Verteilungsfunktionen, Mittelwerte/Erwartungswerte etc.
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Institut für Theoretische Physik Quantentheorie I - Blatt 2 11/2007 Verteilungsfunktionen - Mittelwert/Erwartungswert - Potenzialtopf 9. Berechnen Sie für die bekannten Verteilungsfunktionen einer Zufallsvariablen x 1 (x − x0 )2 nach Gauß wG (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π σ 1 nach Lorentz(Cauchy) wL (x) = π (x − x0 )2 + σ 2 den Mittelwert und die Varianz (Standardabweichung?)! Überprüfen Sie zuvor die Normiertheit der gegebenen Verteilungsfunktionen! Wie groß ist die Halbwertsbreite x1/2 für beide Verteilungen? ! 10. Bestimmen Sie zur Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung bei der Temperatur T ! 3/2 2 m mv exp − den Mittelwert von Geschindigkeitsquadrat w(v) = 4πv 2 2πkT 2kT < v 2 > und kinetischer Energie < εkin > eines Gasmoleküls der Masse m! 11. Wie groß sind Mittelwert und Standardabweichung beim Würfeln mit einem idealen gewöhnlichen Würfel (reguläres Hexaeder)? Welche Werte ergeben sich für das ”Würfeln” mit einem regulären Oktaeder (Achtflächer aus Sechsecken) und einem regulären Dodekaeder (Zwölfflächer aus Fünfecken) auf denen die Zahlen von 1 bis 8 bzw. von 1 bis 12 aufgetragen sind? 12. Bestimmen Sie die normierten Eigenfunktionen ψn (x) eines Quanten-Teilchens der a Masse m im symmetrischen Potentialkasten mit ∞-hohen Wänden bei x = ± ! 2 Berechnen Sie zu diesen die Erwartungswerte < x >, < px >, < x2 >, < px 2 >, die Unschärfen ∆x und ∆px sowie die Wahrscheinlichkeitsstromdichte dψ dψ ∗ h̄ (ψ ∗ −ψ )! Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse! jx = 2mi dx dx π π 2π x) , sin( x) und sin( x) sind für 2a a a ein Quanten-Teilchen der Masse m in einem Potentialkasten mit ∞-hohen Wänden bei x = 0 und x = a stationäre Eigenfunktionen? (Achtung Randbedingungen!) Bestimmen Sie zu den als Eigenfunktionen erkannten die Energieeigenwerte En , die Normierungskonstante sowie die Erwartungswerte < x > und < px >! Warum ist die normierte Zustandsfunktion E1 t E2 t −i −i π 1 2π 1 h̄ + √ sin( x)e h̄ ψ(x, t) = √ sin( x)e a a a a keine stationäre Lösung der Schrödingergleichung? Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten W (E1 ) und W (E2 ) bei Energiemessungen am Zustand ψ und welcher Erwartungswert < E >ψ folgt araus? 13. Welche von den Funktionen sin( 14. Bestimmen Sie für ein Quanten-Teilchen der Masse m im endlichen und symmetrischen Potenzialtopf mit V (x) = 0 außerhalb (|x| > a) und V (x) = −V0 innerhalb (|x| < a) die stationären Wellenfunktionen mit Energien En < 0! Finden Sie die allgemeinen Lösungen in den drei Potenzialbereichen Links-Mitte-Rechts und geben Sie die Anschlußbedingungen der Wellenfunktionen an den Rändern des Topfes an. Welche weiteren Bedingungen sind nötig, um alle sechs Integrationskonstanten eindeutig zu bestimmen? Wie erhält man die Säkulargleichung (charakteristische Gleichung) zur Berechnung der Energieeigenwerte En ? Wie kann durch Ausnutzung der Symmetrie des Potenzials die Aufgabe vereinfachen werden? Welche Änderung des Teilchenverhaltens ergibt sich in nicht gebunden Zuständen (E > 0)?
