„Dunkle Materie – gibt es sie oder vielleicht doch nicht ?“

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„Dunkle Materie – gibt es sie oder vielleicht doch nicht ?“
In „Astronomie + Raumfahrt“ 49, 12 – 16, (2012) 1 erschien von Matthias Borchardt eine
Arbeit „Dunkle Materie im Mechanikunterricht der Oberstufe“, in der im Sinne der
Kontinuum-Mechanik über die Massendichte der in der Galaxis verteilten Materie eine
Computersimulation vorgestellt wird, mit deren Hilfe Interessenten der Astronomie die
großen Abweichungen von den klassischen Kepler-Rotationen verstehen und nachvollziehen
können. Der entscheidende Satz und die gedankliche Voraussetzung für die durchzuführende
Computersimulation lautet dort (S.14) : „Ein Körper, der sich in der (Galaxien)Scheibe
befindet und den Abstand r vom Zentrum hat, spürt die Gravitation aller Massen innerhalb
des Kreises mit dem Radius r so, als wären sie im Zentrum punktförmig vereint“. Obwohl
die dargestellten Rotationskurven den Beobachtungen zu entsprechen scheinen, reizt dieser
Satz dennoch zum Widerspruch, weil man eine größere Geschwindigkeit als aus der KeplerRotation auch erhalten kann, wenn man von der Punktmechanik ausgeht, und die Gravitation
aller Massen innerhalb von r auf eine Probemasse m im Abstand r' vom Gravitationszentrum berücksichtigt, und man nicht alle Massen innerhalb von r auf das Zentrum
punktförmig konzentriert. Dies soll im „Fragmentierungs-Modell“ weiter unten beschrieben
werden.
Es verblüfft, daß bereits seit Jahrzehnten nach der Dunklen Materie gesucht und geforscht
wird, aber bis zum heutigen Tag widersprüchliche Ergebnisse das Rätsel nur vergrößern.
Wenn man nicht mehr über sie weiß, als daß sie selbst in den abtastbaren Spektralbereichen
unsichtbar aber gravitativ auf sichtbare Materie einwirken soll, dann ist dies bislang der
einzige Hebel, ihrer habhaft zu werden, ohne sich wilden Spekulationen hinzugeben.
Die Beobachtungen (1933) des schweizerisch-amerikanischen Astronomen Fritz Zwicky, daß
die Bewegungen von einigen Dutzend der über 1000 Galaxien des 350 Millionen Lichtjahre
entfernten sphärisch-symmetrischen Coma-Haufens um das gemeinsame Schwere-Zentrum
schneller erfolgt, als man es nach den Kepler-Gesetzen erwarten sollte, führte ihn zu der
Vermutung, daß nicht leuchtende Materie die Ursache sein könnte. Je nach verwendeter
Quelle wird die Entfernung des Coma-Haufens unterschiedlich angegeben (Unsicherheitsfaktor rund 2); F. Zwicky selbst gibt noch eine Entfernung von 45 Millionen Lichtjahren an.
Natürlich war ihm zu seiner Zeit nur die im optischen Bereich sichtbare Materie bekannt, die
man heute durch die in anderen Spektralbereichen nachweisbare ergänzen müßte. Zunächst
vermutet man, daß F. Zwicky nach Festlegung des dynamischen Haufen-Zentrums bei seinen
Berechnungen die für ihn sichtbare Materie des Coma-Haufens wie etwa oben beschrieben
punktförmig im Schwere-Zentrum konzentriert und nicht die räumliche Verteilung der
Galaxien berücksichtigt, wobei man wirklich zu anderen Resultaten gelangt und daher keine
„fehlende Masse“ postulieren muß (missing mass problem). Wenn man jedoch in seine
diesbezügliche Originalarbeit schaut (Fritz Zwicky „Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln“ 16.11.1933 in 'Helvetica physica acta' S.110-127), stellt man fest, daß er für
die Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit der Mitglieder des Coma-Haufens den aus
der Thermodynamik bekannten Virialsatz verwendet, nach dem die mittlere potentielle
Energie im Gravitationsfeld des Haufens dem doppelten Wert der mittleren kinetischen
Energie seiner Mitglieder entspricht. Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Virialsatzes ist
aber ein abgeschlossenes System, und hiermit beginnen schon erste Schwierigkeiten, weil
letztlich der Coma-Haufen auf längeren Zeitskalen auch mit anderen Galaxienhaufen in
gravitativer Wechselwirkung steht.
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In einer Abschätzung mit dem Virialsatz (s.S.124) findet F. Zwicky nun einen Wert für die
mittlere Geschwindigkeit der Haufenmitglieder von rund 80 kms -1 im Vergleich zu einem aus
Beobachtungen gewonnenen Mittelwert von rund 1000 kms -1. Diese Diskrepanz schließt er
mit der Vermutung „daß die dunkle Materie in sehr viel größerer Dichte vorhanden ist als
leuchtende Materie“ und deshalb das Coma-System eine mindestens 400 mal größere Dichte
als die aus den damaligen Beobachtungsergebnissen abgeleitete leuchtende Materie haben
müsse. Für ihn war es noch „dunkle Materie“ und noch nicht die „Dunkle Materie“ im
heutigen Sinne mit ihrer schillernden Bedeutung.
Auf diesen Kernsatz seiner Folgerungen der 'mindestens 400 mal größeren Dichte' in der
Darstellung von F. Zwicky nehmen nicht wenige Autoren Bezug, wenn es darum geht, eine
Begründung für die Existenz der Dunklen Materie zu finden. Doch diese Aussage in seiner
bemerkenswerten Veröffentlichung steht aus heutiger Sicht auf tönernen Füßen, denn er ging
in seiner Ableitung (s.S.124) von einer durchschnittlichen Masse jedes Coma-Haufenmitgliedes von etwa 109 m⊙ (Sonnenmassen) aus. – In seiner Arbeit vom Oktober 1937 in 'The
astrophysical journal' Volume 86 Nr. 3, S.217-246 mit dem Titel „On the masses of nebulae
and of clusters of nebulae“ befaßt sich Fritz Zwicky dann eingehender mit der Masse von
Nebeln (Galaxien) und den verschiedenen Methoden ihrer Bestimmung. Im Ergebnis dieser
Veröffentlichung spricht er in Bezug auf die Anwendung des Virialsatzes, daß die Mitglieder
des Coma-Haufens im Minimum nun eine Durchschnittsmasse von 4,5 · 1010 m⊙ haben
müßten. Auch heute noch ist die genaue Bestimmung einer Galaxienmasse bzw. ihre
exakte radiale Dichteverteilung und auch die Häufgkeitsverteilung ihrer unterschiedlichen Sternmassen in der Astronomie ein mit großen Unsicherheiten behaftetes
Problem. Für unsere eigene Galaxis wird zur Zeit eine ungefähre Masse von mindestens
1011 m⊙ angenommen, was mit einem Faktor von etwas über 2 nicht allzuweit von Fritz
Zwicky's Abschätzung (von 1937) der Durchschnittsmasse von 4,5 · 1010 m⊙ der ComaHaufenmitglieder entfernt liegt. Wenn man nun etwas großzügig für die Haufenmitglieder als Durchschnitt diese 1011 m⊙ hernimmt und damit in Zwicky's VirialsatzMethode geht, so ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit der Haufenmitglieder nicht
mehr 80 kms-1 sondern bereits 800 kms-1 , was schon in die Größenordnung von Zwicky's
Beobachtungen mit 1000 kms-1 kommt. Aus diesem Grund entfällt heute seine Forderung
nach einer 400 mal größeren Dichte des Coma-Systems, weshalb dieses Argument als eine der
Begründungen für die Existenz der Dunklen Materie nicht mehr zulässig ist und auch nicht
mehr dem Charme einer sich selbst verwirklichenden Prophezeiung unterliegen darf.
Erst 47 Jahre nach F. Zwicky begann man durch die Arbeit der amerikanischen Astronomin
Vera C. Rubin aufgeschreckt erneut über die „fehlende Masse“ nachzudenken.
In der von Vera C. Rubin im Juni 1980 in „The Astrophysical Journal“ 238, 471-487,1980
veröffentlichten Arbeit „Rotational properties of 21 Sc Galaxies with a large range of
luminosities and radii, from NGC 4605 (R = 4 kpc) To UGC 2885 (R = 122 kpc)“ kann man
erkennen, daß die mit empfindlichen Spektrographen gemessenen Rotationsgeschwindigkeiten der Sterne um ihre galaktischen Zentren in den Außenbereichen, nicht wie nach dem
dritten Kepler'schen-Gesetz zu erwarten, deutlich kleiner werden, sondern im Gegensatz
hierzu mit leichten Modulationen in etwa konstant bleiben oder sogar noch geringfügig
anwachsen. Es war zweifellos in den Anfängen ein verständlicher Ansatz, um als erklärende
Ursache dieser unerwarteten Rotationsgeschwindigkeiten eine völlig unbekannte „Dunkle
Materie“ zu postulieren, die für diesen Effekt verantwortlich sein sollte. Bis heute wurde sie
jedoch nicht oder noch nicht gefunden, obwohl sich viele Forschergruppen mit einem
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enormen personellen, finanziellen und materiellen Aufwand um ihre Entdeckung bemühen.
Mit der Arbeit von V. Rubin hatte die Astronomie eigentlich erst begonnen, die Suche nach
der „Dunklen Materie“ ernst zu nehmen, und in den folgenden Jahrzehnten wurden dann
immer mehr astronomische Phänomene entdeckt, für die man die „Dunkle Materie“
verantwortlich zu machen glaubte, obwohl man eigentlich noch gar nicht weiß, welche Natur
uns in der „Dunklen Materie“ begegnet : z.B. ist sie diskret oder kontinuierlich im Raum
verteilt, müßte sich die Dunkle Materie mit ihrer gravitativen Wirkung nicht punktförmig
zusammenballen oder verschwindet sie gar in Schwarzen Löchern, bewegt sie sich überhaupt,
spricht nicht die Stabilität unseres Sonnensystems oder noch allgemeiner unserer Heimatgalaxie eigentlich gegen die Existenz der Dunklen Materie, wo bleibt die reactio der Dunklen
Materie, wenn sie selbst als actio gravitativ etwa auf Galaxien einwirkt ? Trotz dieser vielen
Fragen ist es bislang nicht gelungen, einen hypothetischen Kandidaten der Dunklen Materie
belastbar dingfest zu machen.
Wie alle Modelle so lebt auch das oben bereits angekündigte „Fragmentierungs-Modell“
von der Vereinfachung, und wenn sich herausstellen sollte, daß dieses zweidimensionale
Modell die betrachtete Natur halbwegs vernünftig wiedergibt, d.h. eine gute Näherung an die
Natur ist, dann kann man das Modell ja verfeinern. Als einzige Voraussetzungen für das
„Fragmentierungs-Modell“ und leicht nachvollziehbar werden jetzt nur die Aussagen benötigt
erstens : alle Massen in einer Galaxie werden als Massenpunkte betrachtet und zweitens : es
gelten einzig das Newton'sche Gravitationsgesetz FG = γ · ( m · M ) / r2 (also die
Gravitationskraft FG auf die Probenmasse m , welche im folgenden immer sehr klein gegen
die Zentralmasse M sein soll mit m « M , um die sich m auf einer Kreisbahn mit dem
Radius r mit konstanter Bahngeschwindigkeit v bewegt) und die Zentrifugalkraft. – Mit
der Sonne z.B. als Zentralmasse M = MS = 1,989 · 1030 kg und mit der Newton'schen
Gravitationskonstanten γ = 6,672 · 10-11 m3 / (kg · s2 ) kann man leicht demonstrieren, daß
sich dann alle Planeten mit ihrem Sonnenabstand r mit der mittleren Geschwindigkeit v =
v(r) = √(γ·M) · 1/√r = (γ·M)1/2 · r-1/2 = (konst.)· r-1/2 = k · r-1/2 bewegen müssen (mit der
Konstanten k = 1,152 · 1010 m3/2 · s-1), um auf einer stabilen Bahn zu bleiben, d.h. mit
zunehmendem Abstand r nimmt die Bahngeschwindigkeit mit r -1/2 ab – eine Folge des 3.
Kepler'schen Gesetzes. Sollte man deshalb in Analogie hierzu nicht für die Sterne, welche
sich um das Zentrum unserer Milchstraße oder um die Zentren anderer Galaxien bewegen,
eine gleiche Abhängigkeit v = v(r) ~ r-1/2 erwarten ? Die Beobachtungen zeigen jedoch,
wie bereits erwähnt, eine starke Abweichung von diesem einfachen „r-1/2 - Gesetz“.
Jetzt werde als Zentralmasse die zehnfache Masse genommen also : M* = 10 · M , und m
und M* werden (wie zuvor schon m und M) wieder als Punktmassen betrachtet. Nehmen wir
nun für die Probemasse m künftig für alle Berechnungen immer eine „Normentfernung“ von
r = 5 R an, in der sich m bewegen soll und wobei R beliebig sein kann. Die Gravitationkraft
der Zentralmasse M* = 10 · M auf die Probemasse m im Abstand der Normentfernung von
r = 5 R beträgt dann :
Gl.(1)
FGres = γ · ( m · 10 M ) / r2 = (10/52) · ((γ · m · M ) / R2)
= 4,0000 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
↑
--------------
Nun kommt die Definition bzw. das „Fragmentierungs-Modell“ ins Spiel : man nehme von
den 10 Massen im Zentrum z.B. 9 Massen weg und verteile sie auf 12 Plätzen alle im gleichen
Abstand R so, daß sie wegen der einfacheren Rechnung die Plätze der ganzen Stunden auf der
4
Uhr einnehmen. Mit anderen Worten : auf jedem „Stundenplatz“ befindet sich nun die Masse
9 M / 12 = 0,75 M wie in der (Abb.1) dargestellt; die Gesamtmasse des Systems wird aber
hierdurch nicht verändert :
(Abb.1) „Fragmentierungs-Modell“ mit der Zentralmasse M und 12 Teilmassen
von je 0,75 M im konstanten Abstand R von der Zentralmasse
Diese Konstruktion wurde aus Symmetriegründen gewählt, denn es werden leicht nachvollziehbar nur der Kosinussatz und der Sinussatz verwendet. (Diese Anordnung mit 13 Massen
geht für sehr große Entfernungen kräftemäßig in die der einzelnen Zentralmasse mit M* = 10
M über)
Wegen der Symmetrie ist die Gravitationskraft der Masse m 7 an Punkt 7 auf m betragsmäßig ebenso groß wie diejenige der Masse m 5 an Punkt 5 auf m, und da Kräfte gerichtete
Größen sind, muß man für die Resultierende F res 7,5 aus beiden Kräften die Vektorsumme
bilden, welche gravitativ auf m einwirkt. Um dieses Ziel zu erreichen, bestimmt man
zunächst den Abstand r7 zwischen m und m7 bzw. m5 also r7 = r5 mit dem Kosinussatz :
Gl.(2) r72 = R2 + (5 · R)2 - 2 · 5 R · R · cos (1 · 300) → r7 = r5 = 4,16410 · R
Hiermit erhält die gravitative Kraft von m7 bzw. von m5 auf m den Wert :
Gl.(3) F7 = F5 = ((γ · m· M)/R2) · (0,75/(4,16410)2) = 4,32532 · 10-2 ((γ· m · M)/R2)
um die resultierende Kraft von m7 und m5 auf m berechnen zu können, benötigt man
außerdem den Winkel δ7 zwischen den Massen M , m und m7 , der sich wiederum
mit dem Kosinussatz bestimmen läßt :
R2 = r72 + (5 · R)2 – 2 · r7 · 5 · R · cos δ7 → cos δ7 = (r72 + (5 · R)2- R2)/(2 r7 · 5R)
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Gl.(4)
R
kürzt sich hier heraus → δ7 = 6,896370
mit dem Sinussatz kann man nun in das Kraftdreieck gehen, um die resultierende Kraft
Fres 7, 5 zu berechnen :
Fres 7, 5 / sin (1800 - 2·δ7 ) = F7 / sin δ7
Gl.(5)
Fres 7, 5 = 1,98553 · F7 = 8,58806 · 10-2 · ((γ · m· M)/R2)
Mit den analogen Gleichungen Gl.(2) bis Gl.(5) bestimmt man die restlichen Kräfte von den
Massen m8,m4 ; den Massen m9,m3 ; den Massen m10,m2; den Massen m11,m1 und
schließlich auch noch die Kräfte der Massen m 6 und m12 und zu guter Letzt auch noch die
Kraft der Zentralmasse M auf die Probemasse m im Abstand 5 R. Insgesamt sind also 8
Gravitationskräfte von 13 Teilmassen auf die Probemasse m zu addieren, und so gewinnt
man für die Resultierende all dieser Kräfte
FGres = 4,1147 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
↑
Vergleicht man diesen Wert mit dem Ergebnis in Gl.(1), so erzeugen die im gleichen Abstand
R um M „verteilten Massen“ zusammen mit M im Ergebnis Gl.(6) eine größere
Gravitationskraft auf die Probemasse m als in Gl.(1), und damit muß zwingend die
Probemasse m auch eine größere Geschwindigkeit v haben, um auf einer stabilen Bahn zu
bleiben !
-------------Gl.(6)
Im Folgenden soll die Fragmentierung weitergetrieben werden : M verbleibt wieder im
Zentrum und 9M werden jetzt gleichmäßig auf die beiden Kreisradien R und 2 R verteilt,
so daß jeder Massenpunkt durch die Masse m = 9M/24 = 0,375 M beschrieben wird. Unter
Einhaltung der obigen Rechenvorschriften erhält man für die Resultierende aller 25
Gravitationskräfte (durch Symmetrie reduziert auf 15) auf die Probemasse m die
FGres = 4,3106 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
zwei Radien
↑
d.h. die resultierende Gravitationskraft auf m ist noch größer geworden, und mit diesem
Resultat muß die Geschwindigkeit v wie oben ebenfalls weiter ansteigen !
Gl.(7)
-------------Die Fragmentierung werde fortgesetzt : M verbleibt wieder im Zentrum und 9M werden jetzt
gleichmäßig auf die drei Kreisradien R , 2 R und 3 R verteilt, so daß jeder von den 36
Massenpunkten auf den drei Kreisen die Masse m = 9 M / 36 = 0,25 M bekommt. Unter
Einhaltung der obigen Rechenvorschriften ergibt sich für die Resultierende aller 37
Gravitationskräfte (durch Symmetrie reduziert auf 22) auf die Probemasse m die
FGres = 4,7139 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
drei Radien
↑
d.h. die resultierende Gravitationskraft auf m ist erneut größer geworden, und mit diesem
Resultat muß die Geschwindigkeit v wie oben noch größer werden !
Gl.(8)
-------------Zunächst noch eine Fragmentierung : M verbleibt wieder im Zentrum und 9 M werden jetzt
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gleichmäßig auf die vier Kreisradien R , 2 R, 3 R und 4 R verteilt, so daß jeder von den 48
Massenpunkten auf den vier Kreisen eine Masse von m = 9 M / 48 = 0,1875 M aufweist.
Unter Einhaltung der obigen Rechenvorschriften erhält man für die Resultierende aller 49
Gravitationskräfte (durch Symmetrie reduziert auf 29) auf die Probemasse m die
FGres = 6,1845 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
vier Radien
↑
d.h. die resultierende Gravitationskraft auf m steigt wie zuvor, und mit diesem Resultat muß
die Geschwindigkeit v für eine stabile Kreisbahn weiter anwachsen !
Gl.(9)
-------------Wenn man in den Gleichungen Gl.(1) bis Gl.(9) die Koeffizienten der Kraft von ((γ· m·M) /
R2) linear über R aufträgt, so resultiert eine überlineare Kurve, welche die Kraftzunahme bei
steigender Fragmentierung wiedergibt ! Die Gesamtmasse bei allen vier durchgeführten Fragmentierungen ist immer die gleiche geblieben nämlich 10 M ; die Geschwindigkeit einer
umlaufenden Probemasse m hängt aber nach dem Vorstehenden empfindlich von der
homogenen (in der Realität : inhomogen) Verteilung der Restmassen von 9 M ab, wie
sich aus der überlinearen Kurve (Abb. 3) zwischen 0 R bis 4 R ablesen läßt. Zudem wird
deutlich, daß die punktförmige Konzentration aller Teilmassen ins Gravitationszentrum zu
einem anderen Ergebnis führen muß !
Mit den Gl.(1) bis Gl.(9) sieht man, daß sich die resultierende Gesamtkraft auf m auch
allgemeiner darstellen läßt durch :
FGres = Koeff. · ((γ · m · M ) / R2)
↑
oder wenn man diese Kraft mit der Zentrifugalkraft Fz* = m · v2 / r gleichsetzt, so folgt
hieraus die Geschwindigkeit der umlaufenden Probemasse m :
Gl.(10)
v = ( FGres · R/m )1/2 = ( Koeff. · (γ · M / R) )1/2
↑
welche vom oben vorgestellten Koeffizienten abhängt und damit von der Verteilung der
Massen in der Galaxienscheibe innerhalb der Bahn von m .
Gl.(11)
Die Berechnungen sind zwar nicht besonders schwer, aber sie werden mit fortschreitender
Fragmentierung immer umfangreicher, so daß eine Programmierung z.B. mit dem TI-58
unerläßlich war. Es sei nochmals daran erinnert, daß bei allen Berechnungen resultierender,
gravitativer Kräfte auf die Probemasse m die Gesamtmasse von M* = 10 M des Systems
konstant ist, d.h. im Zentrum verbleibt stets die Masse M, und 9 M werden gleichmäßig auf
die „Stundenpositionen“ verteilt (Abb.1) und (Abb.2). Wenn z.B. bis zu 6 Radien
gleichmäßig besetzt werden, sind dies genau 72 Teilmassen, so daß sich auf jeder Position die
Teilmasse 9M / 72 = 0,125 M befindet. Hierbei ist zu bedenken, daß alle Massen, welche sich
links von der roten Linie in der (Abb.2) befinden, eine resultierende Kraft auf m nach links
und alle Massen rechts von der roten Linie entsprechend eine resultierende Kraft auf m nach
rechts ausüben. Im Endergebnis werden diese beiden Kräfte dann vektoriell addiert. Dieses
zweidimensionale, durchgerechnete Modell reicht bis in den Abstand 10 R von der
Zentralmasse M und berücksichtigt schließlich die gravitative Kraft von 121 Teilmassen auf
die Pobemasse m im stets gleichen Abstand 5 R von Zentrum M. Das für einen Moment
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(Abb. 2)
homogene Verteilung von bis zu 120 gleichen Teilmassen auf bis zu
10-R-Radien und ihr gravitativer Einfluß auf die Probemasse m
„eingefrorene“, statische Modell wird durch die Gl.(11) zu einem dynamischen, wo die
Geschwindigkeit v der Probemasse m um das gravitative Zentrum M sich aus der resultierenden Gesamtkraft ergibt.
Das Ergebnis aller resultierenden Gravitationskräfte Fres,rel (R) ist in der (Abb.3) dargestellt,
und die resultierenden Kraftkoeffizienten lassen sich aus der folgenden Tabelle ablesen :
Massenverteilung
bis
0R
1R
2R
3R
4R
5R
6R
7R
8R
9R
10 R
( Koeff )
( Koeff )1/2
vrel
0,40000
0,41222
0,43106
0,47139
0,61844
0,53266
0,33473
0,26805
0,22755
0,20317
0,18373
0,63246
0,64205
0,65655
0,68658
0,78641
0,72983
0,57856
0,51773
0,47702
0,45074
0,42863
1,000
1,015
1,038
1,086
1,243 !
1,154
0,915
0,819
0,754
0,713
0,678
resultierende, relative Gravitationskraft auf m [FGres,rel]
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(Abb. 3)
resultierende, relative Gravitationskraft auf m
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
2
4
6
8
10
Abstand zum Zentrum [R]
die resultierende, relative Gravitationskraft aller verteilten Massen
auf die Probemasse m im Abstand von 5 R vom Zentrum
In der ersten Spalte der Tabelle steht der Abstand, bis zu dem die Masse 9 M gleichmäßig auf
die „Stundenpositionen“ verteilt wurde. In der zweiten Spalte steht der oben beschriebene
Koeffizient der resultierenden Gesamt-Gravitationskraft auf die Probemasse m , welche sich
immer im Abstand 5 R vom System-Zentrum befindet. Da nach Gl.(11) die Geschwindigkeit
von m proportional zur Wurzel des Koeffizienten ist, also v ~ (Koeff)1/2 , steht daher in der
dritten Spalte die relative Geschwindigkeit von m, welche in der vierten Spalte auf die
Geschwindigkeit der nicht verteilten Masse von 10 M normiert wird. Aus dieser Tabelle ist
nun beispielsweise abzulesen, daß die Geschwindigkeit der Probemasse m im Abstand 5 R
durch die gleichmäßige Massenverteilung um etwa 15,4 % größer ist, als wenn alle Massen
im Zentrum konzentriert wären ! (Abb. 3) zeigt auch, daß es zwischen 4 R und 5 R eine Art
Maximum geben muß, das sich möglicherweise durch eine kleine Drehung der vorgestellten
Geometrie um das Zentrum M im Betrag und der Position leicht verändern könnte. Der Abfall
der resultierenden Kraft etwas oberhalb von 5 R bei der gewählten Massenverteilung des
„Fragmentierungs-Modells“ unter den Koeffizienten-Wert von 0,4000 war zu erwarten und
wird sich für steigende Werte von R der klassischen Kepler-Rotation immer mehr annähern.
Mit anderen Worten : das vorgestellte „Fragmentierungs-Modell“ (es läßt sich natürlich wie
alle Modelle verbessern) beweist, daß bei gleicher Gesamtmasse die Verteilung der
Sternmassen in der Galaxienscheibe eine größere Geschwindigkeit der umlaufenden Sterne
erfordert, als wenn man die Gesamtmasse der Galaxie in einem Punkt konzentriert und
hiermit die Umlaufgeschwindigkeit berechnet ! Im Nachhinein ist dieses Ergebnis sogar
verständlich und plausibel. Weitergehende Untersuchungen dieser Art bieten sich an, aber der
große Rechnungsaufwand ist sinnvoller Weise besser in astronomischen Rechenzentren
aufgehoben. Der Vorteil dieses betrachteten punktmechanischen „Fragmentierungs-Modells“
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besteht darin, daß die größere Geschwindigkeit im Randbereich des Systems nun erklärt
werden kann einzig und allein mit dem Newton'schen Gravitations-Gesetz und der
Zentrifugalkraft, und man auch nicht auf einen Korrektur-Term im Gravitations-Gesetz oder
auf eine völlig unbekannte „Dunkle Materie“ angewiesen ist.
Wenn man einmal in die (Abb.3) zwischen 0 R und 5 R schaut, könnte man daran denken,
daß die beobachteten und gemessenen „zu großen Geschwindigkeiten“ vielleicht dadurch
bedingt sind, daß sich zwischen dem Galaxienzentrum und den geschwindigkeitsmäßig
beobachteten Sternen eine nicht zu vernachlässigende Sterndichte befindet, welche also
unbedingt für die resultierende Kraft auf eine Probemasse m jetzt in den Veröffentlichungen
der Astronomie berücksichtigt werden müßte, ohne sie im Zentrum zu konzentrieren !
Aus der Gleichsetzung der Gravitationskraft FG = γ · ( m · M ) / r2 und der Zentrifugalkraft Fz*
= m · v2 / r folgt γ · M = r · v2 oder M = (r · v2)/ γ . Diese letzte Beziehung benutzt man in
der Regel in der Astronomie, um die Masse z.B. unserer Milchstraße zu bestimmen. Kennt
man somit den Abstand der Sonne vom Milchstraßen-Zentrum und ihre UmlaufGeschwindigkeit, so erhält man dann für die Masse der Milchstraße etwa 100 Milliarden
Sonnenmassen, wobei die inhomogene Verteilung der Sterne in der Galaxienscheibe nicht
berücksichtigt wird. Auf das „Fragmentierungs-Modell“ bezogen bedeutet dies, daß man aus
der Umlaufgeschwindigkeit der Probemasse m im Abstand 5 R für die Gesamtmasse statt
10 M rund 13,3 M erhalten würde, wenn man die Massenverteilung in der Systemscheibe
nicht berücksichtigt und sie im Zentrum konzentriert. Weitergehende orientierende
Berechnungen lassen vermuten, daß dieser Wert von 13,3 M bei geeigneter Verteilung
durchaus auch noch vervielfacht sein könnte. Daher legen die vorangegangenen Überlegungen nahe, daß man mit dem 3. Keplerschen Gesetz ohne Berücksichtigung der Sternverteilung die Gesamtmasse einer Galaxie nie verläßlich bestimmen kann und sich falsche
Galaxienmassen bei umfangreicheren Berechnungen als Fehler unkontrolliert weiterschleppen
würden, denn die Galaxienmassen würden stets zu groß sein. – Auch eine weitere
unabhängige Methode, mit Hilfe unserer Sonne als Standardstern die Masse einer Galaxie aus
dem Masse-Leuchtkraft-Verhältnis M/L zu erschließen, ist mit erheblichen Unsicherheiten
verbunden, so daß die Massenbestimmung weiterhin eine interessante Frage bleiben wird.
Die Modulationen der Umlaufgeschwindigkeiten um Galaxie-Zentren in V. Rubin's Diagrammen ließen sich mit dem „Fragmentierungs-Modell“ leicht begründen, weil die realen,
radialen Sterndichten alles andere als homogen sind im Gegensatz zu obigen Modellannahmen. Dieser Einfluß müßte sich bei entsprechend aufwendigeren Simulationen in astronomischen Rechenzentren mit dem „Fragmentierungs-Modell“ nachweisen lassen, so daß man
hiernach auf das Konzept der „Dunklen Materie“ möglicherweise verzichten kann. Vielleicht
gelingt es auch, mit dieser Methode und bei Kenntnis der lokalen Sterngeschwindigkeiten die
räumliche Stern-Dichteverteilung fortschreitend zu ertasten.
Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) war glücklich, als er in die Lage versetzt wurde, die
Bewegung der Planeten durch Kreisbahnen zu beschreiben. Aber hatte er auch genau genug
beobachten können ? Johannes Kepler (1571 – 1630) mußte ihn natürlich korrigieren, als ihm
bessere Daten zur Verfügung standen, und die Planetenbewegungen befriedigender durch
Ellipsenbahnen darzustellen sind. Als die Meß- und Beobachtungstechniken dann weiter
verbessert wurden, stellte man fest, daß es mehr oder weniger große Abweichungen von den
schönen Ellipsenbahnen gab, weil sich die Planeten wechselseitig gravitativ beeinflussen und
sich hierdurch ihre Bahndaten zwar geringfügig aber laufend verändern. Mit den Mitteln der
Störungstheorie ließen sich dann für begrenzte Zeitabschnitte verläßliche Voraussagen über
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alle Planetenpositionen machen. Die Periheldrehung der Planeten z.B. des Merkur war jedoch
mit der Klassischen Physik allein nicht ganz in den Griff zu bekommen, was erst mit der
Relativitätstheorie möglich wurde. Wenn man auch die Bewegungen der Sterne um die
galaktischen Zentren mitberücksichtigen möchte, wird man bei einem Teil von ihnen sogar
die periodische Pendelbewegung senkrecht zur galaktischen Ebene besonders betrachten
müssen und außerdem zu berücksichtigen haben, daß sich alle Sterne der Galaxie gravitativ in
ihren Bahndaten gegenseitig beeinflussen, und es daher auf Dauer keine konstanten Bahnen
geben wird. Heute wissen wir, daß die Chaostheorie schließlich die Zuverlässigkeit aller
langfristigen Voraussagen von Planetenpositionen einschränkt, weil die astronomischen
Meßwerte grundsätzlich niemals auf unendlich viele Dezimalstellen genau angegeben werden
können. So irrt sich die Wissenschaft nicht nur der Astronomie im Laufe ihrer Geschichte
langsam empor oder mit anders gewählten Worten : „die Wissenschaft wird seit jeher auch
durch kapitale Irrtümer vorangetrieben“. Das ist jedoch kein Grund zur Beunruhigung, denn
anders als ein einzelner Mensch, der manchmal Schwierigkeiten damit hat, einen eigenen
kapitalen Fehler zu erkennen und zu korrigieren, verfügt die Wissenschaft ihrer Mitglieder auf
Dauer über eine effektive und korrigierende Selbststeuerung, die ihre eigene Entwicklung
perfektioniert, was mitunter aber manchmal viel Zeit kosten mag.
Ein Letztes sei angemerkt : die vorstehende Darstellung ist eine Beschreibung durch diskrete
Punktmassen. Alternativ könnte man dieselbe Thematik auch mit kontinuierlich verteilten
Sternmassendichten im Raum beschreiben, was dann allerdings bei Kenntnis der lokalen
Sterndichten Integrationen über den Raum erfordern würde. – Beide Beschreibungsmöglichkeiten haben aber einen Nachteil gemeinsam, daß man nämlich im Universum nicht wirklich
mit abgeschlossenen Systemen rechnen kann. – Umgerechnet und auf das beschriebene
Fragmentierungs-Modell bezogen würde eine Andromeda-Galaxie abgeschätzt sich kräftemäßig erst in der fünften Stelle und die Große Magellansche Wolke erst in der vierten Stelle
nach dem Komma auswirken.
Zusammenfassung : es kann zwar kein Computer und auch die größten nicht die Natur bzw.
das gesamte Universum vom Mikro- bis zum Makro-Kosmos in seinen Speicherchips
abbilden, aber er ist in der Lage, für sehr vereinfachte, begrenzte Systeme Näherungen an die
Natur zu simulieren. Diese Näherungen sind jedoch nicht die Natur selbst und müssen
folglich an der realen Welt geprüft werden, um zu entscheiden, ob sie die wesentlichen
Beobachtungen richtig beschreiben, oder ob die ihren Gedanken-Modellen zugrundeliegenden Näherungen vollständig oder nur teilweise korrigiert werden müssen. - Im obigen,
zweidimensionalen Modell ging es darum, den Nachweis zu liefern, daß die Verteilung der
Materie zwischen dem galaktischen Zentrum und einer willkürlich herausgegriffenen
Sternmasse m am Ort 5 R verantwortlich dafür ist, daß die Geschwindigkeit dieser
Sternmasse größer sein muß als es der aus dem 3. Kepler'schen Gesetz abgeleiteten
Geschwindigkeit entspricht, und damit auch die Beobachtungen von Vera C. Rubin von 1980
zwanglos erklärt, ohne auf ganz und gar unbekannte Teilchen der sog. „Dunklen Materie“
zurückgreifen zu müssen. Wie zuvor beschrieben ist das vorgestellte „FragmentierungsModell“ durchaus in der Lage, diesen geforderten Nachweis zu liefern und darüber hinaus
auch die Modulationen in Rubin's Rotations-Kurven zu erklären, wenn man die
Inhomogenitäten der Sternmassen-Verteilung zwischen dem Galaxien-Zentrum und den
betrachteten Probemassen berücksichtigt. Als weitere Quintessenz der vorgestellten Näherung
folgt zwingend, daß man die Gesamtmasse einer Galaxie niemals mit dem 3. Kepler'schen
Gesetz allein bestimmen kann und darf, denn sie würde immer einen zu großen Wert
erhalten !
(Jan van der Lip; 88271 Wilhelmsdorf; Wolfsbühl 25; 18. März 2015)