Beispiel mit Hinweisen 1 1/3 Dreieck Zeige für das Dreieck
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Beispiel mit Hinweisen 1 1/3 Dreieck Zeige für das Dreieck ABC [ A(5/5), B(29/15), C(5/15) ] die Richtigkeit von folgender Behauptung: „Die drei Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Berührungspunkten des Inkreises auf den Gegenseiten schneiden einander in einem Punkt G (Gergonnescher Punkt)!“ Welche Koordinaten hat der Inkreismittelpunkt ? Welche Koordinaten hat der Gergonnesche Punkt ? Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: x x x x Aufstellen der Winkelsymmetralen Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen Normale zu einer Geraden aufstellen Nachweis führen, dass drei Geraden sich in einem Punkt schneiden Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 1 2/3 Dreieck Lösung: Berechnung: Inkreismittelpunkt Eingabe: Eckpunkte A, B, C allgemeiner Vektor: xv Bestimmung der Richtungsvektoren der Winkelsymmetralen des Winkels D und E. Angabe der gekürzten Richtungsvektoren Eingabe der Normalvektoren der Winkelsymmetralen Berechnung der Gleichungen der Winkelsymmetralen Lösen des Gleichungssystems Inkreismittelpunkt: I (9/11) abgespeichert unter ip Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 1 3/3 Dreieck Bestimmung des Gergonneschen Punktes: Aufstellen von Geradengleichungen: Trägergerade der Seite c Normale zur Seite c durch den Inkreismittelpunkt. Schnittpunkt der beiden Geraden: D ( 137 95 / ) 13 13 Erkenntnis: Seite BC ist parallel zur x-Achse, deshalb kann der gesuchte Berührungspunkt des Inkreises mit der Seite a sofort angegeben werden. E ( 9/15) Erkenntnis: Seite AC ist parallel zur y-Achse, deshalb kann der gesuchte Berührungspunkt des Inkreises mit der Seite b sofort angegeben werden. F ( 5/11) Aufstellen der Geradengleichung der Geraden durch die Punkte A und E Aufstellen der Geradengleichung der Geraden durch die Punkte B und F Aufstellen der Geradengleichung der Geraden durch die Punkte C und D Bestimmung des Schnittpunktes jeweils zweier Geraden (die dritte Berechnung ist nicht mehr notwendig). Die drei Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt S( Maturavorbereitung 8.Klasse 53 80 / ) 7 7 ACDCA © 1999 Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 2 1/3 Abstandsberechnungen 1. Gegeben sind die Ebenen E1: 4x – 2y – z – 12 = 0 und E2: 2x + 2y – 5z + 24 = 0 . Wie groß ist der Abstand des Punktes P( 0/ - 9/ 22) von der Schnittgeraden der Ebenen ? Von welchem Punkt der Geraden aus wird der Abstand gemessen ? 2. Welche Punkte auf der Normalen durch P(13/4/9) zur Ebene E: 12x + 2y + 5z = 0 haben von den Ebenen E1: x – 2y + 2z + 4 = 0 und E2: 2x + 3y – 6z = 5 gleiche Abstände ? Interpretiere auffallende Zwischenergebnisse. Liegen der Ursprung und der Punkt P bezüglich der Ebene E1 auf der gleichen Seite von E1 ? Begründe deine Aussage. Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: x x x x x x Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmen Fußpunkt des Abstands bestimmen Geradengleichung aufstellen Gerade mit Ebene schneiden Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmen Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 2 2/3 Abstandsberechnungen Lösungen: Aufgabe 1: Eingabe der Normalvektoren der Ebenen Eingabe des Punktes Bestimmen des Richtungsvektors der Geraden Richtungsvektor kürzen Punkt auf der Schnittgeraden bestimmen: z = 0 wählen Die x-Koordinate und die y-Koordinate aus den beiden Gleichungen berechnen Punkt der Schnittgeraden abspeichern Gleichung der Schnittgeraden: § 2 · ¸ G ¨ x = ¨ 10 ¸ + t ¨ 0 ¸ © ¹ § 2· ¨ ¸ ¨ 3¸ ¨ 2¸ © ¹ G Vektor AP auf r 0 projizieren, die Länge der Projektion ist der Abstand des Punktes A zum Fußpunkt F Berechnung des Fußpunktes: F(4/-1/6) Abstand Punkt – Gerade : 4 Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA © 1999 21 LE Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 2 3/3 Abstandsberechnungen Aufgabe 2: Eingabe Gerade g(t) (Richtungsvektor ist Normalvektor der Ebene) G Punkt A und Normalvektor n 1 der Ebene E1 G Punkt B und Normalvektor n 2 der Ebene E2 Der Vektor AP bzw. BP (P ist ein Punkt der Geraden, bestimmt durch g(t)) wird auf den Einheitsvektor des Normalvektors der jeweiligen Ebene projiziert o Abstand Die Gerade muss zur zweiten Ebene parallel verlaufen, da der Abstand unabhängig von dem Parameter t ist. Die Abstände zu den beiden Ebenen sind gleich o Bedingung für den gesuchten Punkt Lösung: t = - 1 und t = - 2 P1(1/2/4) und P2(-11/0/-1) Es werden die Projektionen der Vektoren von A zu den beiden Punkten auf den Normalvektor berechnet. Beide Zahlen sind positiv, daher liegen die beiden Punkte auf der selben Seite der Ebene. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 3 1/2 Gerade, Ebene Berechnungen an einer Pyramide Eine regelmäßige 4 seitige Pyramide hat den Basiseckpunkt A(7/-5/-3) und die Spitze S(9/6/z). Der Achsenschnitt der Pyramide, nämlich die Punkte S, B und D liegen in der Ebene H:2x-y-2z+2=0. Berechne die Koordinaten der Punkte S, B, C, und D, das Volumen der Pyramide und den Winkel, den eine Seitenfläche mit der Grundfläche einschließt. Um dieses Beispiel zu lösen musst du Folgendes können bzw wissen : x Eine Gerade normal auf eine Ebene aufstellen x Eine Gerade mit einer Ebene schneiden x Wissen, was das vektorielle Produkt ist. x Wissen, was ein Einheitsvektor ist. x Wie berechnet man den Winkel zwischen 2 Vektoren x Wie berechnet man die Fläche eines Parallelogramms, den Rauminhalt einer Pyramide. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 3 2/2 Gerade, Ebene Lösung der Aufgabe 3 Die Koordinaten von z in die Ebene einsetzen. Man erhält für z den Wert 7. Die Koordinaten von S werden abgespeichert. n ist der Normalvektor auf die Ebene. Gerade g durch A, die normal auf e steht, wird mit e geschnitten. Der Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Grundfläche M (1/-2/3) Verbindungsvektor von A nach M Eckpunkt C(-5/1/9) wurde berechnet. Normalvektor auf AC in der Grundebene – Entspricht dem Richtungsvektor von B nach D Berechnung der Eckpunkte B und D. Jetzt folgt die Berechnung des Volumens. Die Basisvektoren werden eingegeben. Volumen : 648E³ Höhe der Pyramide Länge der Seite AB Winkel 62,06° Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 4 1/3 Gerade im Raum Zwei Flugzeuge auf Kollisionskurs ? Zwei Flugzeuge fliegen mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf geradem Kurs. Das erste befindet sich zur Zeit t=0 im Nullpunkt eines geeignet gewählten Koordinatensystems. Zur Zeit t=3 ist es im Punkt P(6/-3/9). Zu den entsprechenden Zeiten befindet sich das zweite Flugzeug in Q(2/28/-14) bzw. R(5/19/-2). (Koordinatenangaben in 10-2 km, Zeiteinheiten in Sekunden) Zu welcher Zeit sind die beiden Flugzeuge am nächsten (wie nahe), und in welcher Position befinden sie sich dann gerade? Zu welcher Zeit im Intervall [0;60] ist der Abstand der Flugzeuge am größten? Wie groß ist der minimale Abstand der beiden Flugrouten? Mit welchen Geschwindigkeiten fliegen die beiden Flugzeuge? Mit welcher Geschwindigkeit müßte das zweite Flugzeug fliegen, so daß die geringste Entfernung der Flugzeuge mit der minimalen Entfernung der Flugrouten übereinstimmt? Zusatz : Ändere eine Koordinate von P so ab, daß die Flugzeuge tatsächlich kollidieren. (Teste selbst) Um dieses Beispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw wissen: x Die Gleichung einer Geraden aufstellen, wobei der Parameter den Zeitfaktor zu berücksichtigen hat. x Den Abstand zweier Punkte auf verschiedenen Geraden in Abhängigkeit von der Zeit angeben können. x Wissen, was das vektorielle Produkt ist. x Einheitsvektor x Aus der Physik die Formel s=v.t kennen x Das Skalare Produkt mit seinen Eigenschaften kennen. x Extremwerte berechnen können x Den Abstand zweier windschiefer Geraden bestimmen können x Gleichungssysteme lösen können. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 4 2/3 Gerade im Raum Lösung des Beispiels d ...minimaler Abstand der Flugzeuge s ... minimaler Abstand der Flugbahnen Zuerst werden die Punkte eingegeben und die Verbindungsvektoren berechnet. Verbindungsvektoren der Punkte – Richtungsvektoren der Bahngeraden Geschwindigkeit des ersten Flugzeuges (noch auf km/h umrechnen). Analog erhält man v2 = 26 . Die Wegformeln für die beiden Flugzeuge. d(t) gibt den jeweiligen Abstand wieder. Nach 12 Sekunden ist der minimale Abstand der Flugzeuge erreicht. Das sind die Positionen. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung Beispiel mit Hinweisen 4 3/3 Gerade im Raum Der minimale Abstand der beiden Flugrouten entspricht dem Minimalabstand der beiden Geraden. Formel : d |op x1 qr| . | ( p q ).(op x qr ) | d(12)=2. 30 ist der minimale Abstand der beiden Flugzeuge. Minimaler Abstand der Flugrouten; als s abspeichern – es wurde in die obige Formel eingesetzt. Mit welcher Geschwindigkeit müsste nun das 2. Flugzeug fliegen? Ortsfunktion von Flugzeug 2 mit gesuchter Geschwindigkeit v. ` Diese beiden Zeilen bilden ein Gleichungssystem in v und t - wird gelöst. Das Gleichungssystem wird gelöst. Das ist die gesuchte Geschwindigkeit. Sie muß noch auf km/h umgerechnet werden. Man erhält dann v*10-2 * 3600 = 236 Dh das 2. Flugzeug müßte mit 236 km/h fliegen. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA © 1999 Vektorrechnung
