11 Aufbau der Sterne, Teil 1

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Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Kapitel VI:
Der Aufbau der Sterne
1
Beobachtete Eigenschaften von
Sternen
!  Was
können wir direkt messen
scheinbare Helligkeit
"  in wenigen Ausnahmen: Winkeldurchmesser
(→ Doppelsterne)
"  Abstand (schwierig)
"  Farbe (über Filter)
"  Spektrum
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
2
Scheinbare Helligkeit m
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
„Helligkeit“ eines Sterns ⇔ Fluß F einer Quelle der
Leuchtkraft L im Abstand d
L
F=
2
4πd
! 
Da L und d erst einmal unbekannt, betrachte
relativen Helligkeitsunterschied zwischen zwei
Quellen
F1
m1 − m2 = −2.5 log10
F2
! 
Nullpunkt durch Vega definiert, d.h. Vega hat
scheinbare Helligkeit m=0
abhängig von verwendeten Filter
nach Korrektur: bolometrische Helligkeit
! 
! 
3
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Abstand via
Parallaxen
! 
Wichtigste direkte
Methode zur
Entfernungsbestimmung
! 
Abgeleitete Größe:
1 parsec Abstand bei dem
1AU unter dem Winkel von
1″ erscheint
1 pc = 3.085678 x 1018 cm
! 
diverse indirekte Methoden (siehe später)
4
Zustandsgrößen
! 
Was können wir daraus ableiten:
scheinbare Helligkeit + Abstand ⇒ absolute
Helligkeit ⇒ Leuchtkraft
"  Winkeldurchmesser + Abstand ⇒ Radius
"  Farbe oder Spektrum ⇒ Temperatur
"  Leuchtkraft und Temperatur ⇒ Radius (über StefanBoltzmannsches Strahlungsgesetz)
"  Spektrum ⇒ Elementhäufigkeiten (verlangt
detailliertes modellieren)
"  Umlaufzeiten/Bahndurchmesser in Doppelsternsystemen ⇒ Masse (via Kepler III)
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
5
Absolute Helligkeit M
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
Scheinbare Helligkeit eines Sterns im
Einheitsabstand von 10 pc
& L 4π (10 pc ) 2 #
d
!
m − M = −2.5 log10 $$
=
5
log
10
2
!
4
π
d
L
10 pc
%
"
! 
Mit mWega=0, dWega=8.0pc und LWega=49.5L!
L
M = 4.72 − 2.5 log10
Lsun
! 
! 
m-M: „Entfernungsmodul“
M bekannt ⇒ Leuchtkraft L
6
Schwarzkörperstrahlung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
Wellenlängenverteilung
$
2hc 2 λ5 '
erg
Bλ (T ) = hc λkT
e
− 1 %& s cm 2 sr cm "#
Fläche
Raumwinkel
Wellenlänge
k : Boltzmannsche Konstante (1.381 × 10-16 erg
K )
! 
∂Bλ (T )
=0
∂λ
Ableitung
⇒ Wellenlänge
des Maximums
λmax
1K
= 0.28
1cm
T
(Wiensches Verschiebungsgesetz)
7
Schwarzkörperstrahlung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Gesamte
bei allen Wellenlängen in alle
Raumwinkel abgestrahlte Energie pro
Fläche und Zeit: integriere Bλ(T) über
λ und Ω
5 4
2
π
k
4
F = σT ; σ =
Stefan - Boltzmann - Konstante
2 3
15c h
!  Leuchtkraft
eines sphärisch
symmetrischen Sterns: integriere über
Sternoberfläche
2
L = 4πR σT
4
8
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Farbe und Temperatur
!  Bemerkung:
für jede Wellenlänge λ gilt
Bλ (T2 ) > Bλ (T1 ) für T2 > T1
9
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Farben als Thermometer
10
Spektren
! 
Sternatmosphäre:
" 
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
! 
! 
äußere Gebiete optisch dünn
„leuchtende Oberfläche“
" 
! 
" 
! 
Übergang von optisch dünn zu optisch dicht
Atomare Übergänge
" 
! 
Temperaturschichtung
Dichteschichtung
Hohe optische Dichte in der Umgebung atomarer Übergänge
zu höheren Energien, während optische Dichte noch gering im
Kontinuum (Details: später)
Besetzungszahl eines Übergangs ist temperaturabhängig
Kühleres Gas in oberen Atmosphärenschichten ⇒
Absorptionslinien
Absorptionslinienspektrum in Abhängigkeit von der
Temperatur
11
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Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Spektralklassen
12
Spektralklassen
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Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Änderung
in der
Stärke der
Absorptionslinien
mit Temperatur
Balmer Linien
"  CaII H und K
"  TiO Molekül-Bande
" 
13
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Besetzungszahl als Funktion
der Temperatur
14
Spektralklassen „Harvard
Klassifikation“ (Annie Cannon)
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Oh
Be
A
Fine
Girl
Kiss
Me
Right
Now
Smack !!
15
Das Hertzsprung-RusselDiagramm
!  Beobachter
x-Achse:
"  y-Achse:
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
Farbe
absolute Helligkeit
(von positiv nach negativ)
!  Theoretiker
log Temperatur
(von rechts nach links)
"  y-Achse:
log Leuchtkraft
2
4
L
=
4
π
R
σ
T
"  wg Stefan-Boltzmann
:
Linien konstanten Radius sind Geraden
log L = 2 log R + 4 log T + C
" 
x-Achse:
16
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Hertzsprung-Russel-Diagramm
17
Hertzsprung-Russel-Diagramm
L = 4πR 2σT 4
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
! 
Bei konstanter
Temperatur
(Farbe,
Spektralklasse)
haben hellere
Sterne einen
größeren Radius
Radius variiert
entlang der
Hauptreihe nur
wenig
18
Leuchtkraftklassen
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  I:
Überriesen
!  II: Helle Riesen
!  III:Riesen
!  IV: Unterriesen
!  V: Zwerge
(Hauptreihe)
!  VI: Unterzwerge
!  (VII: Weiße
Zwerge)
19
Leuchkraftklassen
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
Sterne identischer Spektralklasse aber
verschiedener Leuchtkraftklasse
unterscheiden sich im Detail in ihren
Spektren. Bei niedrigerem Druck in den
oberen Atmosphärenschichten sind
Absorptionslinien enger. Riesen haben so
engere Absorptionslinien als Zwerge
20
Spektroskopische Parallaxe
! 
Beobachtetes Spektrum
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
⇒  Spektralklasse
! 
Linienbreite
⇒  Leuchtkraftklasse
⇒  absolute Leuchtkraft
! 
Vergleich mit scheinbarer Helligkeit
⇒  Entfernung
! 
Spezialfall Sternhaufen
alle Sterne haben dasselbe Alter
"  alle Sterne haben dieselbe „Metallizität“
"  alle Sterne haben dieselbe Entfernung
" 
⇒  main sequence fitting
21
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Hertzsprung-Russel-Diagramm
m-M ⇒ d
22
Chemische Zusammensetzung
! 
Nur in der Sternatmosphäre beobachtbar
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
! 
Sterninneres im allgemeinen inhomogen
(Kernfusion)
bei den meisten Sternen in
Sonnenumgebung:
ähnlich der solaren Häufigkeit:
70% H, 28% He, 2% Metalle
"  sogenannte Population I
" 
! 
Chemischer Gradient in der Milchstraße
" 
! 
Metallhäufigkeit (Metallizität) nimmt nach außen ab
Kugelsternhaufen, galaktischer Halo
Metalle bis zu 100 mal seltener (im Extremfall auch
bis zu 10000 mal)
"  sogenannte Population II
23
" 
Chemische Zusammensetzung
Galaxien zeigen
unterschiedliche mittlere Häufigkeiten
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Andere
Milchstraße: solar
"  Andromeda: solar
"  Große Magellansche Wolke: 0.3 solar
"  Kleine Magellansche Wolke: 0.1 solar
" 
!  Heliumhäufigkeit
zeigt nur geringe
Variation von Stern zu Stern (und
Galaxie zu Galaxie)
24
Rotation der Sterne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Nachweis:
Verbreiterung der
Spektrallinie (Dopplereffekt)
#  Beobachter misst
vrot sin i
#  Bahnneigung i im
allgemeinen nicht
bekannt
Typ
O,B
A
F
G,K,M
vrot [km/s]
100 … 250
0 … 250
0 … 100
0 … 25
Zum Vergleich die Sonne
2πRsun
vrot =
= 2km/s
25d
Bahnebene
Abbremsung
durch
Magnetfelder?
25
Massenbestimmung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Aus
detaillierter Spektralanalyse
⇒  Druckskalenhöhe
⇒  Oberflächenschwerkraft g
⇒  ungenau
!  Bei
extremer Oberflächenschwerkraft
(weiße Zwerge)
⇒  Gravitationsrotverschiebung von
Spektrallinien
!  Primäre
Methode: Doppelsterne
26
Doppelsterne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
! 
Etwa 50% (oder mehr) aller Sterne sind
Doppelsterne
Optische Doppelsterne
" 
! 
Zwei Sterne zufällig entlang einer Sichtlinie
Physische Doppelsterne
Visuell: beide Komponenten getrennt sichtbar
"  Astrometrisch: Bewegung um (unsichtbaren)
Begleiter
"  Spektroskopisch: periodische Rot-/Blauverschiebung
von Spektrallinien
"  Photometrisch: Bedeckungsveränderliche
" 
27
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Kapitel VI:
Der Aufbau der Sterne
1
Visuelle Doppelsterne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Intrinsische
Bahnelliptizität vs
Bahnneigung
Intrinsische Ellipse: Schwerpunkt in einem
Brennpunkt der Ellipse
"  Geneigte Kreisbahn: Schwerpunkt im
Schnittpunkt der Halbachsen
" 
2
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Bestimmung der Bahnneigung
3
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Astrometrische Doppelsterne
! 
! 
Begleiter zeigt sich aufgrund von periodischen
Schwankungen in der Position um einen
gemeinsamen Schwerpunkt
Aktuelles Beispiel: Suche nach extrasolaren
Planeten. Mittlerweile wurden >100 Planeten so
gefunden.
4
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Spektroskopische
Doppelsterne
5
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Bedeckungsveränderliche
http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/ astro101/java/eclipse/eclipse.htm
6
Massenbestimmung
!  Visueller
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
Doppelstern
Bahngeometrie
Große Halbachse
[Länge]
m2 a1 Dα1 Dα1 cos i α~1
=
=
=
= ~ ⇒ Massenverhältnis
m1 a2 Dα 2 Dα 2 cos i α 2
" 
Kepler 3:
4π 2a 3 4π 2α 3 3
m1 + m2 =
=
D große Halbachse
2
2
GP
GP
[Winkel]
3
4π 2α~ 3 & D #
=
!
2 $
GP % cos i "
" 
Problem: Bestimmung des Abstand D
7
Massenbestimmung
! 
Spektroskopischer Doppelstern
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
Bahngeometrie
v
max
n ,rad
!
= vn sin i
max
v
m1
,rad
= 1max
⇒ Massenverhältnis
m2 v2,rad
P
( v1 + v2 ) :
"  Mit Kepler 3 und a = a1 + a2 =
2π
max
max 3
(
v
+
v
P
1,rad
2 ,rad )
m1 + m2 =
2πG
sin 3 i
Unabhängig von D !!!!
"  Aber abhängig von Bahnneigung i
"  Bahnexzentrizität: Abweichung von sinus-Variation
" 
8
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Effekt der Bahnexzentrizität
M1=0.5, M2=2.0, ε =0.3, i=30°
9
Massenbestimmung
!  Spektroskopischer
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
Doppelstern
Wenn nur eine Komponente beobachtbar
m1
v2 =
v1
m2
max 3
1,rad
3
P (v ) &
m1 #
$$1 +
!!
m1 + m2 =
2πG sin i % m2 "
" 
3
oder:
m23
P
3
max 3
sin
i
=
(
v
1,rad )
2
( m1 + m2 )
2πG
Massenfunktion
Observablen
10
Beispiele
! 
LMC-X3
Stellares Objekt in der Großen Magellanschen
Wolke (LMC, eine Satellitengalaxie der Milchstraße
im Abstand von 50 kpc)
"  Hauptreihenstern vom Spektraltyp B3
⇒ Masse des Sterns: M≈7M
"  Geschwindigkeit variiert mit einer Periode von
P=1.7±0.01 d.
"  Gemessene Bahngeschwindigkeit:
v=235 km/s
"  Sinusartige Geschwindigkeitsvariation
⇒ nahezu zirkularer Orbit.
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
11
Beispiele
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  LMC-X3
⇒
m23
2.3
=
2
( m2 + 7)
sin i
i
90
75
60
45
30
0
m2
8,1
8,6
10,2
14,5
28,5
-
(in Sonnenmassen)
⇒ M > 8,1 M , aber unsichtbar
#  regulärer Stern wäre nicht zu
übersehen
#  zu massereich für einen
Weissen Zwerg (MWD < 1.4 M )
(siehe Kapitel VII)
#  zu massereich für einen
Neutronenstern (MN* < 3 - 6 M )
(siehe Kapitel VII)
⇒ Schwarzes Loch ?
12
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
LMC-X3
13
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
51 Peg
14
Beispiele
!  51
Peg
51 Peg ist ein Stern ähnlich der Sonne
"  Kleinste Variationen in der
Radialgeschwindigkeit:
vr=59±3 m/s (m nicht km !!!)
"  Geschwindigkeit variiert mit einer Periode
von
P=4.229±0.001 d.
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
15
Beispiele
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
51 Peg
m23
m23
0.47
≈
⇒
m
=
2
( m1 + m2 ) 2 m12
sin i
i
90
60
30
15
5
0
m2
0,47
0,54
0,94
1,82
5,42
-
! 
! 
(in Jupitermassen)
M≈MJupiter, außer wir beobachten
das System nahezu perfekt von
der Seite („edge-on“)
Wie wahrscheinlich ist so ein Fall ?
P=
Fläche des Rings zwischen i1 und i2
Fläche der Hemisphäre
1
=
2π
2π
i2
∫ dφ ∫ di sin i = cos i
1
0
− cos i2
i1
⇒ P(0! ≤ i < 5! ) = 3.8 × 10−3
16
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Bedeckungsveränderliche
http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/ astro101/java/eclipse/eclipse.htm
17
Bedeckungsveränderliche
(siehe auch Übungsblatt)
! 
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
! 
Bedeckung ⇒ sin i ≈1.
max
v
Radialgeschwindigkeiten v1max
,
,rad
2 ,rad
⇒ Massen M1, M2 .
Bedeckung
Scheinbare Helligkeit m1, m2
"  Temperatur T1, T2
"  Sternradien R1, R2
"  daraus Abstand D, Leuchtkraft L1, L2
" 
! 
Bahnkurve
Bahnradius a
"  Exzentrizität ε
"  Bahnneigung i
" 
! 
und vieles mehr
18
Sternaufbaugleichungen
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Hydrostatisches
Gleichgewicht
Annahme: Kugelsymmetrie
"  Masse innerhalb Radius r
" 
r
M r = ∫ dr!4πr!2 ρ ( r!)
0
" 
Gleichgewicht zwischen Druckgradient und
Gravitationskraft (siehe auch Kapitel I)
dP
GM r
= − 2 ρ (r)
dr
r
19
Abschätzung des Drucks im
Sonneninneren
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
Linke Seite: Ersetze Differentiale durch
Differenzen Zentrum-Rand
dP → ΔP = Pc- 0 = Pc
"  dr → Δr = R
" 
! 
Rechte Seite: Benutze Mittelwerte
r=R/2
"  Mr=M (wegen Dichteanstieg zum Zentrum)
"  ρ(r)=ρ
" 
4GM
⇒ Pc =
ρ
R
" 
Pc=1.2×1010 atm (genaue Modelle: 2×1017 atm)
20
Ist die Sonne im stationären
Gleichgewicht ?
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Umlaufzeit
für äußere Schichten
2
4
π
T2 =
a3
GM
!  Freifall-Zeitskala
τ ff
T
R3
3
M
=
=
=
mit ρ =
2π
GM
4πGρ
4πR 3
21
Ist die Sonne im stationären
Gleichgewicht ?
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
τ ff
! 
3
M
=
mit ρ =
4πGρ
4πR 3
Beispiele
Sonne
"  Roter Riese
"  Weißer Zwerg
" 
! 
M =1M , R =1R
⇒ τff=1200s
M =1M , R =100R ⇒ τff=20d
M =1M , R =0.01R ⇒ τff=1.6s
Schlussfolgerung
Sterne verändern sich auf Zeitskalen, die lang im
Vergleich zur dynamischen Zeitskala sind
"  nahezu perfektes Gleichgewicht
"  Sternentwicklung: Sequenz von
Gleichgewichtszuständen
quasi-stationäres Gleichgewicht
" 
22
Zustandsgleichung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Im
allg. gilt nicht P=P(ρ)
!  Ideales Gas
k
P=
ρT
µmH
" 
µ: mittleres Atomgewicht (hängt von der
chemischen Komposition ab)
!  Strahlungsdruck
(dominiert bei
niedrigen Dichten)
1
4
P = aT
3
" 
a=7.565×10-15 dyn cm-2 K-4
23
Zustandsgleichung
! 
Entartetes Elektronengas (hohe Dichten)
Elektronen: Spin-½-Teichen ⇒ folgen der FermiDirac-Statistik
"  Paulisches Ausschließungsprinzip:
maximal zwei Elektronen (↑↓) pro
6D-Phasenraumzelle mit Volumen h3
"  Zahl der Phasenraumzellen bis zur Energie E (oder
bis Impuls p via E=p2/2m)
p3 E 3/ 2
NE ∝
∝
ρ
ρ
"  Entartung, wenn T<TFermi
⇔ kalt, hohe Dichten ⇒ Weiße Zwerge
"  Alle Phasenraumzellen bis TFermi sind besetzt
24
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
Zustandsgleichung
!  Entartetes
Elektronengas
Dem entarteten Elektronengas kann keine
Bewegungsenergie mehr entzogen werden
⇒ P=P(ρ), unabhängig von der Temperatur
"  nicht-relativistisches Elektronengas
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
kTFermi < me c 2
" 
relativistisches Elektronengas
kTFermi > me c 2 ⇒ Pe ∝ ρ 4 / 3
!  Für
" 
⇒ Pe ∝ ρ 5 / 3
extreme Dichten (1014 gcm-3)
Entartetes Neutronengas (Neutronenstern)
25
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Zustandsgleichung
26
Sternaufbaugleichungen
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Neue
Abhängigkeit:
P = P( ρ , T , X i )
" 
benötigt: zusätzliche Gleichungen
für T(r), P(r), Xi(r)
!  Energietransportgleichung
" 
Liefert T(r), führt aber neue Abhängigkeit ein:
Leuchtkraft L(r)
!  Energieerzeugung,
" 
nukleares Brennen
Liefert L(r), Xi(r)
27
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Vogt-Russel-Theorem
Die Masse und Komposition eines
Sterns bestimmt eindeutig seinen
Radius, seine Leuchtkraft und seine
innere Struktur sowie seine künftige
Entwicklung
NB: vernachlässigt:
Magnetfelder
"  Rotation
" 
28
Polytrope Modelle
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
! 
Für den Fall P=P(ρ) ist die Struktur bereits
durch die Annahme des hydrostatischen
Gleichgewichts bestimmt.
Interessante Spezialfälle:
5/3
P
∝
ρ
n=1.5
"  nicht-relativ. Elektronengas
4/3
P
∝
ρ
"  Relativ. Elektronengas
n=3
Adiabatisches Gas
(z.B. voll-konvektiver Stern)
"  Konstantes Verhältnis von
Strahlungsdruck zu Gasdruck
" 
! 
P∝ρ
γ
n=
1
γ −1
P ∝ ρ 4/3
Polytrope Zustandsgleichung
P = Kn ρ
n +1
n
29
Polytrope Modelle
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Hydrostatisches
Gleichgewicht
1 dP
) n +1&
= Kn '
$ρ
ρ dr
( n %
1− n
n
∂ρ
GM r
=− 2
∂r
r
r
M ( r ) = 4π ∫ dr ' r '2 ρ ( r ' )
!  besser:
0
1 dP
' n +1$
= Kn %
"ρ
ρ dr
& n #
1− n
n
' −Φ $
""
⇒ ρ (r ) = %%
& (n + 1) K #
∂ρ
dΦ
=−
∂r
dr
n
n<∞
30
Polytrope Modelle
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Gravitationspotential
über Poisson-
Gleichung
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ
ΔΦ = 2 + 2 + 2 = 4πGρ
∂x
∂y
∂z
=
Kugelsymmetrie
!  mit
1 d ' 2 dΦ $ d 2
2 d
Φ
%r
"= 2Φ+
2
r dr & dr # dr
r dr
hydrostatisches Gleichgewicht
2
& −Φ #
d
2 d
Φ+
Φ = 4πG $$
!!
2
dr
r dr
% ( n + 1) K "
n
31
Polytrope Modelle
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Variablensubstitution:
(i )
z = Ar
(ii )
n −1
4πG
4πG
n −1
(− Φ c ) =
A =
ρc n
n
n
( n + 1) K
( n + 1) K
2
1/ n
(iii )
⇒
Φ &ρ #
w=
= $$ !!
Φ c % ρc "
d 2 w 2 dw
1 d & 2 dw #
n
n
+
+
w
=
0
=
z
+
w
$
!
2
2
dz
z dz
z dz % dz "
Lane-Emden-Gleichung
32
Lane-Emden Gleichung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Analytische
" 
n=0:
" 
n=1:
" 
n=5:
" 
n=∞:
Lösungen
1 2
w( z ) = 1 − z ; ρ = ρ = const.
6
sin z
w( z ) =
z
1
w( z ) =
⇒ R→∞
2
1+ z / 3
ρ = ρce
Φ
−
K
, isothermal
33
Lane-Emden Gleichung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Numerische
Lösung für n≠0,1,5,∞
n
zn
0
1
1,5
2
3
4
4,5
5
2,44940
3,14159
3,65375
4,35287
6,89685
14,97155
31,8365
∞
& 2 dw #
$− z
!
dz
%
" z = zn
4,8988
3,14159
2,71406
2,41105
2,01824
1,79723
1,73780
1,73205
ρc
ρ
1,00000
3,28987
5,99071
11,40254
54,18250
622,4080
6189,470
∞
34
Anwendung für Sterne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Masse
innerhalb r:
r
r
m(r ) = ∫ 4πρr '2 dr ' =4πρ c ∫ wn r '2 dr '
0
0
3 z
r
1 dw #
n 2
3&
= 4πρ c 3 ∫ w z dz = 4πρ c r $ −
!
z 0
% z dz "
!  Gesamtmasse
ρ & 3 dw #
& 1 dw #
M = 4πρ c R $ −
⇒
= $−
!
!
ρ c % z dz " z = zn
% z dz " z = zn
3
35
Anwendung für Sterne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  oder
' 1 dw $
3' n +1$
M = 4π % −
" zn %
"
& z dz # z = zn & 4πG #
3/ 2
K
3/ 2
ρ
3− n
2n
c
!  Radius
2
1
)r&
A =' $ =
(n + 1) Kρ
4πG
(z%
2
⇒R∝ρ
1− n
2n
c
∝M
1− n
3− n
1− n
n
c
#  Dichtere Objekte sind kleiner
#  n=1.5: massereichere Objekt
36
sind kleiner !!!
Anwendung Sonne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Modelliere
Sonne als n=3-Polytrope
(konstantes Verhältnis von Gas- zu
Strahlungsdruck)
!  Wir kennen M, R
3M
−3
ρ=
=
1
.
4
g
cm
4πR 3
−1
ρ c , 3 dw )
= *−
'
ρ + z dz ( z = z3
&
#
#
−3
⇒
ρ
=
75
.
8
g
cm
%
c
= 54.18#
#$
37
Anwendung Sonne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Aus
Zustandsgleichung P = Kρ
( 2 dw % ( K %
M = 4π & − z
# &
#
dz $ z = z3 ' πG $
'
γ
3/ 2
⇒ K = 3.8 ×1014
!  Vergleich
P = Kρ
4/3
mit idealem Gas
kT
7
=
ρ ⇒ T = 1.1×10 K
0.6mH
38
Chandrasekhar-Masse
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Spezialfall
relativistisches
Elektronengas:
1/ 3
hc
(3%
4/3
P = Kρ ; K = & #
4/3
' π $ 8(mu µ e )
& 2 dw # & K #
M = 4π $ − z
! $
!
dz " z = z3 % πG "
%
3/ 2
!  Masse
unabhängig von der
Zentraldichte
5,836
M ch =
M ≈ 1,4 M
2
µe
39
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Kapitel VI:
Der Aufbau der Sterne
1
Energietransport
!  Wärmeleitung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
Nur in weißen Zwergen
!  Strahlung
Zentren massearmer Sterne
"  Oberfläche massereicher Sterne
" 
!  Konvektion
Zentren massereicher Sterne
"  Oberfläche massearmer Sterne
" 
!  Neutrinokühlen
" 
In sehr heißen Sternen
2
Transport durch Konvektion
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Ideales
Gas:
kTρ
dP
P dµ P dρ P dT
P=
⇒
=−
+
+
mh µ
dr
µ dr ρ dr T dr
!  Konvektion durchmischt Gas
" 
Einfachste Annahme: adiabatische
Prozessführung
dP
P dρ
P = Kρ ⇒
=γ
dr
ρ dr
γ
" 
Für µ ≈ const.
' 1 $ µmH GM r
dT ' 1 $ T dP
= %%1 − ""
= −%%1 − ""
2
dr & γ # P dr
γ
k
r
&
#
3
Transport durch Strahlung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Strahlungsdruck
Prad
!  Druckgradient
1 4
= aT
3
dPrad 4 3 dT
= aT
dr
3
dr
!  Strahlungstransport:
Druckgradient
durch Absorption von Photonen
dPrad
κρ Lr
=−
dr
c 4πr 2
" 
Opazität κ
4
Energietransport
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Durch
Strahlung
dT
3 κρ Lr
=−
3
2
dr
4ac T 4πr
!  Durch
Konvektion
$ 1 ' µm H GM r
dT
= −&1− )
2
dr
r
% γ( k
€
dT
GM r ρT
=− 2
∇
dr
rP
3
κLr P
∇ rad =
16πacG M rT 4
∇ conv
d lnT
=
d ln P
5
SchwarzschildKriterium
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Dichte
in Blase
dρ
ρ =ρ+
dr
*
!  Dichte
Δr
ad
in Umgebung
dρ
ρ'= ρ +
dr
Δr
act
!  instabil
(steigt weiter
⇒ Konvektion) wenn:
dρ
ρ < ρ '⇒
dr
*
ad
dρ
<
dr
act
dT
⇒
dr
ad
dT
>
dr
act
6
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Energieproduktion
dL
2
= 4 πr ρε
dr
mi
2
= 4 πr ρ∑ ∑ rjiΔmij c
i ρ
j
2
(
+
dX i mi
= **∑ rji − ∑ rik -dt
ρ) j
k
,
7
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Energieproduktion
8
log [ (ε / ρX2)/ m3 W kg2]
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Energieproduktion
ε ≈ T19.9
0
5
10
15
20
CNO
ε ≈ T4
PP
25
30
35
T (106 K)
9
Energieproduktion (T≤20×106K)
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
! 
! 
! 
Gravitationsenergie oder chemische Prozesse sind
nicht in der Lage, die Leuchtkraft der Sonne über
lange Zeit aufrechtzuerhalten
⇒ Kernfusion einzig mögliche Energiequelle
Hohe Temperaturen + Dichten notwendig
⇒ Findet nur im Kern der Sonne statt
Hauptsächliche Kernreaktion Proton-Proton Kette:
1. p + p → 2D + e+ + νe
limitierende Reaktion
2. 2D + p → 3He + γ
3. 3He + 3He → 4He + p + p
Total: 4 p → 4He + 2 e+ + 2νe
10
Energieproduktion (T≤20×106K)
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
4 p → 4He + 2 e+ + 2νe
!  4He
! 
! 
hat 0.7% (4.8x10–26 g) weniger Masse
als 4 Protonen
E=mc2 = 4.3x10–5 erg
Mit der Leuchtkraft und Masse der Sonne
ergibt sich bei Nutzung von 10% des
Wasserstoffvorrats damit eine theoretische
Lebensdauer 1010 Jahren.
11
Problem: Coulombabstoßung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
!  Energie
zum Überwinden der
Coulomb-Abstoßung (klassisch)
" 
1MeV ≈1010K
!  Aus
" 
Polytrope:
Tc ≈107K
!  Lösung:
" 
Tunneleffekt
(Quantenmechanik)
12
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Gamow-Peak
Tc
Tunnelwahrscheinlichkeit
Maxwell-Boltzmann
13
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
CNO-Zyklus (T≥20×106K)
(Bethe-Weizsäcker-Zyklus)
14
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
CNO-Zyklus (T≥20×106K)
(Bethe-Weizsäcker-Zyklus)
15
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
CNO-Zyklus (T≥20×106K)
(Bethe-Weizsäcker-Zyklus)
16
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
CNO-Zyklus (T≥20×106K)
(Bethe-Weizsäcker-Zyklus)
17
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
CNO-Zyklus (T≥20×106K)
(Bethe-Weizsäcker-Zyklus)
18
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
CNO-Zyklus (T≥20×106K)
(Bethe-Weizsäcker-Zyklus)
19
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
CNO-Zyklus (T≥20×106K)
(Bethe-Weizsäcker-Zyklus)
20
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Zusammenfassung
dm
dP
Gmρ
2
= 4 πr ρ
=− 2
dr
dr
r
dL
dT
GmTρ
2
= 4 πr ρε
=− 2 ∇
dr
dr
r P
(
+
dX i mi
= **∑ rji − ∑ rik -dt
ρ) j
k
,
21
Randbedingungen
! 
Innere Randbedingungen
m(0)=0
"  r(0)=0
"  L(0)=0
?
"  P=Pc
"  T=Tc
?
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
" 
! 
äußere Randbedingungen
m=M
?
"  r=R
2
4 ?
"  L=4πR (σTeff)
"  P → 0
"  T → Teff ?
" 
Gemischtes
Randwertproblem
⇓
übliche
Integratoren nicht
anwendbar
22
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Besser: in Lagrange-Koordinaten (Masse
als Variable)
dr
1
dP
Gm
=
=−
2
4
dm 4πr ρ
dm
4πr
dL
dT
GmT
=ε
=−
∇
4
dm
dm
4πr P
#
dX i mi &
= $$ ∑ rji − ∑ rik !!
dt
ρ % j
k
"
23
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Materialfunktionen
P = P( ρ , T , X i )
ε = ε (ρ,T , X i )
rij = rij ( ρ , T , X i )
κ = κ (ρ,T , X i )
24
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