R - TU Freiberg

4. Ströme und deren magnetische Wirkungen
4.1. Elektrische Ströme
4.1.1. Die Kontinuitätsgleichung
Stationäre Ströme = Ladung, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt
(Gleichstrom)
dI
≠0
beschleunigte Bewegung:
dt
Beliebiges Volumen, durch das der Strom fließen soll
-> Ladung in V (Q(t))
Ladungserhaltungssatz: Eine Ladung kann nicht verschwinden.
Q̇ t = Strom hinein oder hinaus aus V
(durch Oberfläche von V)
j
Strom fließt in Richtung der Flächennormalen
Strom
I = ∮ j ⋅d f , j = Stromdichte =
Fläche
∂V
Q̇  I = 0
Q = ∫ d 3 r   r 
V
89
Anwendung des Gauß'schen Integralsatzes
d
 d 3 r  ∫ div j d 3 r = 0
∫
dt V
V
-> für gegebenes beliebiges Volumen V
d
 div j = 0
dt
Kontinuitätsgleichung
(mikroskopische Form der Ladungserhaltung)
(analog zur Hydrodynamik: Massenerhaltung
̇ m  div j m =)0
Die Ladungsdichte in einem Volumen kann sich nur ändern, wenn durch die
Oberfläche des Volumens ein Strom fließt.
90
4.1.2. Das Ohm'sche Gesetz
Ursache von Strömen sind elektrische Felder
(Spannung = Potenzialdifferenz)

E  
F =e
E  
F = m a
Elektrisches Feld wirkt auf eine Ladung -> Kraftwirkung -> beschleunigte Bewegung
Warum erzeugt E einen Gleichstrom mit der Dichte
j =  v
statt
dj
dt
≠ 0?
Im Vakuum (oder Ionosphäre) verursacht E beschleunigte Ladungen.
● In Materie werden Elektronen ständig durch Gitterschwingungen und Defekte gestreut,
diese Reibung führt zu einer gleichförmigen Geschwindigkeit der Ladungsträger.
●
Georg Simon Ohm
16. März 1789 in Erlangen
† 6. Juli 1854 in München
91
Idealer Kristall bei T = 0
Elektron fliegt durch den Kristall.
realer Kristall bei T ≠ 0
Bewegung der Elektronen wie bei Reibung
(bzw. Fall aus großer Höhe).
m ̈r ̇r  = e 
E
=
1
= mittlere

Zeit
zwischen zwei Stößen
Elektrisches Feld bewirkt eine Beschleunigung
̈r   ̇r = const . , da ̇r wächst und ̈r sinkt
̈r = 0 m  ̇r = e E
2
e
j = en v = n E =  E
Ohmsches Gesetzt der Leitfähigkeit
m
 = en
n=
Ladungsdichte
Ladungsträgerdichte

j =  E
92
Das Ohm'sche Gesetz ist ein Materialgesetz und nur näherungsweise gültig:
● σ ist im Allgemeinen ein Tensor: j nicht parallel zu E
● σ(k,ω) zeigt Dispersion wie ε(k,ω)
● temperatur-, druckabhängig
● σ linear (1. Glied einer Taylor-Reihe)
●
j
j
negativer Widerstand
Tunneldiode
E
●
EF
E
In der Ionosphäre sowie in Nano- und Mikrostrukturen bei tiefen Temperaturen
findet ballistischer Transport statt, bei dem das elektrische Feld die Ladungen
beschleunigt.

E  d j
dt
Leo Esaki (jap. Esaki Reona)
12. März 1925 in Ōsaka
Physik-Nobelpreis 1973 (Tunneldiode)
Bild: http://nobelprize.org/physics/laureates/1973/
93
Einfaches Beispiel: Draht mit konstantem Querschnitt
j ∥ 
E
A
l
l
l
U =−∫
E⋅d r = − ∫ E d x = −E l
0
0
I = ∫ j ⋅d f = ∫ j x df x = j ⋅ A = 
A
Spannung = |Potenzialdiff.|
U
j = E = 
l
A
1
=
R
l
U
A
l
U =lE
I =
U
R
94
4.1.3. Die Joule'sche Wärme
Das elektrische Feld E verursacht eine Beschleunigung, die kinetische
Energie müsste zunehmen, was aber durch die Reibung aber nicht
passiert.
Wo bleibt diese fehlende Energie?
Reibung erzeugt Wärme -> stromdurchflossener Körper erwärmt sich
Für 1 Elektron abgegebene Arbeit:
 r = F⋅
 v dt = P dt
dW = F⋅d
P = Leistung
P = e E⋅ v
Für viele Elektronen, E und ν gleich:
James Prescott Joule
24. Dezember 1818 in
Salford bei Manchester
† 11. Oktober 1889 in
Sale bei London
P = ∑ e E⋅ v = Q⋅ E⋅ v
dP = E⋅ v dQ
da  =Ladung pro Volumenelement dQ =  dV
dP =  E⋅ v dV =  dV
95
dP =  
E⋅ v dV =  dV
Es gilt  
v = j
 = j⋅ 
E
Falls das Ohm'sche Gesetz gilt
Die Joule'sche Wärme entspricht der im
Volumenelement dV pro Zeiteinheit dt
produzierten Wärme.
j =  
E
j 2
 =
E =

2
j ∥ 
E
Einfaches Beispiel: Draht
V=A∙l
I=j∙A
A
U=El
l
2
U
P = ∫ d r  = ∫ d r j ⋅ 
E = j E V = j E A l = I ⋅U =
= I2R
R
3
3
Einheit der Leistung P: Watt, W = A V
96
4.2. Das durch stationäre elektrische Ströme erzeugte Magnetfeld
4.2.1. Das Ampère'sche Gesetz
I
(Durchflutungsgesetz, Verkettungsgesetz)
Experiment: I erzeugt einen Wirbel (Magnetfeld)
Richtung entspricht der „rechten Hand“-Regel
H⋅ d r = I
∮
 = j
rot H
Ørsted studierte Naturwissenschaften und Pharmazie an der Universität Kopenhagen.
1819 isolierte er erstmals Piperidin.
1820 entdeckte er mit einem Kompass die magnetische Wirkung des elektrischen Stromes.
1825 stellte er erstmals Aluminium her.
Hans Christian Ørsted
14. August 1777 in Rudkøbing
† 9. März 1851 in Kopenhagen
Erkannte 1820 die magnetische
Wirkung von Strömen.
André-Marie Ampère
20. Januar 1775 in Poleymieuxau-Mont-d'or neben Lyon
† 10. Juni 1836 in Marseille
Ampère erklärte den Begriff der
elektrischen Spannung und des
elektrischen Stromes und setzte die
Stromrichtung fest.
97
H-Linien sind konzentrische Kreise
mit wachsendem Abstand sinkt H
x
(Symmetrie H konstant auf Kreis -> H || dr)
∮

H⋅d r = H 2  R = I
Kreis
Nach Stokes:
rot 
H = j , div 
H =0
div rot 
H = div j=0
∫ rot H ⋅d f = ∫ j ⋅d f
H=
I
2 R
rot H = j kann nur richtig sein, falls ̇ = 0 ,
da die Kontinuitätsgleichung gelten muss.
̇  div j = 0
 stationäre Ströme
Bemerkungen:
∮ H⋅ d r = const.⋅I
A
const. = 1 durch SI-Einheiten von [ 
H ]:
m
andere Einheiten:
1
A
4
=
Orsted
m 1000
Vs
4
B = µ 
H:
=
Tesla
=
10
Gauss
m2
98
4.2.2. Ring- und Zylinderspulen
1. Ringspule
Gesucht ist das Magnetfeld in
der Spule.
Liegen die Windungen dicht, wird H in der Spule näherungsweise konstant.
H ⋅ d r = n I
∮
H=
2. Zylinderspule
nI
2R
H ⋅ d r = n I
∮
Näherungen: H homogen im Inneren (dichte Wicklung)
H außen sehr klein (am Anfang + Ende der Spule falsch)
nI
l : Länge der Spule
l
verbiegen der Zylinderspule -> Ringspule
l=2πR
H=
99
4.2.3. Das Vektorpotenzial
In der Magnetostatik gilt:
rot H = 0
3 DGL zu lösen
div B = 0
1 weitere DGL
Die ersten 3 Gleichungen lassen sich durch einen Potenzialansatz lösen,
H = - grad V
V: skalares Potenzial
allerdings nur wenn rot H = 0.
Können wir irgendetwas von div B = 0 nutzen, das wegen seiner mathematischen
Struktur immer Null ist?
Einführung des Vektorpotenzials A, so dass div B = 0 immer erfüllt ist.
Da aus der Vektoranalysis bekannt ist, das immer gilt div rot = 0, definieren wir das
Vektorpotenzial als mathematische Hilfgröße:
B = rot A:
: A Vektorpotenzial
100
A ist dadurch nicht eindeutig bestimmt:
● Es kann immer ein konstanter Vektor addiert werden.
●
●
rot grad ≡ 0
-> Zu A kann der Gradient einer beliebigen Funktion addiert werden.
●A' und A = A' + grad W(r,t)
●
liefern das gleiche B-Feld
● W(r,t) kann so gewählt werden, dass zusätzliche Bedingungen (die Rechnungen
erleichtern) erfüllt sind.
●
Die von der Theorie vorhergesagten Wechselwirkungen ändern sich nicht, wenn eine
bestimmte Größe lokal frei gewählt wird. Eine Größe an jedem Ort unabhängig festzulegen,
kann man auch als Definition eines Maßstabes (einer Eichung) sehen.
Der Mathematiker Hermann Weyl führte den Namen Eichinvarianz bzw. Eichsymmetrie
für solche Theorien ein.
In der Magnetostatik wird für gewöhnlich die Coulomb-Eichung benutzt, die den
statischen Grenzfall der Lorenzeichung darstellt.
Die Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) stellt
eine mögliche Einschränkung des Vektorpotenzials A(r, t) dar.
div A = 0
101
Beweis:
angenommen
A' erfülle die Coulomb-Eichung nicht: div A' = c(r) ≠ 0
gesucht ist:
A = A' + grad W(r,t), so dass die Coulomb-Eichung gilt div A = 0
div A = div A' + div grad W
0 = c(r) + ∆ W
W als Lösung dieser Gleichung gewählt, so dass: div A = 0
Man kann immer ein A konstruieren, für das div A = 0 gilt.
A' voraussetzen, div A' = 0 überprüfen
Die Elektrodynamik ist eine eichinvariante Feldtheorie, d..h B hängt nicht von der
Eichung ab. In der Elektrostatik ergibt U + const. dasselbe E wie U
Ladungserhaltungssatz
E. Noether
-
jede Invarianz <--> Erhaltungssatz
Die Coulomb-Eichung legt nicht nur das Vektorpotenzial sondern auch das skalare
Potenzial fest. Die Lösung für das skalare Potenzial U(r,t) entspricht im Falle der
Coulomb-Eichung dem elektrostatischen Coulomb-Potenzial.
Daher kommt der Name Coulomb-Eichung.
∂
A r , t 

E  r ,t  = −grad U  r ,t −
∂t
102
Nach dem Ampere'schen Durchflutungsgesetz gilt rot H = j.
Zusammen mit B = μ H, nutzen wir B = rot A als Ansatz.
rot
1
rot 
A = j
µ
falls μ = const.
rot rot 
A =  j
Es gilt
∆ = grad div – rot rot, da div A = 0
∆A = - µ j
in Coulomb-Eichung
Ähnliche Gleichungen haben ähnliche Lösungen (siehe Poissongleichung):
µ

A r  =
4
j  r ' 
∫ d r ' ∣r −r '∣
3
für eine gegebene Stromdichte j(r) folgt daraus A(r) und B = rot A.
Die Gültigkeit von div A = 0 war hier vorausgesetzt, aber es gilt diese zu prüfen
j r ' 
µ
3

div A r  =
d r ' div r
∫
∣r −r '∣
4
103
div ⋅ a  =  div a  a ⋅grad 
divr
j  r ' 
1
1


=
div
j

r
'


j⋅grad

r
∣r − r '∣ ∣r −r '∣ 
∣r − r '∣
0
div 
A=
grad r
µ
1
d 3 r ' j ⋅grad r
∫
4
∣r − r '∣
1
1
= −grad r '
∣r −r '∣
∣r −r '∣
µ
1
3

=−
d

r
'
j

r
'
⋅grad
∫
r '
4
∣r −r '∣
∣r −r '∣=   x− x ' 2 y− y ' 2 z− z ' 2
∂∣r − r '∣−1
−1
=
 x− x ' 
∂x
∣r− r '∣3
∂∣r − r '∣−1
1
=
 x− x ' 
∂ x'
∣r− r '∣3
div  a  =  div a  a⋅grad 
j  r ' 
µ
1
µ
3
3
=+
r ' −
∫ d r ' ∣r −r '∣ div
∫ d r ' div r ' ∣r −r '∣
r ' j 

4
4
0 wegen Gleichstrom
j  r ' 
µ


div A  r  = −
∮ d f ⋅∣r −r '∣ = 0
4
Falls die Oberfläche „weit genug weg“ ist, so dass keine Ströme aus dem Unendlichen
bzw. nach Unendlich durch die Oberfläche fließen.
µ

A r  =
4
j  r ' 
∫ d r ' ∣r −r '∣
3
104
4.2.4. Das Biot-Savart-Gesetz
Dünner Draht
Gesucht ist H(r) für einen dünnen stromdurch flossenen
Draht
µ

A r  =
4
d 3 r ' = d r ⋅d f
j r ' 

∫ d r ' ⋅∫ d f ∣r −r '∣
r' ändert sich nur infinitesimal über den Querschnitt des
Drahtes, da dieser dünn sein soll.
d.h. in Bezug auf das Flächenelement df , welches den
Querschnitt integriert, ist
1
= const.
∣r −r '∣
Zerlegung
µ

A  r  =
4
=
Jean-Baptiste Biot
21. April 1774 in Paris
† 3. Februar 1862 in Paris
µ
4
f j  r ' 
d
∫ d r ' ∣r −1r '∣ ∫

I
I
∫ d r ' ∣r −
r '∣
105
Da für einen Draht mit konstantem Durchmesser im Allgemeinen gilt, dass entlang
des Drahtes I= const. ist:
µI
1

A  r  =
d
r
'

∫ ∣r −r '∣
4
 B = rot 
A = µ
H
I
d r '

H r  =
rotr
∫
∣r − r '∣
4
Es gilt:
rot ⋅ a  =  rot a − a × grad  ,
I

H  r  = −
4
rot r d r ' = 0
1
∣r − r '∣

∫ d r ' × grad r
−
I

H  r  =
4
r −r '
∣r −r '∣3
∫ d r ' × ∣rr−−rr'∣' 3
Ein Drahtstück dr' am Ort r' erzeugt ein Magnetfeld am Ort r
d
H  r  =
I
r −r '
d r ' ×
4
∣r − r '∣3
106
4.3. Kraftwirkungen zwischen Magnetfeldern und Strömen
4.3.1. Kraftwirkung eines Magnetfeldes auf ein Stromelement
Die Rolle des Coulomb'schen Gesetzes der Elektrostatik übernimmt in der
Magnetostatik das Ampere'sche Gesetz:
Auf ein Strom durchflossenes Wegelement dr in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft:
∣d F∣~ I
∣d 
F∣ ~∣d r∣
d
F ⊥ d r
d
F  r  = I d r × 
B  r 
Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leitern:
C1
d r1
I1
r1
r12
r2
C2
d r2
I2

F=
µ0 I 1 I 2
4
∮∮
C 1 C2
d r1×d r2 × r12 
∣r12∣3
0
Kraftwirkung auf den Strom in einer Leiterschleife, durch das Magnetfeld, dass durch
den Strom in einer zweiten Leiterschleife erzeugt wird.
107
M
a
g durch den Strom I in der Schleife C erzeugte magnetische Induktion ist
Die
2
2
n
e
I2
d r 2×r 12

B

r

=
µ

t
2
1
0
4  C ∣r 12∣3
f
e
Mit dem vom Strom I2 erzeugten B-Feld wechselwirkt der Strom I1 in der
lLeiterschleife C
1
d
e

F 12 = I 1 d r1 × B2  r1 
s
C
∮
2
∮
d r1
B
a
u
f
e
i
n
e
d f
1
3



F 12 = ∫ [ j  r  × B  r  ] d r

F 12 = ∫ [ j  r  × 
B r  ] d 3 r
Kraft eines Magnetfeldes B auf eine beliebige Stromverteilung j.
108
Lorentzkraft eines Magnetfeldes auf eine bewegte
Punktladung:
Hendrik Antoon Lorentz
* 18. Juli 1853 in Arnhem
† 4. Februar 1928 in Haarlem
Nobelpreis für Physik 1902
j =  v = q  3  r − r0  v
r0 :Ort der Ladung q
F = ∫ d 3 r q 3  r − r0  v × B  r  = q v  r0  × 
B  r0 
Gesamtkraft auf eine Ladung bei elektrischen und
magnetischen Feldern

F = q
E  q v × 
B
●
●
Rechte-Hand-Regel
Elektron bewegt sich auf Kreisbahn
t
●
●
●
●
●
●
●
Diese Kraft ist bedeutend für:
alte Bildschirme (Monitor, Fernseher), Elektronenmikroskop
Nachweis geladener Teilchen in Nebel- oder Blasenkammer (Q/m bestimmen)
geladene Teilchen im Magnetfeld der Erde
Elektromotor
Betatron, Synchrotron (Beschleuniger)
Kernfusion (Plasmafalle)
109
Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leitern
µ0 I 1 I 2

F=
4
∮∮
r1
d r1 × d r2× r12 
r12
d r1
d r2
r2
∣r12∣3
C1 C2
Das komplizierte doppelte Vektorprodukt lässt sich für manche Zwecke günstiger
umschreiben.
d r1 × d r2 × r12  = d r2  d r1⋅r12 − r12  d r1⋅d r2 
r12
∮ d r1⋅∣r ∣3 = −∮ d r1⋅grad ∣r1 ∣ = − ∫ d f ⋅rot grad r1 = 0
12
12
12
C
C
Fläche C
1
1
1
Der erste Term verschwindet im Ausdruck für die Kraft unter Nutzung des
Stokes'schen Satzes und der Beziehung rot grad = 0.
I1I2
4

F 12 = − 
F 21

F = −µ0
r12
∮∮ d r1 ⋅ d r2 ∣r ∣3
C1 C2
12
Actio gleich reactio ist durch diesen Ausdruck für die Kraft erfüllt, da r12 das
Vorzeichen ändert.
110
4.3.2 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
Gegeben seien zwei unendlich lange, parallele, gerade Drähte mit Abstand a,
durch die die Ströme I1 und I2 fließen. Welche Kraft übt der Strom durchflossene
Leiter C2 auf das Element dz1 des Leiters C1 aus?
I1
a
l1
r2 − r1
dz1
r1
r2
I2
dz2 c2
(z2-z1)êz
∞
I 1 I2
- r2 − r1 

d F 12 = − µ0
dz ∫ dz
4  1 −∞ 2 ∣r1 −r2∣3
r2 − r1 = a ex   z 2 −z 1  ez
∣r2− r1∣=  a2  z 2 − z 1 2
0x
z
x
Stromfluss im ∞ durch einen Halbkreis geschlossen.
So weit weg, dass der Krafteinfluss vernachlässigt werden kann.
111
d
F 12 = µ0
∞
I1 I2
dz 1
4
I1I2
= µ0
dz 1
4
∫ dz
[
a ex z 2 −z 1  ez
2
−∞
∞
∫ dz
[ a 2 z 2− z 12 ]
3/2
∞
a ex
2
−∞
[ a  z 2− z 1  ]
2
2
3/ 2
 ez
∫
 z 2 − z1  dz 2
−∞ [  a  z 2 − z 1   ]
2
2
3/2
]
∞
I1I2
dz
= µ0
dz 1 a ex 2 ∫ 2 2 3/ 2
4
0 a  z 
∞
I1I2
2z
= µ0
dz 1 a ex 2 2 2 1 /2
4
a a z  0
I 1 I 2 ex
= µ0
dz
2 a 1
∣
Die von den geraden Leitern aufeinander ausgeübte Kraft ist senkrecht zu beiden
Stromrichtungen. Sie ist anziehend, falls die Ströme die gleiche Richtung haben.

F 12 = µ0
I1 I2
z e x
2 a
SI: a = 1 m, I1 = I2 = I
I beträgt gerade 1 A, wenn dadurch
auf einen 1 m langen
Leiterabschnitt eine Kraft von 2 *
10-7 N ausgeübt wird.
112
4.3.3. magnetostatische Energien
W mag = ∫ d 3 r m  r  =
=
1
2
1
2
1
H ⋅
B = ∫ d 3 r ( 
H ⋅rot 
A)
∫ d 3 r 
2
1
3
H  ∫ d r div  
A×
H
∫ d 3 r A⋅rot 
2
div  
A×
H=
H ⋅rot 
A−
A ⋅rot 
H
j r ' 
µ
3

A  r  =
d r '
∫
4
∣r −r '∣
r∞
H  = ∮ d f ⋅ 
A×
H  0
∫ d 3 r div  A × 
~r
2
~
1
r
~
1
r2
da rot 
H = j
Wm=
1
2
3
d
∫ r j  r , t ⋅ A r , t 
elektrostatische Analogie:
W el =
1
2
∫ d r  r  U  r 
3
113
Damit erhalten wir durch Einsetzen von A (r):
j r ' , t
1
µ
3
3

W m = ∫ d r j r , t⋅
∫ d r ' ∣r −r '∣
2
4
j r , t ⋅ j r ' , t
µ
3
3
=
∫ d r ∫ d r '
∣r −r '∣
8
Die magnetostatische Energie ist durch die Wechselwirkung zwischen den
Stromdichten bestimmt. Dieser Ausdruck ähnelt sehr stark dem Ergebnis für
elektrostatische Energien, der die Wechselwirkung zwischen den
Ladungsverteilungen beschrieben hat.
W el =
1
8 
∬ d 3 r d 3 r '
 r   r ' 
∣r −r '∣
114