11 Aufbau der Sterne, Teil 1
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Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne 1 Beobachtete Eigenschaften von Sternen ! Was können wir direkt messen scheinbare Helligkeit " in wenigen Ausnahmen: Winkeldurchmesser (→ Doppelsterne) " Abstand (schwierig) " Farbe (über Filter) " Spektrum Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " 2 Scheinbare Helligkeit m Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! „Helligkeit“ eines Sterns ⇔ Fluß F einer Quelle der Leuchtkraft L im Abstand d L F= 2 4πd ! Da L und d erst einmal unbekannt, betrachte relativen Helligkeitsunterschied zwischen zwei Quellen F1 m1 − m2 = −2.5 log10 F2 ! Nullpunkt durch Vega definiert, d.h. Vega hat scheinbare Helligkeit m=0 abhängig von verwendeten Filter nach Korrektur: bolometrische Helligkeit ! ! 3 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Abstand via Parallaxen ! Wichtigste direkte Methode zur Entfernungsbestimmung ! Abgeleitete Größe: 1 parsec Abstand bei dem 1AU unter dem Winkel von 1″ erscheint 1 pc = 3.085678 x 1018 cm ! diverse indirekte Methoden (siehe später) 4 Zustandsgrößen ! Was können wir daraus ableiten: scheinbare Helligkeit + Abstand ⇒ absolute Helligkeit ⇒ Leuchtkraft " Winkeldurchmesser + Abstand ⇒ Radius " Farbe oder Spektrum ⇒ Temperatur " Leuchtkraft und Temperatur ⇒ Radius (über StefanBoltzmannsches Strahlungsgesetz) " Spektrum ⇒ Elementhäufigkeiten (verlangt detailliertes modellieren) " Umlaufzeiten/Bahndurchmesser in Doppelsternsystemen ⇒ Masse (via Kepler III) Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " 5 Absolute Helligkeit M Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Scheinbare Helligkeit eines Sterns im Einheitsabstand von 10 pc & L 4π (10 pc ) 2 # d ! m − M = −2.5 log10 $$ = 5 log 10 2 ! 4 π d L 10 pc % " ! Mit mWega=0, dWega=8.0pc und LWega=49.5L! L M = 4.72 − 2.5 log10 Lsun ! ! m-M: „Entfernungsmodul“ M bekannt ⇒ Leuchtkraft L 6 Schwarzkörperstrahlung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Wellenlängenverteilung $ 2hc 2 λ5 ' erg Bλ (T ) = hc λkT e − 1 %& s cm 2 sr cm "# Fläche Raumwinkel Wellenlänge k : Boltzmannsche Konstante (1.381 × 10-16 erg K ) ! ∂Bλ (T ) =0 ∂λ Ableitung ⇒ Wellenlänge des Maximums λmax 1K = 0.28 1cm T (Wiensches Verschiebungsgesetz) 7 Schwarzkörperstrahlung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Gesamte bei allen Wellenlängen in alle Raumwinkel abgestrahlte Energie pro Fläche und Zeit: integriere Bλ(T) über λ und Ω 5 4 2 π k 4 F = σT ; σ = Stefan - Boltzmann - Konstante 2 3 15c h ! Leuchtkraft eines sphärisch symmetrischen Sterns: integriere über Sternoberfläche 2 L = 4πR σT 4 8 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Farbe und Temperatur ! Bemerkung: für jede Wellenlänge λ gilt Bλ (T2 ) > Bλ (T1 ) für T2 > T1 9 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Farben als Thermometer 10 Spektren ! Sternatmosphäre: " Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " ! ! äußere Gebiete optisch dünn „leuchtende Oberfläche“ " ! " ! Übergang von optisch dünn zu optisch dicht Atomare Übergänge " ! Temperaturschichtung Dichteschichtung Hohe optische Dichte in der Umgebung atomarer Übergänge zu höheren Energien, während optische Dichte noch gering im Kontinuum (Details: später) Besetzungszahl eines Übergangs ist temperaturabhängig Kühleres Gas in oberen Atmosphärenschichten ⇒ Absorptionslinien Absorptionslinienspektrum in Abhängigkeit von der Temperatur 11 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Spektralklassen 12 Spektralklassen Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Änderung in der Stärke der Absorptionslinien mit Temperatur Balmer Linien " CaII H und K " TiO Molekül-Bande " 13 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Besetzungszahl als Funktion der Temperatur 14 Spektralklassen „Harvard Klassifikation“ (Annie Cannon) Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Oh Be A Fine Girl Kiss Me Right Now Smack !! 15 Das Hertzsprung-RusselDiagramm ! Beobachter x-Achse: " y-Achse: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " Farbe absolute Helligkeit (von positiv nach negativ) ! Theoretiker log Temperatur (von rechts nach links) " y-Achse: log Leuchtkraft 2 4 L = 4 π R σ T " wg Stefan-Boltzmann : Linien konstanten Radius sind Geraden log L = 2 log R + 4 log T + C " x-Achse: 16 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Hertzsprung-Russel-Diagramm 17 Hertzsprung-Russel-Diagramm L = 4πR 2σT 4 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! ! Bei konstanter Temperatur (Farbe, Spektralklasse) haben hellere Sterne einen größeren Radius Radius variiert entlang der Hauptreihe nur wenig 18 Leuchtkraftklassen Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! I: Überriesen ! II: Helle Riesen ! III:Riesen ! IV: Unterriesen ! V: Zwerge (Hauptreihe) ! VI: Unterzwerge ! (VII: Weiße Zwerge) 19 Leuchkraftklassen Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Sterne identischer Spektralklasse aber verschiedener Leuchtkraftklasse unterscheiden sich im Detail in ihren Spektren. Bei niedrigerem Druck in den oberen Atmosphärenschichten sind Absorptionslinien enger. Riesen haben so engere Absorptionslinien als Zwerge 20 Spektroskopische Parallaxe ! Beobachtetes Spektrum Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ⇒ Spektralklasse ! Linienbreite ⇒ Leuchtkraftklasse ⇒ absolute Leuchtkraft ! Vergleich mit scheinbarer Helligkeit ⇒ Entfernung ! Spezialfall Sternhaufen alle Sterne haben dasselbe Alter " alle Sterne haben dieselbe „Metallizität“ " alle Sterne haben dieselbe Entfernung " ⇒ main sequence fitting 21 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Hertzsprung-Russel-Diagramm m-M ⇒ d 22 Chemische Zusammensetzung ! Nur in der Sternatmosphäre beobachtbar Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " ! Sterninneres im allgemeinen inhomogen (Kernfusion) bei den meisten Sternen in Sonnenumgebung: ähnlich der solaren Häufigkeit: 70% H, 28% He, 2% Metalle " sogenannte Population I " ! Chemischer Gradient in der Milchstraße " ! Metallhäufigkeit (Metallizität) nimmt nach außen ab Kugelsternhaufen, galaktischer Halo Metalle bis zu 100 mal seltener (im Extremfall auch bis zu 10000 mal) " sogenannte Population II 23 " Chemische Zusammensetzung Galaxien zeigen unterschiedliche mittlere Häufigkeiten Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Andere Milchstraße: solar " Andromeda: solar " Große Magellansche Wolke: 0.3 solar " Kleine Magellansche Wolke: 0.1 solar " ! Heliumhäufigkeit zeigt nur geringe Variation von Stern zu Stern (und Galaxie zu Galaxie) 24 Rotation der Sterne Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Nachweis: Verbreiterung der Spektrallinie (Dopplereffekt) # Beobachter misst vrot sin i # Bahnneigung i im allgemeinen nicht bekannt Typ O,B A F G,K,M vrot [km/s] 100 … 250 0 … 250 0 … 100 0 … 25 Zum Vergleich die Sonne 2πRsun vrot = = 2km/s 25d Bahnebene Abbremsung durch Magnetfelder? 25 Massenbestimmung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Aus detaillierter Spektralanalyse ⇒ Druckskalenhöhe ⇒ Oberflächenschwerkraft g ⇒ ungenau ! Bei extremer Oberflächenschwerkraft (weiße Zwerge) ⇒ Gravitationsrotverschiebung von Spektrallinien ! Primäre Methode: Doppelsterne 26 Doppelsterne Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! ! Etwa 50% (oder mehr) aller Sterne sind Doppelsterne Optische Doppelsterne " ! Zwei Sterne zufällig entlang einer Sichtlinie Physische Doppelsterne Visuell: beide Komponenten getrennt sichtbar " Astrometrisch: Bewegung um (unsichtbaren) Begleiter " Spektroskopisch: periodische Rot-/Blauverschiebung von Spektrallinien " Photometrisch: Bedeckungsveränderliche " 27 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne 1 Visuelle Doppelsterne Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Intrinsische Bahnelliptizität vs Bahnneigung Intrinsische Ellipse: Schwerpunkt in einem Brennpunkt der Ellipse " Geneigte Kreisbahn: Schwerpunkt im Schnittpunkt der Halbachsen " 2 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Bestimmung der Bahnneigung 3 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Astrometrische Doppelsterne ! ! Begleiter zeigt sich aufgrund von periodischen Schwankungen in der Position um einen gemeinsamen Schwerpunkt Aktuelles Beispiel: Suche nach extrasolaren Planeten. Mittlerweile wurden >100 Planeten so gefunden. 4 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Spektroskopische Doppelsterne 5 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Bedeckungsveränderliche http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/ astro101/java/eclipse/eclipse.htm 6 Massenbestimmung ! Visueller Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " Doppelstern Bahngeometrie Große Halbachse [Länge] m2 a1 Dα1 Dα1 cos i α~1 = = = = ~ ⇒ Massenverhältnis m1 a2 Dα 2 Dα 2 cos i α 2 " Kepler 3: 4π 2a 3 4π 2α 3 3 m1 + m2 = = D große Halbachse 2 2 GP GP [Winkel] 3 4π 2α~ 3 & D # = ! 2 $ GP % cos i " " Problem: Bestimmung des Abstand D 7 Massenbestimmung ! Spektroskopischer Doppelstern Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " Bahngeometrie v max n ,rad ! = vn sin i max v m1 ,rad = 1max ⇒ Massenverhältnis m2 v2,rad P ( v1 + v2 ) : " Mit Kepler 3 und a = a1 + a2 = 2π max max 3 ( v + v P 1,rad 2 ,rad ) m1 + m2 = 2πG sin 3 i Unabhängig von D !!!! " Aber abhängig von Bahnneigung i " Bahnexzentrizität: Abweichung von sinus-Variation " 8 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Effekt der Bahnexzentrizität M1=0.5, M2=2.0, ε =0.3, i=30° 9 Massenbestimmung ! Spektroskopischer Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " Doppelstern Wenn nur eine Komponente beobachtbar m1 v2 = v1 m2 max 3 1,rad 3 P (v ) & m1 # $$1 + !! m1 + m2 = 2πG sin i % m2 " " 3 oder: m23 P 3 max 3 sin i = ( v 1,rad ) 2 ( m1 + m2 ) 2πG Massenfunktion Observablen 10 Beispiele ! LMC-X3 Stellares Objekt in der Großen Magellanschen Wolke (LMC, eine Satellitengalaxie der Milchstraße im Abstand von 50 kpc) " Hauptreihenstern vom Spektraltyp B3 ⇒ Masse des Sterns: M≈7M " Geschwindigkeit variiert mit einer Periode von P=1.7±0.01 d. " Gemessene Bahngeschwindigkeit: v=235 km/s " Sinusartige Geschwindigkeitsvariation ⇒ nahezu zirkularer Orbit. Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " 11 Beispiele Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! LMC-X3 ⇒ m23 2.3 = 2 ( m2 + 7) sin i i 90 75 60 45 30 0 m2 8,1 8,6 10,2 14,5 28,5 - (in Sonnenmassen) ⇒ M > 8,1 M , aber unsichtbar # regulärer Stern wäre nicht zu übersehen # zu massereich für einen Weissen Zwerg (MWD < 1.4 M ) (siehe Kapitel VII) # zu massereich für einen Neutronenstern (MN* < 3 - 6 M ) (siehe Kapitel VII) ⇒ Schwarzes Loch ? 12 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne LMC-X3 13 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne 51 Peg 14 Beispiele ! 51 Peg 51 Peg ist ein Stern ähnlich der Sonne " Kleinste Variationen in der Radialgeschwindigkeit: vr=59±3 m/s (m nicht km !!!) " Geschwindigkeit variiert mit einer Periode von P=4.229±0.001 d. Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " 15 Beispiele Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! 51 Peg m23 m23 0.47 ≈ ⇒ m = 2 ( m1 + m2 ) 2 m12 sin i i 90 60 30 15 5 0 m2 0,47 0,54 0,94 1,82 5,42 - ! ! (in Jupitermassen) M≈MJupiter, außer wir beobachten das System nahezu perfekt von der Seite („edge-on“) Wie wahrscheinlich ist so ein Fall ? P= Fläche des Rings zwischen i1 und i2 Fläche der Hemisphäre 1 = 2π 2π i2 ∫ dφ ∫ di sin i = cos i 1 0 − cos i2 i1 ⇒ P(0! ≤ i < 5! ) = 3.8 × 10−3 16 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Bedeckungsveränderliche http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/ astro101/java/eclipse/eclipse.htm 17 Bedeckungsveränderliche (siehe auch Übungsblatt) ! Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! ! Bedeckung ⇒ sin i ≈1. max v Radialgeschwindigkeiten v1max , ,rad 2 ,rad ⇒ Massen M1, M2 . Bedeckung Scheinbare Helligkeit m1, m2 " Temperatur T1, T2 " Sternradien R1, R2 " daraus Abstand D, Leuchtkraft L1, L2 " ! Bahnkurve Bahnradius a " Exzentrizität ε " Bahnneigung i " ! und vieles mehr 18 Sternaufbaugleichungen Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Hydrostatisches Gleichgewicht Annahme: Kugelsymmetrie " Masse innerhalb Radius r " r M r = ∫ dr!4πr!2 ρ ( r!) 0 " Gleichgewicht zwischen Druckgradient und Gravitationskraft (siehe auch Kapitel I) dP GM r = − 2 ρ (r) dr r 19 Abschätzung des Drucks im Sonneninneren Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Linke Seite: Ersetze Differentiale durch Differenzen Zentrum-Rand dP → ΔP = Pc- 0 = Pc " dr → Δr = R " ! Rechte Seite: Benutze Mittelwerte r=R/2 " Mr=M (wegen Dichteanstieg zum Zentrum) " ρ(r)=ρ " 4GM ⇒ Pc = ρ R " Pc=1.2×1010 atm (genaue Modelle: 2×1017 atm) 20 Ist die Sonne im stationären Gleichgewicht ? Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Umlaufzeit für äußere Schichten 2 4 π T2 = a3 GM ! Freifall-Zeitskala τ ff T R3 3 M = = = mit ρ = 2π GM 4πGρ 4πR 3 21 Ist die Sonne im stationären Gleichgewicht ? Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne τ ff ! 3 M = mit ρ = 4πGρ 4πR 3 Beispiele Sonne " Roter Riese " Weißer Zwerg " ! M =1M , R =1R ⇒ τff=1200s M =1M , R =100R ⇒ τff=20d M =1M , R =0.01R ⇒ τff=1.6s Schlussfolgerung Sterne verändern sich auf Zeitskalen, die lang im Vergleich zur dynamischen Zeitskala sind " nahezu perfektes Gleichgewicht " Sternentwicklung: Sequenz von Gleichgewichtszuständen quasi-stationäres Gleichgewicht " 22 Zustandsgleichung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Im allg. gilt nicht P=P(ρ) ! Ideales Gas k P= ρT µmH " µ: mittleres Atomgewicht (hängt von der chemischen Komposition ab) ! Strahlungsdruck (dominiert bei niedrigen Dichten) 1 4 P = aT 3 " a=7.565×10-15 dyn cm-2 K-4 23 Zustandsgleichung ! Entartetes Elektronengas (hohe Dichten) Elektronen: Spin-½-Teichen ⇒ folgen der FermiDirac-Statistik " Paulisches Ausschließungsprinzip: maximal zwei Elektronen (↑↓) pro 6D-Phasenraumzelle mit Volumen h3 " Zahl der Phasenraumzellen bis zur Energie E (oder bis Impuls p via E=p2/2m) p3 E 3/ 2 NE ∝ ∝ ρ ρ " Entartung, wenn T<TFermi ⇔ kalt, hohe Dichten ⇒ Weiße Zwerge " Alle Phasenraumzellen bis TFermi sind besetzt 24 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " Zustandsgleichung ! Entartetes Elektronengas Dem entarteten Elektronengas kann keine Bewegungsenergie mehr entzogen werden ⇒ P=P(ρ), unabhängig von der Temperatur " nicht-relativistisches Elektronengas Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " kTFermi < me c 2 " relativistisches Elektronengas kTFermi > me c 2 ⇒ Pe ∝ ρ 4 / 3 ! Für " ⇒ Pe ∝ ρ 5 / 3 extreme Dichten (1014 gcm-3) Entartetes Neutronengas (Neutronenstern) 25 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Zustandsgleichung 26 Sternaufbaugleichungen Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Neue Abhängigkeit: P = P( ρ , T , X i ) " benötigt: zusätzliche Gleichungen für T(r), P(r), Xi(r) ! Energietransportgleichung " Liefert T(r), führt aber neue Abhängigkeit ein: Leuchtkraft L(r) ! Energieerzeugung, " nukleares Brennen Liefert L(r), Xi(r) 27 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Vogt-Russel-Theorem Die Masse und Komposition eines Sterns bestimmt eindeutig seinen Radius, seine Leuchtkraft und seine innere Struktur sowie seine künftige Entwicklung NB: vernachlässigt: Magnetfelder " Rotation " 28 Polytrope Modelle Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! ! Für den Fall P=P(ρ) ist die Struktur bereits durch die Annahme des hydrostatischen Gleichgewichts bestimmt. Interessante Spezialfälle: 5/3 P ∝ ρ n=1.5 " nicht-relativ. Elektronengas 4/3 P ∝ ρ " Relativ. Elektronengas n=3 Adiabatisches Gas (z.B. voll-konvektiver Stern) " Konstantes Verhältnis von Strahlungsdruck zu Gasdruck " ! P∝ρ γ n= 1 γ −1 P ∝ ρ 4/3 Polytrope Zustandsgleichung P = Kn ρ n +1 n 29 Polytrope Modelle Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Hydrostatisches Gleichgewicht 1 dP ) n +1& = Kn ' $ρ ρ dr ( n % 1− n n ∂ρ GM r =− 2 ∂r r r M ( r ) = 4π ∫ dr ' r '2 ρ ( r ' ) ! besser: 0 1 dP ' n +1$ = Kn % "ρ ρ dr & n # 1− n n ' −Φ $ "" ⇒ ρ (r ) = %% & (n + 1) K # ∂ρ dΦ =− ∂r dr n n<∞ 30 Polytrope Modelle Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Gravitationspotential über Poisson- Gleichung ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ΔΦ = 2 + 2 + 2 = 4πGρ ∂x ∂y ∂z = Kugelsymmetrie ! mit 1 d ' 2 dΦ $ d 2 2 d Φ %r "= 2Φ+ 2 r dr & dr # dr r dr hydrostatisches Gleichgewicht 2 & −Φ # d 2 d Φ+ Φ = 4πG $$ !! 2 dr r dr % ( n + 1) K " n 31 Polytrope Modelle Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Variablensubstitution: (i ) z = Ar (ii ) n −1 4πG 4πG n −1 (− Φ c ) = A = ρc n n n ( n + 1) K ( n + 1) K 2 1/ n (iii ) ⇒ Φ &ρ # w= = $$ !! Φ c % ρc " d 2 w 2 dw 1 d & 2 dw # n n + + w = 0 = z + w $ ! 2 2 dz z dz z dz % dz " Lane-Emden-Gleichung 32 Lane-Emden Gleichung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Analytische " n=0: " n=1: " n=5: " n=∞: Lösungen 1 2 w( z ) = 1 − z ; ρ = ρ = const. 6 sin z w( z ) = z 1 w( z ) = ⇒ R→∞ 2 1+ z / 3 ρ = ρce Φ − K , isothermal 33 Lane-Emden Gleichung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Numerische Lösung für n≠0,1,5,∞ n zn 0 1 1,5 2 3 4 4,5 5 2,44940 3,14159 3,65375 4,35287 6,89685 14,97155 31,8365 ∞ & 2 dw # $− z ! dz % " z = zn 4,8988 3,14159 2,71406 2,41105 2,01824 1,79723 1,73780 1,73205 ρc ρ 1,00000 3,28987 5,99071 11,40254 54,18250 622,4080 6189,470 ∞ 34 Anwendung für Sterne Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Masse innerhalb r: r r m(r ) = ∫ 4πρr '2 dr ' =4πρ c ∫ wn r '2 dr ' 0 0 3 z r 1 dw # n 2 3& = 4πρ c 3 ∫ w z dz = 4πρ c r $ − ! z 0 % z dz " ! Gesamtmasse ρ & 3 dw # & 1 dw # M = 4πρ c R $ − ⇒ = $− ! ! ρ c % z dz " z = zn % z dz " z = zn 3 35 Anwendung für Sterne Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! oder ' 1 dw $ 3' n +1$ M = 4π % − " zn % " & z dz # z = zn & 4πG # 3/ 2 K 3/ 2 ρ 3− n 2n c ! Radius 2 1 )r& A =' $ = (n + 1) Kρ 4πG (z% 2 ⇒R∝ρ 1− n 2n c ∝M 1− n 3− n 1− n n c # Dichtere Objekte sind kleiner # n=1.5: massereichere Objekt 36 sind kleiner !!! Anwendung Sonne Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Modelliere Sonne als n=3-Polytrope (konstantes Verhältnis von Gas- zu Strahlungsdruck) ! Wir kennen M, R 3M −3 ρ= = 1 . 4 g cm 4πR 3 −1 ρ c , 3 dw ) = *− ' ρ + z dz ( z = z3 & # # −3 ⇒ ρ = 75 . 8 g cm % c = 54.18# #$ 37 Anwendung Sonne Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Aus Zustandsgleichung P = Kρ ( 2 dw % ( K % M = 4π & − z # & # dz $ z = z3 ' πG $ ' γ 3/ 2 ⇒ K = 3.8 ×1014 ! Vergleich P = Kρ 4/3 mit idealem Gas kT 7 = ρ ⇒ T = 1.1×10 K 0.6mH 38 Chandrasekhar-Masse Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Spezialfall relativistisches Elektronengas: 1/ 3 hc (3% 4/3 P = Kρ ; K = & # 4/3 ' π $ 8(mu µ e ) & 2 dw # & K # M = 4π $ − z ! $ ! dz " z = z3 % πG " % 3/ 2 ! Masse unabhängig von der Zentraldichte 5,836 M ch = M ≈ 1,4 M 2 µe 39 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne 1 Energietransport ! Wärmeleitung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " Nur in weißen Zwergen ! Strahlung Zentren massearmer Sterne " Oberfläche massereicher Sterne " ! Konvektion Zentren massereicher Sterne " Oberfläche massearmer Sterne " ! Neutrinokühlen " In sehr heißen Sternen 2 Transport durch Konvektion Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Ideales Gas: kTρ dP P dµ P dρ P dT P= ⇒ =− + + mh µ dr µ dr ρ dr T dr ! Konvektion durchmischt Gas " Einfachste Annahme: adiabatische Prozessführung dP P dρ P = Kρ ⇒ =γ dr ρ dr γ " Für µ ≈ const. ' 1 $ µmH GM r dT ' 1 $ T dP = %%1 − "" = −%%1 − "" 2 dr & γ # P dr γ k r & # 3 Transport durch Strahlung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Strahlungsdruck Prad ! Druckgradient 1 4 = aT 3 dPrad 4 3 dT = aT dr 3 dr ! Strahlungstransport: Druckgradient durch Absorption von Photonen dPrad κρ Lr =− dr c 4πr 2 " Opazität κ 4 Energietransport Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Durch Strahlung dT 3 κρ Lr =− 3 2 dr 4ac T 4πr ! Durch Konvektion $ 1 ' µm H GM r dT = −&1− ) 2 dr r % γ( k € dT GM r ρT =− 2 ∇ dr rP 3 κLr P ∇ rad = 16πacG M rT 4 ∇ conv d lnT = d ln P 5 SchwarzschildKriterium Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Dichte in Blase dρ ρ =ρ+ dr * ! Dichte Δr ad in Umgebung dρ ρ'= ρ + dr Δr act ! instabil (steigt weiter ⇒ Konvektion) wenn: dρ ρ < ρ '⇒ dr * ad dρ < dr act dT ⇒ dr ad dT > dr act 6 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Energieproduktion dL 2 = 4 πr ρε dr mi 2 = 4 πr ρ∑ ∑ rjiΔmij c i ρ j 2 ( + dX i mi = **∑ rji − ∑ rik -dt ρ) j k , 7 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Energieproduktion 8 log [ (ε / ρX2)/ m3 W kg2] Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Energieproduktion ε ≈ T19.9 0 5 10 15 20 CNO ε ≈ T4 PP 25 30 35 T (106 K) 9 Energieproduktion (T≤20×106K) Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! ! ! Gravitationsenergie oder chemische Prozesse sind nicht in der Lage, die Leuchtkraft der Sonne über lange Zeit aufrechtzuerhalten ⇒ Kernfusion einzig mögliche Energiequelle Hohe Temperaturen + Dichten notwendig ⇒ Findet nur im Kern der Sonne statt Hauptsächliche Kernreaktion Proton-Proton Kette: 1. p + p → 2D + e+ + νe limitierende Reaktion 2. 2D + p → 3He + γ 3. 3He + 3He → 4He + p + p Total: 4 p → 4He + 2 e+ + 2νe 10 Energieproduktion (T≤20×106K) Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne 4 p → 4He + 2 e+ + 2νe ! 4He ! ! hat 0.7% (4.8x10–26 g) weniger Masse als 4 Protonen E=mc2 = 4.3x10–5 erg Mit der Leuchtkraft und Masse der Sonne ergibt sich bei Nutzung von 10% des Wasserstoffvorrats damit eine theoretische Lebensdauer 1010 Jahren. 11 Problem: Coulombabstoßung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne ! Energie zum Überwinden der Coulomb-Abstoßung (klassisch) " 1MeV ≈1010K ! Aus " Polytrope: Tc ≈107K ! Lösung: " Tunneleffekt (Quantenmechanik) 12 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Gamow-Peak Tc Tunnelwahrscheinlichkeit Maxwell-Boltzmann 13 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne CNO-Zyklus (T≥20×106K) (Bethe-Weizsäcker-Zyklus) 14 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne CNO-Zyklus (T≥20×106K) (Bethe-Weizsäcker-Zyklus) 15 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne CNO-Zyklus (T≥20×106K) (Bethe-Weizsäcker-Zyklus) 16 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne CNO-Zyklus (T≥20×106K) (Bethe-Weizsäcker-Zyklus) 17 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne CNO-Zyklus (T≥20×106K) (Bethe-Weizsäcker-Zyklus) 18 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne CNO-Zyklus (T≥20×106K) (Bethe-Weizsäcker-Zyklus) 19 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne CNO-Zyklus (T≥20×106K) (Bethe-Weizsäcker-Zyklus) 20 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Zusammenfassung dm dP Gmρ 2 = 4 πr ρ =− 2 dr dr r dL dT GmTρ 2 = 4 πr ρε =− 2 ∇ dr dr r P ( + dX i mi = **∑ rji − ∑ rik -dt ρ) j k , 21 Randbedingungen ! Innere Randbedingungen m(0)=0 " r(0)=0 " L(0)=0 ? " P=Pc " T=Tc ? Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne " ! äußere Randbedingungen m=M ? " r=R 2 4 ? " L=4πR (σTeff) " P → 0 " T → Teff ? " Gemischtes Randwertproblem ⇓ übliche Integratoren nicht anwendbar 22 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Besser: in Lagrange-Koordinaten (Masse als Variable) dr 1 dP Gm = =− 2 4 dm 4πr ρ dm 4πr dL dT GmT =ε =− ∇ 4 dm dm 4πr P # dX i mi & = $$ ∑ rji − ∑ rik !! dt ρ % j k " 23 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne Materialfunktionen P = P( ρ , T , X i ) ε = ε (ρ,T , X i ) rij = rij ( ρ , T , X i ) κ = κ (ρ,T , X i ) 24
