4.4.2 Der gekickte Rotor Klassische Hamiltonfunktion Für viele
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4.4.2 Der gekickte Rotor Für viele Jahre das(!) Modellsystem der Chaos-Theoretiker Klassische Hamiltonfunktion Klassische Transporteigenschaften im chaotischen Bereich K > 5: Anfangsverteilung bekannt auch als Standard-Abbildung Typisches System mit gemischt regulär/chaotischer Dynamik: • für • für 0<K<1 vorwiegend regulär 1 < K < 4 globales Chaos mit Stabilitätsinseln • für K > 5 fast vollständig irregulär Numerische Experimente: Progamm Kicked (Chaos-Buch Korsch/Jodl/Hartmann) siehe H.J.Korsch, E.M.Graefe,H.-J.Jodl, Am.J.Phys.76 (2008) 498 Chaos & Quantenchaos Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 50 Quantenmechanische Transporteigenschaften : Kap4, Seite 51 Erwartungswerte: Besetzungswahrscheinlichkeit der Rotorzustände Matrixelemente: Floquet-Operator: Es fehlen noch die Matrixelemente: Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 52 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 53 1 Klassische und quantenmechanische Mittelwerte von J² in Abhängigkeit von n für K=5. Besetzungswahrscheinlichkeit der Rotorzustände nach n=100 Kicks. quantenmech. klassisch • diffusiv (Mittelwert von J² proportional zur Zeit) • Verteilung Gaußförmig (also in log. Darstellung parabolisch) Quantenmechanische Zeitentwicklung klassisch `break time´ Klassische Zeitentwicklung • mündet in Sättigungswert • Verteilung exponentiell lokalisiert: quantenmech. Æ exponentielle Lokalisierung Æ quantenmechanische Zerstörung der klassischen chaotischen Diffusion Nach G. Casati und B. Chirikov (siehe auch Stöckmann-Buch) Æ Quanten-Zeitentwicklung ungleich Klassik ! Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 54 Æ Abweichungen für Zeit > `break time´ Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 55 Untersuchte Modellsysteme (monofrequent getrieben) (siehe z. B. Bayfield-Buch, Tabelle 8.1) Weitere gekickte Quantensyteme: • Doppel-Topf Potential (Lin, Ballantine 1990, Utermann, Dittrich, Hänggi 1994) Vorteil: Floquet-Operator faktorisiert z.B. der gekickte Kreisel (`kicked top´) • quartischer Oszillator (Ben-Tal, Moiseyev, Korsch 1992) • Teilchen in einem unendl. tiefen Potentialtopf mit periodischer Kraft (Holthaus 1994) Nachteil gekickter Systeme: evtl. unrealistisch, besser geeignet sind oft getriebene Systeme (z.B. harmonischer Antrieb wie cos wt ). Zitat aus Stöckmann-Buch (S. 139): „For these reasons periodically driven systems are not very popular among theoreticians. They prefer by far the periodically kicked systems ... The experimentalist, on the other hand, prefers driven systems, which are much easier to realize.“ Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 56 • Planarer Rotor (Moiseyev, Korsch u. Mirbach 1994) • Teilchen in einem Keil-Potential (Holthaus 1994) • Pendel (Latka 1994, Schlautmann u. Graham 1994) • Morse Oszillator (Thaschuk u. Wardlaw 1995) • Kepler Oszillator (1-dim) (Buchleitner u. Delande 1995) Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 57 2 4.4.3 Der angetriebene anharmonische Oszillator Klassische Dynamik Quartischer Oszillator - klassisch Einheiten: β=1; ω=1 Schnitt eines Fluss-Zylinders Zeitevolution einer Gaußverteilung klassischer Teilchen im Phasenraum über 19 Zeitperioden stroboskopischer Poincaré-Schnitt: Phasenbahn bei t=nT, n=0,1,2,3, . . . Chaos & Quantenchaos Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 58 Kap4, Seite 59 Die Phasenraum-Entropie Quantenmechanische Dynamik Zeitevolution eines Gaußschen Wellenpaketes Shannon-Entropie Husimi Phasenraumdichten • Maß für die Delokalisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung • Lässt sich benutzen für die Analyse eines Quantenzustandes ψ : (hängt ab von der gewählten Basis) Phasenraum-Entropie (Wehrl-Entropie) Husimi-Dichte Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 60 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 61 3 Zerstörung der Quanten-Kohärenz: Zeitabhängigkeit der Phasenraumentropie S: (a) Rückkehrwahrscheinlichkeit eines Wellenpaketes, gestartet in der klassisch chaotischen Phasenraumregion im Vergleich zu einem klassischen Ensemble (geglättet) Kein Langzeitlimit; Fluktuationen mit Mittelwert Chaos & Quantenchaos quantenmech. (b) wie (a), jedoch gestört durch `Rauschen´ in der Feldamplitude Kap4, Seite 62 Charakterisierung der Quasienergie-Zustände Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 63 Husimi Phasenraumdichten (nur die untere Halbebene ist dargestellt wg. Symmetrie) Berechnung: Diagonalisierung des Floquet-Operators in einer harmonischen Oszillator Basis: Diese Verteilungen unterscheiden sich durch die Anzahl der Maxima. Ordnen und Nummerieren der Zustände nach wachsenden Werten von Reguläre Zustände Lit.: N. Ben-Tal, N. Moiseyev, H.J. Korsch, Phys.Rev. A46, 1669 (1992) Æ lokalisiert auf der klassischen Stabilitätsinsel N. Ben-Tal, N. Moiseyev, S. Fishman, F. Bensch, H.J. Korsch, Phys. Rev. E47, 1646 (1993) Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 64 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 65 4 Chaotische Zustände 4.4.4 Der angetriebene Rotor (lokalisiert auf dem klassischen chaotischen See) Entwicklungskoeffizienten Einheiten: Auch bekannt als Doppelresonanzmodell: zeitabhängiges elektr. Feld Dipol Jeder Term beschreibt einen links- bzw. rechtsdrehenden angetriebenen Oszillator Husimi Phasenraumdichte • Reguläre und irreguläre Zustände • Statistik von Quasienergien und Vektor- von Interesse sind: komponenten • Rotationsanregung • Globale Beschreibung der Quantendynamik Alle chaotischen Zustände sehen ähnlich aus ! Chaos & Quantenchaos Klassische Dynamik Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 66 mitrotierende Resonanz Starkes Feld: Für den Fall f = 1 findet man: R Für schwaches Feld, z.B. klare Phasenraum Organisation: Æ Dynamik regulär • äußeres reguläres Gebiet (schnelle Rotation) (R) • chaotischer See (C) • stabile 1:1 Resonanz-Insel (S) Resonanz-Überlapp-Kriterium (Chirikov): globales Chaos für S C Achtung: Nur die obere Halbebene ist dargestellt (wg. Symmetrie). Phasenraumfläche in Einheiten von benutzt): gegenrotierende Resonanz Kap4, Seite 67 (unten NB: Die skalierte Planck-Konstante hängt von den Systemparametern ab und kann variiert werden (auch exptl.)! Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 68 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 69 5 Quantenmechanik: (2) Lokalisierung im Phasenraum Konstruktion der Matrix des Floquet-Operators in der Rotor-Basis. Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Quantitatives Maß: Phasenraum-Entropie S Quasisenergien Energie–Entropie Diagramm und Quasienergie-Zustände identifiziert drei Klassen von Zuständen: Problem: • Insel-Zustände (4) Klassifizierung der Zustände als „regulär“ oder „chaotisch“ • chaotische Zustände (92) • äußere reguläre Zustände (1) Ordnung der Zustände: Die Anzahl der chaotischen Zustände (92) und der Insel-Zustände (4) stimmt mit der Abschätzung nach der Weyl-Regel überein. wachsende mittlere Rotationsenergie Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 70 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 71 Statistik der Vektor-Komponenten Numerische Niveau-Statistik (NN) Zufallsvektoren mit Norm = 1 in einem d-dimensionalen rellen Vektorraum. Gesucht: Wahrscheinlichkeit für die Projektion mit aus einen -dimensionalen Unterraum. Beispiel: zweidimensionaler Raum, Projektion auf die x-Achse Reguläre Quasienergie-Zustände (oben) Chaotische Quasienergie-Zustände (unten) Durchgezogene Kurven: Wigner(GOE) and Poisson-Verteilungen Mischt man diese Zustandsklassen, findet man Berry-Robnik-Statistik hat vier Lösungen Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 72 Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 73 6 Konstruktion eines invarianten Maßes auf der „Einheitskugel“ Æ Resultat: Mittelwerte: Im Limit ergibt sich eine -Verteilung Lit.: W.K. Wootters: Random Quantum States, Found. Physics 20, 1365 (1990) Chaos & Quantenchaos Kap4, Seite 74 7
