Graphentheorie und Kombinatorik - Fachbereich Stadt

A.Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr
Mathematik und Statistik für Raumplaner: Graphentheorie und Kombinatorik
Mathematik
und Statistik für Raumplaner I
Graphentheorie
und Kombinatorik
Wintersemester 2010/2011
Leiter und Autor:
A. Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr
Fachbereich Stadt- und Regionalforschung
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A.Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr
Mathematik und Statistik für Raumplaner: Graphentheorie und Kombinatorik
Grundbegriffe und Definitionen der
Graphentheorie
Ein ungerichteter Graph (V, E) besteht aus einer Menge
von Knoten (Vertices) V = {vi} und einer Menge E =
{ei} von ungeordneten Paaren ei = (vi,vj), den Kanten
(Edges) von G. Die Kante ei = (vi,vj) verbindet die
Knoten vi und vj. Auf sich selbst bezogene Kanten ei =
(vi,vi) nennt man Schlingen.
Beispiel für einen ungerichteten Graphen (mit 4 Knoten):
V1
V3
V2
V4
Die Anzahl der Kanten, die zu einem Knoten inzident
sind (dort zusammentreffen), heißt Grad des Knoten.
Zwei Kanten heißen adjazent (benachbart), wenn sie
einen gemeinsamen Knoten besitzen.
Ein Graph heißt planar, wenn seine Knoten und Kanten
so in einer Ebene liegen, daß sich zwei Kanten nur in
einem Knoten kreuzen.
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Sind in einem Graphen je zwei verschiedene Knoten
durch eine Kante verbunden, so heißt der Graph vollständig.
Eben oder planar kann ein vollständiger Graph nur dann
sein, wenn er höchstens 4 Knoten besitzt.
Maximaler planarer Graph
Ein Knoten vom Grad 1 heißt ein Endpunkt des
Graphen. Eine Kante, die in einem Endpunkt endet,
heißt eine Endkante. Die Anzahl der Knoten mit
ungeradem Grad ist stets gerade.
Eine Kantenfolge in einem Graphen ist eine endliche
Folge von Kanten, sodaß je zwei aufeinanderfolgende
Kanten einen Knoten gemeinsam haben. Die Kantenfolge ist offen, wenn Anfangs- und Endpunkt nicht identisch sind, sonst heißt sie geschlossen. Ein Weg oder
eine Bahn ist eine offene Kantenfolge, in der außerdem
alle Knoten verschieden sind. Die Anzahl der Kanten in
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einer Kantenfolge wird als Länge der Kantenfolge bezeichnet, der Weg kleinster Länge zwischen zwei
Knoten vi und vj ist der Abstand d (vi,vj) dieser Knoten.
Ein Kreis oder Zyklus ist ein geschlossener Kantenzug,
bei dem bis auf Anfangs- und Endknoten alle Knoten
verschieden sind.
Beispiele:
V6
V5
V4
V1
V2
e1 - e2 - e2 - e5:
e1 - e2 - e3 - e4 - e5 - e1:
e1 - e2 - e3 - e4 - e6:
e1 - e2 - e3 - e4 - e8:
offene Kantenfolge
geschlossene Kantenfolge
Weg oder Bahn
Kreis oder Zyklus
Ein Teilgraph (Subgraph) G1 (V1, E1) eines gegebenen
Graphen G (V, E) besitzt eine Teilmenge V1 ε V seiner
Knoten und eine Teilmenge E1 ε E seiner Kanten.
Behält man beim gegebenen Graphen G alle seine
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Knoten zurück, entfernt jedoch eine oder mehrere Kanten, so erhält man einen spannenden Teilgraph (partiellen Graphen) von G. Entfernt man einen oder mehrere
Knoten und alle Kanten, die mit diesem(n) Knoten
inzident sind, so erhält man eine Untergraphen von G.
Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn sich je zwei
verschiedene Knoten durch zumindest einen Weg miteinander verbinden lassen. Ein isolierter Teilgraph ist
ein Teil eines Graphen ohne direkte Kantenverbindung
zu diesem.
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Beispiele:
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Bestehen Graphen aus Kanten, denen nichtsymmetrische
Beziehungen zugrunde liegen (Abwasserflüsse in Entsorgungsnetzen oder Einbahnen in Verkehrssystemen),
so spricht man von gerichteten Graphen. Hier ist
zusätzlich jede Kante orientiert. Die Orientierung wird
durch einen Richtungspfeil ausgedrückt.
Ein symmetrischer Graph, bei dem alle Kanten entgegengesetzt parallel sind, darf jedoch nicht mit dem
scheinbar äquivalenten ungerichteten Graphen verwechselt werden.
Beispiele:
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Ein Graph heißt Baum, wenn gilt, dass für je zwei seiner
Knoten nur jeweils ein Weg existiert, der diese Knoten
verbindet. Ist ein Baum vollständig, so ist die Zahl der
Kanten immer um eins geringer als die Zahl der Knoten
(E = V-1).
Ist ein spannender Teilgraph G1 eines Graphen G
zugleich Baum, so spricht man von einem spannenden
Baum oder einem Gerüst.
Beispiel:
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Besteht ein Baum nur aus gerichteten Kanten und
existiert ein einziger Knoten, zu dem keine Kante führt,
so spricht man von einem Wurzelbaum oder Aboreszenz.
Knoten von denen keine Kante wegführt, nennt man
Endknoten oder Blätter.
Wurzelbäume eignen sich zur Darstellung
(1) hierarchischer Strukturen und
(2) Verteilungsstrukturen
In vielen Anwendungsbereichen der Graphentheorie
werden den einzelnen Kanten Werte zugeordnet. Man
spricht dann von bewerteten Graphen. Als Beispiele
seien Transportkapazitäten oder Entfernungen in Infrastrukturnetzen angeführt.
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Ausgewählte Maßzahlen der Netzstruktur
1.
Index  (zyklomatische Zahl)
=e-v+q
e
v
q
Anzahl der Kanten
Anzahl der Knoten
Anzahl der Teilgraphen
Bei isolierten Teilnetzen (Subgraphen) und Bäumen, die
laut Definition keine geschlossenen Kantenzüge enthalten, nimmt der Index  als Maßzahl für den zyklischen Grad eines Graphen den Wert 0 an, mit
zunehmender Zyklenzahl im Graphen entsprechende
ganzzahlige Werte.
2.
Index 
 = e/v
Der Index  ergibt sich aus dem Verhältnis zwischen
der Kanten- und der Knotenzahl eines Graphen.
Ähnlich wie beim Index m charakterisieren hohe Indexwerte komplizierte Netzstrukturen, niedrige Werte einfache Netzstrukturen: Bäume und isolierte Teilgraphen
haben Werte  < 1. Man spricht dann auch von verästelten Netzen. Der Wert 1 gilt für Netze mit nur einem
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geschlossenen Kantenzug (wenn man von Schlingen
absieht). Hohe Werte von  gelten für ausgedehnte
Netze mit hoher Kantenzahl. Man spricht dann auch von
vermaschten Netzen.
3.
Index 
 = e / (½(v*(v-1))
Der Index  gibt das Verhältnis zwischen der tatsächlichen und der maximal möglichen Kantenzahl in
einem Graphen an. Der Wert 1 gilt für vollständige
Graphen, Werte nahe bei 0 charaktersieren verästelte
Netze.
Anmerkung: Die Maximalzahl von Kanten in einem
vollständigen Graphen beträgt v*(v-1), wenn keine
Mehrfachkanten zwischen einzelnen Knoten und keine
Schlingen zugelassen sind. Bei vielen Anwendungen
bewerteter und gerichteter Graphen (beispielsweise
zwei Straßen zwischen zwei Standorten) müssen aber
diese Restriktionen aufgegeben werden.
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Beispiele:
=7-5+1=3
β = 7/5
γ = 7/10
4.
=3-5+2=0
β = 3/5
γ = 3/10
Index  (Durchmesser)
 = xmaxy d(x,y)
d(x,y)
xmaxy
kürzeste Länge (Kantenzahl) zwischen x und y
x und y sind die voneinander weitest entfernten
Knoten
Der Parameter  bezeichnet die topologische Länge
oder die Ausdehnung des Graphen, d.h. die Kantenzahl
im kürzesten Kantenzug zwischen den am weitesten
voneinander entfernten Knoten.
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Beispiele:
d=2
5.
d=4
Index α(e) (Assoziationsindex, Königszahl)
Dieser Index beschreibt für einen bestimmten Knoten
die maximale Anzahl der Kanten zwischen dem betreffenden Knoten und jedem beliebigen Knoten im
Netz. Er ist somit ein Maß für topologische Distanzen
und deutet an, daß Knoten mit einem niedrigen Assoziationsindex eine zentrale Stellung im Netz einnehmen.
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Matrixanalyse
Gerichtete Graphen können arithmetisch in Form der
sogenannten Adjazenzmatrix A={aij} dargestellt
werden.
aij = 1, wenn eine Kante zwischen den Knoten i und j
existiert, ansonsten ist aij = 0.
A
=
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
In der k-ten Potenz Ak ("(k-1)-mal mit sich selbst
multipliziert") der Adjazenzmatrix gibt das Element
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aij(k) die Anzahl der gerichteten Kantenfolgen der Länge
k von i nach j an.
Beispiel:
A(2) =
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
A(3) =
0
1
1
0
0
1
1
0
2
2
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
Es existieren beispielsweise ein gerichteter Weg der Länge 2 von Knoten 2 zu
Knoten 1 oder 2 gerichtete Wege der Länge 3 von 4 nach 3.
Anwendungen der Graphentheorie in der
Raumplanung und Regionalwissenschaft
Wie kaum eine andere mathematische Disziplin hat die
Graphentheorie Eingang in die Raumplanung und Regionalwissenschaft gefunden. Die Anwendungsgebiete
reichen dabei von einfachen Formalisierungen bis zu
komplexen Algorithmen und Modellen. Im Rahmen der
Lehrveranstaltung "Mathematik und Statistik" kann nur
auf die wichtigsten Anwendungen hingewiesen werden;
eine Detaillierung einzelner Verfahren wird in
speziellen Lehrveranstaltungen (z.B. Methoden der
Regionalanalyse; Kleinräumige Standortbewertung)
geboten.
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1. Einfache Formalisierungen
Graphen zur Abbildung von Infrastrukturnetzen:
Knoten sind einzelne Standorte; Kanten sind Leitungen
der Infrastruktur (Verkehr, Ver- und Entsorgung); Bewertungen sind Kapazitäten, Transportströme, Interaktionen, Entfernungen.
Graphen zur Abbildung von Grenznetzen: Knoten sind
ausgewählte geografische Punkte; Kanten sind Grenzen;
Bewertungen sind Überwindungswiderstände.
2. Komplexe Algorithmen und Modelle
Kürzeste-Wege-Algorithmen: Berechnung von "Kürzesten Wegen" (in den Dimensionen "Entfernung" oder
"Zeit") zwischen einzelnen Standorten aus Entfernungsmatrizen. Diese Matrizen sind eine wichtige Voraussetzung für Modelle der Lagegunst und von Interaktionsbeziehungen.
Strömungsmodelle: Ermittlung maximaler Ströme; Ermittlung kostenminimaler Ströme in Leitungsnetzen.
Modelle optimaler Routensuche: Briefträgerproblem;
Travelling-Salesman- Problem.
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Grundbegriffe und Defintionen der
Kombinatorik
1. Das Summenzeichen
N
 ai = a1 + a2 + . . . + aN
i 1
N
N
N
i 1
i 1
i 1
Es gilt:  (ai + bi) =  ai +  bi
N
N
i 1
i 1
 cai = c  ai
N
N
N
i 1
i 1
i 1
 (aibi)   ai  bi
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2. Das Produktzeichen
N
 ai = a1a2 . . . aN
i 1
N
N
N
i 1
i 1
i 1
N
N
N
c 
i 1
es gilt:  (aibi) =  ai  bi
 cai =
i 1
N
 i=N!
i 1
ai
N-Faktorielle
Definition: 0 ! = 1
Beispiel:
5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Produktregel der Kombinatorik
Sind n Entscheidungen zu treffen und die Entscheidung
jeder Stufe 1, 2, 3, ... , lässt jeweils m1, m2, m3, ..., mn
Möglichkeiten zu, so erhält man die Gesamtszahl der
Entscheidungsmöglichkeiten, indem man die Anzahl der
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Entscheidungsmöglichkeiten
miteinander multipliziert:
k = m1 . m2 . m3. ,,, .mn
jeder
einzelnen
Stufe
Beispiel:
Drei Patienten kommen in ein Wartezimmer mit 6 Stühlen.
Wieviele Möglichkeiten gibt es für diese Leute, auf den
Stühlen Platz zu nehmen ?
Der erste Patient hat 6 Stühle (Möglichkeiten) zur Auswahl,
der zweite nur noch 5 Stühle und der dritte Patient kann dann
nur noch unter 4 Stühlen auswählen. Es gibt also 6.5.4 =120
verschiedene Sitzordnungen.
Summenregel der Kombinatorik
Haben die beiden unvereinbaren Ereignisse E1 oder E2
genau m1 bzw. m2 Möglichkeiten für ihr Auftreten, dann
gibt es für das zusammengesetzte Ereignis E1 oder E2
genau m1 + m2 Möglichkeiten.
Beispiel:
Lisa spielt mit ihrer Puppe. Sie will aus einer Kiste mit 2
gelben und 3 roten Hosen sowie 2 schwarzen und 4 blauen
Jacken
eine
Kleiderkomposition
für
ihre
Puppe
zusammenstellen. Wieviele Möglichkeiten hat sie dazu ?
Für die Auswahl der Hosen gibt es 2 + 3 = 5, für die Jacken 2
+ 4 = 6 Möglichkeiten (Summenregel). Insgesamt hat Lisa
dann 5 . 6 = 30 Möglichkeiten, ihre Puppe anzukleiden
(Produktregel).
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Permutationen
Permutationen sind definiert als beliebige Anordnungen
einer Menge M von N vorgegeben Elementen.
M = {a,b,c,d}
Permutationen: abcd
abdc
acbd
.
.
1. Permutationen ohne Wiederholungen
PN = N !
PN . . . Anzahl der Permutationen von N Elementen
ohne Wiederholungen
2. Permutationen mit Wiederholungen
PNw = N ! / (w1 ! w2 ! . . .)
PNw . . . Anzahl der Permutationen von N Elementen
mit Wiederholungen
wi . . . Wiederholungen des Elementes i
Beispiel:
M = {a,a,a,b,b,c,d,d,d,d}
P10w = 10 ! / (3 ! 2! 1! 4 !) = 12600
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Variationen
Variationen sind definiert als Auswahl von K
Elementen aus einer Menge M von N Elementen unter
Berücksichtigung ihrer Anordnung.
1. Variationen ohne Wiederholungen
VN(K) = N ! / (N - K) !
VN(K) . . . Variationen der Klasse K von N Elementen
ohne Wiederholungen
Beispiel:
Bei der Bepflanzung einer Straße stehen für 3 Baumscheiben 10 Baumarten zur Verfügung. Wieviele Möglichkeiten der Bepflanzung gibt es,
wenn kein Baum doppelt vorkommen darf ?
V10(3) = 10 ! / 7 ! = 10*9*8 = 720
2. Variationen mit Wiederholungen
VNw(K) = NK
VNw(K) . . .Variationen der Klasse K von N Elementen
mit Wiederholungen
Beispiel:
Zahl der verschiedenen Tipmöglichkeiten im Fußballtoto:
V3w(12) = 312 = 531.411
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Kombinationen
Kombinationen sind definiert als Auswahl von K Elementen aus einer Menge M von N Elementen ohne Berücksichtigung ihrer Anordnung.
1. Kombinationen ohne Wiederholungen
CN(K) =
N!
 N
 
K !( N  K )!  K 
CN(K) . . .
Zahl der Kombinationen von N
Elementen
der
Klasse
K
ohne
Wiederholungen
Beispiel:
Zahl der Wettmöglichkeiten beim Lotto 6 aus 45:
C45(6) = 45 ! / (6! 39!) = 8.145.060
2. Kombinationen mit Wiederholungen
CNw(k) =
 N  K  1


K


CNw(k) . . .
Anzahl der Kombinationen von N Elementen der Klasse K mit Wiederholungen
Beispiel:
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In einem Urlaubsort werden (täglich) 10 geführte ganztägige Wanderungen
angeboten. Wieviele Kombinationsmöglichkeiten bestehen bei einem 7tägigen Urlaub, wenn täglich eine Wanderung unternommen wird?
C10w(7) = 16 ! / (7 ! 9 !) = 11440
Anwendungen der Kombinatorik in der
Raumplanung und Regionalwissenschaft
Spezifische Anwendungen der Kombinatorik sind in der
Raumplanung und Regionalwissenschaft eher selten.
Die verwendeten Beispiele zeigen aber von den
vielfältigen
Anwendungsmöglichkeiten
der
Kombinatorik bei Auswahlproblemen aller Art. Als
Grundlage der Statistik und vor allem der Wahrscheinlichkeitstheorie hat die Kombinatorik ihren Platz
in der angewandten Mathematik.
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Übungsbeispiele
Graphentheorie und Kombinatorik
1. Gegeben ist folgender ungerichter Graph: Ermitteln Sie die Kennzahlen , ,  und 
sowie für alle Knoten die Königszahl. Zeichnen Sie einen spannenden Baum des
Ausgangsgraphen !
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2. Gegeben ist folgender bewertete ungerichtete Graph: Ermitteln Sie den Indizes  !
3. Ermitteln Sie für den gegebenen Graphen die Adjazenzmatrix und stellen Sie fest
(1) wieviele Kantenfolgen der Länge 2 von Knoten 3 nach 4 bzw. von 1 nach 5 führen,
(2) wieviele Kantenfolgen der Länge 3 es zwischen den Knoten 6 und 2 gibt.
4. Zeigen Sie (mit Hilfe kombinatorischer Verfahren), daß die Zahl der Kanten in einem
ungerichteten, vollständigen Graphen gleich ist (n(n-1)/2) (n . . . Knotenzahl).
5. Wieviele Möglichkeiten gibt es beim Lotto 6 aus 45 einen Dreier (Vierer, Fünfer) zu
tippen ?
6. Im neuen Studienplan gilt es 6 Wahlfächer aus einem Katalog von 22 Möglichkeiten
auszuwählen.
(a) wieviele Möglichkeiten gibt es insgesamt ?
(b) wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn man die 4 Lehrveranstaltungen der Dozenten
Blaas und Feilmayr unbedingt vermeiden möchte ?
(c) wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn die 3 Veranstaltungen von Prof. Schönbäck
unbedingt dabei sein sollten ?
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