Transporteigenschaften II

16. Transporteigenschaften (II)
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Zur Erinnerung: Elektron in elektrischem Feld (Drude-Modell)
• Klassische Bewegungsgleichung
für Elektron im Metall:



dv m 
F m
 vD   e E
dt τ
Beschleunigung
freier Teilchen
Reibungskraft wegen Stöße
• Im stationären Fall ist:
𝑑𝑣
𝑑𝑡


τ 
= 0 . Damit gilt: vD   e E  μ E
m
vD
τ
Beweglichkeit:      e m
E
Stromdichte:
m: Ruhemasse des Elektrons
𝑣 : Elektronengeschwindigkeit
𝜏: mittlere Stoßzeit zwischen zwei Kollisionen mit
Gitter-Ionen (Relaxationszeit)
𝑣𝐷 : Driftgeschwindigkeit (Elektronengeschwindigkeit
abzüglich thermischer Geschwindigkeit)
𝑣𝐷 hängt vom Vorzeichen der Ladung ab.




 e2 τ

j   en el vD  e n el E  j 
n el E  σ E
m
Leitfähigkeit:
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e 2
  ene  
nel
m
𝑛𝑒𝑙 : Elektronenanzahldichte
: immer eine positive Größe
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Zur Erinnerung: Elektron in elektrischem Feld (Drude-Modell)
Stromdichte:
 e 2 τE 




e
F
j   en el δ v  
n el δ k 
n el E  σ E
m eff
m eff
Leitfähigkeit:
e 2 EF 

nel
meff
Matthiesensche Regel
ρ  ρ Phonon  ρ Defekte
Wärmeleitzahl für Metalle
π 2 n el k B
λ el 
Tτ ~ Tτ
3 m
Wiedemann-Franz Gesetz
λ
 LT
σ
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Bewegung von freien Elektronen im Magnetfeld
𝑩
𝑣
Umlaufbahn
der Elektronen
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Zyklotron-Resonanz
• Betrachten nur magnetisches Feld.
Stöße vernachlässigt (tiefe Temperatur, gute Einkristalle: 𝜏  )
Bz
• Auf stabiler Umlaufbahn um Magnetfeld halten sich Zentrifugalkraft und
Lorentzkraft im Gleichgewicht, analog zum Vakuumfall:
𝑚𝜔2 𝑟 = 𝑒𝑣𝐵
⇒
𝑚𝜔2 𝑟 = 𝑒 𝜔𝑟 𝐵
(𝑣 = 𝜔𝑟: Elektronengeschwindigkeit)
• Zyklotronresonanz für freie Elektronen im Festkörper:
c 
eB
meff
Im Festkörper muss die freie Masse durch die effektive Masse der Elektronen
an der Fermioberfläche ersetzt werden.
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Bestimmung der Zykloronmasse
• Bei Zyklotronresonanzexperimenten wird die Probe einem elektrischen
Mikrowellenfeld ausgesetzt (s. Abbildung).
• Die Elektronen laufen auf einer Kreisbahn und erzeugen einen
Oberflächenwiderstand.
• Die erste Ableitung des gemessenen Oberflächenwiderstandes dR/dB zeigt
typische Oszillationen. Aus den Resonanzen der Ordnung n gegen 1/Bn
aufgetragen kann die Zyklotronmasse der Leitungselektronen bestimmt werden.
𝑑𝑅 𝑑𝐵
𝐵
n
mcc 1
neBn
 mc 
e Bn
c
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1 𝐵
𝑛
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Bewegungsgleichung eines Elektrons: klassische Betrachtung
• Elektron in elektrischem Feld 𝐸 und Magnetfeld 𝐵:




  
d
1 
F  m

v  e E  v  B
dt


τ 
 Beschleunigung Stoßterm 


• Mit: 𝐵=(0,0,Bz) folgt die Bewegungsgleichung:
 d 1
m  v x  eE x  v y Bz 
 dt τ 
 d 1
m  v y  eE y  v x Bz 
 dt τ 
 d 1
m  v z  eE z
 dt τ 
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Stationärer Fall
• Elektron in elektrischem Feld 𝐸 und Magnetfeld 𝐵.
• Im stationären Zustand ist: 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 0. Damit:
vx  
eτ
eτ
eτ
E x  ωc τv y v y   E y  ωc τv x v z   E z
m
m
m
Bemerkung: Für den Hall – Effekt (s. später) gilt: vy = 0, da Elektronen nicht seitlich aus der
Probe austreten können. Aus dieser Bedingung kann man den Hallwinkel direkt berechnen.
• Falls Spannung, bzw. E-Feld und B-Feld beide in z-Richtung liegen, dann wird
eine Zyklotronbewegung um die z-Achse von einer linearen Driftbewegung
parallel zur z-Achse überlagert :
v x  ωc τv y
v y  ωc τv x
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B
z
eτ
Ez
m
Diese Bewegung ist analog zur Bewegung von Elektronen im Gasraum (s.
Plasmaphysik), jedoch kommen hier nur Elektronen an der Fermioberfläche zum
Tragen.
vz  
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Abschätzung des Gyrationsradius für freies Fermigas
e
 1.76 1011 C/kg
m
c  1.76 1011  B s 1 
Einheit von 𝐵:
c
fc 
 2.8 1010  B Hz   28  B GHz 
2
Vs
4

T

10
G
2
m
(𝐵 in 𝑇)
Zum Beispiel: für B = 0.1 T = 1 kG  fc=2.8 GHz, c= 10 cm (Mikrowellen)
108 cm / s
r

 0.5 cm
11 1
c 2 10 s 0.1T
vF
jz
Bz
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Bahnkurven von Elektronen im Magnetfeld



 
dv
dk
F m

 e v g  B
dt
dt

dk
e  

  vg  B
dt



k 
1
Gruppengeschwindigkeit allgemein: v g 
  k   k E
m



dk
e 
𝐸: Energie des Elektrons
  2 k E  B
dt







Elektron bewegt sich:
• senkrecht zu 𝛻𝑘 𝐸 und 𝐵
(in der Ebene  𝐵 )
• auf einer Bahn in der Fläche konstanter Energie (E = const.)
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Bahnkurven von Elektronen im Magnetfeld
Elektronenbahn
Lochbahn
 E  B
B
k
k
Aus
Blatt
raus
kE
dk
dt
Umlaufsinn entspricht
Teilchen mit:
positiver Ladung
+e
lochartig
k
Offene Bahn
dk
dt
kE
 k E B


Umlaufsinn entspricht
Teilchen mit:
negativer Ladung
-e
elektronenartig
• Bei der Lochbahn bewegt sich der Wellenvektor im Uhrzeigersinn, bei der
Elektronenbahn gegen den Uhrzeigersinn.
• Ein Loch bewegt sich wie ein Teilchen positiver Ladung.
• Unterschiedlicher Umlaufsinn experimentell nachgewiesen.
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Konsequenz für Elektronen in Metallen
• Ein Elektron auf der Fermifläche bewegt sich im Magnetfeld entlang einer
Bahn, die auf der Fermifläche liegt, da diese eine Fläche konstanter Energie
ist.
• Geschlossene Bahnen werden von Elektronen in entgegengesetztem
Uhrzeigersinn durchlaufen (elektronenartig).
• Geschlossene Bahnen werden von Löchern im Uhrzeigersinn durchlaufen
(lochartig).
• Zyklotronresonanzabsorption: kann beobachtet werden, wenn ein HF-Feld
mit Frequenz 𝛚 = 𝝎𝒄 eingestrahlt wird, und die Ladungsträger auf
geschlossenen Bahnen um das Magnetfeld laufen (d.h. die Relaxationszeit 𝜏
größer ist als die Umlaufzeit T).
• Resonanzabsorption für Extremalbahnen bei reinen Einkristallen und tiefen
Temperaturen.
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Beispiel: Cu
Elektronen- und lochartige, offene und geschlossene Bahnen im Fall von Cu:
R. Gross und A. Marx, FKP 9, p. 48
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Hall-Effekt
• Metall befindet sich in Magnetfeld 𝑩 und wird von Strom 𝒋 durchflossen.
• Hall-Feld 𝑬𝑯 : elektrisches Feld, das sich in der Richtung von 𝒋 × 𝑩 aufbaut
𝐵𝑧
+++++++++++
𝐸𝐻
-----------
𝑗𝑥
y
z
x
• Lorentz-Kraft: 𝐹 = 𝑞(𝑣 × 𝐵) angewandt auf gewählte Geometrie: Fy  e v x Bz
• Die Lorentz-Kraft trennt positive und negative elektrische Ladung. Damit entsteht
ein elektrisches Feld in y-Richtung:
Fy  eEH , y  e vx Bz
•
Das elektrische Feld in y-Richtung hängt von der Driftgeschwindigkeit in x-Richtung
ab:
𝜇𝑒 : Elektronenmobilität
E H , y  v x B z  μe E x B z
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Hall-Konstante
Für die Stromdichte gilt:
Daher:
j x  nel e vx
EH , y  
1
j x Bz  EH , y  RH j x Bz
nel e
• RH wird die Hall–Konstante oder Hall-Koeffizient genannt. Sie hängt
reziprok von der Ladungsträgerkonzentration und vom Vorzeichen
der Ladung ab:
RH  
1
nel e
Eigenschaften:
• Materialien mit kleiner Ladungsträgerkonzentration zeigen einen großen Hall –
Effekt.
• Metalle haben kleine Hallkonstante, Halbleiter haben große Hallkonstante.
• Für Elektronen ist RH negativ, für Löcher ist RH positiv.
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Alternative Herleitung der Hall-Konstante
• Die gesamte Stromdichte in der y-Richtung wird durch das Feld in der yRichtung und durch die Lorentzkraft gegeben:
j ye  neμe μe Bz E x  E y 
• Da aus den Kanten kein Strom austreten kann, muss der Strom in der
y-Richtung im Gleichgewicht null sein. Daraus folgt:
μe B z E x  E y
• Einsetzen von:
𝐸𝑥 = 𝑗𝑥 𝜎𝑥 und: 𝜎𝑥 = 𝑛𝑒𝑚𝑒 liefert :
μe B z
jx
 Ey
neμe
• Daraus folgt die Hall-Konstante als der Quotient:
RH 
Ey
j x Bz

1
ne
Im Fall von zwei Ladungsträgern, Elektronen und Löchern, muss man zwei Ströme
je und jh ansetzen. Die Berechnungen erfolgen analog.
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Messwerte für die Hall-Konstante
• Messung von RH
 Ladungsträgerkonzentration
 Vorzeichen von q
• Freies Elektronengas mit nel = 1 Elektron/EZ:
K
RHexp·nele - 1,0004
RH
exp
 nel e   1
Na
Li
Cu
Be
Mg
Cd
- 1,006
- 1,28
- 0,84
+ 5,0
- 0,7
+ 0,5
“+“ Ladungsträger haben positive Ladung: “Löcher“
• Hallkonstante bei RT für einige Materialien: RHx1010 (m3/C))
RH
Na
Cu
Cr
As
Sb
Ge
-2.1
-0.54
+3.55
-70
+ 250
8x108
Hall – Koeffizient für Metalle sehr klein, für Halbleiter sehr groß und
temperaturabhängig.
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Hall-Meßgeometrie
Hall-Konstante:
Hall-Spannung:
EH
EH A U xy d
RH 


j x Bz
j x ABz I x Bz
I R B
U xy  x H z
d
Uxy
Hall-Widerstand: U xy  RH Bz
Ix
d
Bz
𝑑
Ix
𝑏
Uxx
𝐴=𝑑∙𝑏
 Zur Bestimmung von RH muss man bei gegebener Stromstärke Ix und Magnetfeld
Bz die Querspannung (Hallspannung) und die Dicke 𝑑 des stromführenden Leiters
messen.
 Der Hall-Widerstand zeigt Stufen bei tiefen Temperaturen und hohen Feldern:
Quanten-Hall Effekt. Die Stufenhöhe wird durch die von Klitzing Konstante
gegeben: Rk = e2/h = 25,81 kW
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Anisotroper Magnetowiderstand
• Magnetowiderstand: Änderung des elektrischen Widerstands eines Materials durch
Anlegen eines äußeren Magnetfeldes.
Transversaler
Magnetowiderstand
Uxy
Longitudinaler
Magnetowiderstand
Uxy
By
Bx
Ix
Ix
Uxx

B || Ebene  I x
Uxx

B || Ebene || I x
• In den meisten Materialien ist der elektrische Widerstand maximal, wenn der Strom
parallel zum Magnetfeld ist. Anders als der Hall-Effekt (der nur wegen der Lorentz-Kraft
entsteht), ist der anisotrope Magnetowiderstand Folge von Spin-Orbit-Wechselwirkung.
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Zusammenfassung
Zyklotronfrequenz im Festkörper:
Elektronen im Magnetfeld:
Umlaufbahn im k-Raum
c 
eB
meff
dk
dt
k E
k

Hall-Konstante:
RH  
k
E B
1
nel e
Uxy
Hall-Spannung:
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I R B
U xy  x H z
d
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
Bz
𝑑
Ix
Uxx
𝑏
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