Dielektrische Eigenschaften I

19. Dielektrische Eigenschaften (I)
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Einführung
Zwei Beschreibungen der Wechselwirkung elektromagnetischer Strahlung mit
Festkörpern:
 Makroskopisch: Maxwell-Theorie, Festkörper wird durch Materialkonstanten ,
beschrieben.
 Mikroskopisch: z.B. Absorption eines Photons bei Erzeugung eines Phonons
Hier: Verknüpfung beider Beschreibungsweisen
- Reaktion eines Festkörpers auf ein elektrisches Feld :
 Metallen: es bewirkt einen Strom
 Isolatoren: dielektrische Polarisation, piezoelektrischen Effekt, ...
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Makroskopische Beschreibung
Dielektrische Polarisation:


P   e 0 E
(nur für kleine elektrische Felder; es gilt nicht, wenn
starke elektrische Felder vom Laser verwendet
werden)
χe = elektrische Suszeptibilität
(in Vakuum χe =0)
ε0 = Permitivität des Vakuums
= 8,8542 · 10-12 C2 J-1 m-1
Die dielektrische Polarisation ergibt sich durch die Ausrichtung mikroskopischer
elektrischer Dipole, die entweder bereits vorhanden sind oder durch das Feld induziert
werden.
Dipolmoment:


p  q
q = Ladung
δ = Abstandsvektor
(es zeigt von der negativen zur positiven Ladung)
 N  N 
P  p  q
V
V
Suszeptibilität:
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
e    1
ε = Permitivität / Dielektrizitätskonstante
[email protected]
http://ep4.rub.de
Makroskopische Beschreibung
Beispiel: elektrische Polarisation in einem ebenen Plattenkondensator
A= Plattenfläche
d = Abstand
(a) Ladungen auf den
(b) Polarisation des Dielektrikums (c) Oberflächenladungsdichte des Dielektrikums
Platten des Kondensators zwischen den Platten 
an der Grenzfläche
ohne Dielektrikum
 1


zwischen Platte und
 
E 
P 
Dielektrikum
Gauss
E 
0
 0
0
Gesetz

σ = Oberflächenladungsdichte auf den Platten
A 0
C

Kapazität:
d
Prof. Beatriz Roldán Cuenya







 1



 
1
1
1
E 
  P     e 0 E    (  1) 0 E     E  E
0
0
0
0
A 0
Kapazität: C 
d
[email protected]
http://ep4.rub.de
Mikroskopische elektrische Polarisation
Mechanismen, die zu einer mikroskopischen elektrischen Polarisation führen:
(a) Elektrisches Feld polarisiert alle Atome im Festkörper.
Im elektrischen Feld wird die Kugelsymmetrie des Atoms gebrochen
und die negativen und positiven Ladungen werden verschoben, was
zu einem elektrischen Dipolmoment führt:


p E
α = atomare Polarisierbarkeit oder Verschiebungspolarisation
(b) Festkörper mit Ionenbindung (z.B. NaCl)  das Gitter
wird im elektrischen Feld polarisiert  lokale elektrische
Dipolmomente  die positiven Ionen verschieben sich in
Richtung des äußeren Feldes und die negativen in
entgegengesetzte Richtung.  Ionenpolarisation
(Das gestrichelte Gitter kennzeichnet die Lage der Ionen
ohne ein äußeres Feld).
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Mikroskopische elektrische Polarisation
(c) Permanente Dipole richten sich im Feld aus (z.B. H2O)  sie können sich frei
drehen, und sie orientieren sich selbst parallel zum elektrischen Feld
 Orientierungspolarisation.
(Typisch fur Flüssigkeiten oder Gase).
Verschiebungspolarisation
Ionenpolarisation
Orientierungspolarisation
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Das lokale Feld

 N  N

P  (  1) 0 E  p    E
V
V
E = mittleres elektrisches Feld im Dielektrikum =
äußeres E Feld + E durch Polarisation
E’ = Feld, das erzeugt wird, wenn ein
Dipol aus dem Dielektrikum entfernt wird
Polarisierte mikroskopische Dipole
in einen Dielektrikum in einem
äußeren Feld. E = mittlere interne
Feld im Dielektrikum
(  1) 0V

N
Lokales Feld:
Polarisation:
Jeder einzelne Dipol spürt
E + E’, weil die
umliegenden Dipole eine
Felderhöhung bewirken


1
Elok  (  2) E
3
 N


N
P    Elok 
(  2) E
V
3V
Polarisierbarkeit:
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
(  1) 3 0V
Clausius-Mossotti-Gleichung

(  2) [email protected]
N
http://ep4.rub.de
Dielektrische Verschiebung oder Elektrische Flussdichte
• Festkörper in makroskopischem elektrischen Feld 𝐸𝑚𝑎𝑘 :
Dielektrische Verschiebung
(oder Elektrische Flussdichte):
D   0 E mak  P   0 E mak

 1     0 Emak
𝑃: Polarisation, 𝜀: relative Dielektrizitätskonstante (reine Zahl), 𝜒: dielektrische Suszeptibilität
• Wenn das makroskopische elektrische Feld mit einer Frequenz 𝜔 variiert:


D     0 Emak   Materialgleichung
• Die dielektrischen Eigenschaften werden durch die Dielektrizitätskonstante 𝜀(𝜔)
(dielektrische Funktion) beschrieben  optische Eigenschaften der Materie.
Dielektrische Suszeptibilität:

Durch Polarisation erzeugtes Feld:
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
P
 0 Emak
1 
P
0
[email protected]
http://ep4.rub.de
Statische und Dynamische Dielektrizitätszahl
• Statische Dielektrizitätszahl: 𝝎 = 𝟎
Luft
= 1.0006
Glas
= 5 - 10
Ge
= 1.6
H2O
= 81.1 (18°C)
SrTiO3
= 310
Für das Vakuum gilt: 𝜀 = 1
Für Festkörper gilt: 𝜀 ≥ 1
• Frequenzabhängige Dielektrizitätszahl 𝜺(𝝎) (Optik):
Brechungsindex:
n     
𝑛 = 𝑓(𝜔): Dispersion
𝑛 𝜔 hat einen Realteil und einen Imaginärteil:
nω  nω  inω
Aufgabe der Festkörperphysik:
Mikroskopische Begründung von 𝑛(𝜔) bzw. 𝜀(𝜔)
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Polarisation
•
Polarisation: Summe aller Dipolmomente in einer
Volumeneinheit bezogen auf das Volumen dieser Einheit:

P

 pi
i
Volumeneinheit
• Entstehung von Polarisation:
 Induziertes Dipolmoment (Atome):
Verschiebung des Schwerpunktes von positiver und negativer Ladung
 Ionenpolarisation (Ionen):
Positive und negative Ionen werden im Feld verschoben
 Orientierungspolarisation (Moleküle):
Orientierung (Ausrichtung) von permanenten Dipolen im Feld
•
Dipolmoment:


p  Elok
𝛼:
Polarisierbarkeit:
atomistische Eigenschaft der Atome, Moleküle, Dipole usw
𝐸𝑙𝑜𝑘 : lokales elektrisches Feld am Ort eines Atoms im Festkörper
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Dipolmoment
• Dipolmoment:


p   qn rn
𝑟𝑛 : Ort der Ladung qn
n




Für 2 Ladungen 𝑞1 , −𝑞2 : p  q1r1  q2 r2  qR
p1
H+
+
-
p2
q
+
r1
r2
O2-
• Beispiel: H2O:
 q1
+ H+
R
-  q2
pH 2O  2 pHO  cos q
p H2O
• Feld eines Dipols 𝑝 im Abstand 𝑟 :
  3 p  r  r  r 2 p 1
E r  
~ 3
5
4 0 r
r
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
E
p
http://ep4.rub.de
Lokales Feld am Ort eines Atoms im Festkörper
•
Entscheidend für die Polarisation eines Gitteratoms ist das lokale elektrische Feld
am Ort des Atoms.
E lok
E0
•
Idealisiert:



Elok  E0  EProbe
Probe


1
Elok  E0 
4 0
  
2
3 pi  ri  ri  ri pi
i
5
ri
𝑝𝑖 : Dipolmoment des i-ten Atoms bzw. der i-ten Elementarzelle am Ort 𝑟𝑖
Die Summe ist im Allgemeinen nicht ausführbar.
• Lösung:
Dipolbeiträge in kleinem Bereich explizit berechnen.
In größerer Entfernung lässt sich die Wirkung der Einzeldipole durch
Oberflächenladungen beschreiben
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Beiträge zum lokalen elektrischen Feld
(Kugelvolumen enhält viele
Einheitszellen des
Festkörpers, ist kleiner als die
Wellenlänge)




 

Elok  E0  EProbe  E0  E1  E2  E3
𝐸0 : Äußeres Feld. Wird von Ladungen außerhalb der Probe hervorgerufen.
𝐸1 =EN: Entelektrisierungsfeld (oder Depolarisationsfeld). Wird durch
Polarisationsladungen auf der äußeren Oberfläche erzeugt. Wirkt dem äußeren Feld
entgegen (Influenzladung, vergrößert die Kapazität)
𝐸2 = EL: Lorentz-Feld. Erzeugt durch Polarisationsladungen auf der Innenseite einer
fiktiven ausgeschnittenen Kugel. Dipolfeld der Fernordnung.
𝐸3 = Ed: Feld der Dipole innerhalb des Kugelvolumens.
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
𝑬𝟏 = EN: Entelektrisierungsfeld
• Erzeugt durch induzierte Ladungen an der Oberfläche des Dielektrikums.
• Hängt von der Probenform ab.
E1

E1   f

P
0
𝑓: geometrieabhängig
E0
Dünne Platte:
𝐸0
𝐸0
Kugel:
𝐸1 𝑓 = 1
𝐸1
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
𝑓=0
𝑓=1 3
Rotationsellipsoid:
𝑓
1.0
c
0.8
a 0.6
𝐸0
(EN und EL
kompensieren
sich)
[email protected]
0.4
0.2
1 2 3 4 5 6 7
c/a
http://ep4.rub.de
Makroskopisches elektrisches Feld
• Makroskopisches Feld 𝐸𝑚𝑎𝑘 : Besteht aus dem außen angelegten Feld 𝐸0
und der Summe aller Felder aller Ladungen, die im Körper enthalten sind:



Emak  E0  E1
• Anwendung auf dünne Platte:


Emak  E0 

P
0
E1  f
P
0
(f=1, E perp. dünne Platte)
+q0……+q0
E0= U/d
Ei
-qi
+qi
d
-q0………-q0
U=const
𝑥
(E Richtung ist diejenige einer
+q Test-Ladung im
Kondensator)


 Uxˆ P 
P
E0 
  Emak 
d 0
0
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
𝑬𝟐 : Lorentz-Feld
•
•
Betrachten eine Kugel, innerhalb der die Polarisation näherungsweise homogen ist.
Feld, das von Polarisationsladungen auf der Oberfläche eines fiktiven Hohlraumes

(Hohlkugel) herrührt:

E2  
1 P
3 0
Eigenschaften von 𝐸2 :
 Ist dem äußeren Feld gleichgerichtet.
 Da man immer Kugelgestalt annimmt, ist immer: 𝒇 = 𝟏 𝟑
 In einer kugelförmigen Probe heben sich 𝐸1 und 𝐸2 auf.
E2
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
𝑬𝟑 : Feld im Innern der Kugel (Nahfeld)
•
Eigenschaften von 𝐸3 :
•
Variiert auf atomarer Skala, deshalb ist Integration nicht erlaubt
E3
•
Hängt von der Kristallstruktur ab.
•
Für kubische Symmetrie: 𝐸3 = 0
(Summation wird ausgeführt über alle Dipolfelder im Zentrum der Kugel, wobei die
Dipole ausgerichtet auf Gitterplätzen sitzen.)
•
Allgemein:


E3  SP
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
𝑆 hängt von der Kristallsymmetrie ab.
𝑆 = 0 bei kubischer Symmetrie, d.h. in kubischen Kristallen gibt es
keine Dipolfelder und keine Dipolwechselwirkung.
[email protected]
http://ep4.rub.de
𝑬𝒍𝒐𝒌 : Lokales Feld
• Annahme: Probe in der Form einer dünnen Platte




 
P   1 P 
P

S
Elok  E0   f
 

 3 

0
0 
1 0  






 


0

E2
Emak

E3





𝑆 = 0 für kubische
Symmetrie
Zusammengefasst:
Ein

Elok

Emak

Ein
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
𝐸𝑖𝑛 : internes Feld



Emak  Ein 



P
 E0  E1  E0  f
 0



P
P
 E2  E3 
S
3 0
0



1 P
Elok  Emak 
Lorentz-Beziehung
3 0
[email protected]
http://ep4.rub.de
Polarisation


• Dipolmoment: p  Elok
 lok

Allgemein:
pi   ij  E j
𝛼𝑖𝑗 :Tensor
 1
P
V
 N 
i pi  V p
 1
 lok N 
P    i Ei  Elok
V i
V



1 P
mit:
Elok  E mak 
3 0


 1
 N 

P 
P 
  P    Emak 

P    i  Emak 


V i
3 0 i
V 
3 0 

Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Clausius-Mosotti-Gleichung
• Nach 𝑃 auflösen:

Emak
i


V i
P
1
1
i

3 0V i
 2
1
 0V
𝜀 =1+𝜒
 

1

i  i  31  3 V
0

1
1
i

3 0V i
 1
1

  2 3 0V

i  i 


i
P
 0 Emak
1
1



 0V i i
 0V i i

  1 
1
1
1

1

 i
i
3 0V i
3 0V i

1
i
1
3 0V

i
i
Clausius-Mosotti‘sche Gleichung
 1
1 N


  2 3 0 V
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
3
 2
𝛼: Polarisierbarkeit
[email protected]
http://ep4.rub.de
Atomarer Ursprung der Polarisation
+
1. Orientierung permanenter Dipole in Molekülen
O2
104
+
-
-
z. B. H2O-Molekül
-
+
H+
p H2O
+
CO2-Molekül
H+
O
C
O
p(H2O)=1.9 Debye
(1𝐷 ≅ 3 ∙ 10−30 𝐶 ∙ 𝑚)
p(CO)=0
1 Debye  Elektrische Ladung·Atomabstand = 3 ∙ 10−30 𝐶 ∙ 𝑚
2. Ionische Polarisierbarkeit (Verschiebungspolarisation)
durch Verschiebung der Ionen gegeneinander.
z.B. NaCl
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Atomarer Ursprung der Polarisation
3.
Elektronische Polarisierbarkeit (Verschiebungspolarisation)
entsteht durch Verschiebung der Elektronenhülle relativ zum Kern
Eext0
+
+
Eext=0
Ze
𝑝
Ionischer und dipolarer Beitrag sind bei hohen Frequenzen gering
(wegen Trägheit der Ionen und Moleküle)
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Frequenzabhängigkeit der Polarisierbarkeit
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Frequenzabhängigkeit der elektronischen Polarisierbarkeit
• Zur Beschreibung der elektronischen Polarisierbarkeit wird das
Oszillatormodell eines schwingenden Elektrons mit der Auslenkung 𝑥 aus der
Ruhelage 𝑥0 betrachtet (in Ionenkristallen oder Molekülkristallen).
Bewegungsgleichung:
x  x  0 2 x  
eElok
me
NVe
e- 
1
𝛾 = : Dämpfungskonstante
𝜏
𝜏:
Relaxationszeit
𝜔0 : Resonanzfrequenz ohne Dämpfung
Lösungsansatz:
0
Elok  Elok
e  i t
x  x0 e  it
Einsetzen:
e 0
2
2
  x0  i x0  0 x0  
Elok
me
Prof. Beatriz Roldán Cuenya

[email protected]
0
Elok
e
x0  
me 0 2   2  i 


http://ep4.rub.de
Elektronische Polarisierbarkeit
0
e Elok


me
p  ex0 
0 2   2  i 
2

• Induziertes Dipolmoment:
Wegen: 𝑝 = 𝛼𝑒𝑙 𝐸 0 𝑙𝑜𝑘 gilt:

e2
1
 el 
me 0 2   2  i 


• Modell ist recht grob
• Wichtig: Die Polarisierbarkeit wird für kleine 𝝎 unabhängig von der Frequenz
und gleich dem statischen Wert:
 el   0    el 0 
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
e2
me0
2
http://ep4.rub.de
Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten
1 N
 el
0 V
• Nach Clausius-Massotti:   1 
1 N
1
 el
3 0 V
• Einsetzen von der frequenzabhängigen Polarisierbarkeit:
e2 N
1
 2
 0 me V 0   2  i 
1
2
  1



1



p
2
e2 N
1

2
p
2
1
 2




i


0
3 0 me V 0   2  i 
3




wobei 𝜔𝑝 die Plasmafrequenz des
freien Elektronengases:
Prof. Beatriz Roldán Cuenya


N e2
 
V  0 me
2
p
[email protected]
http://ep4.rub.de
Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten
    1    ~ 2
   2   i 
1
2
p
Hier haben wir die durch die elektronische Polarisation abgeänderte
Resonanzfrequenz 𝜔 eingesetzt:
~ 2  0 2 
 p2
3
Typische Resonanzwerte liegen im UV-Bereich: 𝜔 ≈ 1016 𝐻𝑧 .
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Komplexe dielektrische Funktion
• Berücksichtigtigung einer Phasenverschiebung zwischen Polarisation und
elektrischem Feld führt zur komplexen Dielektrizitätskonstanten:
    Re     i Im   
Setzt man:
~ 2   2  b
NV e 2
2
 p  A
 0 me
  c
dann folgt durch Erweiterung:
A b ic
Ab
Ac
    1 

 1 2 2  i 2 2
b  i c b  i c 
b
c
b

c

Re   
 ( )  1 
Prof. Beatriz Roldán Cuenya

 p 2 ~ 2   2 

2
~ 2   2   2
i
[email protected]
~
Im   
 p 2
2

  2   
2
2
http://ep4.rub.de
Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten
𝜀 0 = 1 + 𝜔𝑝 2
𝜔𝑝
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten
Re ε(ω)  1  
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
2
p

~ 2   2

2
2 2
~
     2
Im ε(ω)  
[email protected]
2
p

 

2
2 2
~
     2
http://ep4.rub.de
Diskussion von 𝜺(𝝎)
a) Resonanzabsorption, wenn: Im𝜀(𝜔) groß ist.
𝜕(Reε)
b) Anomale Dispersion, falls
<0
𝜕𝜔
d.h., Brechungsindex nimmt ab mit steigender Frequenz
n

n normale anomale

normale anomale Dispersion
Normale Dispersion: Brechkraft
nimmt mit Wellenlänge ab


Anomale Dispersion: Brechkraft
nimmt mit Wellenlänge zu
Spektrales Auflösungsvermögen eines Prismas:
Normales Prisma: bei
anomaler Dispersion drehen
sich die Farben um
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]

dn
b
d
d
𝑏: Basis
http://ep4.rub.de
Diskussion von 𝜺(𝝎)
c) Totalreflexion: Oberhalb von 𝜔 gibt es einen Bereich mit:
Re 𝜀 𝜔 < 0 und Im 𝜀(𝜔)0
Brechungsindex:
n  Re     i Im      Re     i Re   






0
0
Reflexionskoeffizient (normaler Einfall) wird 1 : Totalreflexion
Elektromagnetische Welle wird in dünner
Oberflächenschicht gedämpft.
d) Transparenz: Für 𝜔 > 𝜔𝑝 wird die Materie wieder transparent.
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de
Zusammenfassung

E lok  E 0  E 1  E 2  E 3  Emak  E 2  E 3


p  Elok
 1
 lok N 
P    i Ei  Elok
V i
V
Lokales Feld:
Dipolmoment:
Polarisation:
Elektronische
Polarisierbarkeit:
e2
1
 el 
me 0 2   2  i 
Clausius-Mosotti‘sche Gleichung:
 1
1 N


  2 3 0 V
Dielektrizitätszahl:
Plasmafrequenz:
Prof. Beatriz Roldán Cuenya


e2 N
1
    1 
 ~2
 0 me V    2  i 


NV e 2
 
 0 me
2
p
[email protected]
http://ep4.rub.de
Zusammenfassung

UHF
IR
 dipolar
UV
ionic
 electronic
1
Visible optics
x-rays

0
34
Prof. Beatriz Roldán Cuenya
[email protected]
http://ep4.rub.de