmHa; = (t Torrl - 133.322 Pa
11 m WS '" 9806.6S Pa)
ph)'Sikalische Atmosphäre
tec.hnische AunosphAre
(Or Blutdruck in der Medizin zullssig
Meter WIJSC'rsAule
j
.E
jj
~
250
o
5
K)
15 20 25km
HOhe ubNMeer
Abb. 3.44. Der Luftdruck in Abhlnaiakeit \Ion der Höhe: bei konstanter
Temperatur
3. Die rne<:hanisCMn Eigenschaften der Stoffe und ihre molekulare Struktur
54
schied wird mit steigender Höhe kontinuierlich geringer.
Es gibt daher überhaupt keine scharfe Grenze der Aunosphäre. vielmehr wird der Druckabrall mit der Höhe
durch die sog. barometrische HlJhettformelbeschriebcn,
deren Verlauf in Abb. 3.44 dargestellt ist. Sie ist die
Grundlage. um die Höhe mit dem Barometer zu bestimmen. In 5.5 km HOhe betragt der Luftdruck die HAIfte.
in I1 km ein Viertel des Luftdruckes an der Erdoberfläche. Noch In Höhen von mehreren 100 km sind GasmoJekOle vorhanden. wie man an Meteoren erkennt, die
bejm Eindringen in die Atmosphlre infolge der Reibung
ins GIOhen geraten.
Der Luftdruck nimmt mit steigender Höhe h expo.
nenliell nach der Gleichung
P""Poexp
P,
-= -}"
~ h
-- !
___
;~
L
bb. 3.45. U-Rohr-Manometer
L
a
b. 3.46. IRr Heber
b. 3.47. Schema der Kapselpu.mpc
Q,gh)
(- - ; ;
(3.24b)
ab. Mißt man h in km und setzt die Werte für Dichte Qo
und Druck Po der Luft in Meereshöhe ein. so ergibt sich
die Zahlenwengleichung p - poexp ( - hl7,99).
Exakt gilt ctie barometrische Höhenrormel nur im
Gleichgewicht für überall konstante Temperatur und
Luflzusammenselzung.
Ein wirkliches Gleichgewicht stellt sich in den unteren
Atmosphllrenschichten bis etwa 10 km Höhe, der sog.
TroposphlJre, aber nie ein, vor allem infolge der sich
stets Andernden Erwärmung durch die Sonnenstrahlung,
Innerhalb dieser Schicht sinkt die Temperatur auf etwa
gleich dem systolischen bzw. diastolischen
Blutdruck ist. JedesmaJ bestimmt man die
Druckdifferenz zwischen Manschette PI und
AußenJuft Po.
Wir besprechen noch zwei weitere WirkuIl&en des
Luftdruckes. Ein Schornstein zieht bekanntlich um so
besser, je bOher er ist. Das liegt an folgendem: An seinem unteren Ende herrscht der Druck der angrenzenden
äußeren AtmOSphare. Die heiße Luftsaule im Schornstein hat aber eine kleinere Dichte als die kaltete Außenluft. Nach der barometrischen Höhenformel ist infolge:dessen der Druclcabfall mit der Höhe innen kleiner als
außen. Je bOher der Schornstein ist, desto grOßer ist an
seinem oberen Ende die Druckdifferenz zwischen innen
und außen, die den "Zug" verursacht.
Ferner betrachten wir den Heber, s. Abb. 3.46. Ist
dieser vor dem Eintauchen ganz mit Aüssigkeit gefOlIt
oder saugt man ihn mit dem Munde am unteren Ende
voll, so 11ufl die Flüssigkeit vonA nach Bweiter aw, so.
lange der Flüssi,gkeiLSspiegel von B tiefer als der von A
liegt. Der FIOssigkeiLSfaden hält wie eine Kette infolge
der Koh.'lsionskrafte zusammen, und das übergewicht
des um die Strecke h lAngeren rechten Fadens zieht die
Flüssigkeit nach B. Jedoch ist die Zugfestigkeit eines
Flüssigkeiufadens sehr gering, und nur durch den auße:ren Lurtdruck ..... ird das Abreißen so lange verhindert,
wie er höher als der der FIQssigkeiLSSäule A eist.
_60 D e.
Zur Messung des Luftdruckes benutzt
man Barometer, z. B. Hg-Barometer, die
nach dem Prinzip der TorriceUiscben Röhre
gebaut sind, sowie MetaJl- oder Aneroidbarometer. Letztere bestehen aus einer luftleeren, geschlossenen MetaUdose, die unter dem
Einfluß des wechselnden Druckes verschieden stark elastisch deformien wird, wobei
dje Deformation auf einen Zeiger übertragen
wird. Nach demselben Prinzip arbeiten auch
die MetaUmanometer zur Messung hoher
Drucke.
Häufig interessiert nur die Differenz. eines
Gasdruckes zum äußeren Luftdruck, z. B.
beim AUloreifen oder im Gasnetz. Diese
Druckdifferenz kann mit einem V-Rohrmanometer gemessen werden, s, Abb. 3.45.
Im unteren, gestrichelt gezeichneten Niveau
ist, wenn Gleichgewicht herrscht, der Druck
in bei den Schenkeln gleich: Pt = Po+ yh. Die
Querschnittsnache der Schenkel muß dabei
nicht gleich sein. - Ein weiteres Beispiel dazu ist die Blutdruckmessung nach RivaRocci; eine Manschette um den Oberarm
wird mit Luft aufgepumpt, bis ihr Druck
Vakuumpumpen. Zur Evakuierung eines CiefIßes, z. B.
der Mqdeburger Halbkugeln, bis zu etwa 1 mbar dieot
eine Kopse/pumpe, s. Abb. 3.47. 10 einem zylindrischen
HohJkOrpc:r A rOliert ein exzentrisch gelagener ZyUnder
B, der einen Schlitz mit zwei Schiebern S\ und ~ enthaJt, Sie werden durch eine Feder ständ!, gegen die
Wand des Zylinders A geprdll, 50 daß die Raume zwischen den beiden Wänden der Zylinder immer unteneilt
sind. Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinne, so wird
der Raum D vergrößen und daher die Lurt aus C angesaugt. Schließlich wird durch den Schieber S\ der Raum
D von C abgetrennt und die in ihm enthaltene Luft
durch ein Ventil bei E herausgepreßt. Dieser Pumpvorgang \o\'iederholt sich periodisch.
Andere Vakuumpumpen sind die WQSSerstrohJpumpe
(Abschn. 3.5.4) und die Diffusionspumpe mit Quecksilber- oder Öldampf (Abschn. S.3.S).
Aufgaben
3.4.1 Luft bermdet sich unter dem Druck 120 kPa in
einem Zylinder mit frei beweglichem Kolben von 8 cml
Fläche im Gleichgewicht. Auf welchen Bruchteil wird
das Luflvolumen isotherm zusammengedrückt, wenn
von außen auf den Kolben zusAwich eine Kraft von 200
N ausgeübt wird?
3.4.2 Der Zwischenraum von zwei aureinandergepreßlen Halbkugeln mit 60 cm Durchmesser ist auf 10 kPa
3.5 Bewetungen in Flo.ssigkeiten und Gasen (Hydro- und Aerodynamik)
evakuim. der äußere Lufldruck beträgt 100 kPa. Wel·
ehe Kraft wird benötigt, um sie zu trennen?
3.4.3 Aur der Balkenwaag~ wird ein Körper von 1000
cr.n1 Volumen durch Ge:wichtssrocke von 22.00 g und
1 c~ Volumen austariert. Wekhe Masse bat der Körper
bei Bcrilckskhtigung des Aurtriebs in Lufl? (Dichte der
Lurt aus Tab. 3.1.)
3.4.4 Ein Ballon von 20 rul Volumen haI eine Gesamt·
masse 20 kg. Mit welcher Kran wird er vom Erdboden
hochge:z.ogen? Wie hoch steigt er? (Dichte der LuH am
Erdboden s. Tab. 3.1.)
3.5 Bewegungen in Flüssigkeiten und
Gasen (Hydro- und Aerodynamik)
3.5.1 Stromfiden, laminare Strömung. Ruheode Gase und FlUssigkeiten haben wir getrennt behandelt, weil Flüssigkeiten praktisch gar nicht, Gase dagegen besonders
stark zusammendrtickbar sind. Die Bewegung in Flüssigkeiten und Gasen können wir
dagegen gemeinsam betTachten, solange nur
die Geschwindigkeit im Gase genügend klein
bleibt, so daß die Änderungen der Dichte
vernachlässigt werden können. Bleibt die Geschwindigkeit klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit, so läßt sich das Gas wie eine
Flüssigkeit als praktisch inkompressibel behandeln. Daher werden wir in ctiesem Ab·
schnitt das Wort .. Flüssigkeit" als Sammelbegriff für Flüssigkeiten und Gase benul2en.
Man spricht auch von einem Fluid.
Um die StriJmung einer Flüssigkeit sichtbar zu machen, können wir in ihr kleine Teilchen wie Aluminiumflitter suspendieren und
deren Bewegung photographieren. Bei einer
kurzen Belkhtung liefert jedes Teilchen eioen kurzen Strich, dessen länge und Richtung uns die Geschwindigkeit des Volumenelementes oder Flassigkeitsteilchens an der
betreffenden Stelle angeben. Damit ist nicht
ein einziges MolekOJ gemeint, sondern im
Sinne deJ Kontinuumsbetrachtung eine große Anzalll vom MolekUlen, die im zeitlichen
Verlauf der Strömung zusammenbleiben.
Man spricht von einer laminaren Strömung,
wenn die VOn den markierenden Aluminium·
flittern herrührenden Striche sich zu Strom·
linien, besser Strom/tiden oder Lamellen zu-
ss
sammenfUgen. Außerdem bleibt in einer laminaren Strömung das ganze .BUd der Stromfäden über einen längeren Zeitraum unverändert.
Wir betrachten eine dwch ein Rohr mit
verschiedenen Querschnillen rueBende flüssigkeit, s. Abb. 3.48. Da die Flüssigkeit nicht
zusammendrtickbar ist, sich also nirgends
stauen und außerdem auch nirgends verschwinden kann, ist die pro Zeiteinheit den
Querschnitt des Rohres passierende F/assigkeilSmenge, das ist die StromsUJrke. überall
dieselbe. So viel in b zurueßt, so viel muß zugleich in c wieder abtließen. Die Geschwindigkeit ist dabei verschieden, und zwar ist sie
um so größer, je enger das Rohr ist. Auch ein
Fluß hat an der engsten Stelle die größte, und
wenn er sich zu einem See verbreitert~ eine
ganz besonders geringe Geschwindigkeit. An
der Verengung, wo die Geschwindigkeit am
größten ist, drängen sich die Stromlinien zusammen. so daß wir auch aus der Dichte der
SlIomlinien sofon auf die Geschwindigkeit
schließen können.
f~~~~~~
•
<
Abb. 3.48. Stromlinien in einem
Rohr mit \1I!'rschiedenem Querschnitt
Es sei u die Ceschwindigkeit der Strömullg und Ader
Querschnitt des RabIes. Dann schiebl sich in einer Se·
kunde durch die Flacbe A ein F1a~sigkeitszylinder von
der Unge v. s. Abb. 3.49. Dessen Volumen gibt also die
StromsllJrke
J = uA
U.24c)
an. gemessen in der Einheit ml/s. Da die SLromstärke
überall dieselbe ist, muß auch längs des ganzen Strom·
weae! uA konstant bleiben. Die Geschwindigkeit ist umgekehn proponionalzum QuerSChnitt. Das ist die sog.
KominuiUJugJeichung fOr slIOmende flll!.sigkeilen.
Die bisher besprochene Kinematik der
Flüssigkeilssrrömung mUssen wir durch eine
Dynamik ergänzen, indem wir dje Kräfte besprechen, die während der Strömung auf ein
Flüssigkeitsteilchen einwirken. Bei einer ruhenden Flüssigkeit entstehen sie allein aus
der Schwerkraft und dem hydrostatischen
Druckzustand. In bewegten Flüssigkeiten
kommen Reibungskräfte und TrägheitskrlJjte hinzu. Sie können beim Zusammenwirken
in der sog. realen Flüssigkeit zu Wirbeln,
d. h. zu nichtlaminarer, sog. turbulenter
SlIömung führen (Absehn, 3.5.5). Diese
Schwierigkeit der realen Flüssigkeit umgehen
wir ~ indem wir m.it den beiden Grenzfällen
beginnen. Das sind zähe Flüssigkeiten mit
ReibungskrlJjten, während die TrägbeilS-
v_
Abb. 3.49. Zum Ikgriff StromstArke
3. ))je mechanischen Eigenschaften der Stofre und ihre molekulare Struktur
kräfte zu vernachlässigen sind, und andererseits ideale FlOssigkeiten, bei denen umge-
kehrt die TrOgheitskrOjte sehr viel größer als
die Reibungskräfte sind. Um Mißverständnissen vorzubeugen, sei hervorgehoben, daß
die Bezeichnungen "zäh" und "ideaJ" sich
nicht allein auf die Flüssigkeit als Stoff, sondern ganz wesentlich auch auf rue speziellen
Str6mungsbedingungen beziehen.
3.5.2 Zähe fliisslgkeit, innere Reibung. Um
FlOssigkeilSteilchen gegeneinander zu verschieben, brauchen wir praktisch keine Arbeit aufzuwenden, vorausgesetzt allerdings,
daß wir diese Formänderung genügend langsam vornehmen. Andernfalls zeigt rue Flüssigkeit einen mit der Geschwindigkeit der
Verschiebung anwachsenden Widerstand.
Um das zu verfolgen, betrachten wir eine
zwischen zwei parallelen Platten sich berrn-
dende FIOssigkeil. Wir versellieben die obere
Platte parallel zur unteren. clie festgehalten
wird. Dabei stellt sich folgender Bewegungszustand ein. Die unmittelbar an den Platten
anliegenden Schichten haften an diesen fest.
Abb. 3.50. Zur inneren Reibung
ten nacb oben zu, s. Abb. 3.50. Jede Schicht
ist etwas schneller als die unmittelbar darunterliegende, so daß die einzelnen LameUen in
laminarer Strömung übereinander weggleiteD. Dabei gibt es zwischen diesen Schichten
Reibungskräfte, dureIl welche die untere
Schicht jeweils beschleunigt, die obere gebremst wird. Diesen Vorgang, der die Geschwindigkeilsunterschiede
benachbarter
Schichten auszugleichen sucht, nennen wir
innere Reibung. Die zur Überwindung der
Reibungskräfte aufzuwendende Arbeit wird
wie stets in Wärme umgewandelt. Die zur
Fortbewegung der oberen Platte erforderliche Kraft ist der Fläche der Platte A und im
allgemeinen auch ihrer Geschwindigkeit v
proportional. Dagegen ist sie dem Abstand
der bei den Platten d umgekehrt proportio-
-------
nal, so daß das Kraftgeseez der inneren Rei-
bung im einfachsten Fall lautet:
b
Abb. 3.5t •. b. Rotalionsviskositneter
der Definitionsgleichung ergibt sicb für 'I die
SI-Einheit I Ns/m 2 = 1 Pa· s. Sie ist aber
sehr groß, weshalb in der Praxis die Angaben
in mPas (Milli pascalsekunde) gemaeht werden wofOr früher die BezeiChnung I eP
(Ze~tripoise) üblich war. Wasser besitzt bei
20°C eine Viskosität von etwa 1 mPas. Verschiebt man eine Plane von 1 m 2 Räche mit
der Geschwindigkeit 1 m/s Ober einer Wasserschicht von 0,1 mm Dicke. so benötigt
man eine Kraft von 10 N.
v/d ist die Änderung der Geschwindigkeit
senkrecht zur StrOmungsrichtung pro Län-
geneinheit, das sog. Geschwindigkei/sgejol/e
oder der Gesehwindigkeirsgradienl du/fix.
F/A ist eine Schubspannung T, vg!. auch
Absehn. 3.2.3. Sie wirkt in der Flüssigkeit.strömu ng tangential zwischen zwei aneinan·
der vorbeigleitenden LameUen. Allgemein
gilt der Zusammenhang:
In den dazwischenliegenden FIUssigkeitslameUen nimmt die Geschwindigkeit von un-
•
'1 ist eine für die Flüssigkeit charakteristische
Konstante, die sog. dynamische Viskositllt
oder der Koeffizient der inneren Reibung.
Mit wachsender Temperamr nimmt 11 bei
Flüssigkeiten ab, bei Gasen dagegen zu. Aus
F
u
d
-='1-.
A
d.
T='1-.
dx
(3.25 b)
Stoffe, bei denen " von der SchubspanDung tunabhängig, d. h. eine wirklicbe Materialkonstante isl, nennt man auch Newtonsehe Flüssigkeiten. Es gibt aber auch Systeme, z. B. \lieie kolloidale Lösungen, Suspensionen, Schmelzen von Kettenmolekülen und
vor allem Blut, für die das nicht zutrifft
(Niehtnewtonsehe Flüssigkeiten) . Ln ihnen
Ilängt 'I noch von der Schubspannung ab,
oder die Schubspannung steigt nicht linear
mit dem Geschwindigkeitsgefälle an.
1m ROlaLionsviskosimeter bestimmt man"
nach der Definitionsgleichung bei einer
Scbubspannung, die überall in der FlOssigkeit denselben Wert hat, vgl. Abb. 3.51. Die
ebene Anordnung von Abb. 3.50 ist in eine
kreiszylindrische verformt mit einem Radius
groß gegen den Abstand d. Der innere Zylin(3.25 a)
der wird von einem MOlor angetrieben und
rotiert mit konstanter Winkelgeschwindig-
keit. Die Schubspannung, die durch die inne-
51
3.5 Bewegungen in AOssigkeiten und Gasen (Hydr" und Aerodynamik)
Abb. 3.52. viskoelastisches Verhalten; Verlauf
der Verformung l' als Funktion der Zeit bei zur
Zeit t .. 0 angeJeater, konstant bleibender Spannung ..
re Reibung der Flüssigkeit übertragen wird ,
übt ein Drehmoment auf den äußeren Zylinder aus, das mit einer DriUachse (Abschn.
3.2.3) gemessen wird.
Manche Stoffe, insbesondere hochmolekulare Kunststoffe, zeigen nebeneinander elastische und viskose Eigenschaften (ViskOt!/llJliz.IUJr), d. h. die Verformung iSI
bei einer angelegten Spannu~ zwar zeitabhllngig, aber
nicht im Sinne einer konslanlen Viskositlt. In Abb. 3..~2
findet man verschiedene Verformungen, als Funktion
der Zeit nach einer sprunghaft angelegten konstanten
Schubspannung 10. Die horizonzale Gerade zeigt den
rein elastischen FaD , . ro / G. 5. Abschn. 3.2.3, die geslriche:lte Gen.de das rein viskose Flidkn mit konslanter
Viskositlt .,." ro'l ". Die gekrOmrnte Kurve aehOn zu
einem viskoelastischen Material. Die Verformung erreicltl momentan den mn dastischen Wert )b und $Ieigt
dann allmlhlich auf einen hOheren Gre~ert an (Kriechen). Sehr hluf... beobachtet man statt eines Grenz..
wertes eine standig mit der Zeit ansteigende, oft Stehe geringe VerformußJ. al!Strichelta' Kurvenast.
3.5.3 Strö mung von zähen Flüssigkei ten
du rcb Robre, Kugell.11. Die Zähigkeit einer
Flüssigkeit macht sich besonders beim Strömen durch enge Rohre, vor allem durch Kapillaren, bemerkbar. Nur bei genügend kleiner Geschwindigkeit haben wir es auch bei
realen Flüssigkeiten mit einer laminaren
Strömung zu lUn. Bei ihr haftet die Grenzschicht durch Adhäsionskräfte fest an der
Rohrwand, so daß die Geschwindigkeit an
den Wänden Null ist und nach der Mitte zunimmt, s. Abb. 3.S3. Das Geschwindigkeitsprofil hat die Form eines Rotationsparaboloides. Die Strömung erfolgt überall parallel
zur Rohrachse. Zerlegen wir die strömende
Flüssigkeit in lauter dünne kreiszylindrische
ROhren, so erkennen wir, daß die aufeinanderfolgenden einzelnen Flüssigkeitsschichten
verschiedene Geschwindigkeiten haben und
daher mit Reibung aneinander vorbeigleiten,
jedOCh ohne sich ZU mischen.
Um die Flüssigkeit gegen die Reibungskräfte durch die Kapillare zu pressen, isl eine
andauernde
Druckdifferenz
tJp = p,- p,
zwischen heiden Enden erforderlich. Die
Stromstärke, auch Volumenstrom oder Vo/umendurchJ/tqJ genannt. ist proportional
zur Druckdifferenz und folgt dem Hagen-
Poiseuilleschen Gesetz:
L1 V
nr'
/ =-=-tJp.
tJt
8~/
(3.26)
Hierbei sind r der Radius und / die Ulnge des
Rohres. Man bezeichnet den Quotienten
tJpll = R auch als StrtJmungswiderstand der
Kapiiiaren für die betreffende Flilssigkeit,
vgi. dazu das Ohmsche Gesetz fUr slIömende
elektrische Ladungen in Leitern (Abschn.
6.1.2). In Kapiliaren ist der StrOmungswiderstand der Länge direkt proportional, aber
umgekehrt proportional der vierten Potenz
des Radius.
Relativrnessungen der Viskosität 'I, denen
der StrOmungswiderstand von KapiUaren zugrunde liegt, führt man mit dem Ostwa/dV'lSkosimeter durch, s. Abb. 3.54. Die
Druckdifferenz beträgt zum Zeitpunkt der
Zeichnung tJp = ytJh, so daß nach dem
Hagen-PoiseuiUeschen Gesetz die momenta~
ne Stromstärke auch vom spez. Gewicht )I
der FIOssigkeit abhängt. Während des
Durchfließens verkleinert sich außerdem
noch Ah. Wir vergleichen daher zwei flüssigkeiten, Vergieichsubstanz (I) und Untersuchungssubstanz (11) miteinander, indem
wir von beiden das gleiche Gesamtvolumen
in das Viskosimeter einfüllen. Jedesmal messen wir die Zeit t für den DurchOuß des Volumens, das durch die Marken A und B begrenzt ist. Während der linke F1ilssigkeitsspiegel von A nach B sinkt, durchläuft die
=y
t
Abb. 3.53.
~wjndi&kc:its\end '
luna in einem Rohr bei laminart:r
StrOmul1&
,
,
Po___
"""'
__",_1
Abb. 3.54. Oslwald. Viskosimeter
3. Die m«h.u l i sdl\~n Eigenschaften d~r Storre und ihre molekulare Struktur
l8
Höhe J1h dann bei beiden Flüssigkeiten dieselben Werte. Seide StromstOrken verhallen
sich, wenn die zwei F1ussigkeitsoberflächen
den gleichen Höhenunterschied haben, wie
die zugehörigen Werte von y/ q. Für die
Gesamlliurchlaujzeiten gilt entsprechend
lu/t, = ('1uY')/('1,Yu)·
Man bezeichnet als Icin~motisch~ Viskosif(J1 \I das Ver·
tu Dichte " "" ,,/~.
Als ihre SI·Einheit ~rgibt sich ml/ s. Beim Ostwald·Viskosimete:r verhalten sicb die Gesamtdurchlaurzeiten wie
die kinematischen Vjskosit4teo der heiden F1Qssigkeiteo
"J / "J,'
Haufig wird auch Statt des Volumenstromes .1 V/ .1,
der Begrirr des Mossens,romes oder Mossendurchjfusses
.1m/ .1f benuLZt. Es gilt tJm/ .1('" ~.1 V/ .1t. Im Hagen·
poi.seuilleschen Gesetz ist 11 durch \I zu ersetzen, wenn
als Stromstlrke der Massenstrom genommen wird.
h41tnis von dynamischer Zähigkeit
,,/,u "'"
Fließt eine zähe Flüssigkeit durch ein
Rohr, so entsteht längs des Rohres ein
Druckgejlille. Wir bestimmen dazu den
Druck an einigen SteUen aus der Steighöhe in
Flüssigkeitsmanometern. Der hydrostatische
Druck am unteren Ende eines Manometerröhrchens ist gleich der Druckdifferenz zwischen strömender FIOssigkeil und Außenraum. Bei gleichförmigem Rohrquerschnitt
beobachten wir einen linearen Druckabfall.
s. Abb. 3.55.
~
lWJl
--
,
o
,
Dieses Resultat können wir unmittelbar aus dem
Hogen·Poiseuille·Ge5I:tz ableiten. Dazu rormen wir die
Gleichung um:
8"
Po-Px--,-Ix,
(3.27)
"'
Abb. 3.56. KugelJallviskosimeter
(3. 28)
wobei, der Radius der Kugel ist.
Abb. 3.55. Druckgeflille in einem Rohr von gleichförmi·
gem Querschnitt
--- ----
Lassen wir jetzt umgekehrt eine kleine Kugel in einem zähen Medium, etwa in Öl.
fallen, so wird sie durch ihr Gewicht nur so
lange beschleunigt, bis die mit der Geschwindigkeit anwachsende Reibungskrajt FR der
Schwerkraft das Gleichgewicht hält. Von da
ab fällt die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit v, sie sinkt. Andere Beispiele für diese "Fallbewegung" sind Regentropfen oder
Staub in der Luft, kleinste Teilchen in Wasser u. dgl.
Ist die Geschwindigkei( klein, so haben wir
eine laminare Strömung, wobei eine FlüssigkeilShaut an der Kugel festhaftet, die anschließende Flüssigkeitsschicht durch die
Reibung fast ganz mitgenommen wird, die
nächste schon weniger, so daß schließlich die
weiter abliegenden Schichten vöUig in Ruhe
bleiben. Wegen des Feslhaftens der Randschicht ist nur die innere Reibung der Flüssigkeit wirksam und die Reibungskraft auf
die Kugel vom Material und der Beschaffenheit ihrer Obernäche unabhängig. Es kommt
also nur auf die Zähigkeit '1 der Flüssigkeit
und die Größe der Kugel an. Für die langsame Bewegung einer Kugel in einer zähen
Flüssigkeit gilt das Gesetz von StOkes
FR = 6 "'1rV ,
-...
-
geneinheit betrlchtlich stärker ab als in der weiteren.
Am srOßt~n StrOmungswiderstand erfolgt der sUlrkSle
Druckabfall.
d. h. der Druck im Robr fillt vom Werte Po an der SteUe
x= o zum Wertepxan der Stelle x linear mit der Unge:x
ab, solange der Rohrradius r konstant bleibt. - Wenn
allerdings ein enges und ein weites RohrstOck nacheinander durchflossen werden. so fllllt der Druck Längs der
engen ROhre wegen des Faktors r4 im Nenner pro Uln-
Ist die Dichte der KugellI, die der Flüssigkeit tl. so ist
die treibende Kraft F einrach das um den AUftrieb ver·
minderte Gewicht der Kugel. Dieser Kraft hllt die Rei.
bungskraft I) das Gleichgewicht (F " l).). so daß wir
die Glcichung haben
4. )
- r (~-~ ' )g=61l''1''.l
oder
3
(3.29)
d. h., die Kugel faUt um so langsam~r. je kl~iner sie ist.
Das Kuge,!aJ/~ Visk~imeler ist ~in haufi3 beDUtz~e:s
Gerst, .um die VI~koSltät von flüsSigkeiten sehr pr!ZJ~
zu besummen. StlDe Kugel flllt aber niCht in der .. frele::n" Flüssigkeit, sondern in einem damit geruUten Rohr,
s. Abb. 3.56. Das Gesetz. von Stokes Silt cts.rin nicht
3,j
Ikweaun~
in Flossi,keiten und Gasen (Hydro- und Aerodynamik)
mehr quaotitativ. weU die eben bcsprocbcocn SU6muoauchichten um die Kugd durch die Rohrwaod tJe..
Jfenzt werden und deshalb die Rribungskrafl StOßer ist.
Sie bleibt aber proportional dem Produkt "". Die nach
unten zie:hende Kraft Fist wieder proportional q - I} '. so
daß im ganzen die Falluit Ober eine: feste, im Rohr markierte: Strc:c:ke I - C,,/ (g- p ' ) betrlgt. C ist eine Appa·
ratekomtanlc:, dte Dichte p ' der AlWigkeit muß ""'elen
des Aurtriebs berOcksichtigt und daher zusatrlicb bestimmt ...c:rdt:o. o;e MdJntOaltchkdt ,,;rd durcll da5
Auftrc!en von Turbuknz bqml%t (Absc:hn. J .5.5).
'9
würde er ohne Reibung senkrecht bis zur HOhe h hochschießen, s. Abb. 3.57b.
Die Ursache für das Ausströmen der Flüssigkeit ist der Überdruck im lnnern. unter
dem das Wasser an der Ausflußöffnung
steht. Dieser Druckunterschied liefert also
die Kraft, die die ausströmende Flüssigkeit
auf die Geschwindigkeit. beschleunigt, und
er entsteht hier spezieU durch den hydrostatischen Druck p = (lgh (Abschn. 3.3.3.2). Da·
mit können wir die Höhe h aus der Gleichung für die Ausflußgeschwindigkeit v eli·
minieren und erhalten die allgemeinere Beziebung:
3.5.4 Gts<hwlndlgkell und Druck In idealen
f1üssigkeUen. In jedem beschleuniglen Sy.
Slem Irelen Trl1gheilskriifle auf (Absehn.
2.3.4). Die Beschleunigungen sind indessen
bei zahen flüssigkeiten so klein, daß die
(3 .31)
TrägheilSkräfte ohne Bedeutung sind gegen·
v=
über Reibungskräf<en zwischen den Lamel·
len. In den jetzt zu besprechenden Experj.
meDIen sind umgekehrt die Reibungskräfte
Die Gleichuns gilt z. B. ror ein Gas, das sich unter
sehr viel kleiner als die Trägheitskräfte, so dmt Oberdruck p (Slcmpc:k1ruck) in einem Ballon befindaß sie die Eigenschaften von idealen flüs- det und durch ein kkinc:s Loch in die: Au6cnluft ausströmt. Seine AussttOmac:schwindlakcit ist umaekclut
sigkeiten gut wiedergeben.
proportional zur Wurul aus der Dichte (Bunscnsche.s
Im Grenzfall der idealen flüssigkeit bleibt AusstrOmunasac:seu). im Gqensatz zu AOssiakciten
die mechanische Energie, zusammengesetzt unter Schwcrcdruck. bei denen die Aw.st.r6mullJSaeaus potentieller und kinetischer. während der schwindigkeit unabhllngig von der Dichte ist.
Strömung konstant. Wir studieren das beim
Die letzte Gleichung könne." wir auch um·
Ausfließen aus einem Topf. der unten ein
formen in:
Loch besitzt. Dieses möge so klein sein, daß
die flüssigkeit im Gef!ß selbst keine merkli·
(l ,
ehe Gts<hwindigkeit oder kinetische Energie
p=-o.
(3.32)
2
erhält. Wir haben beim Absinken des flüssigkeilSSpiegels eine Abnahme der potentiellen Energie, die wir als kinetische Energie der Das bedeutet, daß die kinetische Energie,
ausströmenden FIOssigkeitsmenge wiederfin- welche die Volumeneinheit nach dem Aus·
den müssen. Es möge eine bestimmte Fltis- strömen besitzt, gleich ist dem Druck. unter
sigkeitsmasse m oben im Gefäß verschwin- dem die FlOSSigkeit vorher stand. '-erzterer
den, s. Abb. 3.57 a, und unten eine ihr glei. stellt demnach auch eine Energie pro Voluehe Masse mit der Geschwindigkeit v ausflie- meneinheit dar; man könnte sie als Druck·
ßen. Dann ist die Abnahme der potentiellen energie bezeichnen.
Energie mgh gleich der gewonnenen kinetiWir wollen uns diese Umwandlung von
schen Energie mo '/2 (Absdm. 2.3.6), so daß Druckenergie in kinetische noch einmal an
für die Ausflußgeschwindigkeit folgt:
einem etwas allgemeineren Beispiel klar ma·
ehen. bei dem eine bereits vorhandene Ge·
o = ~'2gh .
(3.30) schwindigkeit der idealen flüssigkeit durch
eine Verengung des Querschnitts im Laufe
der Strömung erhöht wird, s. Abb. 3.58.
Die Geschwindigkeit wlre ebenso groß I Dort ist der Volumenstrom J = A D in heiden
wenn die flüssigkeit die Höbe h frei durch- Rohneilen gleich, vgl. KontinuitälSglei.
fallen hatte (Abschn. 2.2.2). Ist der flüssig. ehung, Abschn. 3.5.1. Also gilt für die GekeilSStrom senkrecht nach oben gerichtet, so schwindigkeiten 0, / 0,= A,/ A" d.h. die
V2: .
_·_ril J
-----_':.
b
Abb. 3.S1 • • b. Ausfluß einer idealen
FlOssi&keit unter Druck
3. Die mechanischen Eigenschaften der Stoffe und ihre mole!l:u1areStruktur
60
Abb. 3.58. Beschleuniguns der Aflssigkeit im Roh.r
Abb. 3.60. Stalischer Unterdruck in
schneUer Luflsttömuns.
Abb. 3.61. Ball im lanUnaren Luft·
strom
Flüssigkeit strömt rechts (v,) schneller als
links. Wenn wir in den Raum zwischen den
bei den Marken N l und N 2 von links das
schraffiert gezeichnete FIOssigkeitsvolurnen
V eintreten lassen, so muß ein gleich großes
nach rechts wieder austreten. Wir könnten
auch warten, bis dieselbe Materie zu- und abgeströmt ist. Sie hat dann die kinetische
Energie gewonnen .1 W"" = (eI 2) V(vl- vl).
Dazu muß an ihr BeschJeuniguogsarbeit geleistet worden sein. Um das Volumen V in
den Raum zwischen NI und N z hereinzupressen, ist die Arbeit PI V notwendig, und beim
Ausströmen durch N 1 gegen den Druck P2
wird die Arbeit Pl V wieder gewonnen. so
daß die gesaulle, geleistete Arbeit beträgt
W = (p,- P2) V. Der Energiesatz verlangt
.1 Wllin = W. und wir kommen durch Einsetzen zur Gleichung von Bernoulli:
I
2
PI +Tfl V I =
Abb. 3.62. Zerslaube:r
I
2
P2+ -yeVZ = const.
j
(3.33 a)
Das bedeutet, daß in einer sLrömenden idealen FlUssigkeit an jeder Stelle die Summe aus
kjneLischer und Druckenergie konstant ist.
Der Druck ist don besonders niedrig, wo die
Strömungsgeschwindigkeit hoch ist.
Durch einen Schauversuch läßt sich dieses
sog. hydrodynamische Paradoxon leichI bestätigen, s. Abb. 3.59. Im mittleren engen
Jwasur
,,
m"
in,ufI!}
-
A
c
Abb. 3.59. Zum hydrodynamischen Paradoxon, stati-
scher Druck
Abb. 3.63.
Wassers:t:rahlpum~
Die' wnlc.hsl besp.rocbene, spc:zieUe Gleichung folgt
daraus mil VI = 0 und PI - Pz - p .
Rohrslück ist bei höherer Strömungsge·
schwiodigkeil der starjsche Druck, der wiedeI durch die 8leigböhe im Flüssigkeitsmanomeler bestimm t wird. niedriger als in den
angrenzenden Stücken mit größerem Querschnitt. Eine ideale FIOssigkeiL zeigt keinen
Druckabrall längs der homogenen Leitung,
so daß der Druck bei C wieder so hoch ist wie
bei A. Beim Übergang BC wird die Flüssigkeit infolge des Anlaufens gegen den höheren Druck gebremst. Ein Beobachter, der in
einem Boot mitschwimmt. steHt eine Trägheitskraft nach vom fest, ebenso wie er bei
der BeschLeu nigung von A nach B eine solche
bemerkt, die nach hinten gerichtet ist
(Absehn. 2.3.4). Allerdings gibt es vöUig ide·
ale Flüssigkeiten in der Natur nicht. lnfolge
geringer Reibung fl!ll! deshalb der Druck
längs des engen RohrSlückes doch geringfü·
gig ab (Absehn. 3.5.3), so daß er bei C, wie
in Abb. 3.59 angedeutet, etwas niedriger als
in A, aber auf jeden Fall höher aIs in Bist.
Weitere Experimente zur BernouUischen Gleichung:
Bläst man zwischen zwei schwenkbßre Blechkappen. so
ist man erstaunt, daß sie statl auseinanderzuschwingen
zusammenklappen. s. Abb. 3.60. Ocr statische Druck
der innen strömenden lurt i51 eben niedriger als der
Druck in der außen ruhenden. - Ein Ball bleibt stabil in
eintm Wasser- oder Lurtstrahl, auch noch wenn di~
nicht senkrecht im Raum verlllufl, d.h. er filii nicbt zu
Boden. s. Abb. 3.61. Der Strahl um.schließt den Ball
nicht symmetrisch, vielmehr Ii~t er so, daß die Suo..
mung an seiner Unt~ite langsamer ist als obrn. Von
unten drtKkt a150 eine gr08ert Druckkraft und kompensien das Gewicht d~ Balles. Bei gerinstn Abweichungen trelen Krafte auf, die den Ball wieder in diese stabile
Gleichgewichtsfage zurticklUhrm.
Lassen ""'ir einen lunstrahl aus einer engen Öfrnung
ausströmen. so verbreitet er sich beim Eindringen in die
AuBete Almosphäre und nimmt SChließlich Atmosphi!rendrudt an. An der Stelle des engsten Querschnius.
d. h. größter Geschwindigkeit. tritt daher im Luftstrom
ein Unterdruck und damit eine Saugwi.rkung auf. Aur
diesem Prinzip beruhen ZefSriJllber. s. Abb. 3.62, Inhalalionsapparate. manche AUIOmObilyergaser, der Bunsenbrenner, OamprSlrattipumpen usw.
Die Wasserslrahlpumpe. s. Abb. 3.63, arbeitel nach
demselben Prinzip. Aus einem $C:ltlich angeschlossenen
Gefllß wird die luft angtsaugt und mit dem Wasserstrahl mitgerissen. Durch geeignete Wahl der Str6mun&5geschwindiglu~it und der Abmessungen der DOse
kann man es erreic.hen. daß dIe Saugwirkung bis zum
Sluiaungsdruck des Wasserdampfs bei Zimmenempe"uur, d.h. bis zu 20 bis 30 mbar. heruntt'I'ßebt (Absc:hn.
j.4.]).
3.5 8e"'egunlcn in F1ussiJ,krilcn uud Gasm (Hydro- und Aerodynamik)
Die Bemoultische Gleichung können wir
auch schreiben:
(3.33 b)
Der sog. Gesamtdruck P06 setzt sich aus zwei
Anteilen zusammen, dem statischen Druck
p, vgl. Abb. 3.59, und dem sog. StDudruck
po- p = (10 212. Letzterer lalJt sich auf folgende Weise bestimmen:
Brinaen wir in die Strömung rin Hindemh. so staut
sich die FlOssiakeit an diesem. tolt sich und flielh seit·
lich \'orbei . Unmindbar \'or dem Hindernis. in ckr Mit·
te seiner Stirmcite, s. Abb. J.64a. ist t' _ O. Hier wird
also der statbche Druck &Joch dem GaamtdnJd: ~.
Wir messen ihn durch ein aebozmes. In die St.r6muna
hn-rinaebrachtC:S SIDUroltr. s . Abb. 3.64b. Oen Stau·
druck qr?/ 2 C'rhalten wir als Dirrerenz. \on AI und p •
....·abri p als slali$chn" Druck milteu eines sc1tlich anpbrachten Manometen aemcsscn wird. So erhalt man aU5
zv,'ei Druckmeuunaen <m Sttamunssaeseh ....'indiakeit ll.
3.5.5 Reale Flüssigkeilen J lurbule.nlt Strö·
mungo Wenn in der realen FIOssigkeit Reibungs- und TrägheilSkräfte zusammenwirken, kann es zu turbulenter Strömung mit
Wirbelbildung kommen. Es ist also nicht so,
daß wir die Eigenschaften und GesetzmalJigkeiten von zähen und idealen Flüssigkeiten
einfach addieren können, um immer zu denen der realen Flüssigkeiten zu gelangen.
Um zuerst Ausbildung und Eigenschaften
von stabilen Wirbeln zu verfolgen, nehmen
wir eine Trommel mit einer KreisOffnung,
die mit Rauch gefüllt und mOlen mit einer
Gummihaul verschlossen ist, s. Abb. 3.65 .
Bei einem Schlag auf die Gummihaul entsteht vor der Öffnung ein Rauch· oder Wirbelring, das ist gerade in der Grenzzone zwischen dem Luftzylinder hoher Geschwindigkeit und der ruhenden Außenlufl. Die bekannten Rauchringe aus Tabakdampf entstehen auf ganz analoge Weise. Die Luft im
Wirbelring bleibt stabil zusammen, und der
ganze Wirbelring fliegt mit einer Geschwindigkeit von einigen m/ s in Richtung des erzeugenden Schlages fort. Er besitzt eine solche Steifigkeit, daß er beim Auftreffen Pa-
, Po ist Dur koru:wtt . ...-mn die StrOmun, aur _orutaß..
lC'f HOhe h Ober dem Erdbodm bleibt. Allaemrin ist
Po + 111" eu~ Korutante.
6t
pierblAtter wegbläst und eine Kerze auslOscht. Eine Vorstellung von der Energie, die
in einem Wirbel gespeichen sein kann. geben
die Ve.rwOstungen durch Windhosen oder
Taifune.
Immer wenn in der Strömung Gren7.flbehen gegen ruhende Flüssigkeit. sog. Totwasser, vorliegen, bilden sich auch im konti·
nuierlichen Strome Wirbel oder Turbulenzen. Sie sind dann allerdings nicht so regel.
mäßig wie die Rauchringe. Diese An Turbulenz entsteht vornehmlich an Hindernissen
mit scharfen Kanten, z. B. an einem Gebirgskamm, s. Abb. 3.66. Ebenso bildet sich im
StrOmungskanaI hinter einer Platte, deren
Fläche senkrecht zur Stromrichtung stebl,
und auch hinter einer Kugel ein ausgedehntes, vef".Airbeltes Gebiet von TOlwasser. Um
Verwirbelung zu vermeiden, muß man durch
geeignete Formgebung die strömende Flüssigkeit daran rundem, sich hinten vom Hindernis abzulösen und dadurch einen TOlWasserraum rrei zu lassen. Das erreicht man mit
der sog. Tropfen- oder Stromlinienform, bei
der sozusagen das sonst vorhandene Totwassergebiel mit dem langsam SpilZ auslaufenden Heck ausgefüllt ist.
a
b
Abb. 3.6oIa. b. Zur Mcssunl der Ge-'K'hwindiprit In rinn StrOmul\I
Abb. J.65. Zur Bildu l\I von
R. uchnnaen
An sehr 5Chmalen Hindernissen enLSlehl hluf" eine
SOl. Wirbelstraße, indem skh .b.... tth.stlnd Wirbel mit
ent&tatft&esd.2tem DrehstM ablostn . So kommt es nun
Rattern von Flauen im Windt, 1. Abb. 1 .67.
Abb. 3.66. WirbdbildUDJ, an
rinn KantC'
Abb. 3.67. Wirbelstra.Be
Jede slrömende Flüssigkeit Obt auf einen
ruhenden Körper als Hindernis eine Kraft
aus. und seine Halterung muß die Gegenkraft lierern, soU er nicht wegschwimmen .
Weil es nur auf die Relalivbewegung zwischen Körper und Flüssigkeit ankommt,
muß dieselbe Kraft F den Körper dauernd
antre.iben. wenn er sich mit konstanter Ge·
62
m~h3nischen Eigefl:o;charten
Storre und ihre molekulare
molekulareSltUktur
3. Die mechanischen
Eigenschaften der Starre
Slruktur
schwindigkeit durch die ruhende Flüssigkeit
bewegen soU.
soll. Bei Turbulenz geht die dabei
auf der Wegstrecke s geleistete Arbeit
W == Fs nur zu einem kleinen Teil, wie in laminarer Strömung, unmittelbar in Reibungswärme über. Den größeren Anteil findet man
in der Rotationsenergie der Flüssigkeitswirbel wieder; erst weit hinter dem bewegten
Körper gehl
geht natürlich auch diese Bewegungsenergie durch Reibung in Wärme über. Bei
turbulenter Strömung muß daher die Antriebsmaschine
triebs maschine eine größere Arbeit W leisten
als bei laminarer; eine Kugel benötigt größere Antriebskräfte als ein Stromlinienprofil
mit gleicher Stirn
fläche. Das trifft aber nur
SlirnOache.
bei hoher Geschwindigkeit zu, bei sehr niedriger dagegen bleibt die Strömung laminar,
und für die Kugel gilt das Stokessehe
Stokessche Gesetz
(Abschn.
(Absehn. 3.5.3).
Wie eben schon bei der umströmten Kugel
angedeutet, schlägt in realen
reaJen Flüssigkeiten
bei steigender SlrOmungsgeschwindigkeil
StrIJmungsgeschwindigkeit genereU die laminare in die turbulente Strömung um. So darf im Kugelfall-Viskosimeter
z. B. die Fallgeschwindigkeit eine kritische
Grenze nicht überschreiten, will man Fehlmessungen durch Turbulenz vermeiden. Die
Gefahr dazu besteht bei FlUssigkeiten,
Flüssigkeiten, die
eine sehr kleine Viskosität haben. Man muß
dann eine größere Kugel mit engerem Spalt
zur Wand wählen, die bei hochviskosen Flüssigkeiten viel zu lange Fallzeiten hätte, vgL
vg!.
Abb.3.56.
Auch im glauen
glatten Rohr wird die Strömung
oberhalb einer kritischen Geschwindigkeit
turbulent. Das Gesetz von Hagen-Poiseuille
verliert dann seine Gültigkeit. Die kritische
Geschwindigkeit ist physikaliSCh
bephysikalisch dadurch be·
gründet,
Trägheitskrafte vergli.
vergligrUndet, daß dann die Trägheitskräfte
chen mit den Reibungskräften eine charakteristische Grenze überschreiten.
überschreiten. Die Trägheitskräfte sind proportional QV
Qv 2 und die
Reibungskräfte, z. B. in der Schubspannung,
gehen mit ~./d.
Kräfqv/d. Das Verhaltnis
Verhältnis beider Kräf·
te gibt die dimensionslose, sog. ReynoldsZahl:
Trägheitskrafl
Trägheitskraft
(lvd
/lvd
Re
(3.34)
Reibungskraft
Reibungskrafl
q
~
Dabei ist d eine charakteristische Länge der
Anordnung, z. B. der Rohrradius. Übersteigt
Re einen Grenzwert, in runden Rohren z. B.
t 100, so wird die Strömung turbulent.
1100,
Größere stabile Wirbel wie in Abb. 3.67
3.61 enlStehen
enlstehen
nur, wenn die Geschwindigkeit zwar die Grenze der la·
laminaren Strömung oberschrilten
hat, aber noch nicht zu
Obc:rschritten bat,
weilet steigender Geschwindigkeit ändert
hoch ist. Mit weiter
sich das Strombild,
Strombild. manchmal noch mehrmals,
mehrmals. und
unregtlnimmt schließlich eine in kleinsten Bereichen unregelmaßig verwirbehe,
verwirbelte, sog. chaotische
CIwOlische Gestalt
Ocstalt an.
Aufgaben
Aurgaben
ROt8tionsviskosimeter nach Abb. 3.51 hat
hal
3.5.1 Ein Rotationsviskosimeter
ern, Eintauchfolgende Daten: Innenzylinder-Radius 6 cm,
tiefe in die Flüssigkeit 30 cm; Spaltbreite dd _.. 3 mm;
Richtmoment
Richtmomem der Feder 6· 10-)
10- 1 Nm/rad. Der Antriebs·
AntriebsmOtor läuft
lAuft mit 200 Umdrehungen in der
dtf' Minute, und
motor
ilufkre Zylinder wird dadurch um 0,2 rad ausge.
der äußere
ausgelenkt. Man berechne die Schubspannung T und das Ge-.
GeschwindigkeilSgef'älJe
schwindigkeilSgdllie vld
v/ d in der Flüssigkeit
flüssigkeit sowie ihre
dynamische ViskositAt
".
Viskosität 'I.
Rotationsviskosimeu~r die Spiralfeder
3.5.2 Wenn im Rotationsviskosimeter
enlfemt worden ist, rotien auch der
dtf' äußere
entfernt
lufkre Zylinder,
mil kleinerer Winkelgeschwindigkeit als der innere.
aber mit
BegrOndung?
Begründung?
... 1,5
1,S mm, q_
1,7 g/cm)
3.5.3 Eine Kugel (r
(r""
q_I,7
g/qnl) rallt
flllt in
(fI-=
0.8 g/cm
g/ernJl •,
einem sehr großen Behälter mit Öl (q
"" 0,8
groO ist ihre konstante Endgeschwin'I "" 25
2S mPas). Wie groß
digkeit?
,,=
3.5.4 Eine zOhe
zlJh~ FlUssigkeit
FIossigkeit durchströmt 2 ineinander
Obergehende, gleich lange RohrstOcke mit kreisrörmiübergehende,
kreisförmigen,
aen. aber unterschiedlichen Querschnitten.
Queß<:hnitten. (Innenradius
des ersten 8 cm,
cm. des zweiten 5 cm.) Am Einfluß beträgt
der Druck 3 bar, am Ausfluß
Ausnuß aus dem zweiten RohrstOck 1,2 bar. Welcher Druck herrscht an der Obergangsstelle
ganJ$.5telle der beiden
heiden RohrstOcke?
3.5.5
Durch die Leitung von Aufgabe 3.5.4 fließt
flieOt eine
tsoo
idea/~
idNt~ Flüssigkeil
flOssigkeit der Dichte ISOO kg/m),
k.gIml, und dieselben
DrUcke werden gemessen (hier in SI-Einheit um·
umbeiden Drücke
rechnen!). Jetzl
Jetzt läßt sich mit der BernoulLischen
Bemoullisehen GleiStrömungsaeschwindigkeit, z. B. im ersten
chung die Strömungsgeschwindigkeit,
RohrstOck VI' berechnen.
3.59 wird der Volumennuß
3.5.6 Im Versuch zu Abb. 3.S9
(Stromstlrke) verdoppelt. In welchem Verhaltnis
Verhältnis Indert
(Stromstärke)
sich die Druckdifferenz
Druckdifrerenz PA -Pa?
- Pa '!
3.5.1 Ein Flugzeug fliegt
niegt in 5 SOO
500 m Höhe mit einer Ge3.5.7
schwindigkeit von 350 mls. (Dichte der Luft nach bar~
baroschwindigkeil
Höhenformet, s. Abschn. 3.4.2). Wie groß
metrischer Höhenformel,
ist der Staudruck?
3.5.8
3.5.' Wasser ('I
(" - I mPas) strOmt
strömt durch ein Rohr mit
Kreisquerschnilt (r _ 2 mm). Bei welcher <kschwindigGeschwindigKreisquerschnitt
Rf!"
I 100, so daß Turbulenz
TurbuJellZ einseut?
einsetzt?
keit wird Re
'"' 1100,
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