Optik, Wellen und Teilchen - 5. Physikalisches Institut

Grundlagen der
Experimentalphysik 3
(Optik, Wellen und Teilchen)
WS 2010/11
Prof. Dr. Tilman Pfau
5. Physikalisches Institut
Übungsblatt 1
Besprechung: 27. Oktober 20101
Aufgabe 1:
Herleitung der Maxwell Gleichungen
2 3 4 5 6 7 8
8(2,2,2,2) Punkte
Die vier Maxwell Gleichungen bilden die Grundlage der Elektrodynamik und somit auch der Wellenoptik. In dieser Aufgabe sollen diese Gleichungen aus grundlegenden Überlegungen hergeleitet
werden.
Hinweise:
Satz von Stokes:
Der Satz von Stokes verbindet ein Flächenintegral mit einem geschlossenem Linienintegral über ein Vektorfeld F~ :
I
x
rot F~ df~ =
F~ d~s
(1)
s
S
A
H
Hierbei ist A df~ ein Integral über eine beliebige Fläche und S d~s das geschlossene Linienintegral entlang des Flächenrandes. rot F~ = ∇ × F~ ist die Rotation des Vektorfeldes
F~
Satz von Gauß:
Der Satz von Gauß verbindet ein Volumenintegral mit einem Oberflächenintegral über
ein Vektorfeld F~ :
y
{
div F~ dv =
F~ df~
(2)
t
V
A
v
Hierbei ist V dv ein Integral über ein beliebiges Volumen und A df~ das Flächenintegral
über die Oberfläche des Volumens. div F~ = ∇ · F~ ist die Divergenz des Vektorfeldes F~
1
Andreas Kölle; Raum: 3-112; Tel: 0711 685 64887; E-Mail: [email protected]
Björn Butscher; Raum: 4-111; Tel: 0711 685 64977; E-Mail: [email protected]
3
Markus Falkenau; Raum: 4-113; Tel: 0711 685 64890; E-Mail: [email protected]
4
Jahn Rührig; Raum: 4-113; Tel: 0711 685 64978; E-Mail: [email protected]
5
Thomas Maier; Raum: 3-112; Tel: 0711 685 64887; E-Mail: [email protected]
6
Philipp Weinmann; Raum: 4-108; Tel: 0711 685 64953; E-Mail: [email protected]
7
Michael Schlagmüller; Raum: 3-112; Tel: 0711 685 64887; E-Mail: [email protected]
8
Holger Kadau; Raum: 4-108; Tel: 0711 685 64953; E-Mail: [email protected]
2
1
a) Betrachten Sie eine elektrische Ladungsdichte ρ die von einer gedachten Fläche eingeschlossen
~ durch diese Fläche gleich
ist. Nach dem Gaußschem Gesetz ist der gesamte elektrische Fluss D
der gesamten eingeschlossenen Ladung. Schreiben Sie das Gaußsche Gesetz in integraler Form
~ = ρ) in
auf und verwenden Sie den Satz von Gauß um die erste Maxwell-Gleichung (∇D
differenzieller Form herzuleiten.
~ = 0) in differenzieller Form zu erlangen, wenden Sie
b) Um die zweite Maxwell-Gleichung (∇B
~
das Gaußsche Gesetz auf eine magnetische Dipoldichte und die magnetische Feldstärke H
an. Welche Konsequenz ergibt sich für das Volumenintegral über die Dipoldichte unter der
Annahme das es keine magnetischen Monopole gibt? Was sagt die zweite Maxwell-Gleichung
über die magnetischen Feldlinien aus?
~ entlang einer geschlossenen
c) Nach dem Induktionsgesetz von Faraday ist das elektrische Feld E
~ durch die Fläche
Linie gleich der zeitlichen Änderung des gesamten magnetischen Flusses B
die von der Linie umschlossen wird. Stellen Sie aus dem Induktionsgesetz die integrale Form
~ = − ∂ B~ ) auf und verwenden Sie den Satz von Stokes
der dritten Maxwell-Gleichung (∇ × E
∂t
um die differentielle zu erlangen. Was können Sie hieraus über die Feldlinien des elektrischen
Feldes in der Elektrostatik aussagen?
~ entlang
d) Durchfließt ein elektrischer Strom ~j eine Fläche F~ so ist die magnetische Feldstärke H
des gesamten Randes gleich der Stromstärke. Drücken Sie diese Beziehung in einer integralen
Form aus.
Fließt der Strom in einen Kondensator, wie es in der Abbildung 1 dargestellt ist, so ändert
sich das elektrische Feld innerhalb des Kondensators. Durch verschieben der Integrationsfläche
über den Kondensator ergibt sich die maxwellsche Ergänzung zu dem Ampèreschen Gesetz.
Drücken Sie dieses in eine differentiellen Schreibweise aus um die vierte Maxwell-Gleichung
~ = ~j + ∂D ) zu erhalten.
(∇ × H
∂t
j
s
D
Abbildung 1: Skizze zu dem Ampèreschen Gesetz
2
Aufgabe 2:
Coulomb- und Gravitationskraft
4 Punkte
Auf einer Tischplatte auf der Erdoberfläche befinden sich zwei Eisenkugeln (Avogadrozahl NA =
6,0·1023 mol−1 , Massenzahl A = 56, Kernladung Z = 26) mit den Massen m1 = m2 = 5,6 kg im Abstand von 1 m (siehe Abbildung 2). Stellen Sie sich vor, es gelänge 1 % der Elektronen der einen Kugel auf die andere Kugel zu bringen. Welche Masse (in Einheiten der Erdmasse ME = 6,0 · 1024 kg)
müsste man an jede Kugel hängen, um ihre gegenseitige Coulomb-Anziehung zu kompensieren?
Nehmen Sie hierzu an, die Kugeln seien Punktförmig. Wann und warum ist dies eine gute bzw.
exakte Näherung? Wie groß ist das elektrische Feld zwischen den beiden Kugeln?
m1
m2
?
?
Abbildung 2: Skizze zu der Aufgabe Coulomb- und Gravitationskraft
3
Aufgabe 3:
Dipole im inhomogenen Feld
8(2,2,2,2) Punkte
a) Berechnen Sie die Kraft auf einen Dipol (zwei starr verbundene Ladungen ±q im Abstand
a), der sich im Feld einer positiven Punktladung Q befindet, und dessen Achsen entlang der
Feldlinien auf die Punktladung zeigt. Die Ladung +q befindet sich im Abstand r, die Ladung
−q im Abstand r + a von Q. In welche Richtung geht die Kraft?
b) Es sei a r. Bestätigen Sie durch Taylorentwicklung von f (r) =
dass sich die Kraft auf den Dipol in guter Näherung zu
F~ =
1 Q
p~er
2π0 r3
1
,
r2
also f (r+a) = f (r)+· · · ,
(1)
ergibt, wobei ~er der Einheitsvektor in r-Richtung ist, und p~ ≡ q~a Dipolmoment heißt, das von
−q nach +q (d.h. in Richtung des Dipolfeldes auf der Dipolachse außerhalb der Ladungen)
zeigt.
c) Verifizieren Sie, dass in diesem Fall gilt
Fr = pr
∂
Er
∂r
(2)
wobei der Index r die radiale Komponente (in Richtung von ~er ) der Vektoren bezeichnet, und
E des Feld der Punktladung ist.
~ E,
~ d.h. Fi = p~·grad Ei . Welche Kraft wirkt also in homogenen
d) Allgemein erhält man F~ = (~
p·∇)
~ hier als Gradient wirkt, wo
E-Feldern auf ein Dipol? Können Sie nachvollziehen, warum ∇
doch (scheinbar) gar kein skalares Feld beteiligt ist?
4