Seminar vom 05. 06. 2008. Aufgabenblatt 08

Übungsblatt 08
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik
12.06.2008
Aufgaben
1. Das folgende Diagramm zeigt die Kollektor-Kennlinien eines Transistors bei 3 verschiedenen Basisströmen.
Bestimme aus ihnen die Stromverstärkung (IC /IB ) und die Spannungsverstärkung (UCE /IB ) bei Verwendung eines Kollektorwiderstandes von 1kΩ und den (Batterie-)Spannungen 10 V und 20 V. Diskutiere in
beiden Fällen die Verluste im Widerstand und im Transistor bei einem Kollektor-Strom von jeweils 6 mA.
2. Durch zwei sehr lange Leiter, die in Luft im Abstand 10 cm parallel zueinander verlaufen, fliessen in gleicher
Richtung Ströme von je 57 A. Welche Arbeit muss verrichtet werden, um beide Leiter entlang 10 m Länge
bis auf einen Abstand von 20 cm auseinander zu rücken?
3. Zwischen den übereinander liegenden Polen eines Hufeisenmagneten (Magnetfeld mit B = 0, 08T) befindet
sich, an dünnen Stromzuführungen waagerecht aufgehängt, ein Draht aus Aluminium (Dichte ρ = 2, 7 ·
103 kg/m3 ), welcher im vertikalen Magnetfeld frei schwingen kann. Durch den Draht fliesst ein Strom der
Stromdichte j = 105 A/m2 .
Um welchen Winkel gegenüber der Vertikalen wird die Pendelaufhängung ausgelenkt?
4. Von einem Punkt eines homogenen Magnetfeldes mit B = 0, 01T geht ein divergentes Bündel von Elektronenstrahlen aus, deren Geschwindigkeitsvektoren alle den gleichen Betrag von υ = 3 · 107 m/s haben und
mit der Magnetfeldrichtung einen Winkel von 10◦ einschliessen. Welche Art von Bahnen durchlaufen die
Elektronen? Wo treffen sie sich wieder alle?
5. Ein anfänglich ruhendes 63 Cu − Ion (Ladung: +e, Molmasse: m63 = 63g/mol, Dichte: 8, 6g/cm3 ) wird in
einem Elektrischen Feld, das durch eine Spannung mit 2, 5 kV erzeugt wurde, beschleunigt und anschliessend
in einem senkrecht zur Flugbahn des Ions verlaufenden homogenen B-Feld der Stärke B = 0, 18T abgelenkt.
Welchen Weg nimmt das Ion?
1
Was ändert sich, wenn sich ein 65 Cu−Ion (Molmasse m65 = 65g/mol) unter die ursprünglichen 63 Cu−Ionen
verirrt?
Parallel zur Flugbahn der Ionen (vor Eintritt in das Magnetfeld) befindet sich eine Platte im Abstand von
32 cm. Wie muss die Platte relativ zum Magnetfeld angeordnet sein, dass die Ionen sie ungefähr senkrecht
treffen? Wie gross sind dann die Auftreffstellen von einander entfernt?
6. Ein geladenes Teilchen bewegt sich in einem Raum, in dem ein elektrisches und ein magnetisches Feld
herrschen. Ein Beobachter erkennt aus vielen Versuchen, dass die Bewegung des Teilchens unter bestimmten
Voraussetzungen gleichförmig und unabhängig von der Masse und der Ladung des Teilchens ist.
Was sind die Bedingungen hierfür?
Wozu könnte so eine Apparatur benutzt werden?
7. In einem Koaxialkabel, das aus dem Innenleiter (Radius R1 ) und dem Aussenleiter (Innenradius R2 > R1 ,
Aussenradius R3 > R2 ) besteht, fliesst im Innenleiter der Strom Ii = I und im Aussenleiter derselbe Strom,
aber in die entgegengesetzte Richtung: Ia = −I. Berechne das Magnetfeld im Abstand r von der Symmetrieachse im Inneren des Innenleiters r < R1 , im Raum zwischen Innen- und Aussenleiter (R1 < r < R2 ), im
Aussenleiter (R2 < r < R3 ) und ausserhalb des Aussenleiters (R3 < r).
(für diese Aufgabe gibt es einen Bonuspunkt)
2
Lösungen
1. Das Diagramm zeigt die Arbeitskennlinie des Transistors für die zwei Fälle U0 = 10 V und U0 = 20V.
Daraus ist das Diagramm für die beiden Verstärkungen entnehmbar über die Schnittpunkte der entsprechenden Kurven
6mA
Die Stromverstärkungen sind 5,1mA
25µA ≈ 204 (bei U0 = 10 V) bzw. 25µA = 240 (bei U0 = 20 V). Bei einem
Kollektorstrom von 6 mA betragen die Kollektor-Spannungen 4 V (bei U0 = 10 V) bzw. 14,5 V (bei U0 = 20
V), entnommen dem Diagramm.
Rechnerisch ergeben sich, über den Spannungsabfall ∆U = I · R = 6mA · 1kΩ = 6 V am Widerstand
ermittelt, U0 − ∆U = 4V (bei U0 = 10 V) bzw. 14 V (bei U0 = 20 V). Die Verluste am Widerstand sind in
beiden Fällen gleich, nämlich WR = ∆U · I = 36mW .
Am Transistor hingegen ergeben sich WT = UC · IC = 24mA (bei U0 = 10 V) bzw. 84 mW (bei U0 = 20 V).
Letzteres (bei U0 = 20 V) ist um den Faktor 3,3 ungünstiger als im Fall der niedrigeren Versorgungsspannung.
3
2. Ein langer gerader stromdurchflossener Leiter bewirkt ein Magnetfeld im Abstand r zum Leiter von B (r) =
µ0 I1
2π r .
Die Kraft auf einen zweiten mit dem Strom I2 durchflossenen Leiter der Länge l ist (siehe Manuskript)
F = I2 B (r) · l =
µ0 2lI1 I2
4π r
Beim differentiellen Auseinanderziehen der Leiter muss nun die differentielle Arbeit dW = F dr geleistet
werden, also ergibt sich für die Gesamtarbeit
Z2
Z2
dW =
1
1
µ0 2
F dr =
·I l
2π
Zr2
r1
1
µ0 I 2 l r2
= 4, 54 · 10−3 J
dr =
ln
r
2π
r1
3. Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld ist
~
dF~ = Id~l × B
~ senkrecht aufeinander, also:
Hier sind die Leiterstücke d~l und das Magnetfeld B
dF = I · B · dl
Mit der Stromdichte j und dem Drahtquerschnitt A ergibt sich
dF = j · A · B · dl
oder, für den L langen Draht mit Volumen V = A · L
Z
dF = F = jV B
Bei einer Auslenkung eines Pendels der Masse M um den Winkel ϕ ist die rücktreibende Kraft
Fr = M · g · sin ϕ
Die Kraft im Magnetfeld ist gleich dieser mechanischen Kraft, also (mit M = ρV , ρ = Dichte)
M · g · sin ϕ = ρ · V · g · sin ϕ = jV B
⇒
ϕ = arcsin
jB
= 17, 2◦
ρg
4. Die Geschwindigkeit eines Elektrons hat bezüglich dem Magnetfeld zwei Anteile, deren Grösse von dem
eingeschlossenen Winkel α abhängen.
parallel zum Feld: vp = v · cos α
senkrecht zum Feld: vs = v · sin α
Das Magnetfeld wirkt über die Lorenzkraft F~ = q~v × B auf die Flugbahn des Elektrons.
Der parallele Anteil wird durch das Feld nicht verändert, es liegt also eine unbeschleunigte gleichförmige
Bewegung parallel zum Feld vor.
Der senkrechte Anteil erfährt über die Kraft Fs = qB · v sin ϕ = qB · vs eine stetige Richtungsänderung, die
zu einer Kreisbahn senkrecht zum Magnetfeld führt.
2
Die Zentrifugalkraft m· vrs = m·ω ·vs ist nun gleich der Lorenzkraft: mωvs = qB ·vs woraus die Kreisfrequenz
q
ω=m
B und die Periodendauer eines Umlaufs
T =
2π
2πm
=
ω
qB
4
sich ergibt.
Die Elektronen bewegen sich parallel zum Magnetfeld mit einer konstanten Geschwindigkeit und führen
senkrecht dazu eine kreisförmige Bewegung aus, also insgesamt eine schraubenförmige.
Nach der Zeit T treffen sie sich wieder alle in einem Punkt, der
s = vp · T =
v · cos α · 2πm
≈ 0, 105m
qB
entfernt ist.
Ein Magnetfeld fokussiert also divergent sich bewegende Ladungen, sofern sie alle die gleiche Geschwindigkeit
q
.
haben und das gleiche Verhältnis m
5. Die Fluggeschwindigkeit der Ionen mit Ladung e berechnet sich aus der Energie W = eU , die die Ionen im
Elektrischen Feld, das mit der Spannungsdifferenz U erzeugt wurde, erhalten, die gleichzeitig die kinetische
Energie W = 21 mv 2 ist, zu
p
v = 2eU/m
Die Masse eines Ions ist die Molmasse dividiert durch die Avogadro-Zahl
m = m63 /N A
(Die Dichteangabe wird nicht benötigt).
~ Da
In einem Magnetfeld wirkt auf ein geladenes Teilchen, das sich bewegt, die Lorenzkraft F~ = q~v × B.
~ ist, kann hier mit den Beträgen gerechnet werden und die Flugbahn ist ab Eintritt ins
~v senkrecht zu B
Magnetfeld eine Kreisbahn, deren Radius r sich aus der Gleichheit der mechanischen Zentrifugalkraft und
Lorenzkraft ergibt:
v2
⇒
r r
r
m 1
m63 1
mv
= 2U ·
= 2U
·
= 0, 318m
r=
eB
e B
eNA B
ev · B = m ·
für die etwas schwereren
65 Cu
− Ionen ergibt sich
r65 = 0, 323m
Die Ionen werden senkrecht zur Flugrichtung und senkrecht zum Feld abgelenkt. Die Auffangplatte muss
deshalb parallel zum Feld orientiert sein, damit die Ionen senkrecht auftreffen. Der Abstand (32 cm) ist für
diesen Fall richtig gewählt.
Der Abstand der Auftreffstellen ist die Differenz der Kreisbahnradien, also
r
√
2U 1 √
∆=
( m65 − m63 ) = 5mm
eNA B
6. Die Kraft auf ein bewegtes geladenes Teilchen im kombinierten elektrischen und magnetischen Feld ist:
~ + q · ~v × B
~
F~ = q E
~ = −q~v × B
~ oder E
~ =
Wenn das Teilchen sich gleichförmig bewegen soll, muss diese Kraft Null sein, also q E
~ × ~v unabhängig von der Masse des Teilchens und der Ladung, aber abhängig von dessen Geschwindigkeit.
B
Die Felder müssen also senkrecht zueinander sein und das Teilchen muss sich senkrecht zu beiden bewegen.
E
E
Wert werden sich nur die Teilchen mit v = B
geradlinig bewegen. So eine
Bei einem bestimmten B
Anordnung ist also ein Geschwindigkeitsfilter für geladene Teilchen.
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7. (freiwillig)
Das Ampère’sche Durchflutungsgesetz
ZZ
I
ida
Bds = µ0
s
A(s)
verbindet das Magnetfeld B mit den Stromdichten i.
Bei einer zylindersymmetrischen Anordnung der Stromdichten muss das Ergebnis ebenfalls Zylindersymmetrie aufweisen, das Magnetfeld muss also kreisförmig sein und dessen Stärke darf nur vom Radius abhängen
und nicht vom Ort entlang des Leiters. Damit vereinfacht sich das Wegintegral, wenn als Weg ein konzentrischer Kreis (zur Leiteranordnung) mit Radius r gewählt wird, zu
I
Bds = B (r) 2πr
s
Das Flächenintegral (mit obigen Kreis als Umrandung) ergibt für
(a) Innenleiter: r < R1 mit i =
I
R12 π
ZZ
i da = µ0 I
µ0
A
r2
R12
⇒
B (r) =
µ0 · Ir
2πR12
(b) Zwischenraum: R1 < v < R2 Strom nur im Innenleiter,
ZZ
i da = µ0 · I
µ0
A
⇒
B (r) =
µ0 I
2πr
(c) Aussenleiter: R2 < r < R3 Strom im Innenleiter und im Teil des Aussenleiters (mit anderer Richtung)
ZZ
µ0
i da = µ0 I −
A
= µ0 I
I
· r2 − R22
2
2
R3 − R2
R32 − r2
R32 − R22
⇒
1
B (r) = µ0 · I · 2
R3 − R22
R32
−r
r
(d) Aussenraum: r > R3 Gesamtstrom im Inneren des Kreises ist I − I = 0
⇒ B (r) = 0
Das Feld steigt also linear an bis zum Radius R1 , fällt dann hyperbelförmig ab bis zum Radius R2 und von
da an stärker bis zu R3 , wo es Null wird. Ausserhalb des Koaxialkabels ist kein Magnetfeld, das von den
Strömen im Kabel herrührt.
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