1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes 2 Kinematik
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XI Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 1 1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes 1.1 5 Freier Fall; Geschwindigkeit, Fallzeit, kinematische Diagramme 1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug; Geschwindigkeit, Zeit v Kraftfahrzeug v Zug 6 t t 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs; v 7 Geschwindigkeit, kinematische Diagramme t 1.4 Auffahrunfall zweier Kraftfahrzeuge; 9 1.5 Zeit, Geschwindigkeit beim Aufprall Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Strecken; 11 Zeit, Steig- und Fallhöhe, Geschwindigkeiten, kinematisches Diagramm 1.6 Punktmasse über Seil an Gleitstein gekoppelt; 13 Orts-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs-ZeitFunktion 1.7 Parallelprojektion einer Kreisbewegung; 16 Ort, Geschwindigkeit, kinematische Diagramme 2.1 2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes 21 Ebene Punktbewegung in Parameterdarstellung; 28 Beschleunigungen, Krümmungsradius 2.2 Bewegung des Schnittpunktes zweier Geraden; 29 Geschwindigkeiten, Bahngleichung des Schnittpunktes 2.3 Räumliche Bahnkurve; Geschwindigkeiten, Bahnkurve 30 XII Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung 2.4 Rollendes Rad auf horizontaler Unterlage; "Info"-Bild Seite 32 Bahnkurve, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Weg 2.5 Punktbewegung auf ebener Kurve; 35 2.6 Bahngeschwindigkeit, Beschleunigung, Bahnkurve Ziehen eines Bootes über einen Kanal; 36 Bahnkurve des Bootes 2.7 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe; 38 Geschwindigkeit, Beschleunigung 2.8 Kreisbewegung eines Punktes; 39 Geschwindigkeit-Zeit-Funktion 2.9 Kreisförmige Kurvenfahrt eines Zuges; 40 Beschleunigungen 2.10 Entgegengesetzte Punktbewegungen auf einer Kreisbahn; 2.11 Beschleunigungen, Lage der Gesamtbeschleunigung, Ort Bremsscheibe; 2.12 Anfangsdrehzahl, Winkelbeschleunigung, Verzögerung, Winkelgeschwindigkeit Schwungscheibe; Winkelbeschleunigung, Umdrehungen 2.13 Rotierende Schleifenschwinge; 42 44 t 45 t 46 Größe und Richtung der Beschleunigung 2.14 Roboter; Zylinderkoordinaten, Geschwindigkeitsvektor, Beschleunigungsvektor 47 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung 3 Kinematik des starren Körpers 3.1 Rechtwinkliger Kreuzschieber; "Info"-Bild XIII Seite 51 56 Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung 3.2 Dreieckscheibe; 58 Geschwindigkeit, Momentanpol 3.3 Beschleunigte rollende Kreisscheibe; 59 Beschleunigung und Beschleunigungsverlauf 3.4 Kette einer Planierraupe; 61 Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme Beispiel Massenpunkt auf rauer schiefer Ebene; 67 72 Geschwindigkeit 4.1 Anschieben eines Autos; 76 4.2 Beschleunigung Antriebskraft einer Straßenbahn; 76 Antriebskraft, Anfahrweg 4.3 Ebene Massenpunktbewegung in Parameterdarstellung; 77 verursachende Kräfte 4.4 Beschleunigte Bewegung und schiefe Ebene; 79 Beschleunigung, Seilkraft 4.5 Drei miteinander verbundene Massen; 80 Beschleunigung, Seilkraft 4.6 Bremsung eines Krans; Ausschlagwinkel, Seilkraft 82 XIV Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung 4.7 Fall eines Transportguts; "Info"-Bild Seite 83 Fallhöhe 4.8 Massenpunkt an kreisförmiger Wand; 85 erforderliche Höhe 4.9 Massenpunkt auf rauer Unterlage; 87 F Geschwindigkeit t 4.10 Sprung aus einem fahrenden Boot; 88 Geschwindigkeiten 4.11 Arbeit eines Gepäckträgers; 89 mechanische Arbeit 4.12 Aufprall eines beladenen Wagens; 89 4.13 erforderliche Geschwindigkeit Reibscheibenkupplung; 90 Winkelgeschwindigkeit, Energieverlust 4.14 Abbremsung auf rauer Unterlage; 91 erforderlicher Reibungskoeffizient 4.15 Bewegung auf rauer schiefer Ebene; 92 Geschwindigkeit 4.16 Reibungsfreie horizontale Bewegung eines Massenpunktes; 93 Geschwindigkeit 97 5 Kinetik starrer Körper Beispiel Walze auf geneigter Bahn; Geschwindigkeit 109 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 5.1 Rotierender Erläuterung -förmig gebogener Körper; "Info"-Bild XV Seite 112 Massenträgheitsmomente, Lagerkräfte 5.2 Massenträgheitsmoment von Kreisringsegment mit konstanter Dicke; 113 Massenträgheitsmomente 5.3 Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel; 114 Massenträgheitsmoment 5.4 Auswuchten eines starren Rotors; 115 notwendige Ausgleichsmassen 5.5 Gekoppelte Körper auf schiefer Ebene; 119 Beschleunigung, Stangenkraft 5.6 Rollende Walze; 121 Massenträgheitsmoment, Beschleunigung 5.7 Fördersystem aus Rollen und Seil; 124 Beschleunigung, Seilkräfte 5.8 Schweres Seil auf Windentrommel; 127 Drehzahl 5.9 System aus zwei Körpern und einer Rolle; 128 Geschwindigkeit 5.10 Drehbarer Stab; Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, Lagerreaktionen 129 XVI Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung 6 Schwingungen 6.1 Taktmesser (Metronom); "Info"-Bild Seite 133 149 Schwingungsdauer 6.2 Rollschwinger; 149 Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 6.3 Schwingsystem aus Kreisscheibe und Feder; 150 Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 6.4 Scheibe mit Feder; 151 Schwingungsdauer 6.5 Dünner Stab mit Feder; 153 Massenträgheitsmoment, Eigenkreisfrequenz 6.6 Schwingende Kreisscheibe; 154 Eigenkreisfrequenz 6.7 Masse mit Balken und Stäben; 156 Eigenkreisfrequenz 6.8 Feder-Masse-Dämpfer-System; 158 Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 6.9 Ausschwingversuch; 159 logarithmisches Dekrement, Dämpfungsgrad, Eigenkreisfrequenz, Federkonstante, Dämpfungskonstante 6.10 Federkrafterregtes System; Eigenkreisfrequenz, Bewegung und Amplitude 160 Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung 6.11 Harmonisch erregtes Federende; "Info"-Bild XVII Seite 161 Schwingungsdifferenzialgleichung, Phasenverschiebung, Vergrößerungsfunktion 6.12 Schwinger mit Erregerkraft; 163 Erregerkreisfrequenz, Federkonstante 6.13 Unwuchterregte Maschine; 165 Amplitude, Federkonstante 7.1 7 Stoßvorgänge 169 Stoß auf horizontaler Unterlage; 173 Rückprallgeschwindigkeit, Weg 7.2 Stoß auf schiefer Ebene; 174 7.3 Zeit zwischen erstem Zusammenprall und nächstem Zusammenstoß Stoß gegen drehbar gelagerten Körper; 176 Geschwindigkeiten, Kraftstoß, stoßfreies Lager 7.4 Stoß zwischen Pendel und drehbarem Stab; 178 Winkelgeschwindigkeit 8.1 8 Relativbewegung 181 Mit dem Boot über einen Fluss; 185 Vorhaltewinkel, Absolutgeschwindigkeit, Fahrzeit 8.2 Gleitstein in radialer Führung einer rotierenden Scheibe; Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung 186 XVIII Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung 8.3 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe; "Info"-Bild Seite 188 Geschwindigkeit, Beschleunigung 8.4 Radiale Punktbewegung auf einem drehbaren Stab; 190 Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung 8.5 Fliehkraftpendel; Eigenkreisfrequenz, erforderliche Körperpendellänge 191 0 Einleitung Die Kinematik beschreibt Bewegungen eines Körpers, ohne auf die bewegenden Kräfte einzugehen, das heißt, die Lage von Körpern in Abhängigkeit von der Zeit wird beschrieben. In der Kinetik wird der Zusammenhang zwischen den Kräften und den durch sie bewirkten Bewegungsänderungen von Massen untersucht. Sind die Kräfte bekannt, so kann daraus im Allgemeinen der Bewegungsablauf bestimmt werden und umgekehrt. 1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes Die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie wird beschrieben durch die Weg-ZeitFunktion, besser Orts-Zeit-Funktion x = x(t ) , das heißt, wir wissen zu jeder Zeit t den Abstand x des Punktes P von einem festen Punkt 0 (Bild 01.1). 1.1 Grundbegriffe und Formeln 1.1.1 Ort (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung t 0 t +∆ t P x(t) ∆x x (t + ∆t ) Bild 01.1: Bewegung eines Punktes auf geradliniger Bahn x = x(t ) x Ortskoordinate (Wegkoordinate) t Zeit, Zeitpunkt vm mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall ∆t am mittlere Beschleunigung im Zeitintervall ∆t vm = ∆x x(t + ∆t ) − x(t ) = ∆t ∆t v momentane Geschwindigkeit zur Zeit t a momentane Beschleunigung zur Zeit t am = ∆v v(t + ∆t ) − v(t ) = ∆t ∆t x& Geschwindigkeit (1. Ableitung des Ortes (Weges) nach der Zeit) ∆ x dx = = x& ∆ t → 0 ∆t dt x&& Beschleunigung (2. Ableitung des Ortes (Weges) nach der Zeit) ∆v dv = = v&= & x& ∆ t → 0 ∆t dt v& Beschleunigung (1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit) v = lim a = lim 2 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes 1.1.2 Kinematische Diagramme Über die Bewegung eines Punktes gewinnen wir einen x anschaulichen Überblick, wenn wir die Ortskoordinate x, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a über der Zeit auftragen. a v x Die Ortskoordinate x wird öfters auch als Wegkoordinate bezeichnet, was dann zu Missverständnissen führen t kann, weil die Koordinate x nicht den Weg, sondern den Ort des Punktes angibt. Wenn zum Beispiel ein Punkt x=v auf einer Strecke hin und her bewegt wird, so kann der zurückgelegte Weg beliebig groß werden, während sich sein Ort nur zwischen zwei Grenzen x1 und x2 ändert. Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v(t ) = x&(t ) (der t Punkt über der Größe bedeutet die Ableitung nach der Zeit) entsteht durch Ableitung (Differentiation) der x = v= a Funktion x(t ) . Dies gilt auch analog für die Funktionen v(t ) und a (t ) . Durch Integration können wir umgekehrt aus der Beschleunigungs-Zeit-Funktion a (t ) die Geschwindigkeits-Zeit-Beziehung v(t ) und weiter die t Orts (Weg)-Zeit-Beziehung x(t ) bestimmen. Das bedeutet zum Beipiel, daß die Änderung des Ortes Bild 01.2: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für (Ortsdifferenz) durch die Fläche unter der v,t-Linie dareine ungleichförmige Bewegestellt wird (Bild 01.3). In Bild 01.2 sind diese Diagung in einer geradlinigen gramme für eine ungleichförmige Bewegung in einer Bahn geradlinigen Bahn dargestellt. Die geradlinige Bahn ist neben der Ortskoordinate x im Bild 01.2 zu sehen. Manchmal wird der Ort x als unabhängige Variable gewählt, um zum Beispiel die Geschwindigkeits-Orts-Funktion v( x ) darzustellen. All diese graphischen Darstellungen bezeichnen wir als kinematische Diagramme. 1.1.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung) Gleichförmige geradlinige Bewegung heißt eine Bewegung, bei der die Beschleunigung a = 0 und die Geschwindigkeit v = konstant ist. Der zurückgelegte Weg nach der Zeit t ist x = x0 + v t . x0 ist der Weg, der zu Beginn der Zeitmessung bereits zurückgelegt war. x x= x0+v t x- x0=v t x0 x0 t x=v v= v0= konst. v0 vt Die Steigung der x,t -Geraden ist v= ∆ x/ ∆t= konst. Die Ortsdifferenz während der Zeit t ist gleich der "Fläche" v t im v,t -Diagramm. t x = v= a 0 t Bild 01.3: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für eine geradlinige Punktbewegung mit konstanter Geschwindigkeit
