Mögliche Lösung - Rivius Gymnasium Attendorn
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Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Begriffe Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Veranschauliche die Länge der Flüsse in einem Balkendiagramm. Runde die Angaben vorher auf 100 km. Elbe 1165 km, Rhein 1320 km, Donau 2850 km, Oder 854 km, Weser 440 km Mögliche Lösung Runden: Elbe 1200 km Rhein 1300 km Donau 2900 km Oder 900 km Weser 400 km Balkendiagramm: Mathematik Klasse 5 Mathematisches Thema: Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Begriffe Basiswissen Info: alle ganzen Zahlen 1; 2; 3; 4; …. heißen natürliche Zahlen. a) Wie lautet die Zahl vor und nach der angegebenen Zahl? (1) 45.679 (2) 750.000 (3) 500.999 (4) 909.909 b) Welche Zahl ist größer? (Zur Erinnerung: 7<9 …kleiner als ….(Kleinerzeichen) 9>7 …größer als …(Größerzeichen)) Schreibe mit Größerzeichen: (1) 102; 222 (2) 103; 300 (3) 5•10; 7•7 (4) 100-18; 100-19 Mögliche Lösung a) (1) 45.678; 45680 (4) 909.908; 909.910 (2) 749.999; 750.001 b) (1) 222>101 (4) 100-18>100-19 (2) 300>103 (3) 500.998; 501.000 (3) 5•10>7•7 Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Innermathematisch Basiswissen Mehr Verkehr im größeren Deutschland Berechne die fehlenden Angaben. Frankfurter Rundschau, 29.09.1990 Mögliche Lösung 357 042 km² – 248 709 km² = 108 333 km² 62,0 Mio. + 16,1 Mio. = 78,1 Mio. 621 225 km – 124 604 km = 496 621 km 488,9 Mrd. km – 438,5 Mrd. km = 50,4 Mrd. km Mathematik Klasse 5 Mathematisches Thema: Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Strategie Basiswissen Klammerterme Man kann Terme, die Klammern enthalten besonders einfach mit Hilfe des Klammerberges berechnen. Für den Klammerberg gelten folgende Regeln: Jedes Mal, wenn eine Klammer aufgeht „(„ wächst der Berg, wenn sich eine Klammer schließt „)“, dann schrumpft der Berg. Der Berg wird von oben nach unten berechnet. 1. Beispiel: 4 + 2 (5 + 3 (6 – 2) – 1) + 9 Der Klammerberg wächst: =4+2 ( 5 + 3 (6 – 2) – 1 )+9=4+2 ( 6–2 5+3 ( )–1 )+9 Der Klammerberg schrumpft: 5+3 (4)–1 =4+2 ( 5 + 12 – 1 )+9=4+2 ( ) + 9 = 4 + 2 ( 16 ) + 9 = 4 + 32 + 9 Also ist 4 + 2 (5 + 3 (6 – 2) – 1) + 9 = 45 Fortsetzung 2. Beispiel: 5 (87 – 16 (11 : (9 + 2) + 4)) Der Klammerberg wächst: 87 – 16 (11 : (9 + 2) + 4) =5( )=5 ( 11 : (9 + 2) +4 87 – 16 ( ) 11 : ( 87 – 16 ( 9+2 )+ 4 )=5 ( ) ) Der Klammerberg schrumpft: 11 : ( 11) + 4 87 – 16 ( ) =5 ( 1+4 87 – 16 ( ) =5 ( ) 87 – 16 ( 5 ) 87 – 80 ) =5 ( ) =5 ( ) = 5 ( 7 ) = 35 Also ist 5 (87 – 16 (11 : (9 + 2) + 4)) = 35 Mit Hilfe des Klammerberges wird die Regel veranschaulicht, dass man Klammerterme immer von „innen“ nach „außen“ berechnet, da die Bergspitze innerhalb des Terms steht und man ihn Schritt für Schritt zum Fuße des Berges nach außen berechnet. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisches Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Schriftliches Addieren Welche Fehler wurden in den Rechnungen gemacht? Berechne anschließend das richtig Ergebnis: Mögliche Lösung Quelle: LS 5, Arbeitsheft, S. 25 Mathematik Klasse 5 Mathematisches Thema: Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Natürliche Zahlen Strategie Basiswissen Mit der schriftlichen Addition kann man beliebig viele Zahlen addieren, wenn man dies im Kopf nicht richtig hinbekommt. Man muss dabei allerdings darauf achten, die Zahlen sorgfältig nach Einern (E), Zehnern (Z), Hundertern (H) usw. zu ordnen. H 3 1.Beispiel: 348 + 23 348 = 3H + 4Z + 8E = 23 = 2Z + 3E = 3 3 Z 4 2 6 7 E 8 3 12 , da 12E = 1Z + 2E ergeben, ordnet man 1Z der Zehnerspalte zu. Also ist 348 + 23 = 372. 2 H 3 5 8 8 9 Z 4 7 11 12 2 E 8 9 17 , da 17E = 1Z + 7E ergeben, ordnet man 1Z der Zehnerspalte zu. Da 12Z = 1H + 2Z ergeben, 7 ordnet man 1H der Hunderterspalte zu. 7 3 4 8 21 3 2 7 + = 2.Beispiel: 348 + 559 348 = 3H + 4Z + 8E = 579 = 5H + 7Z + 9E = + = = Kurz schreibt man auch: + = 9 und + = 3 4 8 51 71 9 9 2 7 Mehr als zwei Zahlen addieren 3.Beispiel: 297 + 368 + 1824 297 = 2H + 9Z + 7E = 368 = 3H + 6Z + 8E = + 1894 = 1T + 8H + 9Z + 4E = + T = = = 1 1 1 1 2 9 6 91 5 7 8 4 9 Kurz schreibt man auch: + + = 11 2 2 3 82 5 H 2 3 8 13 13 15 5 Z 9 6 9 24 25 5 5 E 7 8 4 19 9 9 9 , da 19E = 1Z + 9E ergeben, ordnet man 1Z der Zehnerspalte zu. Da 25Z = 2H + 5Z ergeben, ordnet man 2H der Hunderterspalte zu. Da 15H = 1T + 5H, ordnet man 1T der Tausenderspalte zu. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwenden Basiswissen Bundesliga Im Meisterschaftsspiel der Bundesliga "Eintracht Frankfurt gegen den 1. FC Kaiserslautern" verkaufte der Kassierer Sitzplatzkarten von Nr. 4 087 bis 16 099 und Stehplatzkarten von Nr. 2 365 bis 26 947. Wie viele Karten verkaufte er von jeder Sorte? Mögliche Lösung 16 099 – 4 086 = 12 013 Sitzplatz-Karten wurden verkauft. 26 947 – 2 364 = 24 583 Stehplatz-Karten wurden verkauft Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisch Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Wie viele Einwohner hatte die EU Anfang 2002? Runde auf Millionen! Mögliche Lösung Belgien Dänemark Deutschland Finnland Frankreich Griechenland Großbritannien Irland Italien Luxemburg Niederlande Österreich Portugal Schweden Spanien EU 10 300 000 5 400 000 82 400 000 5 200 000 59 300 000 10 600 000 60 100 000 3 900 000 58 000 000 400 000 16 100 000 8 100 000 10 300 000 8 900 000 40 400 000 379 400 000 Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Anwenden Basiswissen Radrundfahrt Bei einer Radrundfahrt sind 10 Etappen zu fahren. Bei der ersten Etappe müssen 150 km zurückgelegt werden. Jede folgende Etappe ist um 10 km länger als die vorhergehende. 1. Wie lang sind die einzelnen Etappen? 2. Wie viel Kilometer werden bei der ganzen Rundfahrt zurückgelegt? Mögliche Lösung 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Etappe: Etappe: Etappe: Etappe: Etappe: Etappe: Etappe: Etappe: Etappe: Etappe: 150 km 160 km 170 km 180 km 190 km 200 km 210 km 220 km 230 km 240 km 2. 1950 km werden zurückgelegt. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisch Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Die Einhorn-Apotheke Symbol einer Apotheke mit gutem Ruf über Frankfurt hinaus: das Einhorn. Die 1637 gegründete und jetzt geschlossene Firma mit homöopathischer Abteilung zählte zu den führenden in Deutschland. Frankfurter Rundschau, 03.02.1994 Wie alt wurde die Apotheke? Mögliche Lösung Das Ende nach 356 Jahren Anfang 1994 wurde die Apotheke geschlossen. Das Jahr 1994 zählt also nicht mehr. 1993 – 1637 = 356. Wenn du 1994 – 1637 = 357 gerechnet hast, ist die Lösung auch in Ordnung. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisch Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Passendes Geld Du hast von jeder Euro-Münze und jedem Euro-Schein genau einen. Kannst du folgende Beträge passend hinlegen: 80,45 € – 118,25 € – 354 € – 99 € – 888,88 €. Mögliche Lösung 80,45 € – nein 118,25 € – ja 354 € – nein 99 € – nein 888,88 € – ja Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Innermathematisch Schwierigkeitsgrad: Basiswissen "Lehrer, Lehrer" Zitat des Tages Es fehlen 17 000 plus 5000 Lehrer, macht also 25 000 Lehrer. Die Fachfrau der CDU-Fraktion und ehemalige Schulleiterin Beatrix Philipp während der Schuldebatte im Landtag. WAZ, 20.09.1991 Prüfe die Rechnung. Stelle die richtige Rechnung auf. Mögliche Lösung 17 000 + 5000 = 22 000. Entweder muss es heißen: "macht also 22 000 Lehrer", oder man muss rechnen: 17 000 + 8000 = 25 000. Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Anwenden Basiswissen Lotterie Von einem Lotteriegewinn kauft Frau Glückspilz in der Oberstadt vier Häuser. Das erste kostet 180 000 €. Das zweite ist 16 000 € billiger als das erste. Das dritte kostet 12 500 € weniger als das zweite. Das vierte Haus ist 19 400 billiger als das erste. Wie viel muss sie für jedes Haus zahlen? Wie viel muss sie insgesamt zahlen? Mögliche Lösung Für das erste Haus zahlt sie 180 000 €. Für das zweite Haus zahlt sie 164 000 €. Für das dritte Haus zahlt sie 151 500 €. Für das vierte Haus zahlt sie 160 600 €. Insgesamt: 656 100 € Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisches Schriftliches Multiplizieren Berechne und mache zur Kontrolle einen Überschlag: a. 179 314 b. Multipliziere die Zahlen 34 und 4036. Mögliche Lösung Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 93 Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisches Schriftliches Multiplizieren Berechne: a. 3105 4003 b. 4052 2300 Mögliche Lösung Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 93 Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Vertiefung Wohnungen Das ist eine Anzeige der Frankfurter Stadtregierung, veröffentlicht in der Frankfurter Rundschau am 22.09.1990. Wie viele Wohnungen wird es 1990 neu geben? In der Anzeige wird behauptet, 1500. Stimmt das ungefähr? Ab jetzt gibt es in Frankfurt alle 6 Stunden eine neue Wohnung. Mögliche Lösung 6 Stunden entspricht 1 Wohnung 1 Tag (24 Stunden) entspricht 4 Wohnungen 1 Jahr = 365 Tage 365 · 4 =1460 Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisches Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Schriftliches Subtrahieren Untersuche die Beispiele und ordne sie den Fehlerarten zu. Korrigiere die Fehler im Heft. Mögliche Lösung Quelle: LS 5, Arbeitsheft, S. 26 Mathematik Klasse 5 Mathematisches Thema: Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Natürliche Zahlen Strategie Basiswissen Mit der schriftlichen Subtraktion kann man beliebig viele Zahlen von einer Zahl subtrahieren, wenn man dies im Kopf nicht richtig hinbekommt. Man muss dabei allerdings darauf achten, die Zahlen sorgfältig nach Einern (E), Zehnern (Z), Hundertern (H) usw. zu ordnen. 1.Beispiel: 523 – 312 H Z E H Z E Um von 3E die 5E abziehen 523 = 5H + 2Z + 3E = 5 2 3 = 5 1 13 zu können, vergrößert man 3E um 1Z aus der Zehner315 = 3H + 1Z + 5E = – 3 1 5 = – 3 1 5 spalte (und verkleinert die 2 0 8 Zehnerspalte um 1Z). 2.Beispiel: 872 – 795 872 = 8H + 7Z + 2E = 795 = 7H + 9Z + 5E = – H 8 7 Z 7 9 E 2 5 = = – H 8 7 Z 6 9 E 12 = 5 = – H 7 7 0 Z 16 9 7 E 12 5 7 Um von 2E die 5E abziehen zu können, vergrößert man 2E um 1Z aus der Zehnerspalte (und verkleinert die Zehnerspalte um 1Z). Um von den verbliebenen 6Z die 9Z abziehen zu können, vergrößert man 6Z um 1H aus der Hunderterspalte (und verkleinert die Hunderterspalte um 1H). Statt die oberen Zeilen um Kurz schreibt man auch: und 8 7 2 5 2 3 1Z oder 1H zu verkleinern, – 71 91 5 – 3 11 5 wird hier die untere Zeile um 1Z und 1H vergrößert, was = 7 7 = 2 0 8 zum selben Ergebnis führt!!! Mehr als eine Zahl subtrahieren 3.Beispiel: 1297 – 368 – 297 T H Z E T H Z E 1297 = 1T + 2H + 9Z + 7E = 1 2 9 7 = 1 2 9 7 368 = 3H + 6Z + 8E = – 3 6 8 = – 5 14 15 287 = 2H + 8Z + 7E = – 2 8 7 Statt von 1297 erst 368 und dann 297 abzuziehen, kann man erst 368 und 297 addieren und anschließend von 1297 abziehen. 368 und 297 ergibt Hunderter- Zehner- und Einerspaltenbezogen 5H, 14Z und 15E. = = – = = – T 1 H 2 5 Z E Um von 7E die 15E abziehen zu können, vergrößert man 7E um 8 17 1Z aus der Zehnerspalte (und verkleinert die Zehnerspalte um 14 15 1Z). T 1 H 1 5 Z E 18 17 Um von 8Z die 14Z abziehen zu können, vergrößert man 8Z um 14 15 1H aus der Hunderterspalte (und verkleinert die Hunderterspalte um 1H). Also = = – T 0 H 11 5 6 Z 18 14 4 E oder kurz 17 15 2 1 – – 2 3 21 6 9 6 81 4 7 8 7 2 Statt die oberen Zeilen um 1Z oder 1H zu verkleinern, wird hier die untere Zeile um 1Z und 1H vergrößert, was zum selben Ergebnis führt!!! Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwenden Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Sinnvolles und sinnloses Addieren In welchen der folgenden Aufgaben ist es sinnvoll, die beiden Zahlen zu addieren. Führe die sinnvollen Additionen aus! a) Detlevs Vater verdient monatlich 2085 €, Detlevs Mutter 1405 €. b) Detlev ist 13 Jahre alt und 145 cm groß. c) Als er geboren wurde, war sein Oberkörper (bis zum Nabel) 253 mm lang und sein Unterkörper ebenfalls 253 mm lang. d) Jetzt ist sein Oberkörper 55 cm, sein Unterkörper 90 cm lang. Vergleiche mit c), was fällt dir auf? e) Es gibt etwa 1 200 000 bekannte Tierarten, darunter allein 1 000 000 Insektenarten. f) Unter den 1 000 000 Insektenarten sind 350 000 verschiedene Käferarten. Die Käfer bilden die artenreichste Tiergruppe. g) Ein Tausendfüssler hat maximal 340 linke und 340 rechte Beine. Mögliche Lösung a) sinnvoll: 3490 € b) sinnlos c) Gesamtgröße bei der Geburt: 506 mm d) Gesamtgröße jetzt: 145 cm. Der Unterkörper ist länger als der Oberkörper. e) sinnlos f) sinnlos g) 680 Beine zusammen Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Natürliche Zahlen Begriffe Vertiefung Jede Ziffer in einer natürlichen Zahl hat einen Stellenwert, z. B. in 53.687 hat die 5 den Zehntausender-Stellenwert, die 6 den Hunderter-Stellenwert und die 7 den Einer-Wert. I. Gegebene Zahl: 8.467.352 Schreibe auf wie die Zahl heißt, wenn man die gegebene Zahl um (1) 2 Tausender (2) 3 Hunderttausender (3) 6 Zehner um (4) 6 Zehntausender (5) 2 Hunderter (6) 3 Zehner erhöht erniedrigt II. Für die Stellenwerte 10, 100, 1000 usw. gibt es eine besondere Schreibweise: 1.000 = 10•10•10 = 103 (gelesen: zehn hoch drei), 100.000 = 105. a) Schreibe als Zahl (1) 7•102 (2) 104 2 (5) 10•10 (6) 4•107 (3) 3•101 b) Gib Vorgänger und Nachfolger an: (1) 102 (2) zehntausend (4) 6•103 (3) 104 (4) 10•10•10 Mögliche Lösung I. (1) 8.469.352 (4) 8.407.352 II. a) (1) 700 b) (2) 8.767.352 (5) 8.467.152 (2) 10.000 (1) 99; 101 (3) 30 (2) 9.999; 10.001 (3) 8.467.412 (6) 8.467.322 (4) 6.000 (5) 1.000 (6) 40.000.000 (3) 99.999; 10.001 (4) 999; 1.001 Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Strategien Schwierigkeitsgrad: Vertiefung a) Stelle eine dezimale Stellenwerttafel auf und trage die Zahlnamen bis 1012 ein. b) Wie viele genau zwei-, drei-, vier-, fünf-, ... n-stellige natürliche Zahlen gibt es im Dezimalsystem? c) Wie viele natürliche Zahlen mit höchstens zwei, drei, vier, fünf, ... n Stellen gibt es im Dezimalsystem? d) Wie viele zwei-, drei-, vierstellige Zahlen mit der Quersumme 7 (9, 12) gibt es im Dezimalsystem? Mögliche Lösung Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisch Schwierigkeitsgrad: Vertiefung a) Berechne den Quotienten der Zahlen 25345 und 37. b) Bilde die Differenz aus 648 und 387 und multipliziere anschließend mit 39. c) Dividiere die Summe der Zahlen 87 und 823 durch 13. d) Subtrahiere von 1000 den Quotienten aus 18864 und 24. e) Dividiere das Produkt von 39 und 48 durch die Summe der Zahlen durch die Summe der Zahlen 90 und 27. f) Bilde das Produkt aus der Summe von 39 und 72 mit der Differenz aus 38 und 27. Mögliche Lösung a) 25345 : 37 = 685 b) ( 648 – 387 ) . 39 = 261. 39 = 10179 c) ( 87 + 823 ) : 13 = 910 : 13 = 70 d) 1000 – ( 18864 : 24 ) = 1000 – 786 = 214 e) ( 39 . 48 ) : ( 90 + 27 ) = 1872 : 117 = 16 f) ( 39 + 72 ) . ( 38 – 27) = 111 . 11 = 1221 Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Innermathematisches Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Untersuche folgende drei Zahlenfolgen. Ermittle die ersten 15 Glieder und erkläre, wie du darauf gekommen bist. a) Quadratzahlfolge: 1 4 9 16 25 36 49 ... b) Dreieckszahlenfolge: 1 3 6 10 15 21 28 ... c) Fibonaccifolge: 1 2 3 5 8 13 21 ... Mögliche Lösung a) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 169 196 225 256 Alle natürlichen Zahlen ab 1 werden quadriert, also mit sich selbst mal genommen: 1∙1, 2∙2, 3∙3, … b) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 Startzahl 1 => zum neuen Ergebnis wird jeweils die nächste natürliche Zahl addiert 1+2=3 3+3=6 6 + 4 = 10 10 + 5 = 15 c) 1 2 3 5 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1587 2584 Rekursiv definiert, das heißt, dass jeweils zwei aufeinander folgende Zahlen addiert werden und die nächste Zahl ergeben 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwenden Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Bestimme alle zweistelligen natürlichen Zahlen x, welche zugleich folgende Bedingungen erfüllen: • x ist größer als 60. • x hat genau vier Teiler. • x ist ungerade. • vertauscht man bei x die beiden Ziffern, so erhält man eine Primzahl. Mögliche Lösung 91 und 95 Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisch Primfaktorzerlegung Zerlege in Primfaktoren. Beispiel: 20 = 2 . 2 . 5 a) 24 = b) 45 = c) 80 = d) 120 = e) 155 = f) 70 = g) 210 = h) 441 = Mögliche Lösung a) 24 = 2 . 2 . 2 . 3 b) 45 = 5 . 9 c) 80 = 2 . 2 . 2 . 2 . 5 d) 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 e) 155 = 5 . 31 f) 70 = 2 . 7 . 5 g) 210 = 2 . 5 . 7 . 3 h) 441 = 7 . 7 . 9 Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisch Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Berechne geschickt im Kopf und notiere, wie du gerechnet hast. a) 29 + 17 + 21 b) 17 + 55 + 23 c) 41 + 18 - 1 - 18 + 5 d) 55 – 23 + 5 + 13 Wie heißt das verwendete Rechengesetz? Mögliche Lösung a) 29 + 17 + 21 = ( 29 + 21) + 17 = 50 + 17 = 67 b) 17 + 55 + 23 = ( 17 + 23 ) + 55 = 40 + 55 = 95 c) 41 + 18 – 1 – 18 + 5 = ( 41 – 1) + (18 – 18) + 5 = 45 d) 55 – 23 + 5 + 13 = ( 55 + 5 ) + 13 – 23 = 60 + 13 – 23 = 73 – 23 = 50 Assoziativgesetz Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Innermathematisch Vertiefung Berechne unter Beachtung der Rechengesetze. a) ( 7 + 33 ) · ( 23 - 6 · 2 + 9) b) 360 - ( 16 · 9 + 54 - 14 · 5 + 20 ) c) ( 382 · 3 - 5 · 82 + 4 ) · ( 31 + 2 · 7 · 9) d) 200 + ( ( ( 17 · 9 + 10 ) · 4 - 3 · 7 · 8 ) · 2 - 10 ) · 5 Mögliche Lösung a) ( 7 + 33 ) · ( 23 - 6 · 2 + 9 ) = 40 · 20 = 800 b) 360 - ( 16 · 9 + 54 - 14 · 5 + 20 ) = 360 - ( 144 + 54 - 70 + 20 ) = 360 - 148 = 212 c) ( 382 · 3 - 5 · 82 + 4 ) · ( 31 + 2 · 7 · 9) = ( 1146 - 410 + 4 ) · ( 31 + 126) = 740 · 157 = 116180 d) 200 + ( ( ( 17 · 9 + 10 ) · 4 - 3 · 7 · 8 ) · 2 - 10 ) · 5 = 200 + ( ( 163 · 4 - 168) · 2 - 10 ) · 5 = 200 + ( 484 · 2 - 10 ) · 5 = 200 + ( ( 652 - 168) · 2 - 10 ) · 5 = 200 + 958 · 5 = 200 + 4790 = 4990 Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Strategien Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Die Rechengesetze legen fest, wie man Rechnungen durchführen darf, damit sich das Ergebnis der Rechnung nicht verändert. Du darfst also nur Termumformungen durchführen, die dir durch die Rechengesetze erlaubt werden, wenn sich das Ergebnis der Rechnung nicht ändern soll. Das Kommutativgesetz für die Addition und Multiplikation Das Wort Kommutativgesetz ist das Fachwort für das Wort Vertauschungsgesetz. Es besagt, dass man bei einer Summe oder einem Produkt die Summanden oder die Faktoren vertauschen kann, ohne dass sich der Wert der gesamten Rechnung verändert. Beispiele für die Summe: 13 + 7 = 20 = 7 + 13 oder 2 + 99 = 101 = 99 + 2 Beispiele für das Produkt: 4 7 = 28 = 7 4 oder 8 5 = 40 = 5 8 Wenn man bei einer Subtraktion oder Division die Zahlen vertauscht, dann ändert sich das Ergebnis. Deshalb gibt es für diese beiden Rechenarten kein Kommutativgesetz. Das Assoziativgesetz für die Addition und Multiplikation Das Wort Assoziativgesetz ist das Fachwort für das Wort Verbindungsgesetz. Es besagt, dass man bei einer Summe oder einem Produkt mit mehr als 2 Summanden oder Faktoren, jeweils zwei benachbarte Summanden oder Faktoren an einer beliebigen Stelle in der Rechnung miteinander verrechnen kann, ohne dass sich der Wert der gesamten Rechnung verändert. Welche Zahlen berechnet werden sollen kann man mit Klammern kennzeichnen (muss man aber nicht). Beispiel für die Summe: 45 + 19 + 81 = 45 + (19 + 81) = 45 + 100 = 145 Beispiele für das Produkt: 9 5 4 2 = (9 5) (4 2) = 45 8 = 360 Fortsetzung Wenn man bei einer Subtraktion oder Division mit mehr als zwei Zahlen jeweils zwei benachbarte Zahlen an einer beliebigen Stelle in der Rechnung miteinander verrechnet, dann ändert sich das Ergebnis. Deshalb gibt es für diese beiden Rechenarten kein Assoziativgesetz. Beispiel: 24 – 12 – 5 = 24 – (12 – 5) = 24 – 7 = 17 72 : 12 : 3 = 72 : (12 : 3) = 72 : 4 = 18 Um zu entscheiden, wie man hier richtig rechnet, braucht man Die von-links-nach-rechtsRechenregel (Strategiekarte 6). Richtig wäre also 24 – 12 – 5 = 12 – 5 = 7 und 72 : 12 : 3 = 6 : 3 = 2 Das Distributivgesetz Das Wort Distributivgesetz ist das Fachwort für das Wort Verteilungsgesetz. Es besagt, wie man eine Summe oder Differenz mit einer Zahl multiplizieren oder durch eine Zahl dividieren darf, ohne dass sich der Wert der Rechnung verändert. Beispiel: (3 + 6) 9 = 3 9 + 6 9 = 27 + 54 = 81 (Punkt-vor-Strich-Regel beachten!) (99 – 33) : 11 = 99 : 11 – 33 : 11 = 9 – 3 = 6 8 (4 + 7 – 5) = 8 4 + 8 7 – 8 5 = 32 + 56 – 40 = 88 – 40 = 48 (65 – 15 + 55) : 5 = 65 : 5 – 15 : 5 + 55 : 5 = 13 – 3 + 11 = 10 + 11 = 21 (bei den letzten beiden Beispielen beachte die von links-nach-rechts-Regel!) Die Bezeichnung „Verteilung“ kommt also daher, weil sich der Faktor oder der Divisor auf jede einzelne Zahl der Summe oder der Differenz verteilt. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwenden Vertiefung Rechenvorteile, Rechentricks, Rechenkunststücke Wie kann man vorteilhaft mit 4 und 8 multiplizieren im Kopf? Wie kann man im Kopf einfach mit 5, mit 50 bzw. mit 25 multiplizieren? Wie kann man halbschriftlich mehrstellige (oder auch nur zweistellige) Zahlen mit 11 multiplizieren? Mögliche Lösung - Mehrfaches Verdoppeln - z. B. erhält man die Multiplikation mit 5, indem man zuerst mit 10 multipliziert und dann halbiert. - Quadrieren von Zahlen der Form 10a + 5 mit Hilfe der binomischen Formel. Berechnen von Ausdrücken der Form (a + b) * (a - b) mit Hilfe der 3. binomischen Formel, wenn man die Quadratzahlen kennt! So kann man etwa 43 * 37 = 402 - 32 = 1591 leicht im Kopf rechnen. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Begriffe Schwierigkeitsgrad: Basiswissen 1. Benenne die folgenden Rechenoperationen mit dem richtigen Begriff und berechne das Ergebnis: 35 + 15 = 25 – 12 = 125 : 5 = 10 • 11 = 2. Ordne die Begriffe Subtrahend, 1. + 2. Summand, 1. + 2. Faktor, Dividend, Minuend und Divisor den entsprechenden Zahlen zu. Mögliche Lösung 1. Addition: 50 (Summe) Subtraktion: 13 (Differenz) Division: 25 (Quotient) Multiplikation: 110 (Produkt) 2. Subtrahend: 12 1. Summand: 35 2. Summand: 15 1. Faktor: 10 2. Faktor: 11 Dividend: 125 Minuend: 25 Divisor: 5 Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Strategie Basiswissen Die Rechenregeln sind Regeln, die dafür da sind, dass eine Rechnung ein eindeutiges Ergebnis liefert, dass also nicht zwei verschiedenen Lösungen möglich sind. 1. Beispiel: 5 + 7 2 Peter rechnet 5 + 7 2 = 12 2 = 24 und Lisa rechnet 5 + 7 2 = 5 + 14 = 19, aber wer hat Recht? 2. Beispiel: 12 : 6 : 2 Peter rechnet 12 : 6 : 2 = 2 : 2 = 1 Lisa rechnet 12 : 6 : 2 = 12 : 3 = 4, aber wer hat Recht? 3. Beispiel: 12 – (8 – 6) : 2 Peter rechnet 12 – (8 – 6) : 2 = 12 – 8 – 6 : 2 = 4 – 3 = 1 und Lisa rechnet 12 – (8 – 6) : 2 = 12 – 2 : 2 = 10 : 2 = 5, aber wer hat Recht? Um dies zu entscheiden braucht man Regeln zum Rechnen = Rechenregeln: Die Punkt-vor-Strich-Regel: Punktrechnungen ( und :) werden vor Strichrechnungen durchgeführt Die von-links-nach-rechts-Regel: Kommen in einer Rechnung nur noch Subtraktionen oder nur noch Divisionen vor, so muss von links nach rechts gerechnet werden Die Klammer-Regel: Mit Klammern kann man kennzeichnen, was miteinander berechnet werden muss. Fortsetzung Zum 1. Beispiel: Hier hat Lisa Recht, da hier die Punkt-vor-Strich-Regel benutzt und 7 2 zuerst berechnet werden muss. 5 + 7 2 = 5 + 14 = 19 ist richtig. Zum 2. Beispiel: Hier hat Peter Recht, da hier die von-links-nach-rechts-Regel benutzt werden muss. Zuerst muss also 12 : 6 = 2 berechnet werden und dann 2 : 2 = 3. Die gleiche Regel gilt, wenn die Aufgabe 12 – 6 – 2 lauten würde: 12 – 6 – 2 = 6 – 2 = 4 Zum 3. Beispiel: Hier hat keiner von beiden Recht, da hier zuerst die Klammer-Regel und dann die Punkt-vorStrich-Regel benutzt werden muss. Die richtige Lösung ist 12 – (8 – 6) : 2 (Klammern zuerst) = 12 – (2) : 2 (Punkt-vor-Strich) = 12 – 1 = 11 Peters Fehler: 12 – (8 – 6) : 2 (hier hat er die Klammer nicht zuerst berechnet) = 12 – 8 – 6 : 2 =4–3 =1 Lisas Fehler: 12 – (8 – 6) : 2 (die Klammer hat Lisa richtig berechnet) = 12 – 2 : 2 (hier muss sie 2 : 2 zuerst berechnen und nicht 12 – 2) = 10 : 2 = 5 Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisches Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Schriftliches Addieren Berechne: 1. 5113 + 362 2. 1213 + 142 + 562 3. 4807 + 100700 + 904 Mögliche Lösung zu 1. Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 86 zu 2. zu 3. Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Innermathematisches Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Schriftliches Dividieren Berechne: a. 2798 : 21, kontrolliere durch Überschlag und führe die Probe durch. b. 5105 : 12 und kontrolliere durch Überschlag. c. 4635 : 15 Mögliche Lösung zu a. zu b. Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 95/6 zu c. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisches Schriftliches Dividieren Welche Ziffern gehören in die Lücken? Mögliche Lösung Quelle: LS 5, Arbeitsheft, S. 29 Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Für welche Zahl steht Schwierigkeitsgrad: Innermathematisch ? a) 3776 : 59 b) 54 2754 c) 6768 : d) e) f) 572 : 37 752 7436 5772 257 17219 Mögliche Lösung a) 3776 : 59 = 64 Tipp für die folgenden Aufgaben: Verwende die Umkehrrechnung!! b) 2754 : 54 = 51 c) 6768 : 752 = 9 d) 7436 : 572 = 13 e) 5772 . 37 = 213564 f) 17219 : 257 = 67 Vertiefung Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Eier In einer Hühnerfarm sollen 7638 Eier in Schachteln zu 6 Eiern abgepackt werden. Wie viele Schachteln können gefüllt werden? Mögliche Lösung 7638 : 6 = 1273 Schachteln können gefüllt werden. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Vertiefung Mars Die Marssonde Mars I der ehemaligen UdSSR sandte noch aus einer Entfernung von 105 Millionen km Funksignale zur Erde. Ein Funksignal legt in einer Sekunde 300 000 km zurück. Nach welcher Zeit konnten in der Empfangsstation die Funksignale der Marssonde aufgenommen werden? Mögliche Lösung 105 000 : 300 000 = 350 Nach 350 s (5 min 50 s) konnten auf der Erde die Signale aufgenommen werden. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Basiswissen Taifun Ein Taifun nähert sich mit einer Geschwindigkeit von 150 km pro Stunde der Küste. Seine Entfernung beträgt 375 km, als die Bewohner gewarnt werden. Wie viel Zeit haben sie, um sich in Sicherheit zu bringen? Mögliche Lösung 375 : 150 = 2 Rest 75 Der Taifun benötigt genau 2 ½ Stunden bis zur Küste. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Licht Wie lange braucht ein Lichtstrahl von der Sonne zur Erde, wenn die Entfernung Sonne/Erde rund 150 000 000 km beträgt und das Licht in der Sekunde 300 000 km zurücklegt? Mögliche Lösung 150 000 000 : 300 000 = 1500 : 3 = 500 Das Licht braucht genau 500 s (8 min 20 s), um den Weg Sonne/Erde zurückzulegen. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Wasser Das Wasserwerk einer Stadt gibt in 360 Tagen 15 681 600 m³ Wasser ab. Berechne den Wasserbedarf für einen Monat (Monat = 30 Tage), einen Tag eine Stunde. Mögliche Lösung 15 861 600 m³ : 12 = 1 306 800 m³ im Monat 1 306 800 m³ : 30 = 43 560 m³ am Tag 43 560 m³ : 24 = 1815 m³ in der Stunde Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Anwendung Vertiefung Jubiläum Vor 9132 Tagen gab es ein glückliches Paar, denn damals sagten beide ja. Dieses Glück besteht auch heute noch, und man staune: Die wahre Liebe gibt es doch! Die allerbesten Grüße und Glückwünsche kommen von nah – 2 km – und fern – 546 km – P. + S. Dülmener Zeitung, 20.10.1990 1. Welches Jubiläum feiern P. und S.? 2. Erkläre den Rest (Tipp: Schaltjahr). Mögliche Lösung 1. 2. 91132 : 365 = 25 Rest 7 Das Paar feiert Silberne Hochzeit. Die Hochzeit war am 20.10.1965. Schaltjahre (mit 366 Tagen) gab es an allen durch 4 teilbaren Jahreszahlen: 1968, 1972, 1976, 1980, 1984, 1988. Daher kommen 6 der 7 überzähligen Tag. Der 7. überzählige Tag ist der 20.10.1990 selbst, denn das 25. Jahr endete am 19.10.1995 Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Anwendung Basiswissen Wasserrohre Durch zwei Rohre soll ein Wasserbehälter, der 852 Liter fasst, gefüllt werden. Das eine Rohr liefert in einer Sekunde 4 Liter, das andere 8 Liter. In wie viel Minuten ist der Behälter gefüllt? Mögliche Lösung In einer Sekunden fließen insgesamt 12 Liter Wasser zu, aus einem Rohr 4 Liter und aus dem anderen 8 Liter. 852 : 12 = 71 Es dauert genau 71 s bis der Behälter gefüllt ist. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Schnellzug Wie viele Tage und Stunden würde ein Schnellzug bei einer Geschwindigkeit von 80 km/h brauchen, um einmal am Äquator um die ganze Erde herumzukommen (Umfang der Erde = 40 000 km)? Mögliche Lösung 40 000 : 80 = 500 500 : 24 = 20 Rest 20 Der Schnellzug würde 500 Stunden, das sind 20 Tage und 20 Stunden, benötigen. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Flugzeug Wie viele Stunden braucht ein Flugzeug bei einer Geschwindigkeit von 6 km in der Minute für eine Strecke von 1080 km? Mögliche Lösung 1080 · 6 = 180 Das Flugzeug braucht für die Strecke von 1080 km 180 min (3 Stunden). Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Gasrohre Ein Rohrleger verlegt täglich 480 m Gasleitung. Wie viele Arbeitstage werden für 168 km Rohrlänge benötigt? (Rechne in m) Mögliche Lösung 168 km = 168 000 m 168 000 · 480 = 350 Für 168 km werden 350 Arbeitstage benötigt. Vertiefung Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Anwendung Kies-LKW In einem Baustoffgroßlager befinden sich 7650 t Kies. Wie viele LKW können davon mit je 14 t beladen werden? Wie viel t bleiben als Rest übrig? Mögliche Lösung 7650 : 14 = 546 Rest 6 Es können 546 LKW beladen werden. Es bleibt ein Rest von 6 t. Basiswissen Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Autourlaub Herr Spieß fuhr im Urlaub 3400 km mit seinem Auto, er verbrauchte 408 Liter Benzin. Wie viel Liter benötigte er durchschnittlich für 100 km? Mögliche Lösung 3400 : 100= 34 408 : 34 = 12 Sein Auto verbrauchte durchschnittlich 12 Liter Benzin für 100 km. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Kaufen – Kaufen 1. Frau Griesel kauft 3 Tischtennisbälle. Sie bezahlt 1,95 €. Was kostet ein Ball? (Rechne erst in Cent). 2. Herr Bigalke bezahlt für 5 Becher Margarine 4,95 €. Was kostet ein Becher? (Rechne erst in Cent). Mögliche Lösung 1. 195 : 3 = 65. Ein Ball kostet 65 Cent (= 0,65 €). 2. 495 : 5 = 99. Ein Becher kostet 99 Cent (= 0,99 €). Basiswissen Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Schulausflug Eine Schulklasse von 30 Schülern machte mit dem Omnibus einen Ausflug. Die Fahrtkosten betrugen 460 €. Die Stadtverwaltung gab einen Zuschuss von 115 €. Welchen Betrag musste jeder Schüler zahlen? Mögliche Lösung 460 € – 115 € = 345 €. 345 € = 34 500 Cent. 34 500 Cent : 30 = 1150 Cent. 1150 Cent = 11,50 € Jeder Schüler muss 11,50 € bezahlen. Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Anwendung Klassenfahrt Eine Klasse plant eine Fahrt in ein Schullandheim. Die Kosten betragen für 32 Schüler insgesamt 2880 €: Wie viel muss jeder Schüler bezahlen? Mögliche Lösung 2880 : 32 = 90 Jeder Schüler muss 90 € bezahlen. Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Papierverbrauch Papierverbrauch bei uns in der Bundesrepublik 1976: 8,2 Millionen Tonnen 1978: 8,8 Millionen Tonnen 1980: 9,5 Millionen Tonnen erwartet. 1978 waren das 142,4 kg pro Kopf – viermal so viel wie der durchschnittliche Weltverbrauch. Davon waren etwa 7 kg Hygienepapier, 20 kg Zeitungspapier, 49 kg Druck- und Schreibpapier, 66 kg Verpackungsmaterial. Insgesamt 4 Mio. t für Verpackungszwecke und über 4 Mio. t für Zeitungs- und Druckzwecke. Werbesendungen sind Papierverschwendung. Sie belasten Natur und Umwelt: 1. bei der Papierherstellung, 2. als Müll. Der Wunsch, keine Werbesendungen mehr zu erhalten, wird an alle Postwerbefirmen weitergeleitet. 1. Wie viele Menschen lebten 1978 in der Bundesrepublik? 2. Wie hoch ist der erwartete Pro-Kopf-Verbrauch für 1980, wenn die Bevölkerungszahl gleich hoch ist wie 1978? Mögliche Lösung 1. 8,8 Millionen t = 8 800 000 t Pro Kopf: 142,4 kg = 0,1424 t 8 80 000 : 0,1424 = 88 000 000 000 : 1424 = 61 797 752,8 61,8 Millionen. Also lebten 1978 rund 61,8 Millionen Menschen in der Bundesrepublik (wirklich oder ungefähr?) 2. 9,5 Mio. : 61,8 Mio. = 9,5 : 61,8 = 95 : 618 0,1537 Also war der erwartete Pro-Kopf-Verbrauch 1980 durchschnittlich 0,1537 t 154 kg Papier. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Gewinne Ein Gewinn von 45 232 € soll auf 8 Personen gleichmäßig verteilt werden. Wie viel erhält jeder? Mögliche Lösung 45 232 € : 8 = 5654 € Jede Person erhält 5654 €. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Auto-Schiffe Auto-Schiffe entlasten Straßen 1000 Laster weniger im Monat durch Umladung auf den Rhein Dass Wasserstraßen Autobahnen entlasten können, beweist nach Ansicht des rheinland-pfälzischen Wirtschaftsministers Rainer Brüderle (FPD) der "Auto-Schiffsverkehr" auf dem Rhein zwischen Nordsee und dem einzigen rheinland-pfälzisches Auto-Verladeterminal bei Speyer. Weil fabrikneue Personenwagen dort verschifft werden, rollen nach einer Berechnung des Mainzer Wirtschaftsministeriums monatlich 1 000 Lastwagen weniger über die Autobahn A 61. "Bislang", so Brüderle in Mainz, "wurden damit alle Erwartungen übertroffen." In Wörth wurden bereits 50 000 Personenwagen auf Rheinschiffe umgeschlagen, die allein für den Autotransport ausgerüstet sind. Nach den Berechnungen des Mainzer Ministeriums entspricht eine Schiffsladung mit bis zu 500 Personenwagen ungefähr der Kapazität von 65 Autotransportern. So seien allein im ersten Halbjahr 1992 auf der Autobahn A61 über 6000 Lastwagen, die Autos transportieren, weniger gefahren. Frankfurter Rundschau, 25.01.1992 Sieh im Atlas nach, wo Wörth liegt und wie die Schiffe fahren. 1. Stimmt die Lastwagenentlastung für das erste Halbjahr 1992 in etwa? 2. Wie viele Autos werden durchschnittlich pro Monat verschifft? Wie viele Schiffe sind dafür nötig? Mögliche Lösung 1. 2. 50 000 PKW wurden im 1.Halbjahr 1992 verschifft. Ein Laster trägt 500 PWK : 65 7,7 PKW, also zwischen 7 und 8 PKW im Durchschnitt. 50 000 : 7 7143 und 50 000 : 8 6250 Es fahren sogar 6000 bis 7000 weniger LKW. 1 000 LKW tragen 7000 bis 8000 PKW. 7000 : 500 = 14 und 8000 : 500 = 16 Es fahren rund 15 Schiffe im Monat. Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Anwendung Schwierigkeitsgrad: Basiswissen shutter men Senioren helfen beim Foto In der nordjapanischen Provinzhauptstadt Sapporo erfreut sich eine Gruppe von Rentnern großer Beliebtheit unter den Touristen, weil sie freundlich ihre Fotoapparate entgegennehmen und sie vor dem berühmten Uhrenturm der Stadt knipsen. Die zwischen 63 und 77 Jahre alten "shutter men" ("AuslöserMänner") drücken am Tag 300 Mal auf den Auslöser und 18 000 Mal in einer ganzen Saison. Wie lange dauert eine Saison? Mögliche Lösung 18 000 : 300 = 60 Die Saison dauert – nach den Angaben – etwa 2 Monate. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Vertiefung Alte Kegelrunde 30 Jahre sind sie heute auf den Tag genau zusammen: Der Appelhülsener Kegelclub "Die Mutigen" feiert damit ein ganz besonderes Jubiläum. Am 25. Januar 1967 ließ die lustige Damenrunde, damals zehn Frauen, zum ersten Mal die Kugel rollen. Dabei hatten sie so viel Spaß miteinander, dass sie sich seit jenem Tage alle zwei Wochen zum Kegeln treffen. Nunmehr sind es noch acht rüstige Damen, die diese regelmäßigen Treffen zum Kegeln und Klönen nutzen und damit sicherlich keine gewöhnliche Kaffeerunde sind. Zählt man die Jahre aller Mitglieder zusammen, ergibt sich die stolze Summe von 584 Jahren. Sicherlich ist erwähnenswert, dass zwei der Kegelschwestern bereits das 81. Lebensjahr vollendet haben und das jüngste Mitglied mit gerade mal 63 Jahren fast als das "Küken" der Runde bezeichnet werden darf. Eine große Anzahl von Enkeln kann jede von ihnen vorweisen und nicht nur eine darf sich bereits Ur-Oma nennen. Eins wissen "Die Mutigen" ganz genau: Sie werden noch viel Spaß miteinander haben, so manche Kugel wird noch rollen. Westfälische Nachrichten, 25.01.1997 1. Wie alt sind die rüstigen Damen im Durchschnitt? 2. Welches Durchschnittsalter ergibt sich für die restlichen Damen, wenn du die 3 bekannten Jahresdaten berücksichtigst? Mögliche Lösung 1. 8 rüstige Damen sind 584 Jahre alt. 584 : 8 = 73 Im Durchschnitt sind die Frauen 73 Jahre alt. 2. Es gibt zwei 81-jährige, eine 63-jährige. 584 - 2 · 81 – 63 = 359 359 Jahre bleiben auf die restlichen 5 Damen zu verteilen. 359 : 5 71 Rest 4 Die 5 restlichen Frauen sind knapp 72 Jahre alt. Mathematik Klasse 5 Mathematisches Thema: Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Natürliche Zahlen Strategie Basiswissen Im Gegensatz zur schriftlichen Subtraktion können bei der schriftlichen Division nur genau zwei Zahlen miteinander dividiert werden. Dieses Verfahren kann man bei mehr miteinander zu dividierenden Zahlen entsprechend oft wiederholen. Auch bei diesem Verfahren muss man darauf achten, die Zahlen sorgfältig nach Einern (E), Zehnern (Z), Hundertern (H) usw. zu ordnen. Beispiel: 635 : 5 Diese Division darf man auch als 600 : 5 + 30 : 5 + 5 : 5 schreiben. Zuerst wird 600 : 5 berechnet: 6H : 5 = 5H : 5 + 1H : 5 = 1H als Ergebnis (+ 1H : 5 als Rest). Jetzt wird 30 : 5 berechnet: Den 1H Rest aus der letzten Rechnung verwandelt man in 10Z und kann sie den Zehnern dieser Aufgabe 3Z : 5 zuordnen. Somit erhält man 13Z : 5: 13Z : 5 = 10Z : 5 + 3Z : 5 = 2Z als Ergebnis (+ 3Z : 5 als Rest). Jetzt wird 5 : 5 berechnet: Die 3Z Rest aus der letzten Rechnung verwandelt man in 30E und kann sie den Einern dieser Aufgabe 5E : 5 zuordnen. Somit erhält man 35E : 5: 35E : 5 = 35E : 5 ohne Rest = 7E als Ergebnis. Zusammen ergibt sich H 6 Z 3 E 5 : 5 H 1 = Z 2 E 7 Fortsetzung Kürzer schreibt man – H 6 5 – 1 1 Z E H Z E 3 5 : 5 = 1 2 7 6H : 5 = 5H : 5 + 1H : 5 = 1H als Ergebnis + 1H Rest 3 = 1H Rest + 3Z = 13Z 0 13Z : 5 = 10Z : 5 + 3Z : 5 = 2Z als Ergebnis + 3Z Rest 3 5 = 3Z Rest + 5E = 35E 3 5 35E : 5 = 35E : 5 ohne Rest = 7E als Ergebnis 0 – Oder noch kürzer – – – 6 5 1 1 3 3 0 3 3 5 5 5 0 : 5 = 1 2 7 Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Innermathematisch Basiswissen Berechne die folgenden Aufgaben schriftlich. a) 57492 4987 e) b) 759275 4729 f) c) 563972 45 g) 363738 11 d) 68208 : 12 h) 123456789 : 3 77482 34557 665927775 7004729 Mögliche Lösung 57492 a) 77482 4987 e) 62479 112039 759275 b) c) 665927775 4729 f) 7004729 754546 658923046 563972 45 363738 11 363738 2819860 g) 2255888 25378740 d) 34557 68208 : 12 363738 4001118 5684 h) 123456789 : 3 41152263 Mathematik Klasse 5 Mathematisches Thema: Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Natürliche Zahlen Strategie Basiswissen Im Gegensatz zur schriftlichen Addition können bei der schriftlichen Multiplikation nur genau zwei Zahlen miteinander multipliziert werden. Dieses Verfahren kann man bei mehr miteinander zu multiplizierenden Zahlen entsprechend oft wiederholen. Auch bei diesem Verfahren muss man darauf achten, die Zahlen sorgfältig nach Einern (E), Zehnern (Z), Hundertern (H), Tausendern (T), Zehntausendern (ZT) usw. zu ordnen. Beispiel: 348 523 Diese Multiplikation darf man auch als 348 500 + 348 20 + 348 3 schreiben. Zuerst wird 348 500 berechnet, also 348 5H: 8 5H = 40H = 4T, 40 5H = 200H = 2ZTund 300 5H = 1500H = 1HT + 5ZT. Also: Jetzt wird 348 20 berechnet, also 348 2Z: 8 2Z = 16Z = 1H + 6Z , 40 2Z = 80Z = 8H und 300 2Z = 600Z = 6T. Also: 3 + + 4 HT 8 ZT 1 1 2 5 7 4 HT 8 ZT 3 5 H T 4 0 Z 0 E 2 Z 6 0 E 4 + + T H 1 8 6 6 9 6 Fortsetzung Jetzt wird 348 3 berechnet, also 348 3E: 8 3E = 24E = 2Z + 4E , 40 3E = 120E = 1H + 2Z und 300 2E = 600E = 6H. Also: 3 4 HT 1 1 3 4 1 + + 1 8 7 5 4 6 1 1 8 1 2 3 9 6 71 4 7 0 4 4 T H 1 6 7 + + Oder kurz: 8 ZT + + 3 Also insgesamt: 4 HT 8 ZT 7 T 4 6 1 1 8 1 Z 2 2 3 E 4 4 4 2 Z 3 E 9 6 71 4 7 0 4 4 5 H Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisches Schriftliches Multiplizieren Berechne und mache zur Kontrolle einen Überschlag: a. 179 314 b. Multipliziere die Zahlen 34 und 4036. Mögliche Lösung Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 93 Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisches Schriftliches Multiplizieren Berechne: a. 3105 4003 b. 4052 2300 Mögliche Lösung Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 93 Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Meerestiefe Die Meerestiefe kann mit einem Echolot gemessen werden. Der ausgesandte Schall legt im Wasser in 1 s einen Weg von 1500 m zurück. Wie tief ist das Meer an einer Stelle, an der vom Senden bis zum Empfang des Schalls 14 Sekunden vergehen? Mögliche Lösung Da der Schall den Weg zweimal zurücklegen muss (einmal zum Meeresboden, dann wieder zurück zum Echolot), ist das Meer an der Stelle also 1500 · 7 tief. 1500 · 7 = 10 500 m. Das Meer ist also 10 500 m tief. Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Anwendung Vertiefung Löhne/Fahrtkosten Frau Weber erhält einen Stundenlohn von 7,50 €. Sie arbeitet täglich 8 Stunden. Wie viel verdient sie in einer Woche (5 Tage)? Mögliche Lösung 5 · 8 Stunden = 40 Stunden arbeitet sie in der Woche. 40 Stunden · 7,50 € pro Stunde = 300 € verdient Frau Weber in einer Woche. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Strategie Mögliche Lösung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Geldraten Ein Prospekt verspricht: Statt 199 € soll man drei Raten zu nur 69 € bezahlen. Vergleiche! Mögliche Lösung 3 · 69 = 207 DM. Für die drei Raten muss man insgesamt 207 € bezahlen, das sind 8 € mehr als bei Barzahlung von 199 €. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Vertiefung Langer Unterricht Wie viele Unterrichtsstunden und wie viele Zeitminuten hat ein Schüler im Verlauf eines Schuljahres, wenn er täglich 6 Stunden zu je 45 Minuten und das Schuljahr zu rund 40 Wochen gerechnet wird? Mögliche Lösung 6 · 5 Stunden = 30 Unterrichtsstunden pro Woche. 30 Stunden · 40 Wochen = 1200 Unterrichtsstunden. Im Schuljahr hat dieser Schüler 1200 Stunden Unterricht. 1200 Stunden · 45 Minuten = 54 000 Minuten Im Schuljahr hat dieser Schüler 54 000 Minuten Unterricht. (Wie viele Zeitstunden sind 54 000 Minuten? 54 000 : 60 = 900 Zeitstunden.) Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Schwierigkeitsgrad: Anwendung Basiswissen Gewitter Der Schall legt in einer Sekunde 330 m zurück. Wie weit ist ein Gewitter entfernt, wenn zwischen dem Aufleuchten des Blitzes und dem Beginn des Donners a) 5 s, b) 9 s, c) 2 s, d) 12 s, e) 18 s vergehen? Mögliche Lösung a) 330 · 5 = 1650 – Bei 5 s ist das Gewitter 1650 m entfernt. b) 330 · 9 = 2970 – Bei 9 s ist das Gewitter 2970 m entfernt. c) 330 · 2 = 660 – Bei 2 s ist das Gewitter 660 m entfernt. d) 330 · 12 = 3960 – Bei 12 s ist das Gewitter 3960 m (3,96 km) entfernt. e) 330 · 18 = 5940 – Bei 18 s ist das Gewitter 5940 m (5,94 km) entfernt. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Vertiefung Erde Der Umfang der Erde beträgt 40 000 km; der der Sonne ist 109-mal so groß. Wie groß ist der Umfang der Sonne? Mögliche Lösung Der Umfang der Sonne beträgt 40 000 · 109 = 4 360 000 km.. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Lokomotive Eine Lokomotive der Bundesbahn fährt 28 mal die Strecke Frankfurt/Main – Hamburg/Altona (534 km) und zurück. Wie viele km legt die Lokomotive dabei zurück. Mögliche Lösung 534 · 2 = 1068 1068 · 28 = 29904 Die Lokomotive legt insgesamt 29 904 km zurück. Mathematik Mathematisches Thema: Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Natürliche Zahlen Anwendung Atmen Was schätzt du: – Wie oft atmest du an einem Tag, – wie oft in einer Minute? Mögliche Lösung Ein Erwachsener atmet rund 15 bis 20 mal pro Minute. Rechnet man mit 20, so ergibt sich: – pro Minute: 20 mal atmen – pro Stunde: 1200 mal atmen – pro Tag: 28 800 mal atmen, knapp 30 000 mal. Kinder atmen schneller. Zähle eine Minute lang mit. Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Kosten 1. Jutta kauft drei Filzstifte, das Stück zu 35 Cent. 2. Gerd braucht 4 große Hefte. Ein Heft kostet 48 Cent. Mögliche Lösung 1. 35 · 3 = 105. Jutta muss 1,05 € bezahlen 2. 48 · 4 = 192. Gerd muss 1,92 € bezahlen. Basiswissen Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Wasserverbrauch Unser Wasserverbrauch ist in den letzten 20 Jahren um ein Vielfaches gestiegen. Wer in einem modernen Haushalt lebt, braucht pro Tag rund 150 Liter, um seinen Ansprüchen gerecht zu werden. Doch der enorme Anstieg ist nicht allein auf die oft verschwendeten Haushaltsmengen zurückzuführen. Die Industrie verbraucht fast die fünffache Wassermenge der Haushalts- und Kleinbetriebe. Auch ihr jährlich wachsender Mehrverbrauch liegt entsprechend höher. Wie viel Liter Wasser verbraucht ein Bundesbürger durchschnittlich im Jahr? Mögliche Lösung 150 Liter · 365 Tage = 54 750 Liter Wasser pro Jahr. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Basiswissen Fahrten 1. Frau Plambeck muss von ihrem Haus bis zur Baustelle 21 km fahren. Im März und April fuhr sie an 39 Arbeitstagen. Wie viel km ist sie gefahren? 2. Herr Kolbe fährt täglich von seiner Wohnung zur Baustelle und zurück eine Strecke von 37 km. Im letzten Monat fuhrt er sie 22 mal. Wie viel km ist er gefahren? Mögliche Lösung 1. 2. 21 · 2 = 42 42 ·39 km = 1638 km. Sie legt 1638 km zurück. Hoffentlich hast du bei dieser Aufgabe bedacht, dass sie ja immer zurückfahren muss. 37 · 22 km = 814 km. Herr Kolbe fuhr 814 km. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Setzplan für Biogemüse Biogemüse selber ziehen: Setzpläne für den Schulgarten. Die abgebildeten, verkleinerten Setzpläne sind für Normbeete mit einer Größe von 320 cm Länge und 150 cm Breite vorgesehen. Die Abbildungen veranschaulichen, wie Setzpläne für den Schulgarten angelegt werden können. Die Zahl der jeweils erforderlichen Setzlinge ist nach diesen Setzplänen sowohl für die Hauptfrucht als auch Zwischenfrucht leicht zu bestimmen. Berechne die Zahl der Setzlinge für die hier angegebenen Beete. =Hauptfrucht,+ = Zwischenfrucht Mögliche Lösung 1. Hauptfrucht: 16 · 6 = 96 2. Hauptfrucht: 12 · 5 = 60 Zwischenfrucht: 13 · 6 = 78 3. Hauptfrucht: 10 · 4 = 40 Zwischenfrucht: 15 · 5 = 75 2. Hauptfrucht: 6 · 3 = 18 Zwischenfrucht: 16 · 6 = 96 Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Uhren Mögliche Lösung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Anwendung Schwierigkeitsgrad: Vertiefung Stockwerke Lehrer: "Ein Haus hat acht Stockwerke. Von einem Stockwerk zum anderen führen siebzehn Stufen. Wie viele muss man gehen, um von ganz unten zum achten Stockwerk zu kommen?" Darauf Moni: "Alle!" Mögliche Lösung 8 · 17 = 136 136 Stufen muss man gehen. Mathematik Mathematisches Thema: Natürliche Zahlen Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Schwierigkeitsgrad: Anwendung Vertiefung Wohnungen Das ist eine Anzeige der Frankfurter Stadtregierung, veröffentlicht in der Frankfurter Rundschau am 22.09.1990. Wie viele Wohnungen wird es 1990 neu geben? In der Anzeige wird behauptet, 1500. Stimmt das ungefähr? Ab jetzt gibt es in Frankfurt alle 6 Stunden eine neue Wohnung. Mögliche Lösung 6 Stunden entspricht 1 Wohnung 1 Tag (24 Stunden) entspricht 4 Wohnungen 1 Jahr = 365 Tage 365 · 4 =1460
