11505 - Mathe-CD

Geometrie
Kreis
De
mo
: M
ath
e-C
D
Inhalt
Aufgaben zu den Themen:
Umfangswinkel – Mittelpunktwinkel – Sehnen-Tangenten-Winkel
Satz des Thales – Fasskreis
Sekantensatz – Sekanten-Tangentensatz – Sehnensatz
Mit vielen Konstruktionsbeispielen
Je nach Bundesland ist dieser Stoff aus Klasse 7 bis 10.
Datei Nr. 11505
Friedrich Buckel
Stand 25. Mai 2008
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Inhalt
§ 3
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1
2
5
7
8
9
D
Übersicht
Einige Beweise zu diesen Fakten
Der Sehnen-Tangenten-Winkel
Zahlenbeispiele
Der Satz des Thales
Anwendungen zum Satz des Thales
3 Konstruktionsbeispiele für rechtwinklige Dreiecke
e-C
§ 2
Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel
Kreistangenten
14
15
17
Sehnenvierecke
23
3 Konstruktionsbeispiele
§ 4
Tangentenvierecke
§ 6
§ 7
mo
:
4.1 Der Inkreis eines Dreiecks
Konstruktion der Winkelhalbierenden
4.2 Tangentenvierecke
2 Konstruktionsbeispiele
4.3 Wichtige Eigenschaft über Tangentenvierecke
25-27
29
29
30
32
32-33
34
Fasskreis-Konstruktionen
35
5.1 Grundlagen
5.2 Grundaufgabe
5.3 Anwendung zur Dreieckskonstruktion
35
36
37
Folgerungen
38
6.1 Sekantensatz
6.2 Sekanten-Tangenten-Satz
6.3 Sehnensatz
40
41
42
De
§ 5
12
Tangente von einem Punkt an den Kreis legen
Aufgabenblatt
Musterlösungen
Ma
th
§ 1
Aufgaben mit Lösungen
43-47
11505
Kreiswinkel 1
1
§1 Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel
1.1 Übersicht
C
k sei der Umkreis eines Dreiecks ABC.
Dann heißt der Winkel γ Umfangswinkel
der Strecke (Sehne) AB.
γ
ϕ ist der Mittelpunktswinkel zu AB.
M
ϕ
Wir werden beweisen: ϕ = 2 γ
Dies gilt für alle Lagen von C auf dem
Bogen, der auf der gleichen Seite von AB
liegt wie M.
A
e-C
D
B
Ma
th
C
M
ϕ
C γ
α
A
M
ϕ
A
B
mo
:
B
γ
Liegt C auf der anderen Seite von AB, dann wechselt auch der zugehörige
Mittelpunktswinkel seinen Platz:
De
Der Umfangswinkel heißt jetzt δ . Der zugehörige
Mittelpunktswinkel ist jetzt ε .
ε
Auch hier gilt, dass der Mittelpunktswinkel
doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel.
M
C
γ
A
δ
D
M
Für die gegenüberliegenden
Umfangswinkel gilt außerdem:
A
δ
D
B
γ +δ = 180O
B
11505
Kreiswinkel 1
2
1.2 Einige Beweise zu diesen Fakten
Diese Beweise müssen Schüler nicht selbst machen können, es ist jedoch sehr wichtig, dass man
versteht, wie diese Eigenschaften bewiesen werden können.
Daher sollten interessierte Schüler / Eltern ruhig einmal einen Blick auf die folgenden Seiten werfen.
Lehrer kennen diese Beweise in dieser oder anderer Form.
(1)
Beweis des Satzes:
Gegenüberliegende Umfangswinkel ergeben zusammen 180O.
C
Rechts sieht man das Sehnenviereck
ADBC mit seinen vier Winkeln α, β, γ und δ ,
die durch die vier Radien jeweils in
zwei Teile zerlegt werden.
γ1
D
e-C
Verwunderlich ist jedoch die
Beschriftung der Teilwinkel von
α bei A und von β bei B.
M
γ2
Ma
th
Dies hat einen wichtigen Grund.
Die Radien erzeugen mit den
Vierecksseiten vier gleichschenklige
Dreiecke: ADM, DBM, BCM und ACM.
In jedem dieser Dreiecke sind die beiden
Basiswinkel gleich groß.
γ2
γ1
δ1
A
δ2
Beginnen wir bei Punkt D: Der Radius
MD zerlegt den Winkel δ in die beiden Teile δ1 , δ 2 .
δ1
δ1 kommt noch einmal bei A und δ 2 nochmals bei B vor.
Analog dazu wird γ bei C durch den Radius MC zerlegt
und die beiden Teilwinkel treten nochmals bei A und B auf !
δ2
mo
:
D
Nun berechnen wir die Winkelsumme im Viereck:
α + β + γ + δ = 360O
(1)
De
Nun sehen wir, dass α = δ1 + γ 2 ist, β = δ 2 + γ1 usw.
Setzen wir das in Gleichung (1) ein, erhalten wir:
( γ 2 + δ1 ) + (δ 2 + γ1 ) + (δ1 + δ 2 ) + ( γ1 + γ 2 ) = 360O
Die Klammern kann man weglassen und dann zusammenfassen. Weil jeder Winkel genau zweimal
vorkommt, folgt:
2δ1 + 2δ 2 + 2γ1 + 2γ 2 = 360O
Wir dividieren diese Gleichung durch 2 und erhalten: δ1 + δ 2 + γ1 + γ 2 = 180
δ
Also wissen wir jetzt:
O
γ
δ + γ = 180O
Einander gegenüber liegende Umfangswinkel ergeben zusammen 180O !
B
11505
(2)
Kreiswinkel 1
3
Beweis des Satzes:
Der Umfangswinkel (der auch Peripheriewinkel heißt) ist
halb so groß wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.
1. Fall: M liegt im Innern des Dreiecks ABC
C
Die Zeichnung zeigt zusätzlich zum Dreieck die drei Radien
MA, MB und MC. Diese zerlegen die Dreieckswinkel in
jeweils zwei Teile.
γ1
D
Dadurch entstehen aber auch drei Teildreiecke
AMB, BMC und AMC. Diese haben jeweils zweimal
den Radius als Dreiecksseite. Also sind alle diese
Teildreiecke gleichschenklig.
Dies wurde bereits bei der Zeichnung berücksichtigt, indem
γ1 und γ 2 gleich zweimal eingetragen worden sind,
2α1 + 2γ1 + 2γ 2 = 180O
γ1
α1
α1
γ2
B
(1)
2α1 + ϕ = 180O
Nun die Winkelsumme im Dreieck ABM:
Also ist doch
M
ϕ
Ma
th
Nun betrachten wir die Winkelsumme im Dreieck ABC.
Sie beträgt (wie in jedem Dreieck) natürlich 1800:
A
e-C
entsprechend α 1 .
γ2
2α1 = 180O − ϕ . Dies ersetzen wir in Gleichung (1):
180O − ϕ + 2γ1 + 2γ 2 = 180O
mo
:
Subtrahiert man 180O auf beiden Seiten und ordnet neu, dann folgt:
2γ1 + 2γ 2 = ϕ
bzw. 2 ⋅ ( γ1 + γ 2 ) = ϕ
d.h. es gilt:
2γ = ϕ
2. Fall:
De
γ
Der Mittelpunktswinkel ist also doppelt so groß wie der entsprechende Umfangswinkel.
M liegt außerhalb des Dreiecks ABC
Der obige Beweis gilt nur, solange M im Dreiecksinnern liegt. Nun verschiebe ich C weiter nach links,
so dass M außerhalb des Dreiecks zu liegen kommt und wir müssen den Satz neu beweisen!
Die Winkelsumme im Dreieck ACM ist:
α1 + ε + δ + γ = 180
N
O
⇒ 2 γ + 2δ + ε = 180
O
(1)
=γ+δ
Die Winkelsumme im Dreieck CBM:
δ + β 2 + ϕ + ε = 180
N
O
⇒ 2δ + ϕ + ε = 180
2γ − ϕ = 0
δ
(2)
C
=δ
(1) – (2) ergibt
O
also
2γ = ϕ
Die Beziehung zwischen Umfangswinkel und
Mittelpunktswinkel gilt also auch für diesen Fall !
A
γ
α1 α
2
ε
M
ϕ
β1
β2
B
11505
Kreiswinkel 1
3. Fall:
4
M soll auf der Strecke AC oder BC liegen
Wir untersuchen nur den Fall, dass M auf AC liegt.
Die Winkelsumme im Dreieck AMC beträgt:
γ + γ '+ δ = 180
Weil
C
O
γ
γ = γ ' folgt:
2γ + δ = 180
Nun ist aber
δ
O
γ'
δ = 180O − ϕ .
A
B
D
Setzt man dies ein, folgt:
2γ = ϕ .
Ma
th
Also gilt auch in diesem Fall diese Beziehung.
e-C
2γ + 180O − ϕ = 180O
Daraus folgt:
M
ϕ
Unser Satz über Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel gilt also für alle
Lagen von C auf dem oberen Bogen zwischen A und B !
De
mo
:
Und er gilt auch, falls C auf der anderen Seite von AB liegt, siehe Seite 1.
11505
1.3
Kreiswinkel 1
5
Der Sehnen-Tangenten-Winkel
C
Jetzt braucht man eine bewegliche Fantasie:
γ
C
Wir betrachten nebenstehende Abbildung.
Uns ist der Punkt C und der zugehörende
Umfangswinkel γ der Strecke AB wichtig.
γ
C γ
e-C
Also taucht unser Winkel γ als Winkel
zwischen der Tangente in A und der Sehne AB
wieder auf (in der Abbildung mit γ ' bezeichnet.
D
Lassen wir C auf dem Kreisbogen auf A
γ
zu gleiten, dann geht die Gerade CA
α
beim Aufeinandertreffen von C mit A
A
in die Tangente im Punkt A über
γ'
(rot gestrichelt !). Und die Strecke CB wird zu AB.
M
ϕ
γ ändert sich während dieser Bewegung nicht.
Ma
th
Also folgert man:
De
mo
:
Der Sehnen-Tangenten-Winkel ist genau so groß
wie der entsprechende Umfangswinkel.
B
11505
Kreiswinkel 1
6
Zusammenfassung
Alle Umfangswinkel, deren Scheitel auf demselben Bogen
q
AB liegen, sind gleich groß, denn sie sind halb so groß,
wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.
(2)
Der Sehnen-Tangenten-Winkel ist genau so groß wie der
Umfangswinkel, aus dem er durch Annäherung des
Scheitels C an A oder B entsteht.
(3)
Zwei Umfangswinkel über derselben Sehne, deren Scheitel
auf verschiedenen Seiten von AB liegen, sind zusammen
180O groß.
e-C
D
(1)
C
Ma
th
γ
M
ϕ
B
A
mo
:
γ
δ
Die obere Abbildung zeigt den
Umfangswinkel bei C, er zeigt nach
unten, genau wie der entsprechende
Mittelpunktswinkel und der zugehörige
Sehnen-Tangenten-Winkel.
Die untere Abbildung zeigt den
Umfangswinkel bei D, er zeigt nach
oben, genau wie der entsprechende
Mittelpunktswinkel und der zugehörige
Sehnen-Tangenten-Winkel
D
De
C
γ
ε
δ
M
B
A
δ
D
11505
1.4
(1)
Kreiswinkel 1
7
Zahlenbeispiele
Der folgende Kreisradius ist beliebig. Der Winkel ϕ = 110O werde von M aus
eingezeichnet. Die Schnittpunkte der Schenkel mit dem Kreis heißen A und B.
Die folgende Abbildung ist nicht maßstäblich,
sondern nur als Skizze zu verstehen.
C
Aus ϕ = 110
O
folgt γ = ϕ = 55 .
0
1
2
γ
Der Sehnentangentenwinkel α
ist genauso groß: α = 55O .
ε M
ϕ
δ = 180O − γ = 180O − 55O = 125O
ε = 2 ⋅ δ = 2 ⋅ 125 = 250 .
O
O
A
Ma
th
Der zum Umfangswinkel δ gehörende
Mittelpunktswinkel ε ist nun wiederum
doppelt so groß wie der zugehörige
Umfangswinkel δ :
e-C
D
Der γ gegenüberliegende
Umfangswinkel ist:
α
δ
B
D
T
Und das wiederum passt genau zur Winkelsumme am Mittelpunkt:
Der Sehnen-Tangenten-Winkel beträgt 40O . Dann ist der Umfangswinkel
gleich groß: γ = α = 40O . Der zugehörige Mittelpunktswinkel: ϕ = 2γ = 80O .
Der Umfangswinkel auf der anderen Seite der Sehne AB: δ = 180O − γ = 140O
und der dazu gehörende Mittelpunktswinkel: ε = 2δ = 280O oder
ε = 360O − ϕ = 280O .
De
(2)
mo
:
O
O
O
ϕ + ε = 110 + 250 = 360 !!
11505
1.5
Kreiswinkel 1
8
Der Satz des Thales
Dieser berühmte Satz lautet in Kurzform:
Satz des Thales:
Genügt für den Umkreis eines Dreiecks ein Halbkreis, dann
beträgt der Umfangswinkel zum Durchmesser genau 90O.
Oft sagt man schlampig: Der „Winkel im Halbkreis“ beträgt 90O.
D
Er ist nur ein Spezialfall des Satzes über Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel.
e-C
Um dies zu verstehen, zeichnen wir eine Sehne AB, die nun aber durch den
Kreismittelpunkt gehen muss, damit der zugehörige Bogen auch der genannte
Halbkreis ist:
Ma
th
C1
A
mo
:
γ
M
B
O
De
ϕ = 180
γ
C2
Der Mittelpunktswinkel ϕ für die Strecke AB beträgt also jetzt 180O.
Nach dem Satz über Umfangswinkel folgt daraus, dass der Umfangswinkel γ davon
die Hälfte beträgt, also 90O. Und dabei ist es bekanntlich gleichgültig, wo diese
Ecke C liegt. Zwei Möglichkeiten sind eingezeichnet.
11505
Kreiswinkel 1
1.6
9
Anwendungen zum Satz des Thales
Beispiel 1
Konstruiere ein Dreieck aus c = 6 cm, α = 75O und γ = 90O .
Es gibt zwei Lösungswege – einmal ohne und einmal mit Thaleskreis !
1.
Lösung ohne Thaleskreis
Planfigur:
Konstruktion:
C'
C
α
B
e-C
c
A
α
A
Konstruktionstext:
Konstruktionstext:
mo
:
Lösung mit Thaleskreis
1.
c
B
Zeichne AB = c und halbiere die
Strecke durch den Mittelpunkt M.
(Er wurde hier durch Konstruktion
der Mittelsenkrechten mit 2 Kreisbögen um A und B ermittelt.)
k
C
α
A
c
M
B
De
2.
p
Zeichne AB = c.
Lege an AB in A den Winkel α an.
Wähle einen beliebigen Punkt C’ auf dem freien Schenkel von α .
Lege an AC’ in C’ einen rechten Winkel an.
Zeichne zum freien Schenkel des rechten Winkels die Parallele p durch B.
Diese schneidet die Gerade (AC’) in C.
Ma
th
1.
2.
3.
4.
5.
D
C
2.
Zeichne den Thaleskreis k über AB
(d.h. einen Halbkreis um M durch A und B).
3.
Lege an AB in A einen rechten Winkel (also α ) an.
Der freie Schenkel von α schneidet k in C.
Merkmal dieser Konstruktion ist es, dass eine Strecke AB gegeben ist und ihr
gegenüber ein rechter Winkel. Dann kann man den Thaleskreis verwenden!
Man lerne diese Konstruktionstexte. Sie sind eine Art Fachsprache.
Natürlich kann man sie auch anders formulieren, aber so sind sie knapp und
doch aussagekräftig.
11505
Kreiswinkel 1
10
Beispiel 2
Konstruiere ein Dreieck aus a = 6 cm, α = 90O und b = 4 cm.
Es gibt zwei Lösungswege – einmal ohne und einmal mit Thaleskreis !
1.
Lösung ohne Thaleskreis
Planfigur:
Konstruktion:
C
C
a
b
e-C
D
B
A
A
Konstruktionstext:
1.
Zeichne AC = b.
2.
3.
Lege an AC in A den Winkel α = 90 an.
Zeichne um C einen Kreisbogen mit Radius a.
Dieser schneidet den freien Schenkel von α in B.
O
Lösung mit Thaleskreis
Konstruktionstext:
3.
k
mo
:
2.
C
Zeichne BC = a und halbiere die
Strecke durch den Mittelpunkt M.
(Er wurde hier durch Konstruktion
der Mittelsenkrechten mit 2 Kreisbögen um B und C ermittelt.)
Zeichne den Thaleskreis k über BC
(d.h. einen Halbkreis um M durch B und C).
Der Kreisbogen um C mit Radius b schneidet
k in A.
Verbindet man A mit B, entsteht dort nach dem
Satz des Thales ein rechter Winkel.
De
1.
B
Ma
th
2.
a
b
a
b
M
A
B
11505
Kreiswinkel 1
11
Beispiel 3
Konstruiere ein Dreieck aus c = 6 cm, γ = 90O und hc = 2,5 cm.
Es gibt nur einen Lösungsweg, und zwar mit Thaleskreis !
Lösung
C
Planfigur:
hc
c
B
D
A
e-C
Das Problem, das man ohne Thaleskreis hat, liegt darin, dass man mit der Strecke AB = c beginnen
kann und auch eine Parallele im Abstand hc zeichnen kann, aber es gibt keinen Anhalt, wie und wo
man C und den rechten Winkel zeichnen soll. Auch ein Konstruktionsbeginn mit dem rechten Winkel
bringt uns nicht weiter. Daher bleibt „nur“ die Thaleskreis-Lösung:
Konstruktion:
Konstruktionstext:
Ma
th
C2
1.
Zeichne AB = c und halbiere die
Strecke durch den Mittelpunkt M.
(Er wurde hier durch Konstruktion
der Mittelsenkrechten mit 2 Kreisbögen um A und B ermittelt.)
2.
Zeichne den Thaleskreis k über AB
(d.h. einen Halbkreis um M durch A und B).
3.
Zeichne eine Parallele zu AB im Abstand hc.
(Hier wurde zuerst in einem beliebigen Punkt
auf AB eine senkrechte Strecke der Länge hc
gezeichnet und durch deren Endpunkt eine
senkrechte Gerade, die dann unsere Parallele p ist.
mo
:
De
4.
A
p und k schneiden sich zweimal: In C1 und C2.
k
c
M
k
A
C1
c
M
B
Die obere Abbildung enthält der
Übersichtlichkeit halber noch nicht die
Dreieckslinien AC1 und BC1 für das erste
Dreieck sowie AC2 und BC2 für das zweite.
Bei C1 und C2 sind nach dem Satz des Thales automatisch
rechte Winkel entstanden!
C2
C1
B
11505
Kreiswinkel 1
12
§2 Kreistangenten
Wissen:
Eine Kreistangente berührt einen Kreis und hat mit ihm nur einen Punkt
gemeinsam.
Eine Kreistangente steht auf dem Berührradius senkrecht.
Die letzte Eigenschaft wird dann verständlich, wenn man einen Kreis an seiner
Tangente spiegelt:
k'
M
B
M'
r'
Ma
th
r
e-C
k
D
t
Wir spiegeln senkrecht zur Tangente und damit erkennt man, dass der Radius MB
senkrecht zu t ist.
mo
:
Damit wird eine Tangentenkonstruktion einfach:
1. Grundaufgabe:
Lösung
De
Gegeben ist eine Punkt B auf dem Kreis k.
Konstruiere die Tangente an k in B (d.h. B sei der Berührpunkt).
1.
Verbinde M und B.
2.
Zeichne mit dem Geodreieck
eine Senkrechte zu MB durch B.
Dies ist die gesuchte Tangente t.
t
B
k
r
M
11505
Kreiswinkel 1
13
Um den Umgang mit dem Geodreieck zu lernen betrachte man diese Abbildung:
D
Man lege das Geodreieck so an den Kreis, dass der Berührpunkt B auf der
Zahl Null der Längenskala liegt und der hier dick rot gezeichnete Berührradius MB
unter der Mittellinie des Geodreiecks liegt. Dann kann man die (blaue) Tangente
sauber zeichnen.
B
e-C
t
k
Ma
th
r
De
mo
:
M
11505
Kreiswinkel 1
14
2. Grundaufgabe:
Konstruktion der Tangenten von einem Punkt P (der nicht auf dem Kreis liegt)
an den Kreis.
Etwa in dieser Formulierung:
Lege von P aus die Tangenten an den gegebenen Kreis k.
Konstruiere die Berührpunkte.
Planfigur:
t1
e-C
D
B1
Ma
th
M
t2
B2
mo
:
P
k
An dieser ausführlichen Figur wollen wir die Konstruktion begründen.
Eine Tangente steht auf dem Berührradius senkrecht. Also ist das
Dreieck PMB1 bei B1 rechtwinklig. Dasselbe gilt für das Dreieck PMB2
mit dem rechten Winkel bei B2 .
(2)
Nach dem Satz des Thales liegen folglich die Punkte P, M und B1 auf einem
Halbkreis, ebenso P, M und B2 . Der eingezeichnete dünne blaue Kreis ist also
für uns ein Thaleskreis, denn er liefert uns beim Schnitt mit dem gegebenen
Kreis k die Berührpunkte.
(3)
Die Konstruktion wird also so beginnen, dass man P mit M verbindet und
den Mittelpunkt Z dieser Strecke konstruiert, etwa über die Mittelsenkrechte
(Kreisbögen um P und M). Dann zeichnet man den Kreis um Z durch P und M.
Dieser schneidet den gegebenen Kreis in B1 und B2 und man kann die Tangenten zeichnen!
De
(1)
Auf den nächsten Seiten dazu Aufgaben.
11505
Kreiswinkel 1
15
Aufgabe 1
Zeichne in ein Achsenkreuz (x-Achse von – 8 bis 8 und y-Achse von -9 bis 8,
Längeneinheit 1 cm) den Kreis k um M(0 | 0) durch A (5 | 5) .
Lege von Q (+6 | −8) die Tangenten an k.
Lies die Koordinaten der Berührpunkte B1 und B2 ab.
Aufgabe 2
Zeichne ein Achsenkreuz (x-Achse von – 5 bis 9 und y-Achse von -7 bis 7).
Zeichne den Kreis: k um M1 (−1| 2) durch R (−2 | −5) .
Lege von S (6 21 | − 21 ) die Tangenten an k.
Aufgabe 3
De
mo
: M
ath
e-C
D
Ermittle die Berührpunkte A, B.
Zeichne ein Achsenkreuz (x-Achse von – 7 bis 9 und y-Achse von -6 bis 9)
Zeichne den Kreis: k1 um M1 (−2 | 3) durch R (1| 8) .
Lege von S1 (6 | 1) die Tangenten an k1.
Welche Koordinaten haben die Berührpunkte?
Zeichne dann k2 um M2 ( 4 | 1,5) durch P (3 | −3) .
Konstruiere die Tangenten an k2 in den Schnittpunkten mit k1 (A und B).
Diese Tangenten bilden einen Drachen. Miss ihre Winkel und die Länge der
Diagonalen. Berechnen den Dracheninhalt.
Die Kreismittelpunkte M1 , M2 und die Schnittpunkte A und B der Kreise bilden
einen zweiten Drachen. Welchen Inhalt hat dieser?
Aufgabe 4
Zeichne ein Achsenkreuz (x-Achse von – 4 bis 13 und y-Achse von -1 bis 10).
Zeichne den Kreis k um M1 (2 | 4) durch C (3 | 7) .
Lege vom Ursprung die Tangenten an k.
Ermittle die Berührpunkte A, B.
Konstruiere die Tangente in C.
Diese drei Tangenten bilden ein Dreieck (Tangentendreieck).
Was kann man über Tangentenabschnitte und Winkel in dieser Zeichnung berichten?
11505
Kreiswinkel 1
16
Aufgabe 5
Zeichne in das Achsenkreuz einen Kreis k1 um M1 (3 | −2) durch A (−2 | −5) .
Lege von P (1| 6) die Tangente an k1. Lies die Berührpunkte B1 und B2 ab.
Ein zweiter Kreis geht durch B1 und B2 und seine Tangenten in diesen Punkten
schneiden sich in Q (4 | −6) . Zeichne den Kreis ein.
Beschreibe mit Text, wie man seinen Mittelpunkt erhält.
De
mo
:
Ma
th
e-C
D
Die vier Tangenten an die beiden Kreise bilden ein Drachenviereck.
Berechne seinen Flächeninhalt (miss die betreffenden Strecken ab) und gib seine
Innenwinkel an.
11505
Kreiswinkel 1
17
De
mo
:
Ma
th
e-C
D
Lösung und Rest auf CD!