Beispiel mit Hinweisen 1 1/3 Dreieck Zeige für das Dreieck

Beispiel mit Hinweisen 1
1/3
Dreieck
Zeige für das Dreieck ABC [ A(5/5), B(29/15), C(5/15) ] die Richtigkeit von folgender
Behauptung:
„Die drei Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Berührungspunkten des Inkreises
auf den Gegenseiten schneiden einander in einem Punkt G (Gergonnescher Punkt)!“
Welche Koordinaten hat der Inkreismittelpunkt ?
Welche Koordinaten hat der Gergonnesche Punkt ?
Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen:
x
x
x
x
Aufstellen der Winkelsymmetralen
Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen
Normale zu einer Geraden aufstellen
Nachweis führen, dass drei Geraden sich in einem Punkt schneiden
Maturavorbereitung 8.Klasse
ACDCA © 1999
Vektorrechnung
Beispiel mit Hinweisen 1
2/3
Dreieck
Lösung:
Berechnung: Inkreismittelpunkt
Eingabe:
Eckpunkte A, B, C
allgemeiner Vektor: xv
Bestimmung der Richtungsvektoren der Winkelsymmetralen
des Winkels D und E.
Angabe der gekürzten Richtungsvektoren
Eingabe der Normalvektoren der Winkelsymmetralen
Berechnung der Gleichungen der Winkelsymmetralen
Lösen des Gleichungssystems
Inkreismittelpunkt: I (9/11) abgespeichert unter ip
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Vektorrechnung
Beispiel mit Hinweisen 1
3/3
Dreieck
Bestimmung des Gergonneschen
Punktes:
Aufstellen von Geradengleichungen:
Trägergerade der Seite c
Normale zur Seite c durch den Inkreismittelpunkt.
Schnittpunkt der beiden Geraden: D (
137 95
/
)
13 13
Erkenntnis: Seite BC ist parallel zur x-Achse, deshalb kann
der gesuchte Berührungspunkt des Inkreises mit der Seite a
sofort angegeben werden. E ( 9/15)
Erkenntnis: Seite AC ist parallel zur y-Achse, deshalb kann
der gesuchte Berührungspunkt des Inkreises mit der Seite b
sofort angegeben werden. F ( 5/11)
Aufstellen der Geradengleichung der Geraden durch die
Punkte A und E
Aufstellen der Geradengleichung der Geraden durch die
Punkte B und F
Aufstellen der Geradengleichung der Geraden durch die
Punkte C und D
Bestimmung des Schnittpunktes jeweils zweier Geraden
(die dritte Berechnung ist nicht mehr notwendig).
Die drei Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt
S(
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53 80
/
)
7
7
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Vektorrechnung
Beispiel mit Hinweisen 2
1/3
Abstandsberechnungen
1. Gegeben sind die Ebenen E1: 4x – 2y – z – 12 = 0 und E2: 2x + 2y – 5z + 24 = 0 .
Wie groß ist der Abstand des Punktes P( 0/ - 9/ 22) von der Schnittgeraden der
Ebenen ?
Von welchem Punkt der Geraden aus wird der Abstand gemessen ?
2. Welche Punkte auf der Normalen durch P(13/4/9) zur Ebene E: 12x + 2y + 5z = 0
haben von den Ebenen E1: x – 2y + 2z + 4 = 0 und E2: 2x + 3y – 6z = 5 gleiche
Abstände ? Interpretiere auffallende Zwischenergebnisse.
Liegen der Ursprung und der Punkt P bezüglich der Ebene E1 auf der gleichen Seite
von E1 ? Begründe deine Aussage.
Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen:
x
x
x
x
x
x
Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen
Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmen
Fußpunkt des Abstands bestimmen
Geradengleichung aufstellen
Gerade mit Ebene schneiden
Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmen
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Vektorrechnung
Beispiel mit Hinweisen 2
2/3
Abstandsberechnungen
Lösungen:
Aufgabe 1:
Eingabe der Normalvektoren der Ebenen
Eingabe des Punktes
Bestimmen des Richtungsvektors der Geraden
Richtungsvektor kürzen
Punkt auf der Schnittgeraden bestimmen: z = 0 wählen
Die x-Koordinate und die y-Koordinate aus den beiden
Gleichungen berechnen
Punkt der Schnittgeraden abspeichern
Gleichung der Schnittgeraden:
§ 2 ·
¸
G ¨
x = ¨ 10 ¸ + t ˜
¨ 0 ¸
©
¹
§ 2·
¨ ¸
¨ 3¸
¨ 2¸
© ¹
G
Vektor AP auf r 0 projizieren, die Länge der Projektion ist
der Abstand des Punktes A zum Fußpunkt F
Berechnung des Fußpunktes: F(4/-1/6)
Abstand Punkt – Gerade : 4 ˜
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21 LE
Vektorrechnung
Beispiel mit Hinweisen 2
3/3
Abstandsberechnungen
Aufgabe 2:
Eingabe
Gerade g(t) (Richtungsvektor ist Normalvektor der Ebene)
G
Punkt A und Normalvektor n 1 der Ebene E1
G
Punkt B und Normalvektor n 2 der Ebene E2
Der Vektor AP bzw. BP (P ist ein Punkt der Geraden,
bestimmt durch g(t)) wird auf den Einheitsvektor des
Normalvektors der jeweiligen Ebene projiziert o Abstand
Die Gerade muss zur zweiten Ebene parallel verlaufen, da
der Abstand unabhängig von dem Parameter t ist.
Die Abstände zu den beiden Ebenen sind gleich o
Bedingung für den gesuchten Punkt
Lösung: t = - 1 und t = - 2
P1(1/2/4) und P2(-11/0/-1)
Es werden die Projektionen der Vektoren von A zu den
beiden Punkten auf den Normalvektor berechnet.
Beide Zahlen sind positiv, daher liegen die beiden Punkte
auf der selben Seite der Ebene.
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Vektorrechnung
Beispiel mit Hinweisen 3
1/2
Gerade, Ebene
Berechnungen an einer Pyramide
Eine regelmäßige 4 seitige Pyramide hat den Basiseckpunkt A(7/-5/-3) und die Spitze
S(9/6/z). Der Achsenschnitt der Pyramide, nämlich die Punkte S, B und D liegen in der
Ebene H:2x-y-2z+2=0.
Berechne die Koordinaten der Punkte S, B, C, und D, das Volumen der Pyramide und den
Winkel, den eine Seitenfläche mit der Grundfläche einschließt.
Um dieses Beispiel zu lösen musst du Folgendes können bzw wissen :
x Eine Gerade normal auf eine Ebene aufstellen
x Eine Gerade mit einer Ebene schneiden
x Wissen, was das vektorielle Produkt ist.
x Wissen, was ein Einheitsvektor ist.
x Wie berechnet man den Winkel zwischen 2 Vektoren
x Wie berechnet man die Fläche eines Parallelogramms, den Rauminhalt einer
Pyramide.
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Vektorrechnung
Beispiel mit Hinweisen 3
2/2
Gerade, Ebene
Lösung der Aufgabe 3
Die Koordinaten von z in die Ebene einsetzen. Man erhält
für z den Wert 7.
Die Koordinaten von S werden abgespeichert.
n ist der Normalvektor auf die Ebene.
Gerade g durch A, die normal auf e steht, wird mit e
geschnitten.
Der Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Grundfläche
M (1/-2/3)
Verbindungsvektor von A nach M
Eckpunkt C(-5/1/9) wurde berechnet.
Normalvektor auf AC in der Grundebene – Entspricht dem
Richtungsvektor von B nach D
Berechnung der Eckpunkte B und D.
Jetzt folgt die Berechnung des Volumens.
Die Basisvektoren werden eingegeben.
Volumen : 648E³
Höhe der Pyramide
Länge der Seite AB
Winkel 62,06°
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Beispiel mit Hinweisen 4
1/3
Gerade im Raum
Zwei Flugzeuge auf Kollisionskurs ?
Zwei Flugzeuge fliegen mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf geradem Kurs.
Das erste befindet sich zur Zeit t=0 im Nullpunkt eines geeignet gewählten
Koordinatensystems. Zur Zeit t=3 ist es im Punkt P(6/-3/9). Zu den entsprechenden Zeiten
befindet sich das zweite Flugzeug in Q(2/28/-14) bzw. R(5/19/-2).
(Koordinatenangaben in 10-2 km, Zeiteinheiten in Sekunden)
Zu welcher Zeit sind die beiden Flugzeuge am nächsten (wie nahe), und in welcher
Position befinden sie sich dann gerade? Zu welcher Zeit im Intervall [0;60] ist der Abstand
der Flugzeuge am größten?
Wie groß ist der minimale Abstand der beiden Flugrouten?
Mit welchen Geschwindigkeiten fliegen die beiden Flugzeuge? Mit welcher
Geschwindigkeit müßte das zweite Flugzeug fliegen, so daß die geringste Entfernung der
Flugzeuge mit der minimalen Entfernung der Flugrouten übereinstimmt?
Zusatz :
Ändere eine Koordinate von P so ab, daß die Flugzeuge tatsächlich kollidieren.
(Teste selbst)
Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw wissen:
x Die Gleichung einer Geraden aufstellen, wobei der Parameter den Zeitfaktor zu
berücksichtigen hat.
x Den Abstand zweier Punkte auf verschiedenen Geraden in Abhängigkeit von der Zeit
angeben können.
x Wissen, was das vektorielle Produkt ist.
x Einheitsvektor
x Aus der Physik die Formel s=v.t kennen
x Das Skalare Produkt mit seinen Eigenschaften kennen.
x Extremwerte berechnen können
x Den Abstand zweier windschiefer Geraden bestimmen können
x Gleichungssysteme lösen können.
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Vektorrechnung
Beispiel mit Hinweisen 4
2/3
Gerade im Raum
Lösung des Beispiels
d ...minimaler Abstand der Flugzeuge
s ... minimaler Abstand der Flugbahnen
Zuerst werden die Punkte eingegeben und die
Verbindungsvektoren berechnet.
Verbindungsvektoren der Punkte – Richtungsvektoren der
Bahngeraden
Geschwindigkeit des ersten Flugzeuges (noch auf km/h
umrechnen). Analog erhält man v2 = 26 .
Die Wegformeln für die beiden Flugzeuge.
d(t) gibt den jeweiligen Abstand wieder.
Nach 12 Sekunden ist der minimale Abstand der Flugzeuge
erreicht.
Das sind die Positionen.
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Beispiel mit Hinweisen 4
3/3
Gerade im Raum
Der minimale Abstand der beiden Flugrouten entspricht dem Minimalabstand der beiden Geraden.
Formel : d |op x1 qr| . | ( p q ).(op x qr ) |
d(12)=2. 30 ist der minimale Abstand der beiden
Flugzeuge.
Minimaler Abstand der Flugrouten; als s abspeichern – es
wurde in die obige Formel eingesetzt.
Mit welcher Geschwindigkeit müsste nun das 2. Flugzeug fliegen?
Ortsfunktion von Flugzeug 2 mit gesuchter
Geschwindigkeit v.
`
Diese beiden Zeilen bilden ein Gleichungssystem in v
und t - wird gelöst.
Das Gleichungssystem wird gelöst.
Das ist die gesuchte Geschwindigkeit. Sie muß noch auf km/h umgerechnet werden.
Man erhält dann v*10-2 * 3600 = 236
Dh das 2. Flugzeug müßte mit 236 km/h fliegen.
Maturavorbereitung 8. Klasse
ACDCA © 1999
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