Kinematik - Lehrstuhl für Didaktik der Physik

1 Kinematik
1.0 Intention
Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers
zu jedem Zeitpunkt beschreiben.
y

r (t )

ey
 e
ez x
Ortsvektor:

r (t )
x
z
1
R. Girwidz
1 Kinematik
1.1 Eindimensionale, geradlinige Bewegung
Eindimensionales Koordinatensystem:
0
x1
x
x2
Versuch:
Rotierende Dose mit
Markierungspunkt
Versuch:
Ball vor Tafel hochwerfen
• Im Stehen
• Im Gehen
Vereinfachend erfolgt zunächst die Betrachtung:
• von Massenpunkten
(ausgedehnte Körper später)
• in Inertialsystemen
(erst später auch ein rotierendes Bezugssystem)
R. Girwidz
2
–1
1 Kinematik
1.1.1 Durchschnittsgeschwindigkeit / mittlere Geschwindigkeit
Versuch: Eisenbahn
- Positionsmarken setzen
- Metronom für Zeittakt
Geschwindigkeitsmessung:
0
x1
x1(t1)
v :
Mittlere Geschwindigkeit =
x
x2
x2(t2)
x x 2  x 1 x ( t 2 )  x ( t 1 )


t 2 t1
t 2 t1
t
Wegstrecke
Zeitintervall
3
R. Girwidz
1 Kinematik
Daten aus dem Experiment in eine Wertetabelle aufnehmen:
x/m
t/s
Grafische Darstellung im Zeit-Weg-Diagramm – x(t)-Diagramm
x/m


v2
v1
t/s
R. Girwidz
4
–2
1 Kinematik
x/m


v2
v1
t/s
v1 
v2 
v Ges 
Die Geschwindigkeit ist an der Steigung des Graphen im x(t)-Diagramm ablesbar.
5
R. Girwidz
1 Kinematik
Weitere Möglichkeiten die Bewegungsabläufe zu registrieren
 Stroboskopaufnahme
 Film
 Markierungsstreifen
R. Girwidz
6
–3
1 Kinematik
1.1.2
Die Momentangeschwindigkeit
x
t
Rechnerisch:
v  lim
t 0
x dx

dt
t
Graphisch:
Die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zeigt
sich als die Steigung der Tangente an der x(t)-Kurve zu diesem Zeitpunkt.
7
R. Girwidz
1 Kinematik
Exkurs: Ableitung einer Potenzfunktion
x (t )  c t n
d x (t )
dt
d
d


c  t n   c  t n   c  n  t n 1
dt
dt
x 
Beispiel:
x
x (t )  b  t n  c
v  x  b
t
R. Girwidz
8
–4
R. Girwidz
9
1 Kinematik
Aufgabe: Durchschnittsgeschwindigkeit
Ein Radfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km h-1 den Berg hinauf. Wie
schnell muss er dieselbe Strecke zurückfahren, um insgesamt die doppelte
Durchschnittsgeschwindigkeit, also 30 km h-1, zu erreichen?
R. Girwidz
10
–5
1 Kinematik
Aufgabe: Waldi
Förster Knalle und sein Dackel Waldi gehen nach der Pirsch zurück zum Forsthaus.
100 m vor dem Haus führt der Weg aus dem Wald heraus auf eine freie Wiese.
Waldi, der das Haus sieht, rennt vor bis zur Tür, dann jedoch, von Pflichtgefühl
getrieben, zurück zu seinem Herrchen, wieder zur Tür und zurück usw., bis der
Förster die Tür erreicht.
Wie weit ist Waldi insgesamt gelaufen, wenn er viermal so schnell läuft wie der
Förster geht?
R. Girwidz
11
1 Kinematik
Aufgabe: Flussreise
Ein Lastkahn fährt zwischen zwei Flusshäfen die 100 km auseinander liegen hin und
her. Er benötigt flussaufwärts 10 Stunden, flussabwärts nur 4 Stunden.
Berechnen Sie die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses und die
Eigengeschwindigkeit des Bootes.
R. Girwidz
12
–6
1 Kinematik
Aufgabe: Flussreise
Ein Lastkahn fährt zwischen zwei Flusshäfen die 100 km auseinander liegen hin und
her. Er benötigt flussaufwärts 10 Stunden, flussabwärts nur 4 Stunden.
Berechnen Sie die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses und die
Eigengeschwindigkeit des Bootes.
13
R. Girwidz
1 Kinematik
1.2.3 Die Beschleunigung (Maß für die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit)
Mittlere Beschleunigung: (Geschwindigkeitsänderung / Zeitintervall)
Momentanbeschleunigung:
dv  
v d
 v (t ) 
v  x
t 0 t
dt
dt
a  lim
Beispiel:
R. Girwidz
v  x  3ct 2
a  v  6ct
14
–7
1 Kinematik
Zusammenhänge zwischen x,v und a
• Schiefe Ebene
• beliebige Bewegung
Wie lässt sich von der Beschleunigung a auf die Geschw. v schließen?
Bekannt:
dv
a
dt
"Umkehrung" der Differentiation nötig.
15
R. Girwidz
1 Kinematik
Exkurs: Integration einer Potenzfunktion
F (x )   f (x )dx ;
Stammfunktion
F (x )   (u  x n ) dx
 u   x n dx
x n 1
u 
c
n 1
Integrationskonstante
"enthält"
Anfangsbedingungen
R. Girwidz
16
–8
1 Kinematik
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
a  konst
a
t
v   a dt *
0
 a t
v v 0  a t
t
v
v  a  t v 0
t
17
R. Girwidz
1 Kinematik
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
t
x  vdt *
0
1
 at 2 v 0  t
2
1
2
x  x 0  at 2 v 0 t
x
1
2
x  at 2 v 0 t  x 0
t
R. Girwidz
18
–9
1 Kinematik
Fahrbahn
x-x0
x0
4x0
9x0
10
40
90
v0
2v0
3v0
∆t

v 
s
t
19
R. Girwidz
1 Kinematik
Zusammenhang zwischen v und x
Einfacher Fall:
x0  0;
v0 0;
(d.h. Start vom Ursprung)
(d.h. Bewegung aus dem Stand)
v  a t



1
x  at 2 
2

t 
v
;
a
1 v2
2 a2
x  a
v 2  2a x
Allgemein:
R. Girwidz
v 2 v 02  2ax
20
–10
1 Kinematik
Freier Fall:
R. Girwidz
21
1 Kinematik
Freier Fall:
R. Girwidz
22
–11
1 Kinematik
Freier Fall:
R. Girwidz
23
1 Kinematik
Freier Fall:
R. Girwidz
24
–12
1 Kinematik
Freier Fall:
R. Girwidz
25
1 Kinematik
Fallbewegung:
R. Girwidz
26
–13
1 Kinematik
Freier Fall:
R. Girwidz
27
–14
1 Kinematik
1.2 Bewegung in zwei und drei Dimensionen
1
R. Girwidz
1 Kinematik
1.2.1 Exkurs rechnen mit Vektoren (I)
Schreibweise
 ax 



  
a  ax ex  ay ey  azez   ay ;
a 
 z
Betrag / "Länge"

 
2
2
2
a  a  a  ax  ay  az
R. Girwidz
2
–1
1 Kinematik
Addition
 ax   bx   ax  bx 

       
c  a  b   ay    by    ay  by  ;
a  b  a  b 
z 
 z  z  z
Multiplikation mit Skalar
 x  ax 


 
c  x  a   x  ay  ;
 x a 
z 

3
R. Girwidz
1 Kinematik
x, v, a sind gerichtete Größen
=> genauer
  
x, v, a ;
Beispiel: Senkrechter Wurf nach oben
R. Girwidz
4
–2
1 Kinematik
1.2.2 Kinematik mit Vektoren




r
dr

 r
v  lim
t 0 t
dt
rx 
d 
d  

r 
 ry 
dt
dt  
 rz 
dr  dr  dr 
 x ex  y ey  z ez
dt
dt
dt

vx
Zerlegung in Komponenten
-
„einfach Komponenten differenzieren“
( ! nur im kart. Koordinatensystem ! )
5
R. Girwidz
1 Kinematik
Beschleunigung:



a  v  r

dr x  dr y  dr z 
ex 
ey 
ez
dt
dt
dt

(Zerlegung in Komponenten)

ax

R. Girwidz
2
d 2r x  d r y  d 2r z 
e

ey  2 ez
x
dt 2
dt 2
dt
6
–3
1 Kinematik
1.2.3 Superpositionsprinzip
Bewegungsabläufe lassen zusammengesetzt
aus Teilbewegungen beschreiben
7
R. Girwidz
1 Kinematik
Superpositionsprinzip – Addition von Geschwindigkeiten
R. Girwidz
8
–4
1 Kinematik
Superpositionsprinzip – Addition von Geschwindigkeiten
9
R. Girwidz
1 Kinematik
Superpositionsprinzip – der schiefe Wurf
R. Girwidz
10
–5
1 Kinematik
Superpositionsprinzip – der schiefe Wurf
11
R. Girwidz
1 Kinematik
Superpositionsprinzip – der schiefe Wurf
Bahnkurve (Wurfparabel)
 0 


a    g ;
 0 



R. Girwidz
12
–6
1 Kinematik
Superpositionsprinzip – der schiefe Wurf
Bahnkurve (Wurfparabel)
 0 


a    g ;
 0 



 v 0x 


v  v 0y  gt ;


0



13
R. Girwidz
1 Kinematik
Superpositionsprinzip – der schiefe Wurf
Bahnkurve (Wurfparabel)
 0 


a    g ;
 0 



 v 0x 

 
v  v 0y  gt ;


0


v 0 x t

 x 

  
1
2
r  v 0y t  gt    y ;
2

  

 z 
0



R. Girwidz
14
–7
1 Kinematik
Der schiefe Wurf
a) Bahnkurve
15
R. Girwidz
1 Kinematik
Der schiefe Wurf
a) Bahnkurve (y(t)-Kurve)
1

1) y  v 0y  t  gt 2 
2
 t eliminieren

2) x  v 0 x  t
t 
x
v 0x
in 1) y  v 0 y
y (x ) 
v 0y
1 g 2
x
x
v 0x
2 v 02x
x 1 x2
 g
v 0 x 2 v 02x
(Wurfparabel)
1
x2
y (x )  tan  0  x  g 2
2 v 0  cos 2  0
R. Girwidz
16
–8
1 Kinematik
Der schiefe Wurf
b) Steighöhe
17
R. Girwidz
1 Kinematik
Der schiefe Wurf
b) Steighöhe
!
v y (t s )  0
v 0y  g t s  0
 ts 
v 0y
g
Steigzeit
1
2
y max  y (t s )  v 0y t s  g t s2

R. Girwidz
v 02y 1 v 02y 1 v 02y 1 v 02y
 g 2 

 sin 2  0
2 g
2 g
g 2 g
18
–9
1 Kinematik
Der schiefe Wurf
c) Wurfweite
19
R. Girwidz
1 Kinematik
Der schiefe Wurf
c) Wurfweite
v 0y
g
v  sin 0
 2v 0 cos  0  0
g
x W  x (2t s )  v 0 x  2

v 02
 2 sin  0  cos  0
g

v 02
 sin(2 0 )  x W ( 0 )
g
Wurfweite abh. von Abwurfgeschwindigkeit
und Abwurfwinkel
R. Girwidz
20
–10
1 Kinematik
Der schiefe Wurf
d) Maximale Wurfweite
21
R. Girwidz
1 Kinematik
Der schiefe Wurf
d) Maximale Wurfweite
x W maximal für : sin( 2m )  1
2m 
m 
R. Girwidz

2

4
 45
22
–11
1 Kinematik
1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung
Beispiele: Kurvenfahrt mit dem Auto, Volksfest, Erdbahn, Mondbahn
23
R. Girwidz
1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung
Winkel
Gradeinteilung
b
φ

b
r
[φ]: Radiant (rad)
Bogenmaß 
R. Girwidz
r
Länge b des Kreisbogens
rad
Länge r des Radius
24
–12
1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung
Winkel
Umfang eines Kreises : b  2r 
360 im Gradmaß entsprechen 2 im Bogenmaß
 (in Grad)
360

 (in Bogenmaß)
2
Einheit des Bogenmaßes :
1 Radiant ˆ

360

1 rad
2
360
 57,3
2
25
R. Girwidz
1 Kinematik
Exkurs: Ebene Polarkoordinaten
R. Girwidz
26
–13
1 Kinematik
1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung
Beschreibung der Kreisbewegung in Polarkoordinaten
r  konst . ;
   (t );
______________
27
R. Girwidz
1 Kinematik
1.2.4 Kinematik der Kreisbewegung
Beschreibung der Kreisbewegung in Polarkoordinaten
r  konst . ;
   (t );
______________
x (t )  r  cos  (t ) ;
y (t )  r  sin  (t ) ;
R. Girwidz
28
–14
1 Kinematik
Kreisbewegung - Geschwindigkeit
29
R. Girwidz
1 Kinematik
Kreisbewegung – Geschwindigkeit:

v  lim
t  0
r
t
r  konst .

r   
e
t  0
t
v  lim
R. Girwidz
30
–15
1 Kinematik
Kreisbewegung – Geschwindigkeit:

v  lim
t  0
r
t
r  konst .

r   
v  lim
e
t  0
t
d 
r
e
dt


31
R. Girwidz
1 Kinematik
Kreisbewegung – Winkelgeschwindigkeit
R. Girwidz
–
Definition:
 :
d
;
dt
–
für  konst:

 2

;
t T
–
genauer:  ist Vektor
32
–16
1 Kinematik
Kreisbewegung
– Geschwindigkeit & Winkelgeschwindigkeit:
– Spezialfall:  konst; v konst. :

v  v  r ;
2
;
T
v x  r    sin t  0 ;

v y  r    cost  0 ;
33
R. Girwidz
1 Kinematik
Kreisbewegung - Beschleunigung
R. Girwidz
34
–17
1 Kinematik
Kreisbewegung - Beschleunigung

v
a  lim
t  0
t
Spezialfall gleichförmige Kreisbewegung:
r  konst .

a  lim
t 0

v  
(e r )
t
35
R. Girwidz
1 Kinematik
Kreisbewegung - Beschleunigung

v
a  lim
t  0
t
Spezialfall gleichförmige Kreisbewegung:
r  konst .


v  
(e r )
t



(e r )  v    (e r )
 v  lim
t  0 t
a  lim
t 0
R. Girwidz
36
–18
1 Kinematik
Kreisbewegung - Beschleunigung

v
a  lim
t  0
t
Spezialfall gleichförmige Kreisbewegung:
r  konst .


v  
a  lim
(er )
t 0
t



 v  lim
(er )  v    (er )
t  0
t
2



v
a  r   2  (er )  t (er )
r
37
R. Girwidz
1 Kinematik
Kreisbewegung - Beschleunigung

v
a  lim
t  0
t
Spezialfall gleichförmige Kreisbewegung:
2



v
a  r   2  (er )  t (er )
r
2

v
a  a  r 2  t ;
r
Radialbeschleunigung,
Zentripedalbeschleunigung,
Zentralbeschleunigung
R. Girwidz
38
–19
1 Kinematik
Allgemein
R. Girwidz
39
–20