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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/1
!1
Das Ziel eines Mischers besteht darin, ein Signal einer Frequenz
auf eine andere Frequenz
!2
umzusetzen.
Beispielsweise liegt das Eingangssignal von einer Antenne bei einer hohen Frequenz vor, welches dann
zur einfacheren Signalverarbeitung auf eine kleinere Frequenz umgesetzt werden soll. Diese Funktion
wird von einem sog. Mischer vorgenommen.
1 Mischprinzipien
Das Prinzip eines Mischers besteht darin, das Eingangssignal mit einem Lokal-Oszillator-Signal zu
multiplizieren, wie in Abb. 1 schematisch dargestellt ist.
us (t)
Eingangssignal
uZF (t)
ω1
ωz = |ω0 − ω1 |
Zwischenfrequenzsignal
ω0
Lokaloszillator
Abb. 1: Grundprinzip eines Mischers.
Wir nehmen zunächst ein harmonisches Eingangssignal
us (t ) = < U S exp(j!1 t )
Der Zeiger
Frequenz
US
ist dabei durch
!0 ,
U
= ^S cos(
US
c:c: für konjugiert komplex
tiplikation von u0 (t ) und us (t ):
wobei
us (t ) u0 (t ) =
1
h
4
!1 t + '1 ) =
U
= ^S exp(
u0 (t ) =
(engl.
1
2
us (t ) an:
j'1 )
1
2
U S exp(j!1 t ) + U S exp( j!1 t )
charakterisiert. Der Lokaloszillator hat die feste
U^0 exp(j!0 t ) + c:c: ;
conjugate complex )
U^0 U S exp[j (!0 + !1 )t ] + c:c
i
+
(2)
steht. Der Mischer vollzieht eine Mul-
U^0 U S exp[j (!0
h
(3)
!0 + !1 ) als auch
!1 ). Wir gehen zunächst von einem Mischer aus, der das EingangsFrequenz !1 auf eine niedrige Frequenz !z = j!0
!1 j, der sogenannten
bei der Dierenzfrequenz (
!0
i
!1 )t ] + c:c:
Nach der Multiplikation entstehen damit Signale sowohl bei der Summenfrequenz (
signal von einer hohen
(1)
Zwischenfrequenz, umsetzt. Es wird dann nur die Dierenzfrequenz aus Gl. (3) verwendet (nach
entsprechender Filterung), so dass sich für das Zwischenfrequenzsignal ergibt:
1
uZF (t ) = A U^0 U^S cos(!z t
'1 )
für
!0 > !1
(4)
uZF (t ) = A U^0 U^S cos(!z t + '1 )
für
!0 < !1
(5)
2
bzw.
1
2
A ist dabei eine charakteristische Konstante des Multiplizierers. uZF (t ) gibt dabei sowohl die Amplitude
U^S als auch die Phase '1 des Eingangssignals wieder, wobei die Phase für !0 < !1 in Gleichlage und
für !0 > !1 in Kehrlage wiedergegeben wird.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/2
Wir unterscheiden damit zwischen Gleichlage- und Kehrlage-Mischern. Weiterhin unterscheiden wir
zwischen Aufwärts- und Abwärtsmischern, je nachdem ob
!z gröÿer oder kleiner als !1 ist. Wir kommen
damit zu folgenden Mischprinzipien:
1.
2.
!0 < !1 :
a)
!z
=
!1
!0 : Abwärtsmischer in Gleichlage
b)
!z
=
!1 + !0 : Aufwärtsmischer in Gleichlage
!0 > !1 :
a)
!z
=
!0
!1 : Abwärtsmischer in Kehrlage (für !z < !1 , sonst Aufwärtsmischer)
b)
!z
=
!0 + !1 : Aufwärtsmischer in Gleichlage
Die obigen Betrachtungen lassen sich auch auf nicht-harmonische Signale
us (t ) durch seine Fouriertransformierte U S (j!) dargestellt wird:
us (t )
d
t
us (t ) verallgemeinern, wobei
U S (j!)
(6)
Mit einem Lokaloszillator-Signal
u0 (t ) = 2 cos(!0 t )
gilt dann
us (t ) u0 (t ) = U S j (!
Das Eingangsignal wird damit um die Frequenz
!0 )
+
(7)
U S j ( ! + !0 ) :
(8)
!0 sowohl nach oben als auch nach unten verschoben,
es bleibt aber ansonsten unverändert, so dass keine Informationen verloren gehen.
!0 > !1 , !z
Für einen Abwärtsmischer in Kehrlage entsprechend 2a) in obiger Darstellung (
ergibt sich das Spektrum in Abb. 2. Als Ausgangssignal werden die Spektralkomponenten
!0
!1
!0 !1 )
um !z =
=
herum herausgeltert.
U S (j(ω + ω0 ))
−(ω0 + ω1 )
−ω0
−ω1
U S (j(ω − ω0 ))
U S (jω)
−(ω0 − ω1 )
+(ω0 − ω1 )
+ω1
+ω0
+(ω0 + ω1 )
Abb. 2: Eingangs- und Ausgangsspektrum für einen Kehrlage-Abwärtsmischer.
1.1 Spiegelfrequenz
Wenn wir einen Kehrlage-Abwärtsmischer voraussetzen mit einer festen (durch die Wahl des Filters am
Ausgang festgelegten) Zwischenfrequenz
!z , liegt die gewünschte Eingangsfrequenz bei !1 = !0 !z .
Es ist allerdings zu beachten, dass dann auch (unerwünscht) ein Eingangssignal bei der Frequenz
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Hochfrequenztechnik II
!10
=
!0 + !z
Mischer
auf die gleiche Zwischenfrequenz
!z
MI/3
umgesetzt wird.
!10
wird als Spiegelfrequenz
bezeichnet, und der Abstand zwischen Soll-Eingangsfrequenz und Spiegelfrequenz ist durch
!10
!1 = 2!z ;
(9)
also die doppelte Zwischenfrequenz gegeben.
Um damit ein eindeutiges Zwischenfrequenzsignal zu ermöglichen, muss die Spiegelfrequenz am Eingang durch entsprechende Filterung unterdrückt werden.
Es ist damit ein Kompromiss zu nden zwischen einer einfachen Filterrealisierung am Eingang (möglichst hohe Zwischenfrequenz) und einer unproblematischen Signalverarbeitung (möglichst niedrige
Zwischenfrequenz). Gegebenenfalls können auch mehrere Mischstufen hintereinander geschaltet werden (zunächst hohe Zwischenfrequenz und am Ausgang niedrige Zwischenfrequenz).
2 Realisierung von Mischern mit nichtlinearen Kennlinien
Die Multiplikation auch bei hohen Frequenzen lässt sich durch nichtlineare Kennlinien realisieren. Beispielsweise eignen sich dazu nichtlineare Kennlinien zwischen Strom und Spannung bei Dioden und
Transistoren.
Abb. 3: Strom und Spannung bei Dioden und Transistoren.
Der Zusammenhang zwischen dem Strom
i (t ) und der Spannung u (t ) ist dabei durch
i
gegeben mit der nichtlinearen Funktion
Strom
i
instantan der Spannung
u
=
f (u )
(10)
f (u ). Zur Vereinfachung wollen wir hier annehmen, dass der
folgt und Ladungsspeichereekte vernachlässigt werden können.
2.1 Hochfrequenzgleichrichtung
Bevor wir uns dem eigentlichen Mischer zuwenden, wollen wir eine nichtlineare Kennlinie
betrachten, die nur von
einem
i
=
f (u )
harmonischen Signal
u (t ) = Ug + U^ cos(!t ):
(11)
ausgesteuert wird.
Es sei

i (t ) = f (u (t )) = IS exp
u (t )
UT
!

1
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(12)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
Abb. 4: Beispielhafter Verlauf von
Ug = 0; 6UT ).
mit dem Sperrstrom
T
IS
u (t )
i (t )
und
MI/4
bei einer Diodenkennlinie (hier mit
und der Temperaturspannung
UT
kT
e
=
UT
(
U^
=
UT
und
= 26 mV bei Raumtemperatur
u (t ) und i (t ) beispielhaft skizziert.
2
Der Strom i (t ) ist dann immer noch periodisch mit der Periodendauer =
! , so dass dann i (t ) als
= 290 K). Im Abb. 4 ist der Verlauf zwischen
Fourierreihe
geschrieben werden kann:
i (t ) =
1
+
X
m=
1
Am exp(jm!t )
(13)
mit den Fourierkozienten
Am =
1
+
Z=2
i (t ) exp( jm!t ) dt =
=2
+
Z=2
1

IS exp
=2
"
Ug + U^ cos(!t )
UT
Zur Lösung von Gl. (14) wird die modizierte Besselfunktion
Im ( x ) =
1
2
Z+

#
1 exp(
jm!t ) dt
(14)
Im (x ) der Ordnung m eingeführt:
x cos y ) cos(my ) dy;
exp(
(15)
so dass sich aus Gl. (14) ergibt:
Ug
U^
Im
UT
UT
!
Am = IS exp

A0 = IS exp
!
Ug
U^
I0
UT
UT
!
!
für
m 6= 0
(16)
für
m=0
(17)

1
In Abb. 5 sind modizierte Besselfunktionen beispielhaft dargestellt.
U UT ), ergibt sich auch für den Strom
ein nahezu harmonischer Verlauf, wobei die Verzerrungen durch die Fourierkoezienten Am mit m 2
Solange die Diodenkennlinie nur schwach ausgesteuert wird ( ^
charakterisiert werden. Gelegentlich wird auch ein Klirrfaktor eingeführt, wobei der Klirrfaktor der
Ordnung
m gegeben ist als
km =
A m
:
A1 TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(18)
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Mischer
MI/5
Im
I0
I1
I2
I3
x
Abb. 5: Modizierte Besselfunktionen
Zur einfacheren Analyse von
mente von
x
Am
ist es zweckmäÿig, Näherungen für
einzuführen. So gilt für
x
1
Im ( x ) x
1
sich alle
Im (x ) für kleine und groÿe Argu-
:
m
x
1
m!
2
x2
I0 ( x ) 1 +
während für
Im (x ) der Ordnung m = 0 : : : 3.
2
für
m 6= 0
(19)
für
m=0
(20)
Im (x ) dem Grenzwert
Im ( x ) x
2x
p
exp( )
(21)
nähern.
Beispiel:
Als Beispiel werde die Gleichrichterschaltung in Abb. 6 betrachtet. Die Kapazität
groÿ, so dass an ihr nur die Gleichspannung
von
i (t ), der sich mit Gl. (13) zu A0
C sei sehr
Ug abfällt. Ug hängt zusammen mit dem Gleichstrom
ergibt. Damit gilt
Ug = A0 R
(22)
und damit ergibt sich mit Gl. (17)

Ug = IS R exp
woraus sich die Gleichrichtspannung
U UT
bestimmen lässt. Für ^
Ug
Ug
U
I
UT 0 UT
!
^

!
1
;
(23)
als Funktion der Hochfrequenz-Wechselspannung
U^
folgt aus Gl. (23) mit Gl. (20):
Ug =
U^2
UT


1

2+
UT
IS R
;
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(24)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/6
quadratischen Gleichrichtung
so dass man dann auch von einer
U
spricht. Für ^
UT
folgt aus
Gl. (23) mit Gl. (21):
^
Ug = U;
so dass man dann von
(25)
linearer Hochfrequenz-Gleichrichtung
spricht.
Abb. 6: Schaltung zur Hochfrequenzgleichrichtung.
2.2 Mischer mit nichtlinearer Transistorkennlinie
Wir betrachten entsprechend Abb. 3 einen Transistor, der mit einer Überlagerung aus Signal- und
Lokaloszillator-Spannung ausgesteuert wird. Es gilt damit für
u (t ):
u (t ) = us (t ) + u0 (t ):
(26)
u0 (t ) = Ug + U^0 cos(!0 t ):
(27)
Für das Lokaloszillator-Signal gilt
Weiterhin soll der Transistor durch das Eingangssignal
us (t ) nur schwach ausgesteuert werden, so dass
jus (t )j U^0:
(28)
gilt. Diese Aussteuerung ist in Abb. 7 skizziert. Es gilt
i (t ) = f (u (t )) = f (u0 (t ) + us (t )) = f (u0 (t )) + us (t )
Gl. (29) stellt die Taylor-Entwicklung von
d f (u )
Taylor-Entwicklung dargestellt ist.
du
f (u )
ju=u (t )
0
um
u0 (t )
d f (u ) du +
:::
(29)
u =u0 (t )
herum dar, wobei nur das erste Glied der
stellt die durch das Lokaloszillator-Signal gesteuer-
te zeitabhängige Steilheit des Transistors dar. Diese Steilheit ändert sich periodisch entsprechend
der Frequenz des Lokaloszillators und wird mit dem Eingangssignal multipliziert.
führt zu der gewünschten Frequenzumsetzung.
Fourierreihe darstellen:
S (t ) =
d f (u ) du Die Steilheit
1
=
u =u0 (t )
+
X
m=
1
d f (u )
( ) =
du
St
Y m exp(jm!0 t )
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ju=u (t )
0
Diese Multiplikation
lässt sich wieder als
(30)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/7
i = f (u)
Steigung
!
df
du
"
us (t)
u
Ug
u0 (t)
Zeit t
f (u ) wird von us (t ) und u0 (t ) ausgesteuert, wobei die Kennlinie im Bereich
df
der Aussteuerung von us (t ) im Wesentlichen linear ist. Da der Parameter
durch u0 (t ) gesteuert
du
Abb. 7: Die Kennlinie
i
=
wird, spricht man auch von einer parametrischen Schaltung.
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Hochfrequenztechnik II
Beispiel:
Mischer
MI/8
Beim bipolaren Transistor gilt für den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung die
Diodenkennlinie von Gl. (6), so dass für die Ableitung
f du d
gilt. Für
IS
UT
=
u0 (t )
u0 (t )
UT
exp
!
(31)
u0 (t ) entsprechend Gl. (27) ergeben sich die Fourierkoezienten Y m
Ym =
1
+
Z=2
=2
IS
UT
zu:
Ym =
IS
UT
exp
= U S exp(j!1 t ) + c:c:] zu:
i (t )
!
exp(
U^
Ug
Im 0
UT
UT
!
exp
wieder mit der modizierten Besselfunktion
Das gesamte Spektrum des Stroms
u0 (t )
UT
jm!0 t ) dt
(32)
!
(33)
Im (x ).
gemäÿ Gl. (10) ergibt sich mit Gl. (30) und
us (t )
=
1 2[
i (t ) = f (u0 (t )) +
2
f (u0 (t ))
Der erste Term
1
+
X
1
m=
U S Y m exp(j (m!0 + !1 )t ) + U S Y m exp(j (m!0
1
!1 )t )
beinhaltet ähnlich zu Gl. (6) die Harmonischen des Lokaloszillator-Signals
m !0 , während im zweiten Term die Mischprodukte (m!0 + !1 , m!0 !1 ) erscheinen.
Wenn wir als Beispiel einen Kehrlage-Abwärtsmischer betrachten (!0 > !1 , !z = !0
!1 ),
sich das Zwischenfrequenzsignal bei !z aus Gl. (34) zu:
iZF (t ) =
wobei wir von
Y
1 =
Y 1
(34)
1
2
Y 1 U S exp(j (!0
!1 )t ) + Y 1 U S exp( j (!0
!1 ) t ) ;
ergibt
(35)
Gebrauch gemacht haben.
Das Zwischenfrequenzsignal lässt sich damit durch einen Zeiger
I ZF
darstellen, wobei
Y1
=
Y 1 US
(36)
Y 1 die Übertragung von der Signalspannung zum Zwischenfrequenzstrom beschreibt.
wird deshalb auch als
Mischsteilheit
bezeichnet.
Im obigen Beispiel haben wir die Umsetzung eines Eingangssignals bei der Frequenz
!0
!1
auf die Zwi-
!1 ) beschrieben. Wir sprechen dann von einem Grundwellenmischer.
Es lassen sich aber auch die Oberwellen von !0 ausnutzen, indem man die Eingangsfrequenz !1 auf
die Zwischenfrequenz (m !0
!1 ) umsetzt. Man spricht dann von einem Oberwellenmischer mit der
Mischsteilheit Y m . Die Ezienz eines Oberwellenmischers ist geringer als die eines Grundwellenmischers; dafür genügt aber die Realisierung eines Lokaloszillators bei einer um den Faktor m niedrigeren
schenfrequenz (
Frequenz.
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/9
Abb. 8: Prinzipieller Aufbau eines Heterodyn-Empfängers.
3 Beispiele für die Realisierung von Mischern
Ein typisches Beispiel für einen Mischer ist ein Heterodyn-Empfänger, wie er in Abb. 8 dargestellt
ist.
Er besteht aus einem Vorverstärker mit einem Filter zu Unterdrückung der Spiegelfrequenz. Das Eingangssignal wird mit einem Mischer auf eine feste Zwischenfrequenz umgesetzt, die dann ein ZF-Filter
passiert, bevor es der Demodulation bzw. der weiteren Signalverarbeitung zugeführt wird. Die Frequenz
des Lokaloszillators (variabel) wird dabei so eingestellt, dass die gewünschte Eingangsfrequenz korrekt
auf die feste voreingestellte Zwischenfrequenz umgesetzt wird.
Beispiele dafür stellen Rundfunkempfänger dar, wobei in Abb. 9 beispielhaft ein
FM-Tuner
(UKW-
Empfänger) dargestellt ist. Es handelt sich dabei um eine ältere Schaltungsrealisierung (ca. 1970), die
mit einer geringen Zahl von diskreten Bauelementen die in Abb. 8 genannten Funktionen, Vorverstärker,
Spiegelfrequenzlter, Mischer, Lokaloszillator und ZF-Filter realisiert.
Wir haben dort einen FET-Vorverstärker mit eingangs- und ausgangsseitigem Filter (abstimmbar zur
Unterdrückung der jeweiligen Spiegelfrequenz). Der untere Teil der Schaltung stellt einen ColpittsOszillator dar (vgl. Abb. 17 in Abschnitt RÜ) ,und die Mischstufe wird durch einen Bipolartransistor
dargestellt, an den sich am Ausgang ein Filter bei der Zwischenfrequenz um 10,7 MHz anschlieÿt.
Neben den oben dargestellten Mischern mit Transistoren lassen sich auch Mischer mit nichtlinearen Kennlinien anderer Bauelemente realisieren. Jenseits der Grenzfrequenz von Transistoren lassen
sich beispielsweise Schottky-Dioden (vgl. Skript Hochfrequenztechnik I) einsetzen, da diese eine sehr
schnelle Steuerung des dierentiellen Widerstands ermöglichen (einsetzbar bis Frequenzen im Bereich
von 1000 GHz), wie weiter unten genauer erläutert wird.
12
Der Frequenzbereich von ca. 1100 THz (1 THz=10
Hz) ist technisch nur schwer zugänglich, wäh-
rend Mischer im optischen Frequenzbereich oberhalb von ca. 100 THz ( 0
3
m) wieder sehr einfach
mit Hilfe von Fotodioden realisiert werden können. Das Prinzip einer Mischung im optischen Frequenzbereich ist in Abb.10 skizziert.
Es (t ) (bei der optischen Frequenz !1 ) wird mit dem Feld des Lokaloszillatorsignals E0 (t ) bei der Frequenz !0 überlagert, so dass sich an der Fotodiode ein Feld
Das Feld des Eingangssignals
E (t ) = E0 (t ) + Es (t )
i t
(37)
ergibt. Der Fotostrom ( ) ist proportional zur einfallenden optischen Leistung und damit proportional
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
Abb. 9: Realisierungsbeispiel für einen FM-Tuner mit diskreten Bauelementen.
Abb. 10: Prinzip eines Mischers von zwei optischen Signalen mit einer Fotodiode.
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MI/10
Hochfrequenztechnik II
zu
Mischer
MI/11
E 2 (t ), so dass sich ergibt:
i (t ) / E 2 (t ) = E02 + Es2 + 2E0 (t )Es (t )
(38)
E0 (t )Es (t ) repräsentiert, wobei bei dieser Multiplikation die
gewünschte Zwischenfrequenz !z = j!0 !1 j entsteht. Dieses Prinzip wird in der kohärenten optischen
Der Mischterm in Gl. (38) wird durch
Nachrichtentechnik angewandt.
4 Mischer mit Schottky-Dioden
Die Schottky-Diode wird wieder durch eine Dioden-Kennlinie
i
=
f (u ) entsprechend Gl. (12) charak-
terisiert, wobei der Einuss von parasitäten Kapazitäten sehr gering ist.
Die Schottky-Diode wird nur mit einer Überlagerung von Lokaloszillator, Eingangssignal und Zwischenfrequenzsignal ausgesteuert, wobei diese drei Signale in irgendeiner Weise an die Schottky-Diode
herangeführt werden müssen. Um die im Allgemeinen recht komplizierte Analyse handhabbar zu machen, wollen wir hier als Beispiel eine ideale Spannungseinprägung voraussetzen.
An der Schottky-Diode liegt dann die Summenspannung aus der Lokaloszillator-Spannung
Eingangssignal-Spannung
us (t ) und der ZF-Signal-Spannung uZF (t ) an.
u0 (t ), der
ω0
ω1
ωz = (ω1 − ω0 )
Abb. 11: Schematische
Anordnung
eines
Mischers
mit
einer
Schottky-Diode
und
Spannungseinprägung.
Das Prinzip einer solchen Spannungseinprägung ist in Abb. 11 skizziert. Die in Abb. 11 eingezeichneten
Schwingkreise sind symbolisch so zu verstehen, dass sie für alle anderen Frequenzen als die jeweilige
Soll-Frequenz Kurzschlüsse darstellen. Wie in Abb. 7 wird die Diodenkennlinie im Wesentlichen durch
das Lokaloszillator-Signal
u0 (t ) ausgesteuert, während sie durch us (t ), uZF (t ) nur im linearen Bereich
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/12
i (t ) ergibt sich dann ähnlich wie in Gl. (29) zu
betrieben wird. Der Strom durch die Schottky-Diode
i (t ) = f (u (t )) = f [u0 (t )) + us (t ) + uZF (t )] = f (u0 (t )) + [us (t ) + uZF (t )]
wobei sich
Periode
ju (t )
df
du
0
=!0
= 2
Y m = Y m
;
(39)
u0 (t )
auassen lässt, der sich periodisch mit der
wieder wie in Gl. (20) als Fourierreihe entwickeln lässt:
g (t ) =
wobei
g (t )
als ein zeitabhängiger Leitwert
df du für alle reellen
1
f du d
=
u0 (t )
+
X
1
m=
Y m exp(jm!0 t );
(40)
g (t ) gelten muss.
Die Mischung mit der Schottky-Diode erfolgt also im Wesentlichen dadurch, dass durch Aussteuerung
der Schottky-Diode mit
u0 (t ) ein zeitabhängiger dierentieller Leitwert g (t ) entsteht.
Damit entspricht Abb. 11 der Anordnung in Abb. 12.
ZF-Kreis
ωz = (ω1 − ω0 )
Signalkreis
ω1
g (t ) (resistiver
Abb. 12: Mischung mit einem sich periodisch verändernden Leitwert
Mischer) und
Spannungseinprägung.
Aus Abb. 12 folgt
i (t ) = us (t ) + uZF (t ) g (t );
(41)
was genau Gl. (39) entspricht (ohne den für die Mischung unerheblichen Term
f [u0 (t )]). Das g (t ) in
Abb. 12 muss nicht unbedingt mit einer Schottky-Diode realisiert werden, möglich ist z. B. auch die
Steuerung des Kanalleitwerts eines FETs durch die Gate-Source-Spannung.
Für einen
Gleichlage-Abwärtsmischer (!1 > !0 , !z
us (t ) =
uZF (t ) =
und
1
2
1
2
=
!1
!0 ) führt Gl. (41) mit
U S exp(j!1 t ) + c:c:
U ZF exp(j (!1
(42)
!0 )t ) + c:c:
(43)
g (t ) gemäÿ Gl. (40) auf
i (t ) =
1
2
1
X
+
U S exp(j!1 t ) + U ZF exp(j (!1
!0 )t ) + c:c:
Gl. (44) führt auf unendlich viele Frequenzkomponenten
in Abb. 12 nur die Frequenzkomponenten bei
!1
und
!z
m=
j!1 m!0j
1
Y m exp(jm!0 t )
(44)
, wovon für den Mischvorgang
= (
!1
!0 )
interessieren, da alle anderen
Frequenzkomponenten im Rahmen des Ansatzes der Spannungseinprägung kurzgeschlossen werden.
Aus Gl. (44) folgt für die Stromkomponenten bei
i (t ) =
1
2
!1
!1
und (
!0 ) (Y
1 =
U S Y0 + U ZF Y 1 ) exp(j!1 t ) + (U ZF Y0 + U S Y 1 ) exp(j (!1
(
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Y 1 ; Y
=
Y0
reell)
!0 )t ) + c:c: ;
(45)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/13
wobei für die Ströme bei der Signalfrequenz und Zwischenfrequenz wieder Stromzeiger eingeführt
werden können:
i s (t ) =
iZF
=
1
2
1
2
I S exp(j!1 t ) + c:c: ;
I ZF exp(j (!1
(46)
!0 )t ) + c:c: ;
(47)
so dass sich aus Gl. (45) ergibt:
I S = (U S Y0 + U ZF Y 1 )
I ZF = (U ZF Y0 + U S Y 1 )
(48)
(49)
Gl. (48) und (49) lassen sich in Matrix-Schreibweise formulieren:





Y Y 1  U S 
I
 S = 0
I ZF
Y 1 Y0
U ZF
y -Parametern
Gl. (50) entspricht formal der Beschreibung mit
(50)
gemäÿ Abb. 13. Das Netzwerk ent-
sprechend Abb. 12 und 13 ist ja auch ein lineares Netzwerk, aber es ist nicht zeitinvariant, weshalb
die Zeiger
IS, US
bzw.
I ZF , U ZF
auf jeweils unterschiedliche Frequenzen bezogen sind.
I ZF
IS
(Y )
US
U ZF
Abb. 13: Mischer als lineares Umsetzungsnetzwerk.
Interessant ist nun der maximal erreichbare Konversionswirkungsgrad von der Signalfrequenz
!ZF = !1 !0 . Dazu kann die aus den y -Parametern bekannte
0
Leistungsverstärkung Gm herangezogen werden. Aus Gl. (RÜ 27) mit Gl. (RÜ 26) folgt:
der Zwischenfrequenz
G0
m
=
In Gl. (50) gilt
<(y 11)<(y 22) <(y 12y 21) +
2
y 11 = y 22 = Y0
und für reelles
q
(wie in Gl. (33)) gilt
dass aus Gl. (51) folgt:
Gm0 =
Y1
Y0
!2

v
u
u

t
1 + 1
Y1
Y0
!2

zu
maximale
jy 21j2
[2<(y )<(y )
<(y 12y 21)]2 jy 12y 21j2
11
22
Y1
!1
(51)
Y 1 = Y 1 = Y1 =
^y
= y , so
12
21
2


(52)
Für die harmonische Aussteuerung einer Diodenkennlinie folgt aus Gl. (33)
Y1
Y0
=
I1
U^0
UT
I0
U^0
UT
:
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(53)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
Die maximale Leistungsverstärkung
ein noch realistisches
U^0
UT
Gm0
MI/14
nähert sich 1 für
Y1
Y0
!1
, was für
= 10 ergibt sich beispielsweise ein
Gm0
;
U^0
UT
= 0 5 (
!1
erreicht wird. Für
3 dB), was trotz der hier
durchgeführten Näherungen (ideale Spannungseinprägung) ein realistisches Ergebnis darstellt.
Dieses maximale
Leitwert
Y
=
q
Y
Gm0
2
0
wird erreicht, wenn sowohl auf der Signal- als auch auf der ZF-Seite an den
Y12
angepasst wird.
Die Rauschzahl eines derartigen realistischen Mischers ist ähnlich wie bei einem passiven Netzwerk
F
wenn
Gm0
G10
m
;
die verfügbare Konversionsezienz des Mischers (
(54)
Gm < 1) bezeichnet.
5 Gegentaktmischer
Der Nachteil des Mischers mit Schottky-Dioden, wie wir ihn in Abschnitt 4 diskutiert haben, besteht
darin, dass neben dem gewünschten Produkt
us (t ) + uZF (t )] g (t )
[
mit
g (t ) =
df
du
ju (t )
0
in Gl. (39) mit dem Term
f (u0 (t )) noch die Harmonischen von !0 erscheinen. Zur
Vermeidung dieses Terms werden Schottky-Dioden-Mischer häug als sogenannte Gegentaktmischer aufgebaut.
Das Prinzip eines Gegentaktmischers zeigt Abb. 14.
Abb. 14: Prinzip eines Gegentaktmischers mit
uZF (t ).
u1 (t ) = u0 (t ) + us (t ) + uZF (t ) und u2 = u0 (t ) us (t )
Wir gehen dabei von zwei gleichen Schottky-Dioden aus, die jeweils mit der Spannung
u1 = u0 (t ) + us (t ) + uZF (t )
(55)
u2 = u0 (t ) us (t ) uZF (t )
(56)
und
ausgesteuert werden. Der Dierenzstrom
i (t ) = i1 (t ) i2 (t ) ergibt sich als
i (t ) = f (u1 (t )) f (u2 (t ))
= 2[us (t ) + uZF (t )]g (t )
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(57)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/15
g (t ) entsprechend Gl. (40), so das man dann wieder die Multiplikation wie in Gl. (41) erhält.
3 dB
Ein solcher Mischer lässt sich aufbauen mit einem
-Koppler, 180 -Hybrid oder Magisches T (vermit
180
gleiche Hochfrequenztechnik I, Abschn. HS), der z. B. als Ringkoppler (HFT I, Abschn. HS, Abb. 13)
realisiert werden kann. Ein Realisierungsbeispiel zeigt Abb. 15.
Abb. 15: Gegentaktmischer mit Ringkoppler und zwei Schottky-Dioden.
Die Kapazität
C
in Abb. 15 soll einen Tiefpass repräsentieren, der für das hochfrequente Signal und
den Lokaloszillator einen Kurzschluss und das ZF-Signal einen Leerlauf darstellt. An den SchottkyDioden liegt jeweils die Summe bzw. die Dierenz von Lokaloszillator- und Eingangssignal an, während
sich der Strom des ZF-Signals gleichzeitig auf die beiden Schottky-Dioden aufteilt.
6 Ringmischer
Ein Nachteil des oben diskutierten Gegentaktmischers besteht noch darin, dass
und damit der Gleichanteil
g (t ) immer positiv ist
Y0 von g (t ) in Gl. (40) nicht verschwindet. Die führt dazu, dass der Strom
i (t ) in Abb. 14 und 15 oder Gl. (41) immer auch Spektralanteile des Eingangssignals mit beinhaltet.
Idealerweise wäre bei g (t ) in Gl. (40) Y0 = 0 und nur Y 1 = Y 1 6= 0. Um einem solchen idealen
Verhalten näher zu kommen, verwendet man einen sogenannten Ringmischer ,
wie er in Abb. 16
schematisch dargestellt ist.
u0 (t ) > 0 werden die Dioden D2 und D4 leitend (im Idealfall Kurzschluss), während D1
sperren (im Idealfall Leerlauf ). Für u0 (t ) < 0 drehen sich die Verhältnisse um.
Für
und
D3
Dann lässt sich idealerweise schreiben:
uZF
mit der Schaltfunktion
=
us (t ) s (t )


+1
für
1
für
s (t ) = 

u0 (t ) > 0
u0 (t ) < 0
(58)
(59)
Diese Multiplikation in Gl. (58) kommt der idealen Multiplikation für einen Mischer in Gl. (3) sehr
nahe und ist auch einmal in Abb. 17 skizziert.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/16
ZF
Abb. 16: Prinzip eines Ringmischers bzw. Ringmodulators.
s(t)
uZF (t)
+1
us (t)
−1
Abb. 17: Schematische Darstellung der Multiplikation von
us (t ) mit s (t ) bei einem Ringmischer.
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/17
Das Prinzip eines Ringmischers ist nicht auf die Realisierung mit Dioden beschränkt. Eine Realisierung
mit Feldeekttransistoren führt auf den sogenannten Gilbert-Mischer tielle) Eingangssignal wird dabei zwischen den Anschlüssen RF
in Abb. 18. Das (dieren-
+
und RF
angelegt, während das
ZF-Ausgangssignal sich als dierentielles Ausgangssignal zwischen den Knoten 1 und 2 ergibt. Der
Lokaloszillator wird zwischen LO
+
und LO
angeschlossen.
–
Abb. 18: Prinzip eines Gilbert-Mischers.
Die Äquivalenz zu einem Ringmischer wird deutlich, wenn man Abb. 18 etwas umzeichnet, woraus sich
Abb. 19 ergibt.
ZwischenFrequenzAusgang
Eingangssignal
Abb. 19: Gilbert-Mischer, dargestellt in Form eines Ringes.
7 Parametrische Frequenzumsetzung mit gesteuerter Kapazität
g (t ) diskutiert. Es stellt sich hier die
Frage, ob nicht auch die Mischung mit einer steuerbaren Kapazität c (t ) möglich wäre. Auf den esten
Wir haben oben die Mischung mit einem steuerbaren Leitwert
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/18
Blick hätte eine gesteuerte Kapazität den Vorteil, dass keine Verluste entstehen.
Allgemein lässt sich eine nichtlineare Kapazität durch eine nichtlineare Beziehung zwischen der Ladung
q (t ) und der Spannung u (t ) entsprechend
q (t ) = h[u (t )]
(60)
beschreiben, woraus sich die dierentielle Kapazität
q du d
c (t ) =
(61)
u0 (t )
ergibt, wobei die nichtlineare Kapazität durch die Lokaloszillator-Spannung
c (t ) lässt sich dann wie in Gl. (40) als Fourier-Reihe schreiben:
c (t ) =
m=+
X1
m=
1
u0 (t ) ausgesteuert wird.
C m exp(jm!0 t )
(62)
C 0 = C0 und C m = C m . In Abb. 12 lässt sich dann g (t ) durch c (t ) und der Strom i (t )
durch die Ladung q (t ) ersetzen, woraus dann statt Gl. (41) für q (t ) folgt:
mit reellem
q (t ) = [us (t ) + uZF (t )]c (t )
(63)
Statt für den Strom schreiben wir jetzt für die Ladung bei dem Eingangs- bzw. Zwischenfrequenzsignal
(vgl. Gl. (46), (47))
qs (t ) =
1
qZF (t ) =
1
2
2
QS exp(j!1 t ) + c:c:]
(64)
QZF exp(j (!0
(65)
[
!1 )t ) + c:c:];
[
woraus sich dann wie in Gl. (50) in Matrix-Schreibweise ergibt:





Q
C C1  U S 
 S = 0
:
QZF
C 1 C0
U ZF
Wenn man jetzt versucht, den
zum Strom
Konversionswirkungsgrad
d q (t )
( ) =
übergehen, woraus
dt
i t
I S = j!1 QS
folgt. Hier wird das Problem eines
und
Abwärtsmischers
I ZF
(66)
zu ermitteln, muss man von der Ladung
=
j!ZF QZF
mit gesteuerter Kapazität deutlich: Für
q (t )
(67)
!ZF
!1
ergeben sich bei der Zwischenfrequenz sehr kleine Ströme (und damit auch sehr kleine Leistungen),
so dass ein Abwärtsmischer mit gesteuerter Kapazität nicht vernünftig realisiert werden kann. Anders
verhält es sich jedoch bei einem
(
parametrische Verstärkung ).
Aufwärtsmischer (!ZF
!1
); hier ist sogar eine Verstärkung möglich
Für gesteuerte Kapazitäten gibt es allgemeine Gesetzmäÿigkeiten für die Leistungsbeziehungen (ManleyRowe-Gleichungen), die hier aber nicht weiter diskutiert werden sollen.
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann