7 Optische Modulatoren 7.1 Elektrooptische

7 Optische Modulatoren
7.1 Elektrooptische Modulatoren
7.1.1 Elektrooptische Medien
Zur Erinnerung - Optische Indikatrix eines linearen anisotropen Mediums:
X
ηij xi xj = 1.
(7.1.1)
ij
Die optischen Eigenschaften eines elektrooptischen Mediums können durch ein äußeres
statisches elektrisches Feld E geändert werden:
ηij (E) = ηij (0) + ∆ηij (E).
(7.1.2)
Hierbei ist ηij (0) das Element des Impermeabilität-Tensors ohne äußeres Feld und ∆ηij (E)
die Änderung des Tensorelements aufgrund von E.
Entwickle ∆ηij (E) in eine Taylorreihe:
∆ηij (E) =
X
rijk Ek +
X
sijkl Ek El
(7.1.3)
kl
k
Der erste Term beschreibt eine linearen Änderung der Impermeabilität aufgrund von E.
Dieser lineare elektrooptische Effekt ist auch als Pockels-Effekt bekannt. Die Koeffizienten
{rijk } sind die zugehörigen Pockels-Koeffizienten.
Die quadratische Änderung der Impermeabilität durch ein äußeres statischens E-Feld
wird in der Literatur als Kerr-Effekt bezeichnet. Die zugehörigen Koeffizienten {sijkl } des
elektooptischen Materials sind die zugehörigen Kerr-Koeffizienten.
Pockels-Effekt
Betrachte im Folgenden ein elektrooptisches Medium, das den Pockels-Effekt aufweist:
∆ηij (E) =
X
rijk Ek .
(7.1.4)
k
7-1
7 Optische Modulatoren
Aufgrund der Symmetrie des Impermeabilitätstensors (ηij = ηji ) gilt für die PockelsKoeffizienten: rijk = rjik .
Der Pockels-Tensor r besitzt somit maximal 6 × 3 verschiedene Elemente. Durch Kristallsymmetrien kann die Anzahl der verschiedenen Tensorelemente weiter reduziert werden.
Insbesondere verschwinden bei Inversionssymmetrie sämtliche Elemente.
Führe Kurznotation ein:
rhk = rijk
(7.1.5)
mit
h=

1





2



 3
für
für
für
für
für
für

4





5



6
Damit:
∆ηh =
X
ij
ij
ij
ij
ij
ij
= 11,
= 22,
= 33,
= 23 oder 32,
= 13 oder 31,
= 12 oder 21.
(7.1.6)
(7.1.7)
rhk Ek .
k
Matrixschreibweise:



∆η1
r11



∆η

 r21
2 



 ∆η3 


 =  r31
 ∆η 
 r
4 

 41



 ∆η5 
 r51
∆η6
r61
r12
r22
r32
r42
r52
r62
r13
r23
r33
r43
r53
r63




 E1

  E2 



E

3

(7.1.8)
1.) Beispiel: LiNbO3
LiNbO3 ist ein negativ uniaxialer Kristall, der der kristallographischen Punktgruppe 3m
angehört. Die optische Achse zeige in x3 -Richtung.
Zugehöriger Pockels-Tensor:





r=




7-2
0
0
0
0
r51
−r22
−r22
r22
0
r51
0
0
r13
r13
r33
0
0
0










(7.1.9)
7.1 Elektrooptische Modulatoren
Das äußere statische Feld E sei entlang der optischen Achse (x3 -Achse) des LiNbO3 Kristalls angelegt.
Zugehörige optische Indikatrix
!
!
1
1
2
2
+ r13 E x1 + x2 +
+ r33 E x23 = 1.
2
2
no
ne
(7.1.10)
Der Pockels-Effekt führt in diesem Fall nicht zu einer Änderung der Orientierung der
Hauptachsen.
Für den ordentlichen und außerordentlichen Brechungindex gilt:
1
n2o (E)
1
n2e (E)
=
1
+ r13 E,
n2o
(7.1.11)
=
1
+ r33 E,
n2e
(7.1.12)
Aus r13 E ≪ 1/n2o und r33 E ≪ 1/n2e folgt:
1
no (E) ≈ no − n3o r13 E,
2
(7.1.13)
1
ne (E) ≈ ne − n3e r33 E.
2
(7.1.14)
2.) Beispiel: KDP
KDP ist ein negativ uniaxialer Kristall, der der kristallographischen Punktgruppe 4̄2m
angehört. Die optische Achse zeige in x3 -Richtung.
Zugehöriger Pockels-Tensor:





r=




0
0
0
r41
0
0
0
0
0
0
r41
0
0
0
0
0
0
r63










(7.1.15)
7-3
7 Optische Modulatoren
Das äußere statische Feld sei entlang der optischen Achse (x3 -Achse) des KDP-Kristalls
angelegt.
Zugehörige optische Indikatrix:
x21 + x22 x23
+ 2 + 2r63 Ex1 x2 = 1.
n2o
ne
(7.1.16)
Führe neues Koordinatensystem ein (45◦ Drehung um x3 -Achse):
x′1 =
x1 + x2
√ ,
2
(7.1.17)
x′2 =
x1 − x2
√ ,
2
(7.1.18)
x′3 = x3 .
(7.1.19)
Optische Indikatrix in neuem Koordinatensystem:
x′2
x′2
x′2
1
2
+ 2
+ 23 =1
2
n1 (E) n2 (E) n3 (E)
(7.1.20)
=
1
+ r63 E,
n2o
(7.1.21)
=
1
− r63 E,
n2o
(7.1.22)
mit
1
n21 (E)
1
n22 (E)
n3 (E) = ne .
(7.1.23)
Nach kurzer Rechnung folgt:
1
n1 (E) ≈ no − n3o r63 E,
2
1
n2 (E) ≈ no + n3o r63 E,
2
n3 (E) = ne .
(7.1.24)
(7.1.25)
(7.1.26)
Wird das elektrische Feld entlang der optischen Achse angelegt, so verhält sich KDP
aufgrund des Pockels-Effekts wie ein biaxialer Kristall.
7-4
7.1 Elektrooptische Modulatoren
Kerr-Effekt
Betrachte im Folgenden ein elektrooptisches Medium, das den Kerr-Effekt aufweist:
∆ηij (E) =
X
(7.1.27)
sijkl Ek El .
kl
Aufgrund der Symmetrie des Impermeabilitätstensors (ηij = ηji ) gilt für die KerrKoeffizienten: sijkl = sjikl . Zusätzlich können die Indizes k und l vertauscht werden:
sijkl = sijlk .
Somit besitzt der Kerr-Tensor s besitzt maximal 6 × 6 verschiedene Elemente. Durch
Kristallsymmetrien kann die Anzahl der verschiedenen Tensorelemente weiter reduziert
werden.
In der Literatur wird üblicherweise auch für den Kerr-Effekt die oben eingeführte Kurznotation verwendet.
Beispiel: Isotropes Medium mit Brechungsindex n.
Zugehöriger Kerr-Tensor:





s=




s11
s12
s12
0
0
0
s12
s11
s12
0
0
0
s12
s12
s11
0
0
0
0
0
0
s44
0
0
0
0
0
0
s44
0
0
0
0
0
0
s44





,




1
s44 = (s11 − s12 ).
2
(7.1.28)
Das äußere elektrische Feld E sei entlang der x3 -Achse angelegt.
Damit:
1
1
2
2
2
2
x1 + x2 +
+ s12 E
+ s11 E x23 = 1.
n2
n2
(7.1.29)
Dies ist die optische Indikatrix eines uniaxialen Kristalls mit der optischen Achse in x3 Richtung.
Für die ordentlichen und außerordentlichen Brechungsindizes gilt:
1
n2o (E)
=
1
+ s12 E2 ,
n2
(7.1.30)
7-5
7 Optische Modulatoren
1
n2e (E)
=
1
+ s11 E2 .
n2
(7.1.31)
Kurze Umformung liefert:
1
no (E) = n − n3 s12 E2 ,
2
(7.1.32)
1
ne (E) = n − n3 s11 E2 .
2
(7.1.33)
7.1.2 Phasenmodulatoren
Die Phase einer optischen Welle kann mit Hilfe des Pockels-Effekts moduliert werden.
Hierzu wird die Polarisation des Lichtfeldes parallel zu einer der Hauptachsen des elektrooptischen Mediums gewählt.
(a)
(b)
V
d
V
L
L
Abbildung 7.1: (a) Schema eines transversalen Phasenmodulators und (b) Schema eines longitudinalen Phasenmodulators.
Abhängig von der Orientierung des angelegten elektrischen Feld E relativ zur Ausbreitungsrichtung k der optischen Welle unterscheidet man zwei Konfiguratuionen:
• transversale Phasenmodulatoren: E⊥k,
• longitudinale Phasenmodulatoren: E||k.
7-6
7.1 Elektrooptische Modulatoren
x3
x1
x2
d
V
O.A.
E0
L
Abbildung 7.2: Transversaler Phasenmodulator.
Transversaler Phasenmodulator
Die optische Achse eines LiNbO3 -Kristalls sei entlang der x3 -Achse und parallel zum
äußeren elektrischen Feld E orientiert. Die optische Welle propagiere in Richtung der
x1 -Achse und sei in Richtung der x3 -Achse polarisiert (außerordentlicher Strahl):
E(x1 , t) = E0 ê3 exp(ike x1 − iωt).
(7.1.34)
Nach der Propagationslänge L erhält man eine Phasenänderung:
ϕ(E) = k0 ne (E)L =
Mit V = Ed und ϕ0 =
ϕ(V ) = ϕ0 − π
1
2π
ne − n3e r33 E L.
λ0
2
2π
nL
λ0 e
V
.
Vπ
(7.1.35)
gilt:
(7.1.36)
Hierbei ist die Halbwellen-Spannung Vπ für einen transversalen Phasenmodulator definiert
als:
d λ0
Vπ =
.
(7.1.37)
L n3e r33
Für V = Vπ ändert sich die Phase der optischen Welle nach der Propagagtion durch den
Modulator gerade um π im Vergleich zum Fall V = 0.
Betrachte jetzt eine harmonische Modulation der angelegten Spannung mit der Frequenz
Ω:
V (t) = V0 sin(Ωt).
(7.1.38)
7-7
7 Optische Modulatoren
Für das elektrische Feld der optischen Welle nach dem Modulator gilt:
V0
E(L, t) = E0 ê3 exp iϕ0 exp −i ωt + π sin(Ωt)
Vπ
.
(7.1.39)
Mit der Identität für Bessel-Funktionen
∞
X
exp [−iδ sin(Ωt)] =
Jn (δ) exp(−inΩt)
(7.1.40)
n=−∞
folgt:
E(L, t) = E0 ê3 exp iϕ0
∞
X
Jn (πV0 /Vπ ) exp(−i(ω + nΩ)t).
(7.1.41)
n=−∞
Durch die Modulation entstehen also Seitenbänder mit den Frequenzen ω ± Ω, ω ± 2Ω, ω ±
3Ω, · · · .
Longitudinaler Phasenmodulator
x3
V
x1
x2
O.A.
E0
L
Abbildung 7.3: Longitudinaler Phasenmodulator.
Die optische Achse eines LiNbO3 -Kristalls sei entlang der x1 -Achse und parallel zum
äußeren elektrischen Feld E orientiert. Die optische Welle propagiere in Richtung der
x1 -Achse und sei in Richtung der x3 -Achse polarisiert (ordentlicher Strahl):
E(x1 , t) = E0 ê3 exp(iko x1 − iωt).
(7.1.42)
Nach der Propagationslänge L erhält man eine Phasenänderung:
1
2π
no − n3e r13 E L.
ϕ(E) = k0 no (E)L =
λ0
2
7-8
(7.1.43)
7.1 Elektrooptische Modulatoren
Mit V = EL und ϕ0 =
ϕ(V ) = ϕ0 − π
2π
nL
λ0 o
erhalten wir:
V
.
Vπ
(7.1.44)
Hierbei ist die Halbwellen-Spannung Vπ eines longitudinalen Phasenmodulators gegeben
durch:
Vπ =
λ0
.
n3o r33
(7.1.45)
Bei einem longitudinalen Phasenmodulator hängt Vπ also nicht von der Kristalllänge L
ab.
7.1.3 Polarisationsmodulatoren
x3
Eout
x1
x2
d
V=Vb+Vπ
Ein
O.A.
L
Abbildung 7.4: Polarisationsmodulator.
Der Pockels-Effekt kann auch dazu genutzt werden, um die Polarisation einer optischen
Welle zu verändern. Hierzu darf die Polarisation der einlaufenden Welle zu keiner der
Hauptachsen des elektrooptischen Mediums parallel sein. Die einlaufende Welle ist dann
die Superposition von zwei Eigenmoden, deren relative Phase durch das Anlegen einer
Spannung kontrolliert werden kann.
Betrachte wieder einen LiNbO3 -Kristall, dessen optische Achse entlang der x3 -Achse und
parallel zum äußeren elektrischen Feld E orientiert ist. Die einlaufende
optische Welle
√
propagiere in Richtung der x1 -Achse und sei in Richtung (ê2 + ê3 )/ 2 polarisiert.
Nach der Propagationslänge L gilt:
ê3
ê2
E(L, t) = E0 √ exp(iko L − iωt) + E0 √ exp(ike L − iωt).
2
2
(7.1.46)
7-9
7 Optische Modulatoren
Man erhält somit eine Phasenunterschied ∆ϕ zwischen der ê2 -Komponente (ordentlicher
Strahl) und der ê3 -Komponente (außerordentlicher Strahl) der optischen Welle:
VL
π
.
2 (no − ne ) L + n3e r33 − n3o r13
∆ϕ =
λ0
d
(7.1.47)
Beachte: Selbst ohne angelegte Spannung erhält man aufgrund der Doppelbrechung eine
Phasenunterschied:
2π
2π
∆ϕ0 =
(no − ne ) L = 2mπ +
(no − ne ) ∆L.
(7.1.48)
λ0
λ0
Hierbei ist m eine ganze Zahl, so dass
−π < ∆ϕ0 − 2mπ =
2π
(no − ne ) ∆L ≤ π.
λ0
(7.1.49)
Kompensation von ∆ϕ0 durch anlegen einer Hintergrunds-Spannung Vb mit
Vb =
2 (ne − no ) d
∆L.
(n3e r33 − n3o r13 ) L
(7.1.50)
Durch anlegen einer Spannung V = Vb + Vπ kann die Polarisation der optischen Welle um
90◦ gedreht werden.
Hierbei ist die Halbwellen-Spannung Vπ gegeben durch
Vπ =
n3e r33
d
λ0
.
3
− no r13 L
(7.1.51)
7.1.4 Amplitudenmodulatoren
Zur Modulation der Amplitude einer optischen Welle kann ein Phasenmodulator mit
einem Interferometer oder ein Polarisationsmodulator mit einem nachgeschaltetem Polarisator kombiniert werden.
Amplitudenmodulation: Phasenmodulator in einem Interferometer
Betrachte ein Mach-Zehnder-Interferometer, in dessen einem Arm sich ein Phasenmodulator befindet. Für 50:50-Strahlteiler erhält man in einem Ausgang des Interferometers
die Intensität:
1
1
Iout = Iin + Iin cos(ϕ) = Iin cos2 (ϕ/2).
(7.1.52)
2
2
7-10
7.1 Elektrooptische Modulatoren
Iin
V
Iout
Phasenmodulator
Abbildung 7.5: Amplitudenmodulator auf der Basis eines Phasenmodulators und eines Interferometers.
Hierbei ist ϕ = ϕ1 − ϕ2 die Differenz der Phasen der optischen Wellen in den beiden
Armen des Interferometers.
Durch den Phasenmodulator kann die Phase der optischen Welle in Arm 1 moduliert
werden:
ϕ1 = ϕ1,0 − π
V
.
Vπ
(7.1.53)
Mit ϕ0 = ϕ1,0 − ϕ2 erhält man für die Transmission des Interferometers:
T (V ) = Iout /Iin = cos
2
ϕ0 π V
.
−
2
2 Vπ
(7.1.54)
Vπ
1
0.9
0.8
0.7
T
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
V
Abbildung 7.6: Transmission eines Amplitudenmodulators als Funktion der angelegten Spannung.
7-11
7 Optische Modulatoren
Amplitudenmodulation: Polarisationsmodulator mit nachgeschaltetem Polarisator
Übung!
7.2 Flüssigkristall Modulatoren
Flüssigkristalle bestehen aus gestreckten Molekülen, die in der flüssigen Phase eine Orientierungsordnung aufweisen.
Flüssigkristalle treten in verschiedenen Phasen auf:
• Nematische Phase: Die Moleküle sind parallel orientiert aber zufällig angeordnet.
• Smektische Phase: Die Moleküle sind in Schichten angeordnet, in denen sie eine einoder zweidimensional periodische Struktur ausbilden.
• Cholesterische Phase: Die Moleküle sind in Schichten parallel angeordnet. Die einzelnen Schichten sind helixförmig verdreht.
(a)
(b)
(c)
Abbildung 7.7: Flüssigkristalline Phasen: (a) Nematische Phase. (b) Smektische Phase. (c) Cholesterische Phase. (Quelle: Wikipedia).
Für Modulatoren ist insbesondere die nematischen Phase von großem technischem Interesse. Diese hat optische Eigenschaften wie ein uniaxialer Kristall, dessen optische Achse
parallel zu den Molekülen orientiert ist.
Flüssigkristall-Moleküle können aufgrund ihrer anisotropen dielektrischen Eigenschaften
durch ein äußeres elektrisches Feld ausgerichtet werden. Typischerweise orientieren sich
die Moleküle mit ihrer langen Achse parallel zum Feld.
Eine Nematische Drehzelle besteht aus zwei Glassplatten, die mit einer transparenten
Elektrode aus Indium-Zinn-Oxid (ITO) und einem dünnen Polymid-Film beschichtet sind.
Zwischen den Glasplatten befindet sich ein nematischer Flüssigkristall. Durch Bürsten
7-12
7.2 Flüssigkristall Modulatoren
wird die Polymidschicht mit Rillen versehen. Die Flüssigkristall-Moleküle richten sich
ohne angelegte Spannung parallel zu den Rillen aus. Werden die Vorzugsrichtungen der
beiden Substrate um 90◦ zueinander verdreht, so ergibt sich eine kontinuierliche Drehung
der Vorzugsrichtung der Flüssigkristall-Moleküle um 90◦ entlang der Zelle.
Die Polarisation einer linear polarisierten optischen Welle folgt der Vorzugsrichtung der
Flüssigkristall-Moleküle, so dass die spannungslose Nematische Drehzelle die lineare Polarisation einer optischen Welle um 90◦ dreht. Durch das Anlegen einer Spannung werden die
Flüssigkristall-Moleküle entlang der Zelle ausgerichtet und die ursprüngliche Polarisation
der optischen Welle bleibt erhalten.
Die Anordnung einer nematischen Drehzelle zwischen zwei gekreuzten Polarisatoren bildet
das Grundelement einer Flüssigkristall-Anzeige.
(a)
Polarisator
(b)
Elektrode
mit Rillen
Verdrehter nematischer
Flüssigkristall
Elektrode
mit Rillen
Polarisator
V
Abbildung 7.8: Nematische Drehzelle: (a) Ohne angelegte Spannung wird die lineare Polarisation einer optischen Welle um 90◦ gedreht. (c) Durch das Anlegen einer Spannung
werden die Flüssigkristall-Moleküle ausgerichtet und die ursprüngliche Polarisation der optischen Welle bleibt erhalten.
7-13
7 Optische Modulatoren
7.3 Akustooptische Modulatoren
7.3.1 Photoelastischer Effekt
Eine Schallwelle, die durch ein Medium läuft, führt zu einer elastischen Deformation des
Mediums, die durch den Verzerrungstensor S beschrieben wird:
1
Sij =
2
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
!
(7.3.1)
.
Hierbei ist xi (i = 1, 2, 3) die Koordinate eines kleinen Volumenelements des Mediums und
ui (i = 1, 2, 3) dessen Verschiebung im Vergleich zur Gleichgewichtsposition.
Die Diagonalelemente des Verzerrungstensor Sii (i = 1, 2, 3, ) beschreiben eine Kompression oder Dehnung des Mediums während die Nichtdiagonalelemente eine Scherung des
Mediums charakterisieren.
Eine mechanische Deformation führt zu einer Änderung der optischen Eigenschaften des
Mediums. Der photoelastische Tensor p verknüpft hierbei eine Änderung der Impermeabilität ∆η mit dem Verzerrungstensor S:
∆ηij = pijkl Skl .
(7.3.2)
Für die Elemente des photoelastischen Tensors gilt aufgrund des Symmetrie von η und
S:
pijkl = pjikl = pijlk = pjilk .
(7.3.3)
In der Literatur wird üblicherweise auch hier die im Abschnitt 7.1.1 eingeführte Kurznotation verwendet.
Beispiel: Isotropes Medium mit Brechungsindex n.
Zugehöriger photoelastischer Tensor:





p=




7-14
p11
p12
p12
0
0
0
p12
p11
p12
0
0
0
p12
p12
p11
0
0
0
0
0
0
p44
0
0
0
0
0
0
p44
0
0
0
0
0
0
p44





,




1
p44 = (p11 − p12 ).
2
(7.3.4)
7.3 Akustooptische Modulatoren
Eine longitudinale Schallwelle breite sich in x3 -Richtung aus. Die Verschiebung eines kleinen Volumenelements des Mediums aufgrund der Schallwelle sei gegeben durch:
u(z, t) = aêz cos (Kz − Ωt) .
(7.3.5)
Hierbei ist a die Amplitude, Ω die Kreisfrequenz und K der Wellenvektor der Schallwelle.
Damit:
S3 (z, t) = Ka sin (Kz − Ωt) = S0 sin (Kz − Ωt) .
(7.3.6)
und










∆η1
∆η2
∆η3
∆η4
∆η5
∆η6










=








p11
p12
p12
0
0
0
p12
p11
p12
0
0
0
p12
p12
p11
0
0
0
0
0
0
p44
0
0
0
0
0
0
p44
0
0
0
0
0
0
p44










0
0
S3
0
0
0





.




(7.3.7)
Ausmultiplizieren liefert:
und
∆η1 = p12 S0 sin (Kz − Ωt) ,
(7.3.8)
∆η2 = p12 S0 sin (Kz − Ωt) ,
(7.3.9)
∆η3 = p11 S0 sin (Kz − Ωt)
(7.3.10)
∆η4 = ∆η5 = ∆η6 = 0.
(7.3.11)
Zugehörige optische Indikatrix:
1
1
+ p12 S0 sin (Kz − Ωt) x2 +
+ p12 S0 sin (Kz − Ωt) y 2
2
2
n
n
1
+ 2 + p11 S0 sin (Kz − Ωt) z 2 = 1.
n
(7.3.12)
(7.3.13)
Kurze Umformung liefert Brechungsindizes für Hauptachsen:
1
nx (z, t) = n − n3 p12 S0 sin (Kz − Ωt) ,
2
(7.3.14)
7-15
7 Optische Modulatoren
1
ny (z, t) = n − n3 p12 S0 sin (Kz − Ωt) ,
2
(7.3.15)
1
nz (z, t) = n − n3 p11 S0 sin (Kz − Ωt) .
2
(7.3.16)
und
Die longitudinale Schallwelle verursacht also eine periodische Modulation des Brechungsindex.
7.3.2 Bragg Streuung
Die durch eine Schallwelle verursachte periodische Brechzahlvariation wirkt wie ein Gitter,
an dem eine optische Welle gebeugt wird.
z
vs
vs
q
q
q
L
q
A
B
q
O
n(z)
Abbildung 7.9: Bragg Streuung einer optischen Welle an einer Schallwelle.
Die Beugung kann anschaulich als Bragg-Streuung interpretiert werden. Die an den „Netzebenen“ des Gitters reflektierten optischen Wellen interferieren konstruktiv miteinander,
wenn der Einfallswinkel θ der optischen Wellen die Bragg-Bedingung erfüllt:
sin(θ) =
λ
.
2Λ
(7.3.17)
Hierbei ist λ die Wellenlänge der optischen Welle im Medium und Λ die Wellenlänge der
Schallwelle.
7-16
7.3 Akustooptische Modulatoren
Beispiel: Schallwelle mit der Frequenz f = 1 GHz in Fint-Glass.
• Schallgeschwindigkeit: vs = 3 km/s
• Wellenlänge der Schallwelle: Λ = vs /f = 3 × 103 ms−1 /1 × 109 s−1 = 3 µm
• Brechungsindex: n = 1.95
• Optische Wellenlänge im Vakuum: λ0 = 632.8 nm (HeNe-Laser)
• Optische Wellenlänge im Medium: λ = λ0 /n = 324.5 nm
• Interner Braggwinkel im Medium: θ = 3.1◦
• Zugehöriger externer Braggwinkel in Luft: θ′ ≈ nθ = 6◦
Die Schallwelle und damit das Brechzahl-Gitter bewegt sich mit der Schallgeschwindigkeit
vs durch das Medium. Aufgrund des Doppler-Effekts erfährt die gebeugte optische Welle
eine Frequenzverschiebung
∆ω = 2ω
vs sin(θ)
= Ω.
c
(7.3.18)
Die Bragg-Streuung läßt sich auch im Teilchenbild verstehen. Hierbei wird ein Photon
der einlaufenden optischen Welle und ein Phonon der Schallwelle vernichtet während
gleichzeitig ein Photon in der reflektierten optischen Welle erzeugt wird. Um den Impuls
und die Energie zu erhalten, gilt:
kin + K = kr ,
(7.3.19)
ωin + Ω = ωr .
(7.3.20)
Photon ħω
Photon ħωr
Phonon ħΩ
Abbildung 7.10: Bragg Streuung im Teilchen-Bild.
7-17
7 Optische Modulatoren
7.3.3 Gekoppelte Amplitudengleichungen für Bragg Streuung
Betrachte periodische Brechzahlvariation verursacht durch eine Schallwelle mit Frequenz
Ω und Wellenvektor K = Kêz :
n(z, t) = n + ∆n cos (Kz − ωt) .
(7.3.21)
Zugehörige Variation der elektrischen Permittivität:
ǫ(z, t) = ǫ + ∆ǫ cos (Kz − ωt) = ǫ + 2n∆n cos (Kz − ωt) .
(7.3.22)
Für sichtbares Licht und infrarote Strahlung kann wegen Ω ≪ ω die zeitliche Variation der
elektrischen Permittivität bei der Herleitung der Wellengleichung vernachlässigt werden.
Man erhält somit für das von der Schallwelle durchlaufene Medium:
h
i
∇2 + ω 2 µ0 ǫ0 (ǫ + ∆ǫ) E = 0.
(7.3.23)
Schallwelle
k1
θ
θ
K
k2
Gebeugte
Welle
Einlaufende
Welle
x=0
x=L
Abbildung 7.11: Akustooptischer Modulator.
Das elektrische Feld im Medium wird als Superposition von einlaufender Welle (Index 1)
und gebeugter Welle (Index 2) angesetzt:
E(x, z, t) = A1 (x)E1 ei(k1 ·r−ω1 ) + A2 (x)E2 ei(k2 ·r−ω2 ) .
(7.3.24)
Hierbei sind k1 = α1 êx + β1 êz und k2 = α2 êx + β2 êz die jeweiligen Wellenvektoren. A1 (x)
und A2 (x) sind die räumlich langsam variierenden Amplituden.
Die Felder E1 ei(k1 ·r−ω1 ) und E2 ei(k2 ·r−ω2 ) sind Lösungen der Wellengleichung für ∆ǫ = 0.
Die Frequenzen der beiden Felder erfüllen die Bedingung
ω2 = ω1 ± Ω.
7-18
(7.3.25)
7.3 Akustooptische Modulatoren
Die Amplituden der elektrischen Felder ändern sich nur langsam bei der Propagation
durch das Medium ⇒ die zweiten räumlichen Ableitungen ∂ 2 A1 (x)/∂x2 und ∂ 2 A2 (x)/∂x2
können vernachlässigt werden.
Damit:
2iα1
!
!
∂
∂
A1 (x) E1 ei(α1 x+β1 z−ω1 t) + 2iα2
A2 (x) E2 ei(α2 x+β2 z−ω2 t)
∂x
∂x
= −ω 2 µ0 ǫ0 n∆n ei(Kz−Ωt) + e−i(Kz−Ωt)
× A1 (x)E1 ei(α1 x+β1 z−ω1 t) + A2 (x)E2 ei(α2 x+β2 z−ω2 t) .
(7.3.26)
Führe Normierung für Feldvektoren E1 und E2 ein:
Em =
s
2µ0 ωm
êm , m = (1, 2).
αm
Skalare Multiplikation mit El ei(αl x+βl z−ωl t)
gekoppelte Gleichungen:
(7.3.27)
∗
, l = 1, 2 und Integration über t und z liefert
∂
A1 (x) = −iκA2 ei∆α ,
∂x
(7.3.28)
∂
A2 (x) = −iκ∗ A1 e−i∆α
∂x
(7.3.29)
β2 = β1 ± K
(7.3.30)
ω2 = ω1 ± Ω.
(7.3.31)
für
und
Die Kopplungskonstante κ ist gegeben durch
ω 2 µ 0 ǫ0
n ∆n ê∗1 · ê2 .
κ= √
2 α1 α2
(7.3.32)
∆α ist der Unterschied der x-Komponente der beiden Wellenvektoren:
∆α = α1 − α2 .
(7.3.33)
7-19
7 Optische Modulatoren
Die Bragg-Bedingung (7.3.17) wird für β1 = −β2 = −K/2 (Absorption eines Phonons)
bzw. β1 = −β2 = K/2 (Emission eines Photnons) erfüllt. In diesen Fällen gilt ∆α = 0.
Damit:
∂
A1 (x) = −iκA2 ,
∂x
(7.3.34)
∂
A2 (x) = −iκ∗ A1 .
∂x
(7.3.35)
Mit A2 (0) = 0 folgt:
A1 (x) = A1 (0) cos(κx)
A2 (x) = −i
(7.3.36)
κ∗
A1 (0) sin(κx)
|κ|
(7.3.37)
Anteil der eingestrahlten optischen Leistung, der nach der Wechselwirkungslänge L durch
die Schallwelle gebeugt wird:
I2 (L)
|A2 (L)|2
2
=
2 = sin (κL) .
I1 (0)
|A1 (0)|
(7.3.38)
1
I1
0.9
I2
0.8
Intensität
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
κL
Abbildung 7.12: Intensität der eingestrahlten und der gebeugten Welle als Funktion der Wechselwirkungslänge L.
Besitzt die gebeugte Welle die gleiche Polarisation wie die einlaufende Welle (ê1 = ê2 ), so
gilt wegen cos(θ) ≈ 1:
κ=
7-20
ωn3 pS0
.
4c0
(7.3.39)
7.3 Akustooptische Modulatoren
Für die akustische Intensität einer Schallwelle gilt:
1
Ia = ρvs3 S02 .
2
(7.3.40)
Hierbei ist ρ die Dichte des Mediums.
Somit:
S0 =
s
2Ia
.
ρvs3
(7.3.41)
Einsetzen liefert das Endergebnis:
v
u


πL u n6 p2 
I2 (L)
Ia .
= sin2  t
I1 (0)
λ 2ρvs3
(7.3.42)
Ia
t
Piezo
Schallwelle
Einlaufende
Welle
I1
Gebeugte
Welle
I2
t
t
Abbildung 7.13: Akustooptischer Modulator. Für kleine Schallintensitäten ist die gebeugte
Lichtleistung proportional zur Schallintensität.
7-21