Mögliche Lösung - Rivius Gymnasium Attendorn

Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Begriffe
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Veranschauliche die Länge der Flüsse in einem Balkendiagramm. Runde die Angaben vorher
auf 100 km.
Elbe 1165 km, Rhein 1320 km, Donau 2850 km, Oder 854 km, Weser 440 km
Mögliche Lösung
Runden:
Elbe 1200 km
Rhein 1300 km
Donau 2900 km
Oder 900 km
Weser 400 km
Balkendiagramm:
Mathematik
Klasse 5
Mathematisches Thema:
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Begriffe
Basiswissen
Info: alle ganzen Zahlen 1; 2; 3; 4; …. heißen natürliche Zahlen.
a) Wie lautet die Zahl vor und nach der angegebenen Zahl?
(1) 45.679
(2) 750.000
(3) 500.999
(4) 909.909
b) Welche Zahl ist größer? (Zur Erinnerung: 7<9 …kleiner als ….(Kleinerzeichen)
9>7 …größer als …(Größerzeichen))
Schreibe mit Größerzeichen:
(1) 102; 222
(2) 103; 300
(3) 5•10; 7•7
(4) 100-18; 100-19
Mögliche Lösung
a)
(1) 45.678; 45680
(4) 909.908; 909.910
(2) 749.999; 750.001
b)
(1) 222>101
(4) 100-18>100-19
(2) 300>103
(3) 500.998; 501.000
(3) 5•10>7•7
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Innermathematisch
Basiswissen
Mehr Verkehr im größeren Deutschland
Berechne die fehlenden Angaben.
Frankfurter Rundschau, 29.09.1990
Mögliche Lösung
357 042 km² – 248 709 km² =
108 333 km²
62,0 Mio. + 16,1 Mio. = 78,1 Mio.
621 225 km – 124 604 km =
496 621 km
488,9 Mrd. km – 438,5 Mrd. km =
50,4 Mrd. km
Mathematik
Klasse 5
Mathematisches Thema:
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Strategie
Basiswissen
Klammerterme
Man kann Terme, die Klammern enthalten besonders einfach mit Hilfe des Klammerberges
berechnen. Für den Klammerberg gelten folgende Regeln:
Jedes Mal, wenn eine Klammer aufgeht „(„ wächst der Berg, wenn sich eine Klammer
schließt „)“, dann schrumpft der Berg.
Der Berg wird von oben nach unten berechnet.
1. Beispiel: 4 + 2 (5 + 3 (6 – 2) – 1) + 9
Der Klammerberg wächst:
=4+2 (
5 + 3 (6 – 2) – 1
)+9=4+2 (
6–2
5+3 (
)–1
)+9
Der Klammerberg schrumpft:
5+3 (4)–1
=4+2 (
5 + 12 – 1
)+9=4+2 (
) + 9 = 4 + 2 ( 16 ) + 9 = 4 + 32 + 9
Also ist 4 + 2 (5 + 3 (6 – 2) – 1) + 9 = 45
Fortsetzung
2. Beispiel: 5 (87 – 16 (11 : (9 + 2) + 4))
Der Klammerberg wächst:
87 – 16 (11 : (9 + 2) + 4)
=5(
)=5 (
11 : (9 + 2) +4
87 – 16 (
)
11 : (
87 – 16 (
9+2
)+ 4
)=5 (
)
)
Der Klammerberg schrumpft:
11 : ( 11) + 4
87 – 16 (
)
=5 (
1+4
87 – 16 (
) =5 (
)
87 – 16 ( 5 )
87 – 80
) =5 (
) =5 (
)
= 5 ( 7 ) = 35
Also ist 5 (87 – 16 (11 : (9 + 2) + 4)) = 35
Mit Hilfe des Klammerberges wird die Regel veranschaulicht, dass man Klammerterme immer
von „innen“ nach „außen“ berechnet, da die Bergspitze innerhalb des Terms steht und man ihn
Schritt für Schritt zum Fuße des Berges nach außen berechnet.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisches
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Schriftliches Addieren
Welche Fehler wurden in den Rechnungen gemacht? Berechne anschließend das richtig
Ergebnis:
Mögliche Lösung
Quelle: LS 5, Arbeitsheft, S. 25
Mathematik
Klasse 5
Mathematisches Thema:
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Natürliche Zahlen
Strategie
Basiswissen
Mit der schriftlichen Addition kann man beliebig viele Zahlen addieren, wenn man dies im
Kopf nicht richtig hinbekommt.
Man muss dabei allerdings darauf achten, die Zahlen sorgfältig nach Einern (E), Zehnern (Z),
Hundertern (H) usw. zu ordnen.
H
3
1.Beispiel: 348 + 23
348 = 3H + 4Z + 8E =
23 =
2Z + 3E =
3
3
Z
4
2
6
7
E
8
3
12 , da 12E = 1Z + 2E ergeben, ordnet man 1Z der
Zehnerspalte zu. Also ist 348 + 23 = 372.
2
H
3
5
8
8
9
Z
4
7
11
12
2
E
8
9
17 , da 17E = 1Z + 7E ergeben, ordnet man 1Z der
Zehnerspalte zu. Da 12Z = 1H + 2Z ergeben,
7
ordnet man 1H der Hunderterspalte zu.
7
3
4 8
21 3
2 7
+
=
2.Beispiel: 348 + 559
348 = 3H + 4Z + 8E =
579 = 5H + 7Z + 9E =
+
=
=
Kurz schreibt man auch:
+
=
9
und
+
=
3 4 8
51 71 9
9 2 7
Mehr als zwei Zahlen addieren
3.Beispiel: 297 + 368 + 1824
297 =
2H + 9Z + 7E =
368 =
3H + 6Z + 8E = +
1894 = 1T + 8H + 9Z + 4E = +
T
=
=
=
1
1
1
1
2
9
6
91
5
7
8
4
9
Kurz schreibt man auch:
+
+
=
11
2
2
3
82
5
H
2
3
8
13
13
15
5
Z
9
6
9
24
25
5
5
E
7
8
4
19
9
9
9
, da 19E = 1Z + 9E ergeben, ordnet
man 1Z der Zehnerspalte zu. Da 25Z
= 2H + 5Z ergeben, ordnet man 2H
der Hunderterspalte zu. Da 15H = 1T
+ 5H, ordnet man 1T der Tausenderspalte zu.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwenden
Basiswissen
Bundesliga
Im Meisterschaftsspiel der Bundesliga "Eintracht Frankfurt gegen den 1. FC
Kaiserslautern" verkaufte der Kassierer Sitzplatzkarten von Nr. 4 087 bis 16 099
und Stehplatzkarten von Nr. 2 365 bis 26 947.
Wie viele Karten verkaufte er von jeder Sorte?
Mögliche Lösung
16 099 – 4 086 = 12 013 Sitzplatz-Karten wurden verkauft.
26 947 – 2 364 = 24 583 Stehplatz-Karten wurden verkauft
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisch
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Wie viele Einwohner
hatte die EU Anfang
2002?
Runde auf Millionen!
Mögliche Lösung
Belgien
Dänemark
Deutschland
Finnland
Frankreich
Griechenland
Großbritannien
Irland
Italien
Luxemburg
Niederlande
Österreich
Portugal
Schweden
Spanien
EU
10 300 000
5 400 000
82 400 000
5 200 000
59 300 000
10 600 000
60 100 000
3 900 000
58 000 000
400 000
16 100 000
8 100 000
10 300 000
8 900 000
40 400 000
379 400 000
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Anwenden
Basiswissen
Radrundfahrt
Bei einer Radrundfahrt sind 10 Etappen zu fahren. Bei der ersten Etappe müssen
150 km zurückgelegt werden. Jede folgende Etappe ist um 10 km länger als die
vorhergehende.
1. Wie lang sind die einzelnen Etappen?
2.
Wie viel Kilometer werden bei der ganzen Rundfahrt zurückgelegt?
Mögliche Lösung
1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Etappe:
Etappe:
Etappe:
Etappe:
Etappe:
Etappe:
Etappe:
Etappe:
Etappe:
Etappe:
150 km
160 km
170 km
180 km
190 km
200 km
210 km
220 km
230 km
240 km
2. 1950 km werden zurückgelegt.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisch
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Die Einhorn-Apotheke
Symbol einer Apotheke mit
gutem Ruf über Frankfurt
hinaus: das Einhorn. Die 1637
gegründete
und
jetzt
geschlossene
Firma
mit
homöopathischer
Abteilung
zählte zu den führenden in
Deutschland.
Frankfurter Rundschau, 03.02.1994
Wie alt wurde
die Apotheke?
Mögliche Lösung
Das Ende nach 356 Jahren
Anfang 1994 wurde die Apotheke geschlossen. Das Jahr 1994 zählt also
nicht mehr. 1993 – 1637 = 356.
Wenn du 1994 – 1637 = 357 gerechnet hast, ist die Lösung auch in Ordnung.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisch
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Passendes Geld
Du hast von jeder Euro-Münze und jedem Euro-Schein genau einen. Kannst du folgende Beträge
passend hinlegen: 80,45 € – 118,25 € – 354 € – 99 € – 888,88 €.
Mögliche Lösung
80,45 € – nein
118,25 € – ja
354 € – nein
99 € – nein
888,88 € – ja
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Innermathematisch
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
"Lehrer, Lehrer"
Zitat des Tages
Es fehlen 17 000 plus 5000 Lehrer, macht also 25 000 Lehrer.
Die Fachfrau der CDU-Fraktion und ehemalige Schulleiterin Beatrix Philipp während der Schuldebatte
im Landtag.
WAZ, 20.09.1991
Prüfe die Rechnung. Stelle die richtige Rechnung auf.
Mögliche Lösung
17 000 + 5000 = 22 000.
Entweder muss es heißen: "macht also 22 000 Lehrer", oder man muss
rechnen: 17 000 + 8000 = 25 000.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Anwenden
Basiswissen
Lotterie
Von einem Lotteriegewinn kauft Frau Glückspilz in der Oberstadt vier Häuser.
Das erste kostet 180 000 €. Das zweite ist 16 000 € billiger als das erste. Das
dritte kostet 12 500 € weniger als das zweite. Das vierte Haus ist 19 400 billiger
als das erste.
Wie viel muss sie für jedes Haus zahlen?
Wie viel muss sie insgesamt zahlen?
Mögliche Lösung
Für das erste Haus zahlt sie
180 000 €.
Für das zweite Haus zahlt sie 164 000 €.
Für das dritte Haus zahlt sie
151 500 €.
Für das vierte Haus zahlt sie
160 600 €.
Insgesamt: 656 100 €
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisches
Schriftliches Multiplizieren
Berechne und mache zur Kontrolle einen Überschlag:
a. 179 314
b. Multipliziere die Zahlen 34 und 4036.
Mögliche Lösung
Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 93
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisches
Schriftliches Multiplizieren
Berechne:
a. 3105 4003
b. 4052 2300
Mögliche Lösung
Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 93
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Vertiefung
Wohnungen
Das ist eine Anzeige der Frankfurter Stadtregierung, veröffentlicht in der
Frankfurter Rundschau am 22.09.1990.
Wie viele Wohnungen wird es 1990 neu geben?
In der Anzeige wird behauptet, 1500.
Stimmt das ungefähr?
Ab jetzt gibt es
in Frankfurt alle 6 Stunden
eine neue Wohnung.
Mögliche Lösung
6 Stunden entspricht 1 Wohnung
1 Tag (24 Stunden) entspricht 4 Wohnungen
1 Jahr = 365 Tage
365 · 4 =1460
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisches
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Schriftliches Subtrahieren
Untersuche die Beispiele und ordne sie den Fehlerarten zu. Korrigiere die Fehler im Heft.
Mögliche Lösung
Quelle: LS 5, Arbeitsheft, S. 26
Mathematik
Klasse 5
Mathematisches Thema:
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Natürliche Zahlen
Strategie
Basiswissen
Mit der schriftlichen Subtraktion kann man beliebig viele Zahlen von einer Zahl subtrahieren,
wenn man dies im Kopf nicht richtig hinbekommt.
Man muss dabei allerdings darauf achten, die Zahlen sorgfältig nach Einern (E), Zehnern (Z),
Hundertern (H) usw. zu ordnen.
1.Beispiel: 523 – 312
H Z E
H Z E Um von 3E die 5E abziehen
523 = 5H + 2Z + 3E =
5 2 3 =
5 1 13 zu können, vergrößert man
3E um 1Z aus der Zehner315 = 3H + 1Z + 5E =
– 3 1 5 = – 3 1 5
spalte (und verkleinert die
2 0 8
Zehnerspalte um 1Z).
2.Beispiel: 872 – 795
872 = 8H + 7Z + 2E =
795 = 7H + 9Z + 5E =
–
H
8
7
Z
7
9
E
2
5
=
=
–
H
8
7
Z
6
9
E
12 =
5 =
–
H
7
7
0
Z
16
9
7
E
12
5
7
Um von 2E die 5E abziehen zu können, vergrößert man 2E um 1Z aus der Zehnerspalte (und
verkleinert die Zehnerspalte um 1Z). Um von den verbliebenen 6Z die 9Z abziehen zu können,
vergrößert man 6Z um 1H aus der Hunderterspalte (und verkleinert die Hunderterspalte um
1H).
Statt die oberen Zeilen um
Kurz schreibt man auch:
und
8 7 2
5 2 3
1Z oder 1H zu verkleinern,
– 71 91 5
– 3 11 5
wird hier die untere Zeile um
1Z und 1H vergrößert, was
=
7 7
= 2 0 8
zum selben Ergebnis führt!!!
Mehr als eine Zahl subtrahieren
3.Beispiel: 1297 – 368 – 297
T H Z E
T H Z E
1297 = 1T + 2H + 9Z + 7E =
1 2 9 7 =
1 2 9 7
368 =
3H + 6Z + 8E = –
3 6 8 = –
5 14 15
287 =
2H + 8Z + 7E = –
2 8 7
Statt von 1297 erst 368 und dann 297 abzuziehen, kann man erst 368 und 297 addieren
und anschließend von 1297 abziehen. 368 und 297 ergibt Hunderter- Zehner- und
Einerspaltenbezogen 5H, 14Z und 15E.
=
= –
=
= –
T
1
H
2
5
Z E
Um von 7E die 15E abziehen zu können, vergrößert man 7E um
8 17 1Z aus der Zehnerspalte (und verkleinert die Zehnerspalte um
14 15 1Z).
T
1
H
1
5
Z E
18 17 Um von 8Z die 14Z abziehen zu können, vergrößert man 8Z um
14 15 1H aus der Hunderterspalte (und verkleinert die Hunderterspalte
um 1H).
Also
=
= –
T
0
H
11
5
6
Z
18
14
4
E oder kurz
17
15
2
1
–
–
2
3
21
6
9
6
81
4
7
8
7
2
Statt die oberen Zeilen um
1Z oder 1H zu verkleinern,
wird hier die untere Zeile
um 1Z und 1H vergrößert,
was zum selben Ergebnis
führt!!!
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwenden
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Sinnvolles und sinnloses Addieren
In welchen der folgenden Aufgaben ist es sinnvoll, die beiden Zahlen zu addieren.
Führe die sinnvollen Additionen aus!
a) Detlevs Vater verdient monatlich 2085 €, Detlevs Mutter 1405 €.
b) Detlev ist 13 Jahre alt und 145 cm groß.
c) Als er geboren wurde, war sein Oberkörper (bis zum Nabel) 253 mm lang und
sein Unterkörper ebenfalls 253 mm lang.
d) Jetzt ist sein Oberkörper 55 cm, sein Unterkörper 90 cm lang. Vergleiche mit
c), was fällt dir auf?
e) Es gibt etwa 1 200 000 bekannte Tierarten, darunter allein 1 000 000
Insektenarten.
f) Unter den 1 000 000 Insektenarten sind 350 000 verschiedene Käferarten. Die
Käfer bilden die artenreichste Tiergruppe.
g) Ein Tausendfüssler hat maximal 340 linke und 340 rechte Beine.
Mögliche Lösung
a) sinnvoll: 3490 €
b) sinnlos
c) Gesamtgröße bei der Geburt: 506 mm
d) Gesamtgröße jetzt: 145 cm. Der Unterkörper ist länger als der
Oberkörper.
e) sinnlos
f) sinnlos
g) 680 Beine zusammen
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Natürliche Zahlen
Begriffe
Vertiefung
Jede Ziffer in einer natürlichen Zahl hat einen Stellenwert, z. B. in 53.687 hat die 5 den
Zehntausender-Stellenwert, die 6 den Hunderter-Stellenwert und die 7 den Einer-Wert.
I. Gegebene Zahl: 8.467.352
Schreibe auf wie die Zahl heißt, wenn man die gegebene Zahl um
(1) 2 Tausender
(2) 3 Hunderttausender (3) 6 Zehner
um (4) 6 Zehntausender (5) 2 Hunderter
(6) 3 Zehner
erhöht
erniedrigt
II. Für die Stellenwerte 10, 100, 1000 usw. gibt es eine besondere Schreibweise:
1.000 = 10•10•10 = 103 (gelesen: zehn hoch drei), 100.000 = 105.
a) Schreibe als Zahl
(1) 7•102
(2) 104
2
(5) 10•10
(6) 4•107
(3) 3•101
b) Gib Vorgänger und Nachfolger an:
(1) 102
(2) zehntausend
(4) 6•103
(3) 104
(4) 10•10•10
Mögliche Lösung
I.
(1) 8.469.352
(4) 8.407.352
II. a) (1) 700
b)
(2) 8.767.352
(5) 8.467.152
(2) 10.000
(1) 99; 101
(3) 30
(2) 9.999; 10.001
(3) 8.467.412
(6) 8.467.322
(4) 6.000
(5) 1.000
(6) 40.000.000
(3) 99.999; 10.001 (4) 999; 1.001
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Strategien
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
a) Stelle eine dezimale Stellenwerttafel auf und trage die Zahlnamen bis
1012 ein.
b) Wie viele genau zwei-, drei-, vier-, fünf-, ... n-stellige natürliche Zahlen gibt es im
Dezimalsystem?
c) Wie viele natürliche Zahlen mit höchstens zwei, drei, vier, fünf, ... n Stellen gibt es
im Dezimalsystem?
d) Wie viele zwei-, drei-, vierstellige Zahlen mit der Quersumme 7 (9, 12) gibt es im
Dezimalsystem?
Mögliche Lösung
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisch
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
a) Berechne den Quotienten der Zahlen 25345 und 37.
b) Bilde die Differenz aus 648 und 387 und multipliziere anschließend mit 39.
c) Dividiere die Summe der Zahlen 87 und 823 durch 13.
d) Subtrahiere von 1000 den Quotienten aus 18864 und 24.
e) Dividiere das Produkt von 39 und 48 durch die Summe der Zahlen durch die Summe der
Zahlen 90 und 27.
f) Bilde das Produkt aus der Summe von 39 und 72 mit der Differenz aus 38 und 27.
Mögliche Lösung
a) 25345 : 37 = 685
b) ( 648 – 387 ) . 39 = 261. 39 = 10179
c) ( 87 + 823 ) : 13 = 910 : 13 = 70
d) 1000 – ( 18864 : 24 ) = 1000 – 786 = 214
e) ( 39 . 48 ) : ( 90 + 27 ) = 1872 : 117 = 16
f) ( 39 + 72 ) . ( 38 – 27) = 111 . 11 = 1221
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Innermathematisches
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Untersuche folgende drei Zahlenfolgen. Ermittle die ersten 15 Glieder und erkläre, wie du
darauf gekommen bist.
a) Quadratzahlfolge: 1 4 9 16 25 36 49 ...
b) Dreieckszahlenfolge: 1 3 6 10 15 21 28 ...
c) Fibonaccifolge: 1 2 3 5 8 13 21 ...
Mögliche Lösung
a) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 169 196 225 256
Alle natürlichen Zahlen ab 1 werden quadriert, also mit sich selbst mal genommen:
1∙1, 2∙2, 3∙3, …
b) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
Startzahl 1 => zum neuen Ergebnis wird jeweils die nächste natürliche Zahl addiert
1+2=3
3+3=6
6 + 4 = 10 10 + 5 = 15
c) 1 2 3 5 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1587 2584
Rekursiv definiert, das heißt, dass jeweils zwei aufeinander folgende Zahlen
addiert werden und die nächste Zahl ergeben
1+2=3,
2+3=5,
3+5=8,
5+8=13
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwenden
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Bestimme alle zweistelligen natürlichen Zahlen x, welche zugleich folgende Bedingungen
erfüllen:
• x ist größer als 60.
• x hat genau vier Teiler.
• x ist ungerade.
• vertauscht man bei x die beiden Ziffern, so erhält man eine Primzahl.
Mögliche Lösung
91 und 95
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisch
Primfaktorzerlegung
Zerlege in Primfaktoren.
Beispiel: 20 = 2 . 2 . 5
a) 24 =
b) 45 =
c) 80 =
d) 120 =
e) 155 =
f) 70 =
g) 210 =
h) 441 =
Mögliche Lösung
a) 24 = 2 . 2 . 2 . 3
b) 45 = 5 . 9
c) 80 = 2 . 2 . 2 . 2 . 5
d) 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5
e) 155 = 5 . 31
f) 70 = 2 . 7 . 5
g) 210 = 2 . 5 . 7 . 3
h) 441 = 7 . 7 . 9
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisch
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Berechne geschickt im Kopf und notiere, wie du gerechnet hast.
a) 29 + 17 + 21
b) 17 + 55 + 23
c) 41 + 18 - 1 - 18 + 5
d) 55 – 23 + 5 + 13
Wie heißt das verwendete Rechengesetz?
Mögliche Lösung
a)
29 + 17 + 21 = ( 29 + 21) + 17 = 50 + 17 = 67
b)
17 + 55 + 23 = ( 17 + 23 ) + 55 = 40 + 55 = 95
c) 41 + 18 – 1 – 18 + 5 = ( 41 – 1) + (18 – 18) + 5 = 45
d) 55 – 23 + 5 + 13 = ( 55 + 5 ) + 13 – 23 = 60 + 13 – 23 = 73 – 23 = 50
Assoziativgesetz
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Innermathematisch
Vertiefung
Berechne unter Beachtung der Rechengesetze.
a) ( 7 + 33 ) · ( 23 - 6 · 2 + 9)
b) 360 - ( 16 · 9 + 54 - 14 · 5 + 20 )
c) ( 382 · 3 - 5 · 82 + 4 ) · ( 31 + 2 · 7 · 9)
d) 200 + ( ( ( 17 · 9 + 10 ) · 4 - 3 · 7 · 8 ) · 2 - 10 ) · 5
Mögliche Lösung
a)
( 7 + 33 ) · ( 23 - 6 · 2 + 9 ) = 40 · 20 = 800
b)
360 - ( 16 · 9 + 54 - 14 · 5 + 20 ) = 360 - ( 144 + 54 - 70 + 20 )
= 360 - 148 = 212
c) ( 382 · 3 - 5 · 82 + 4 ) · ( 31 + 2 · 7 · 9) = ( 1146 - 410 + 4 ) · ( 31 + 126)
= 740 · 157
= 116180
d)
200 + ( ( ( 17 · 9 + 10 ) · 4 - 3 · 7 · 8 ) · 2 - 10 ) · 5
= 200 + ( ( 163 · 4 - 168) · 2 - 10 ) · 5
= 200 + ( 484 · 2 - 10 ) · 5
= 200 + ( ( 652 - 168) · 2 - 10 ) · 5
= 200 + 958 · 5
= 200 + 4790 = 4990
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Strategien
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Die Rechengesetze legen fest, wie man Rechnungen durchführen darf, damit sich das Ergebnis
der Rechnung nicht verändert. Du darfst also nur Termumformungen durchführen, die dir durch
die Rechengesetze erlaubt werden, wenn sich das Ergebnis der Rechnung nicht ändern soll.
Das Kommutativgesetz für die Addition und Multiplikation
Das Wort Kommutativgesetz ist das Fachwort für das Wort Vertauschungsgesetz. Es besagt,
dass man bei einer Summe oder einem Produkt die Summanden oder die Faktoren
vertauschen kann, ohne dass sich der Wert der gesamten Rechnung verändert.
Beispiele für die Summe: 13 + 7 = 20 = 7 + 13 oder 2 + 99 = 101 = 99 + 2
Beispiele für das Produkt: 4 7 = 28 = 7 4 oder 8 5 = 40 = 5 8
Wenn man bei einer Subtraktion oder Division die Zahlen vertauscht, dann ändert sich das
Ergebnis. Deshalb gibt es für diese beiden Rechenarten kein Kommutativgesetz.
Das Assoziativgesetz für die Addition und Multiplikation
Das Wort Assoziativgesetz ist das Fachwort für das Wort Verbindungsgesetz. Es besagt, dass
man bei einer Summe oder einem Produkt mit mehr als 2 Summanden oder Faktoren, jeweils
zwei benachbarte Summanden oder Faktoren an einer beliebigen Stelle in der Rechnung
miteinander verrechnen kann, ohne dass sich der Wert der gesamten Rechnung verändert.
Welche Zahlen berechnet werden sollen kann man mit Klammern kennzeichnen (muss man
aber nicht).
Beispiel für die Summe: 45 + 19 + 81 = 45 + (19 + 81) = 45 + 100 = 145
Beispiele für das Produkt: 9 5 4 2 = (9 5) (4 2) = 45 8 = 360
Fortsetzung
Wenn man bei einer Subtraktion oder Division mit mehr als zwei Zahlen jeweils zwei
benachbarte Zahlen an einer beliebigen Stelle in der Rechnung miteinander verrechnet, dann
ändert sich das Ergebnis. Deshalb gibt es für diese beiden Rechenarten kein Assoziativgesetz.
Beispiel: 24 – 12 – 5 = 24 – (12 – 5) = 24 – 7 = 17
72 : 12 : 3 = 72 : (12 : 3) = 72 : 4 = 18
Um zu entscheiden, wie man hier richtig rechnet, braucht man Die von-links-nach-rechtsRechenregel (Strategiekarte 6). Richtig wäre also 24 – 12 – 5 = 12 – 5 = 7 und
72 : 12 : 3 = 6 : 3 = 2
Das Distributivgesetz
Das Wort Distributivgesetz ist das Fachwort für das Wort Verteilungsgesetz. Es besagt, wie
man eine Summe oder Differenz mit einer Zahl multiplizieren oder durch eine Zahl dividieren
darf, ohne dass sich der Wert der Rechnung verändert.
Beispiel: (3 + 6) 9 = 3 9 + 6 9 = 27 + 54 = 81 (Punkt-vor-Strich-Regel beachten!)
(99 – 33) : 11 = 99 : 11 – 33 : 11 = 9 – 3 = 6
8 (4 + 7 – 5) = 8 4 + 8 7 – 8 5 = 32 + 56 – 40 = 88 – 40 = 48
(65 – 15 + 55) : 5 = 65 : 5 – 15 : 5 + 55 : 5 = 13 – 3 + 11 = 10 + 11 = 21
(bei den letzten beiden Beispielen beachte die von links-nach-rechts-Regel!)
Die Bezeichnung „Verteilung“ kommt also daher, weil sich der Faktor oder der Divisor auf jede
einzelne Zahl der Summe oder der Differenz verteilt.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwenden
Vertiefung
Rechenvorteile, Rechentricks, Rechenkunststücke
Wie kann man vorteilhaft mit 4 und 8 multiplizieren im Kopf?
Wie kann man im Kopf einfach mit 5, mit 50 bzw. mit 25 multiplizieren?
Wie kann man halbschriftlich mehrstellige (oder auch nur zweistellige) Zahlen mit 11
multiplizieren?
Mögliche Lösung
- Mehrfaches Verdoppeln
- z. B. erhält man die Multiplikation mit 5, indem man zuerst mit 10 multipliziert und dann
halbiert.
- Quadrieren von Zahlen der Form 10a + 5 mit Hilfe der binomischen Formel.
Berechnen von Ausdrücken der Form (a + b) * (a - b) mit Hilfe der 3. binomischen Formel,
wenn man die Quadratzahlen kennt!
So kann man etwa 43 * 37 = 402 - 32 = 1591 leicht im Kopf rechnen.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Begriffe
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
1. Benenne die folgenden Rechenoperationen mit dem richtigen Begriff und berechne das
Ergebnis:
35 + 15 =
25 – 12 =
125 : 5 =
10 • 11 =
2. Ordne die Begriffe Subtrahend, 1. + 2. Summand, 1. + 2. Faktor, Dividend, Minuend
und Divisor den entsprechenden Zahlen zu.
Mögliche Lösung
1. Addition: 50 (Summe)
Subtraktion: 13 (Differenz)
Division: 25 (Quotient)
Multiplikation: 110 (Produkt)
2. Subtrahend: 12
1. Summand: 35
2. Summand: 15
1. Faktor: 10
2. Faktor: 11
Dividend: 125
Minuend: 25
Divisor: 5
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Strategie
Basiswissen
Die Rechenregeln sind Regeln, die dafür da sind, dass eine Rechnung ein eindeutiges
Ergebnis liefert, dass also nicht zwei verschiedenen Lösungen möglich sind.
1. Beispiel: 5 + 7 2
Peter rechnet 5 + 7 2 = 12 2 = 24 und
Lisa rechnet 5 + 7 2 = 5 + 14 = 19, aber wer hat Recht?
2. Beispiel: 12 : 6 : 2
Peter rechnet 12 : 6 : 2 = 2 : 2 = 1
Lisa rechnet 12 : 6 : 2 = 12 : 3 = 4, aber wer hat Recht?
3. Beispiel: 12 – (8 – 6) : 2
Peter rechnet 12 – (8 – 6) : 2 = 12 – 8 – 6 : 2 = 4 – 3 = 1 und
Lisa rechnet 12 – (8 – 6) : 2 = 12 – 2 : 2 = 10 : 2 = 5, aber wer hat Recht?
Um dies zu entscheiden braucht man Regeln zum Rechnen = Rechenregeln:
Die Punkt-vor-Strich-Regel:
Punktrechnungen ( und :) werden vor Strichrechnungen durchgeführt
Die von-links-nach-rechts-Regel:
Kommen in einer Rechnung nur noch Subtraktionen oder nur noch Divisionen vor, so muss von
links nach rechts gerechnet werden
Die Klammer-Regel: Mit Klammern kann man kennzeichnen, was miteinander berechnet
werden muss.
Fortsetzung
Zum 1. Beispiel:
Hier hat Lisa Recht, da hier die Punkt-vor-Strich-Regel benutzt und 7 2 zuerst berechnet
werden muss. 5 + 7 2 = 5 + 14 = 19 ist richtig.
Zum 2. Beispiel:
Hier hat Peter Recht, da hier die von-links-nach-rechts-Regel benutzt werden muss. Zuerst
muss also 12 : 6 = 2 berechnet werden und dann 2 : 2 = 3.
Die gleiche Regel gilt, wenn die Aufgabe 12 – 6 – 2 lauten würde: 12 – 6 – 2 = 6 – 2 = 4
Zum 3. Beispiel:
Hier hat keiner von beiden Recht, da hier zuerst die Klammer-Regel und dann die Punkt-vorStrich-Regel benutzt werden muss.
Die richtige Lösung ist 12 – (8 – 6) : 2 (Klammern zuerst)
= 12 – (2) : 2
(Punkt-vor-Strich)
= 12 – 1
= 11
Peters Fehler: 12 – (8 – 6) : 2 (hier hat er die Klammer nicht zuerst berechnet)
= 12 – 8 – 6 : 2
=4–3
=1
Lisas Fehler: 12 – (8 – 6) : 2 (die Klammer hat Lisa richtig berechnet)
= 12 – 2 : 2
(hier muss sie 2 : 2 zuerst berechnen und nicht 12 – 2)
= 10 : 2 = 5
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisches
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Schriftliches Addieren
Berechne:
1. 5113 + 362
2. 1213 + 142 + 562
3. 4807 + 100700 + 904
Mögliche Lösung
zu 1.
Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 86
zu 2.
zu 3.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Innermathematisches
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Schriftliches Dividieren
Berechne:
a. 2798 : 21, kontrolliere durch Überschlag und führe die Probe durch.
b. 5105 : 12 und kontrolliere durch Überschlag.
c. 4635 : 15
Mögliche Lösung
zu a.
zu b.
Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 95/6
zu c.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisches
Schriftliches Dividieren
Welche Ziffern gehören in die Lücken?
Mögliche Lösung
Quelle: LS 5, Arbeitsheft, S. 29
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Für welche Zahl steht
Schwierigkeitsgrad:
Innermathematisch
?
a) 3776 : 59
b) 54
2754
c) 6768 :
d)
e)
f)
572
: 37
752
7436
5772
257 17219
Mögliche Lösung
a) 3776 : 59 = 64
Tipp für die folgenden Aufgaben: Verwende die Umkehrrechnung!!
b) 2754 : 54 = 51
c) 6768 : 752 = 9
d) 7436 : 572 = 13
e) 5772 . 37 = 213564
f) 17219 : 257 = 67
Vertiefung
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Eier
In einer Hühnerfarm sollen 7638 Eier in Schachteln zu 6 Eiern abgepackt werden.
Wie viele Schachteln können gefüllt werden?
Mögliche Lösung
7638 : 6 = 1273 Schachteln können gefüllt werden.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Vertiefung
Mars
Die Marssonde Mars I der ehemaligen UdSSR sandte noch aus einer Entfernung
von 105 Millionen km Funksignale zur Erde.
Ein Funksignal legt in einer Sekunde 300 000 km zurück.
Nach welcher Zeit konnten in der Empfangsstation die Funksignale der
Marssonde aufgenommen werden?
Mögliche Lösung
105 000 : 300 000 = 350
Nach 350 s (5 min 50 s) konnten auf der Erde die Signale aufgenommen
werden.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Basiswissen
Taifun
Ein Taifun nähert sich mit einer Geschwindigkeit von 150 km pro Stunde der
Küste.
Seine Entfernung beträgt 375 km, als die Bewohner gewarnt werden.
Wie viel Zeit haben sie, um sich in Sicherheit zu bringen?
Mögliche Lösung
375 : 150 = 2 Rest 75
Der Taifun benötigt genau 2 ½ Stunden bis zur Küste.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Licht
Wie lange braucht ein Lichtstrahl von der Sonne zur Erde, wenn die Entfernung
Sonne/Erde rund 150 000 000 km beträgt und das Licht in der Sekunde
300 000 km zurücklegt?
Mögliche Lösung
150 000 000 : 300 000 = 1500 : 3 = 500
Das Licht braucht genau 500 s (8 min 20 s), um den Weg Sonne/Erde
zurückzulegen.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Wasser
Das Wasserwerk einer Stadt gibt in 360 Tagen 15 681 600 m³ Wasser ab.
Berechne den Wasserbedarf für
einen Monat (Monat = 30 Tage),
einen Tag
eine Stunde.
Mögliche Lösung
15 861 600 m³ : 12 = 1 306 800 m³ im Monat
1 306 800 m³ : 30 = 43 560 m³ am Tag
43 560 m³ : 24 = 1815 m³ in der Stunde
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Vertiefung
Jubiläum
Vor 9132 Tagen gab es ein glückliches Paar,
denn damals sagten beide ja.
Dieses Glück besteht auch heute noch,
und man staune:
Die wahre Liebe gibt es doch!
Die allerbesten Grüße und Glückwünsche
kommen von nah – 2 km – und fern – 546 km –
P. + S.
Dülmener Zeitung, 20.10.1990
1. Welches Jubiläum feiern P. und S.?
2. Erkläre den Rest
(Tipp: Schaltjahr).
Mögliche Lösung
1.
2.
91132 : 365 = 25 Rest 7
Das Paar feiert Silberne Hochzeit.
Die Hochzeit war am 20.10.1965.
Schaltjahre (mit 366 Tagen) gab es an allen durch 4 teilbaren
Jahreszahlen:
1968, 1972, 1976, 1980, 1984, 1988. Daher kommen 6 der 7
überzähligen Tag. Der 7. überzählige Tag ist der 20.10.1990 selbst, denn
das 25. Jahr endete am 19.10.1995
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Basiswissen
Wasserrohre
Durch zwei Rohre soll ein Wasserbehälter, der 852 Liter fasst, gefüllt werden.
Das eine Rohr liefert in einer Sekunde 4 Liter, das andere 8 Liter.
In wie viel Minuten ist der Behälter gefüllt?
Mögliche Lösung
In einer Sekunden fließen insgesamt 12 Liter Wasser zu, aus einem Rohr 4
Liter und aus dem anderen 8 Liter.
852 : 12 = 71
Es dauert genau 71 s bis der Behälter gefüllt ist.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Schnellzug
Wie viele Tage und Stunden würde ein Schnellzug bei einer Geschwindigkeit von
80 km/h brauchen, um einmal am Äquator um die ganze Erde herumzukommen
(Umfang der Erde = 40 000 km)?
Mögliche Lösung
40 000 : 80 = 500
500 : 24 = 20 Rest 20
Der Schnellzug würde 500 Stunden, das sind 20 Tage und 20 Stunden,
benötigen.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Flugzeug
Wie viele Stunden braucht ein Flugzeug bei einer Geschwindigkeit von 6 km in
der Minute für eine Strecke von 1080 km?
Mögliche Lösung
1080 · 6 = 180
Das Flugzeug braucht für die Strecke von 1080 km 180 min (3 Stunden).
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Gasrohre
Ein Rohrleger verlegt täglich 480 m Gasleitung.
Wie viele Arbeitstage werden für 168 km Rohrlänge benötigt?
(Rechne in m)
Mögliche Lösung
168 km = 168 000 m
168 000 · 480 = 350
Für 168 km werden 350 Arbeitstage benötigt.
Vertiefung
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Kies-LKW
In einem Baustoffgroßlager befinden sich 7650 t Kies.
Wie viele LKW können davon mit je 14 t beladen werden?
Wie viel t bleiben als Rest übrig?
Mögliche Lösung
7650 : 14 = 546 Rest 6
Es können 546 LKW beladen werden.
Es bleibt ein Rest von 6 t.
Basiswissen
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Autourlaub
Herr Spieß fuhr im Urlaub 3400 km mit seinem Auto, er verbrauchte 408 Liter
Benzin.
Wie viel Liter benötigte er durchschnittlich für 100 km?
Mögliche Lösung
3400 : 100= 34
408 : 34 = 12
Sein Auto verbrauchte durchschnittlich 12 Liter Benzin für 100 km.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Kaufen – Kaufen
1.
Frau Griesel kauft 3 Tischtennisbälle.
Sie bezahlt 1,95 €.
Was kostet ein Ball? (Rechne erst in Cent).
2.
Herr Bigalke bezahlt für 5 Becher Margarine 4,95 €.
Was kostet ein Becher? (Rechne erst in Cent).
Mögliche Lösung
1.
195 : 3 = 65. Ein Ball kostet 65 Cent (= 0,65 €).
2.
495 : 5 = 99. Ein Becher kostet 99 Cent (= 0,99 €).
Basiswissen
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Schulausflug
Eine Schulklasse von 30 Schülern machte mit dem Omnibus einen Ausflug. Die
Fahrtkosten betrugen 460 €. Die Stadtverwaltung gab einen Zuschuss von 115 €.
Welchen Betrag musste jeder Schüler zahlen?
Mögliche Lösung
460 € – 115 € = 345 €.
345 € = 34 500 Cent.
34 500 Cent : 30 = 1150 Cent.
1150 Cent = 11,50 €
Jeder Schüler muss 11,50 € bezahlen.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Anwendung
Klassenfahrt
Eine Klasse plant eine Fahrt in ein Schullandheim.
Die Kosten betragen für 32 Schüler insgesamt 2880 €:
Wie viel muss jeder Schüler bezahlen?
Mögliche Lösung
2880 : 32 = 90
Jeder Schüler muss 90 € bezahlen.
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Papierverbrauch
Papierverbrauch bei uns in der Bundesrepublik
1976: 8,2 Millionen Tonnen
1978: 8,8 Millionen Tonnen
1980: 9,5 Millionen Tonnen erwartet.
1978 waren das 142,4 kg pro Kopf – viermal so viel wie der durchschnittliche Weltverbrauch.
Davon waren etwa 7 kg Hygienepapier, 20 kg Zeitungspapier, 49 kg Druck- und Schreibpapier, 66 kg
Verpackungsmaterial.
Insgesamt 4 Mio. t für Verpackungszwecke und über 4 Mio. t für Zeitungs- und Druckzwecke.
Werbesendungen sind Papierverschwendung. Sie belasten Natur und Umwelt: 1. bei der
Papierherstellung, 2. als Müll.
Der Wunsch, keine Werbesendungen mehr zu erhalten, wird an alle Postwerbefirmen weitergeleitet.
1. Wie viele Menschen lebten 1978 in der Bundesrepublik?
2. Wie hoch ist der erwartete Pro-Kopf-Verbrauch für 1980, wenn die
Bevölkerungszahl gleich hoch ist wie 1978?
Mögliche Lösung
1.
8,8 Millionen t = 8 800 000 t
Pro Kopf: 142,4 kg = 0,1424 t
8 80 000 : 0,1424 = 88 000 000 000 : 1424 = 61 797 752,8 61,8
Millionen.
Also lebten 1978 rund 61,8 Millionen Menschen in der Bundesrepublik
(wirklich oder ungefähr?)
2.
9,5 Mio. : 61,8 Mio. = 9,5 : 61,8 = 95 : 618 0,1537
Also war der erwartete Pro-Kopf-Verbrauch 1980 durchschnittlich
0,1537 t 154 kg Papier.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Gewinne
Ein Gewinn von 45 232 € soll auf 8 Personen gleichmäßig verteilt werden.
Wie viel erhält jeder?
Mögliche Lösung
45 232 € : 8 = 5654 €
Jede Person erhält 5654 €.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Auto-Schiffe
Auto-Schiffe entlasten Straßen
1000 Laster weniger im Monat durch Umladung auf den Rhein
Dass Wasserstraßen Autobahnen entlasten können, beweist nach Ansicht des rheinland-pfälzischen
Wirtschaftsministers Rainer Brüderle (FPD) der "Auto-Schiffsverkehr" auf dem Rhein zwischen Nordsee
und dem einzigen rheinland-pfälzisches Auto-Verladeterminal bei Speyer. Weil fabrikneue
Personenwagen dort verschifft werden, rollen nach einer Berechnung des Mainzer
Wirtschaftsministeriums monatlich 1 000 Lastwagen weniger über die Autobahn A 61.
"Bislang", so Brüderle in Mainz, "wurden damit alle Erwartungen übertroffen." In Wörth wurden bereits
50 000 Personenwagen auf Rheinschiffe umgeschlagen, die allein für den Autotransport ausgerüstet sind.
Nach den Berechnungen des Mainzer Ministeriums entspricht eine Schiffsladung mit bis zu 500
Personenwagen ungefähr der Kapazität von 65 Autotransportern. So seien allein im ersten Halbjahr 1992
auf der Autobahn A61 über 6000 Lastwagen, die Autos transportieren, weniger gefahren.
Frankfurter Rundschau, 25.01.1992
Sieh im Atlas nach, wo Wörth liegt und wie die Schiffe fahren.
1. Stimmt die Lastwagenentlastung für das erste Halbjahr 1992 in etwa?
2. Wie viele Autos werden durchschnittlich pro Monat verschifft? Wie viele Schiffe sind dafür nötig?
Mögliche Lösung
1.
2.
50 000 PKW wurden im 1.Halbjahr 1992 verschifft.
Ein Laster trägt 500 PWK : 65 7,7 PKW, also zwischen 7 und 8 PKW im
Durchschnitt.
50 000 : 7 7143 und 50 000 : 8 6250
Es fahren sogar 6000 bis 7000 weniger LKW.
1 000 LKW tragen 7000 bis 8000 PKW.
7000 : 500 = 14 und 8000 : 500 = 16
Es fahren rund 15 Schiffe im Monat.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
shutter men
Senioren helfen beim Foto
In der nordjapanischen Provinzhauptstadt Sapporo erfreut sich eine Gruppe von Rentnern großer
Beliebtheit unter den Touristen, weil sie freundlich ihre Fotoapparate entgegennehmen und sie vor dem
berühmten Uhrenturm der Stadt knipsen. Die zwischen 63 und 77 Jahre alten "shutter men" ("AuslöserMänner") drücken am Tag 300 Mal auf den Auslöser und 18 000 Mal in einer ganzen Saison.
Wie lange dauert eine Saison?
Mögliche Lösung
18 000 : 300 = 60
Die Saison dauert – nach den Angaben – etwa 2 Monate.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Vertiefung
Alte Kegelrunde
30 Jahre sind sie heute auf den Tag genau zusammen: Der Appelhülsener Kegelclub "Die Mutigen" feiert
damit ein ganz besonderes Jubiläum. Am 25. Januar 1967 ließ die lustige Damenrunde, damals zehn
Frauen, zum ersten Mal die Kugel rollen. Dabei hatten sie so viel Spaß miteinander, dass sie sich seit
jenem Tage alle zwei Wochen zum Kegeln treffen.
Nunmehr sind es noch acht rüstige Damen, die diese regelmäßigen Treffen zum Kegeln und Klönen
nutzen und damit sicherlich keine gewöhnliche Kaffeerunde sind. Zählt man die Jahre aller Mitglieder
zusammen, ergibt sich die stolze Summe von 584 Jahren. Sicherlich ist erwähnenswert, dass zwei der
Kegelschwestern bereits das 81. Lebensjahr vollendet haben und das jüngste Mitglied mit gerade mal 63
Jahren fast als das "Küken" der Runde bezeichnet werden darf. Eine große Anzahl von Enkeln kann jede
von ihnen vorweisen und nicht nur eine darf sich bereits Ur-Oma nennen.
Eins wissen "Die Mutigen" ganz genau: Sie werden noch viel Spaß miteinander haben, so manche Kugel
wird noch rollen.
Westfälische Nachrichten, 25.01.1997
1. Wie alt sind die rüstigen Damen im Durchschnitt?
2. Welches Durchschnittsalter ergibt sich für die restlichen Damen, wenn du die 3
bekannten Jahresdaten berücksichtigst?
Mögliche Lösung
1.
8 rüstige Damen sind 584 Jahre alt.
584 : 8 = 73
Im Durchschnitt sind die Frauen 73 Jahre alt.
2.
Es gibt zwei 81-jährige, eine 63-jährige.
584 - 2 · 81 – 63 = 359
359 Jahre bleiben auf die restlichen 5 Damen zu verteilen.
359 : 5 71 Rest 4
Die 5 restlichen Frauen sind knapp 72 Jahre alt.
Mathematik
Klasse 5
Mathematisches Thema:
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Natürliche Zahlen
Strategie
Basiswissen
Im Gegensatz zur schriftlichen Subtraktion können bei der schriftlichen Division nur genau
zwei Zahlen miteinander dividiert werden. Dieses Verfahren kann man bei mehr miteinander zu
dividierenden Zahlen entsprechend oft wiederholen.
Auch bei diesem Verfahren muss man darauf achten, die Zahlen sorgfältig nach Einern (E),
Zehnern (Z), Hundertern (H) usw. zu ordnen.
Beispiel: 635 : 5
Diese Division darf man auch als 600 : 5 + 30 : 5 + 5 : 5 schreiben.
Zuerst wird 600 : 5 berechnet:
6H : 5 = 5H : 5 + 1H : 5 = 1H als Ergebnis (+ 1H : 5 als Rest).
Jetzt wird 30 : 5 berechnet:
Den 1H Rest aus der letzten Rechnung verwandelt man in 10Z und kann sie den Zehnern
dieser Aufgabe 3Z : 5 zuordnen. Somit erhält man 13Z : 5:
13Z : 5 = 10Z : 5 + 3Z : 5 = 2Z als Ergebnis (+ 3Z : 5 als Rest).
Jetzt wird 5 : 5 berechnet:
Die 3Z Rest aus der letzten Rechnung verwandelt man in 30E und kann sie den Einern
dieser Aufgabe 5E : 5 zuordnen. Somit erhält man 35E : 5:
35E : 5 = 35E : 5 ohne Rest = 7E als Ergebnis.
Zusammen ergibt sich
H
6
Z
3
E
5
:
5
H
1
=
Z
2
E
7
Fortsetzung
Kürzer schreibt man
–
H
6
5
–
1
1
Z
E
H Z E
3
5
: 5 = 1 2 7
6H : 5 = 5H : 5 + 1H : 5 = 1H als
Ergebnis + 1H Rest
3
= 1H Rest + 3Z = 13Z
0
13Z : 5 = 10Z : 5 + 3Z : 5 =
2Z als Ergebnis + 3Z Rest
3
5
= 3Z Rest + 5E = 35E
3
5
35E : 5 = 35E : 5 ohne
Rest = 7E als Ergebnis
0
–
Oder noch kürzer
–
–
–
6
5
1
1
3
3
0
3
3
5
5
5
0
:
5
=
1
2
7
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Innermathematisch
Basiswissen
Berechne die folgenden Aufgaben schriftlich.
a)
57492
4987
e)
b)
759275
4729
f)
c)
563972 45
g)
363738 11
d)
68208 : 12
h)
123456789 : 3
77482
34557
665927775
7004729
Mögliche Lösung
57492
a)
77482
4987
e)
62479
112039
759275
b)
c)
665927775
4729
f)
7004729
754546
658923046
563972 45
363738 11
363738
2819860
g)
2255888
25378740
d)
34557
68208 : 12
363738
4001118
5684
h)
123456789 : 3
41152263
Mathematik
Klasse 5
Mathematisches Thema:
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Natürliche Zahlen
Strategie
Basiswissen
Im Gegensatz zur schriftlichen Addition können bei der schriftlichen Multiplikation nur genau
zwei Zahlen miteinander multipliziert werden. Dieses Verfahren kann man bei mehr miteinander
zu multiplizierenden Zahlen entsprechend oft wiederholen.
Auch bei diesem Verfahren muss man darauf achten, die Zahlen sorgfältig nach Einern (E),
Zehnern (Z), Hundertern (H), Tausendern (T), Zehntausendern (ZT) usw. zu ordnen.
Beispiel: 348 523
Diese Multiplikation darf man auch als 348 500 + 348 20 + 348 3 schreiben.
Zuerst wird 348 500 berechnet, also 348 5H:
8 5H = 40H = 4T,
40 5H = 200H = 2ZTund
300 5H = 1500H = 1HT + 5ZT. Also:
Jetzt wird 348 20 berechnet, also 348 2Z:
8 2Z = 16Z = 1H + 6Z ,
40 2Z = 80Z = 8H und
300 2Z = 600Z = 6T. Also:
3
+
+
4
HT
8
ZT
1
1
2
5
7
4
HT
8
ZT
3
5
H
T
4
0
Z
0
E
2
Z
6
0
E
4
+
+
T
H
1
8
6
6
9
6
Fortsetzung
Jetzt wird 348 3 berechnet, also 348 3E:
8 3E = 24E = 2Z + 4E ,
40 3E = 120E = 1H + 2Z und
300 2E = 600E = 6H. Also:
3
4
HT
1
1
3
4
1
+
+
1
8
7
5
4
6
1
1
8
1
2
3
9 6
71 4
7 0
4
4
T
H
1
6
7
+
+
Oder kurz:
8
ZT
+
+
3
Also insgesamt:
4
HT
8
ZT
7
T
4
6
1
1
8
1
Z
2
2
3
E
4
4
4
2
Z
3
E
9 6
71 4
7 0
4
4
5
H
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisches
Schriftliches Multiplizieren
Berechne und mache zur Kontrolle einen Überschlag:
a. 179 314
b. Multipliziere die Zahlen 34 und 4036.
Mögliche Lösung
Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 93
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Innermathematisches
Schriftliches Multiplizieren
Berechne:
a. 3105 4003
b. 4052 2300
Mögliche Lösung
Quelle: LS 5, Prüfauflage, S. 93
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Meerestiefe
Die Meerestiefe kann mit einem Echolot gemessen werden.
Der ausgesandte Schall legt im Wasser in 1 s einen Weg von 1500 m zurück.
Wie tief ist das Meer an einer Stelle, an der vom Senden bis zum Empfang des
Schalls 14 Sekunden vergehen?
Mögliche Lösung
Da der Schall den Weg zweimal zurücklegen muss (einmal zum
Meeresboden, dann wieder zurück zum Echolot), ist das Meer an der Stelle
also 1500 · 7 tief.
1500 · 7 = 10 500 m. Das Meer ist also 10 500 m tief.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Vertiefung
Löhne/Fahrtkosten
Frau Weber erhält einen Stundenlohn von 7,50 €.
Sie arbeitet täglich 8 Stunden.
Wie viel verdient sie in einer Woche (5 Tage)?
Mögliche Lösung
5 · 8 Stunden = 40 Stunden arbeitet sie in der Woche.
40 Stunden · 7,50 € pro Stunde = 300 € verdient Frau Weber in einer Woche.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Strategie
Mögliche Lösung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Geldraten
Ein Prospekt verspricht: Statt 199 € soll man drei Raten zu nur 69 € bezahlen.
Vergleiche!
Mögliche Lösung
3 · 69 = 207 DM.
Für die drei Raten muss man insgesamt 207 € bezahlen, das sind 8 € mehr
als bei Barzahlung von 199 €.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Vertiefung
Langer Unterricht
Wie viele Unterrichtsstunden und wie viele Zeitminuten hat ein Schüler im Verlauf
eines Schuljahres, wenn er täglich 6 Stunden zu je 45 Minuten und das Schuljahr
zu rund 40 Wochen gerechnet wird?
Mögliche Lösung
6 · 5 Stunden = 30 Unterrichtsstunden pro Woche.
30 Stunden · 40 Wochen = 1200 Unterrichtsstunden.
Im Schuljahr hat dieser Schüler 1200 Stunden Unterricht.
1200 Stunden · 45 Minuten = 54 000 Minuten
Im Schuljahr hat dieser Schüler 54 000 Minuten Unterricht.
(Wie viele Zeitstunden sind 54 000 Minuten? 54 000 : 60 = 900 Zeitstunden.)
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Basiswissen
Gewitter
Der Schall legt in einer Sekunde 330 m zurück.
Wie weit ist ein Gewitter entfernt, wenn zwischen dem Aufleuchten des Blitzes
und dem Beginn des Donners
a) 5 s,
b) 9 s,
c) 2 s,
d) 12 s,
e) 18 s
vergehen?
Mögliche Lösung
a)
330 · 5 = 1650 – Bei 5 s ist das Gewitter 1650 m entfernt.
b)
330 · 9 = 2970 – Bei 9 s ist das Gewitter 2970 m entfernt.
c)
330 · 2 = 660 – Bei 2 s ist das Gewitter 660 m entfernt.
d)
330 · 12 = 3960 – Bei 12 s ist das Gewitter 3960 m (3,96 km) entfernt.
e)
330 · 18 = 5940 – Bei 18 s ist das Gewitter 5940 m (5,94 km) entfernt.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Vertiefung
Erde
Der Umfang der Erde beträgt 40 000 km; der der Sonne ist 109-mal so groß.
Wie groß ist der Umfang der Sonne?
Mögliche Lösung
Der Umfang der Sonne beträgt 40 000 · 109 = 4 360 000 km..
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Lokomotive
Eine Lokomotive der Bundesbahn fährt 28 mal die Strecke Frankfurt/Main –
Hamburg/Altona (534 km) und zurück.
Wie viele km legt die Lokomotive dabei zurück.
Mögliche Lösung
534 · 2 = 1068
1068 · 28 = 29904
Die Lokomotive legt insgesamt 29 904 km zurück.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Natürliche Zahlen
Anwendung
Atmen
Was schätzt du:
–
Wie oft atmest du an einem Tag,
–
wie oft in einer Minute?
Mögliche Lösung
Ein Erwachsener atmet rund 15 bis 20 mal pro Minute.
Rechnet man mit 20, so ergibt sich:
–
pro Minute: 20 mal atmen
–
pro Stunde: 1200 mal atmen
–
pro Tag: 28 800 mal atmen, knapp 30 000 mal.
Kinder atmen schneller. Zähle eine Minute lang mit.
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Kosten
1.
Jutta kauft drei Filzstifte, das Stück zu 35 Cent.
2.
Gerd braucht 4 große Hefte. Ein Heft kostet 48 Cent.
Mögliche Lösung
1.
35 · 3 = 105. Jutta muss 1,05 € bezahlen
2.
48 · 4 = 192. Gerd muss 1,92 € bezahlen.
Basiswissen
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Wasserverbrauch
Unser Wasserverbrauch ist in den letzten 20 Jahren um ein Vielfaches gestiegen.
Wer in einem modernen Haushalt lebt, braucht pro Tag rund 150 Liter, um seinen
Ansprüchen gerecht zu werden.
Doch der enorme Anstieg ist nicht allein auf die oft verschwendeten
Haushaltsmengen zurückzuführen. Die Industrie verbraucht fast die fünffache
Wassermenge der Haushalts- und Kleinbetriebe. Auch ihr jährlich wachsender
Mehrverbrauch liegt entsprechend höher.
Wie viel Liter Wasser verbraucht ein Bundesbürger durchschnittlich im Jahr?
Mögliche Lösung
150 Liter · 365 Tage = 54 750 Liter Wasser pro Jahr.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Basiswissen
Fahrten
1. Frau Plambeck muss von ihrem Haus bis zur Baustelle 21 km fahren. Im März
und April fuhr sie an 39 Arbeitstagen.
Wie viel km ist sie gefahren?
2. Herr Kolbe fährt täglich von seiner Wohnung zur Baustelle und zurück eine
Strecke von 37 km. Im letzten Monat fuhrt er sie 22 mal.
Wie viel km ist er gefahren?
Mögliche Lösung
1.
2.
21 · 2 = 42
42 ·39 km = 1638 km.
Sie legt 1638 km zurück. Hoffentlich hast du bei dieser Aufgabe bedacht,
dass sie ja immer zurückfahren muss.
37 · 22 km = 814 km. Herr Kolbe fuhr 814 km.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Setzplan für Biogemüse
Biogemüse selber ziehen: Setzpläne für den Schulgarten.
Die abgebildeten, verkleinerten Setzpläne sind für Normbeete mit einer Größe von 320 cm Länge und 150 cm
Breite vorgesehen. Die Abbildungen veranschaulichen, wie Setzpläne für den Schulgarten angelegt werden
können. Die Zahl der jeweils erforderlichen Setzlinge ist nach diesen Setzplänen sowohl für die Hauptfrucht als
auch Zwischenfrucht leicht zu bestimmen.
Berechne die Zahl der Setzlinge für die hier angegebenen Beete. =Hauptfrucht,+ = Zwischenfrucht
Mögliche Lösung
1.
Hauptfrucht:
16 · 6 = 96
2.
Hauptfrucht:
12 · 5 = 60
Zwischenfrucht: 13 · 6 = 78
3.
Hauptfrucht:
10 · 4 = 40
Zwischenfrucht: 15 · 5 = 75
2.
Hauptfrucht:
6 · 3 = 18
Zwischenfrucht: 16 · 6 = 96
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Uhren
Mögliche Lösung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Anwendung
Schwierigkeitsgrad:
Vertiefung
Stockwerke
Lehrer:
"Ein Haus hat acht Stockwerke.
Von einem Stockwerk zum anderen führen siebzehn Stufen.
Wie viele muss man gehen, um von ganz unten zum achten Stockwerk zu
kommen?"
Darauf Moni: "Alle!"
Mögliche Lösung
8 · 17 = 136
136 Stufen muss man gehen.
Mathematik
Mathematisches Thema:
Natürliche Zahlen
Klasse 5
Bereich (Kartennummer):
Schwierigkeitsgrad:
Anwendung
Vertiefung
Wohnungen
Das ist eine Anzeige der Frankfurter Stadtregierung, veröffentlicht in der
Frankfurter Rundschau am 22.09.1990.
Wie viele Wohnungen wird es 1990 neu geben?
In der Anzeige wird behauptet, 1500.
Stimmt das ungefähr?
Ab jetzt gibt es
in Frankfurt alle 6 Stunden
eine neue Wohnung.
Mögliche Lösung
6 Stunden entspricht 1 Wohnung
1 Tag (24 Stunden) entspricht 4 Wohnungen
1 Jahr = 365 Tage
365 · 4 =1460