DATENABSTRAKTION Elementare Datentypen: Typkonzept

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DATENABSTRAKTION
Datentypoperationen
EINFACHE DATENSTRUKTUREN
Alle Operationen eines Datentyps kann man einer der folgenden Klassen
zuordnen:
Elementare Datentypen: Typkonzept
Dualität von Datenstrukturen und Programmen in Scheme
Operation
Beispiel
Namenskonvention
Konstruktoren
make-string
make-name
Selektoren
string-ref
name-ref
Prädikate
string?
predicate?
Modifikatoren
string-set!
mutator!
Konvertierer
string->list
atyp->btyp
Datentypen sind über die auf ihnen operierenden Prozeduren definiert.
Latente (schwache) Typisierung :
In Scheme haben nicht Variablen, sondern Objekte einen Datentyp.
Der Typ eines Objekts kann mithilfe der Typprädikate festgestellt werden.
G. Görz, FAU, Inf.8
5–1
G. Görz, FAU, Inf.8
Elementare Datentypen: Typkonzept
Objekte erster Klasse
Beispiele für Typprädikate: boolean?, number?, symbol?, pair?, char?,
string?, vector?, procedure? (disjunkt!)
(number? 2)
==> #t
(define hunoz 5)
==> ;; hunoz
(number? hunoz)
==> #t
(boolean? (number? hunoz))
==> #t
Eigenschaften:
1. werden durch Typprädikate erkannt.
2. können durch Assoziation mit einem Identifikator benannt werden.
(unspec.)
3. können sowohl Argumente als auch Werte von Prozeduren sein.
4. können Elemente zusammengesetzter Objekte sein.
In SCHEME sind alle elementaren Datentypen erster Klasse —
auch Prozeduren!
Neben den Typ-Prädikaten gibt es für jeden Datentyp Äquivalenz-,
Vergleichs- und Null-Prädikate.
G. Görz, FAU, Inf.8
5–3
5–2
G. Görz, FAU, Inf.8
5–4
DATENABSTRAKTION
Vorbemerkung zu den folgenden Beispielen:
Implementation rationaler und komplexer Zahlen
Abstraktion ist eines der wesentlichen Elemente des Programmierens.
Wir haben prozedurale Abstraktion kennengelernt: Funktionsdefinitionen
mit define und lambda — Trennung der Benutzungsweise einer Prozedur
von der Art ihrer Implementierung.
Auch schon bei einfachen Aufgaben: Modellierung der komplexen Struktur
des Gegenstandsbereichs mit Datenstrukturen, die aus gegebenen
Datentypen zusammengesetzt werden.
Datenabstraktion: Definition eigener “Datentypen” durch Angabe von
Konstruktions-, Selektions- und Typprüfungsfunktionen.
Verpflichtung, ausschließlich diese Funktionen im Umgang mit der
Datenstruktur zu verwenden.
G. Görz, FAU, Inf.8
Nach R5RS (6.2) gibt es folgende Typen von Zahlen:
number ⊃ complex ⊃ real ⊃ rational ⊃ integer.
Orthogonal dazu werden exakt und inexakt dargestellte Zahlen
unterschieden.
Die arithmetischen Operationen von Scheme behandeln Zahlen als
abstrakte Daten, so weit wie möglich unabhängig von ihrer jeweiligen
internen Repräsentation.
Im Folgenden betrachten wir die Implementation rationaler Zahlen (und
später auch komplexer Zahlen), als wären sie nicht im Standardvorrat der
Zahlentypen vorhanden.
5–5
Wozu Datenabstraktion?
G. Görz, FAU, Inf.8
5–7
Beispiel:
Arithmetische Operationen für rationale Zahlen
• Trennung der Benutzungsweise der Daten von der Art, wie sie
implementiert sind: Höhere begriffliche Ebene der
Programmentwicklung.
Annahme: Konstruktor, Selektoren und Typenprädikat für rationale Zahlen
seien zunächst gegeben
• Gewährleistung der Modularität der Programme
• (make-rat nd) konstruiert die Darstellung einer rationalen Zahl
mit Zähler d und Nenner n (d, n Integerzahlen)
• Verbesserung der Ausdruckskraft der Programmiersprache
• (numer x) liefert Zähler der rationalen Zahl x
• (denom x) liefert Nenner der rationalen Zahl x
G. Görz, FAU, Inf.8
5–6
G. Görz, FAU, Inf.8
5–8
Arithmetische Operationen für rationale Zahlen (2)
n1 n2
+
d1 d2
=
n1 d 2 + n2 d 1
d1 d2
n1 n2
−
d1 d2
=
n1 d 2 − n2 d 1
d1 d2
n 1 n2
·
d1 d2
=
n1 n2
d1 d2
n1/d1
n2/d2
=
n1 d 2
d 1 n2
n1
d1
=
n2
↔ n1 d 2 = n2 d 1
d2
G. Görz, FAU, Inf.8
(define (/rat x y)
(make-rat (* (numer x) (denom y))
(* (denom x) (numer y))))
(define (=rat x y)
(= (* (numer x) (denom y))
(* (denom x) (numer y))))
Zur Implementation rationaler Zahlen benötigen wir eine Datenstruktur
mit zwei Komponenten: Elementarer Datentyp PAAR
5–9
G. Görz, FAU, Inf.8
Paare
Arithmetische Operationen für rationale Zahlen (3)
(define (+rat x y)
(make-rat (+ (* (numer x) (denom y))
(* (denom x) (numer y)))
(* (denom x) (denom y))))
Elementarer Datentyp PAAR
(define (-rat x y)
(make-rat (- (* (numer x) (denom y))
(* (denom x) (numer y)))
(* (denom x) (denom y))))
Grundoperationen:
(define (*rat x y)
(make-rat (* (numer x) (numer y))
(* (denom x) (denom y))))
• Konstruktor:
G. Görz, FAU, Inf.8
5–11
Paare sind Objekte mit zwei Komponenten:
Linksteil car und Rechtsteil cdr
• Typprüfung:
PAIR? : OBJ → BOOL
CONS : OBJ x OBJ → PAIR
5–10
G. Görz, FAU, Inf.8
5–12
Ein Paar mit sich selbst als Linksteil (Selbstreferenz!)
und einem Paar als Rechtsteil, dessen Linksteil 1 und
dessen Rechtsteil es selbst ist.
Paare (2)
• Selektoren:
CAR : PAIR → OBJ
CDR : PAIR → OBJ
Es gilt:
(car (cons ’a ’b))
(cdr (cons ’a ’b))
==>
==>
a
b
Verschachtelungen von car und cdr werden mit cxxxxr abgekürzt.
G. Görz, FAU, Inf.8
5–13
Veranschaulichung von Paaren durch
Strukturzeichnungen
G. Görz, FAU, Inf.8
5–15
Externe Repräsentation von Paaren: “Dot-Notation”
P aar ::= ( Objekt . Objekt )
Vereinbarung: Paare mit zirkulären Verweisen haben keine externe
Repräsentation — sie würden zu einer unendlichen externen
Repräsentation führen!
Ein Paar mit 1 als Linksteil (car) und 2 als Rechtsteil
(cdr)
Typprädikat
(pair? ’(1 . a))
(pair? (cons 1 ’a))
(pair? 1)
Ein Paar mit A als Linksteil und einem Paar als Rechtsteil, das B als Linksteil hat und ein Paar als Rechtsteil,
dessen Linksteil C und dessen Rechtsteil NIL ist.
G. Görz, FAU, Inf.8
5–14
G. Görz, FAU, Inf.8
==>
==>
==>
#t
#t
#f
5–16
Beispiele für CONS
Selektoren für Paare
(cons 1 2)
==> (1 . 2)
(cons (cons 1 2)
(cons 3 4))
==> ((1 . 2) . (3 . 4))
(cons (cons 1
(cons 2 3))
4)
==> ((1 . (2 . 3)) . 4)
(car ’(1 . 2))
(car (cons 1 2))
(cdr ’(1 . 2))
==>
==>
==>
1
1
2
(car
(cdr
(car
(cdr
==>
==>
==>
==>
1
(2 . 3)
(1 . 2)
3
’(1 . (2 . 3)))
’(1 . (2 . 3)))
’((1 . 2) . 3))
’((1 . 2) . 3))
(car 1)
(cdr 1)
error!
error!
(cdar ’((1 . 2) . 3))
= (cdr (car ’((1 . 2) . 3)))
G. Görz, FAU, Inf.8
5–17
==>
2
G. Görz, FAU, Inf.8
5–19
Datenabstraktion: Rationale Zahlen
Konstruktor (abhängig ) — hier ohne Argumentüberprüfung!
(Ist Zähler ganze Zahl? Ist Nenner natürliche Zahl?)
(define (make-rat n d)
(cons n d))
Selektionsfunktionen (abhängig )
(define (numer r)
(car r))
(define (denom r)
(cdr r))
G. Görz, FAU, Inf.8
5–18
G. Görz, FAU, Inf.8
5–20
Rationale Zahlen: Wann kürzen?
Typprüfungsprädikat (abhängig )
(define (rational? r)
(and (pair? r)
(integer? (car r))
(integer? (cdr r))
(positive? (cdr r))))
1. Bei Konstruktion: Ersetze
(define (make-rat n d)
(let ((g (gcd n d)))
(cons (/ n g)
(/ d g) )))
Konstruktor (abhängig ) mit Argumentüberprüfung
(define (make-rat n d)
(if (integer? n)
(if (and (integer? d) (not (zero? d)))
(cons n d)
(error "make-rat: Denominator wrong type:" d))
(error "make-rat: Numerator wrong type:" n)))
G. Görz, FAU, Inf.8
5–21
Konstruktor (abhängig ) mit Argumentüberprüfung und stets positivem
Nenner
2. Bei Verwendung: Ersetze stattdessen
(define (numer x)
(let ((g (gcd (car x) (cdr x))))
(/ (car x) g) ))
G. Görz, FAU, Inf.8
5–23
(define (denom x)
(let ((g (gcd (car x) (cdr x))))
(/ (cdr x) g) ))
(define (make-rat n d)
(if (integer? n)
(if (and (integer? d) (not (zero? d)))
(if (negative? d)
(cons (- n) (- d))
(cons n d))
(error "make-rat: Denominator
wrong type:" d))
(error "make-rat: Numerator wrong type:" n)))
G. Görz, FAU, Inf.8
; + type checks...
Der Unterschied liegt im Zeitpunkt der Berechnung des gcd:
Aufwandsabschätzung. Erfolgt häufig Zugriff auf die Komponenten, ist es
günstiger, den gcd einmal bei der Konstruktion zu berechnen.
In jedem Fall brauchen die “höheren” Prozeduren +rat, -rat, etc. nicht
geändert zu werden!
5–22
G. Görz, FAU, Inf.8
5–24
Abstraktionsebenen: Schichtenmodell
Eine Änderung der Darstellung soll nur die Änderung der Schnittstellenprozeduren des Programms erfordern!
Programme, die rationale Zahlen verwenden
Rationale Zahlen im Anwendungsbereich
Definition “primitiver” Prozeduren (“Schnittstellen”) für:
+rat -rat *rat /rat =rat
• Typprüfung
Regeln für rationale Arithmetik
• Konstruktion
• Selektion
make-rat numer denom rational?
• Modifikation
Rationale Zahlen als Paare
Jede Schicht greift auf die nächst tiefere Schicht nur über die
Schnittstellenprozeduren zu:
cons car cdr
Implementation von Paaren
G. Görz, FAU, Inf.8
Das Schichtenmodell erleichtert Programmentwurf und Programmpflege
5–25
G. Görz, FAU, Inf.8
Datenabstraktion: Darstellungsunabhängigkeit
5–27
Datenabstraktion
Die einzige Beziehung, die eine korrekte Darstellung der rationalen Zahlen
erfüllen muss, ist die folgende zwischen den Grundfunktionen (“Gesetz”):
Bei Realisierung eines neuen Datentyps (Datenstruktur)
• Mehrere Alternativen für die Darstellung
x = (make − rat n d) ⇒
• Wechsel der Darstellung kann erforderlich werden
(numer x) n
=
(denom x) d
• Wechsel soll wenig Programmänderungen erfordern
Diese Sichtweise dient zur Definition der Objekte auf allen Ebenen, auch
auf der untersten. Hier gilt die Beziehung:
• Programme über diesen Datenstrukturen sollten unabhängig von der
gewählten Darstellung sein.
z = (cons x y) ⇒ (car z) = x ∧ (cdr z) = y
⇒ Abstraktion bzgl. der Äquivalenz verschiedener Darstellungen
(. . . Isomorphie von Algebren)
G. Görz, FAU, Inf.8
car, cdr und cons sind elementare Prozeduren unserer Sprache, aber
man könnte sie auch rein prozedural — ohne explizite Verwendung von
Datenstrukturen — definieren!
5–26
G. Görz, FAU, Inf.8
5–28
Prozedurale Repräsentation von Paaren
HIERARCHISCH STRUKTURIERTE DATEN:
Paare und Listen
(define (kons x y)
(define (dispatch m) ; message dispatcher
(cond ((= m 0) x)
((= m 1) y)
(else
(error "KONS: wrong arg" m) )))
dispatch)
; Wert ist eine Prozedur!
Paare als universeller Baustein für zusammengesetzte Datenstrukturen
Darstellung von Sequenzen durch Paare:
(define (kar z) (z 0))
(define (kdr z) (z 1))
(cons 1 (cons 2 (cons 3 (cons 4 ’() ))))
⇒ Objekt-orientierter Ansatz: Nachrichtenaustausch (“message
passing”) zum Aufruf von “Methoden” (lokalen Prozeduren)
G. Görz, FAU, Inf.8
LISTE: (list 1 2 3 4)
5–29
((kons 42 99) 0)
=>
=>
(kdr p4299)
> (define one-four (list 1 2 3 4))
(1 2 3 4)
> (car one-four)
1
>(cdr one-four)
(2 3 4)
> (cons 10 one-four)
(10 1 2 3 4)
99
=>
99
Hinweis: Anhang mit weiterem Anwendungsbeispiel
Durch McCarthy eingeführte Bezeichnung:
Intervallarithmetik — Rechnen mit ungenauen Werten
G. Görz, FAU, Inf.8
5–31
Listen: Erstes Beispiel
42
(define p4299 (kons 42 99))
(p4299 1)
G. Görz, FAU, Inf.8
“Symbolische Ausdrücke” (“S-expressions”): Zusammengesetzte
Datenobjekte, deren elementare Komponenten beliebige atomare Objekte
(ursprünglich: Symbole) sind.
5–30
G. Görz, FAU, Inf.8
5–32
Listen
Warum sind Paare und Listen als Datenstrukturen so
wichtig?
Listen sind “verzeigerte” Paare
• deren car jeweils auf das erste Element der Liste,
• Sie spielen eine wesentliche Rolle in der Syntax der Sprache.
• deren cdr auf das Paar des nächsten Listenelements (d.h. den Rest),
• deren letzter cdr auf das Null-Element () (die “leere Liste”) verweist.
Elementare Prozeduren:
• Sie sind heterogen, d.h. ihre Elemente können beliebigen Typs sein.
• Sie sind erweiterbar, d.h. die Länge einer Liste kann beliebig verändert
werden und unterliegt nur Speicherbeschränkungen.
• Die Operationen car und cdr unterstützen auf kanonische Weise
ihre rekursive Abarbeitung (“cdr-ing down a list”).
• Prädikat:
NULL? : OBJ → BOOL
• Konstruktor:
LIST : OBJ n → LIST
G. Görz, FAU, Inf.8
5–33
G. Görz, FAU, Inf.8
• Selektoren:
Beispiele: Prädikate für Listen
CAR : LIST → OBJ
CDR : LIST → LIST
G. Görz, FAU, Inf.8
5–35
(null?
(null?
(null?
(list?
(list?
(list?
(list?
(pair?
(pair?
(null?
(null?
5–34
G. Görz, FAU, Inf.8
’(a b))
(list ’a ’b))
’())
’())
’(a))
’(a b))
’(a .(b .()))
’())
’(a b))
1)
#f)
==>
==>
==>
==>
==>
==>
==>
==>
==>
==>
==>
#f
#f
#t
#t
#t
#t
#t
#f
#t
#f
#f
5–36
list?
Listen: Konstruktoren
Da Listen durch Paare dargestellt sind — echte Teilmenge der Paare! —,
können wir mit CONS Listen aufbauen:
Was tun, wenn es kein vordefiniertes Prädikat list? gäbe?
. . . Selbsthilfe — Listen sind sequentielle Strukturen
⇒ Lineare Rekursion!
(cons obj list)
erweitert list vorne um neues Element obj
(define (my-list? obj)
(cond ((null? obj) #t)
; leere Liste
((not (pair? obj)) #f)
(else
(my-list? (cdr obj)) ))) ; prüfe Rest
(cons ’a ’())
==>
(a .())
(a)
(cons ’a ’(b c)) ==> (a b c)
denn ’(b c) == ’(b .(c .()))
und ’(a .(b .(c .()))) == (a b c)
(cons ’(a b) ’(c d))
G. Görz, FAU, Inf.8
==>
5–37
Enthaltenseins-Prädikate
==>
((a b) c d)
G. Görz, FAU, Inf.8
5–39
Mit LIST (beliebig-stellig) wird eine Liste aus den Argument-Objekten
gebildet
• memq vergleicht mit eq?
(list ’a ’b ’c)
==>
(a b c)
• memv vergleicht mit eqv?
• member vergleicht mit equal?
(memq
(memq
(memq
(memq
(memv
’a ’(a b c))
==> (a
’b ’(a b c))
==> (b
’d ’(a b c))
==> #f
101 ’(100 101 102))
101 ’(100 101 102))
(member (list ’a)
’(b (a) c))
G. Görz, FAU, Inf.8
b c)
c)
==> unspec.
==> (101 102)
==> ((a) c)
5–38
G. Görz, FAU, Inf.8
5–40
Listen: Selektoren
Listenoperationen
Da Listen durch Paare dargestellt sind, erhalten wir mit
Absteigen in einer Liste entlang der cdr-Kette:
CAR das erste Element der Liste (Linksteil des Paars) und mit
Nachfolger-Operation: cdr
Test auf Ende: null?
CDR den Rest der Liste (ohne das erste Element — Rechtsteil des Paars)
(car
(cdr
(car
(cdr
’(1 2 3))
==>
’(1 2 3))
==>
’())
error!
’())
error!
1
(2 3)
G. Görz, FAU, Inf.8
n-tes Element (vgl. list-ref)
(define (nth n l)
(if (= n 0)
(car l)
(nth (- n 1) (cdr l)) ))
5–41
5–43
Länge einer Liste
Listen: Selektoren
(define (length-r l)
(if (null? l)
0
(+ 1 (length-r (cdr l))) ))
• Selektion über “Index”, d.h. Position in der Liste (Zählung ab 0 !)
(list-ref <list> <n>) n-tes Element
(list-tail <list> <n>) n-te Restliste
(list-tail <list> 1) == (cdr <list>)
(list-ref <list> 0) == (car <list>)
; iterativ --- endrekursiv
(define (length-i l)
(define (length-iter a count) ; Akku-Variable
(if (null? a)
count
(length-iter (cdr a) (+ 1 count)) ))
(length-iter l 0))
• Mit CONS, CAR, CDR kann man Stacks (Kellerspeicher) simulieren
G. Görz, FAU, Inf.8
G. Görz, FAU, Inf.8
5–42
G. Görz, FAU, Inf.8
5–44
Rekursionsschema
Verkettung zweier Listen x und y
Eine rekursive Lösung “reduziert” ein Problem schrittweise auf einfachere
Probleme, bis eine einfachste Situation mit trivialer Lösung erreicht wird.
Wichtig dabei ist, dass man in jedem Schritt:
• andernfalls verkette den Rest von x mit y und “kons”truiere das erste
Element an den Anfang
• überprüft, ob die Terminierungsbedingung erreicht ist;
• die Komplexität des Problems beim rekursiven Aufruf reduziert.
Schema für die rekursive Abarbeitung einer rekursiven Datenstruktur:
(define (recursive-fn arg)
(cond ((empty? arg) build − result)
((single − element? arg) process − single − element)
(else (recursive-fn (reduce − argument arg))))))
G. Görz, FAU, Inf.8
• Falls x leer ist, gib y zurück;
5–45
(define (append x y)
(if (null? x)
y
(cons (car x)
(append (cdr x) y)) ))
Beobachtung: x wird komplett entlang der cdr-Kette abgearbeitet, y
bleibt unverändert.
G. Görz, FAU, Inf.8
5–47
Vorsicht: append sollte nur sparsam verwendet werden,
Rekursive Definition des member?-Prädikats
• weil jedes cons ein neues Paar aufbaut.
(define (member? e l)
(cond
((null? l) ’#f)
((equal? e (car l)) l) ; Wert l statt #t !
(else
(member? e (cdr l)) )))
• Unvorsichtiger Gebrauch kann zu ineffizienten Programmen führen!
Die versteckten Kosten von cons:
• Freispeicherverwaltung
• Garbage collection (Müllabfuhr)
cons ist mächtig, aber teuer!
Deswegen: cons, append, reverse (s.u.) mit Zurückhaltung
gebrauchen!
G. Görz, FAU, Inf.8
5–46
G. Görz, FAU, Inf.8
5–48
Umdrehen einer Liste
Hinweis: Weitere sequentielle Datentypen in Scheme
Neben den Listen als den typischen sequentiellen Datenstrukturen kennt
Scheme auch:
(define (reverse liste)
(define reverse-it
(lambda (liste etsil)
(cond ((null? liste) etsil)
(else
(reverse-it (cdr liste)
(CONS (car liste) etsil)) ))))
1. Strings (Zeichenketten): Folgen von Zeichenobjekten (R5RS, 6.3.5).
Ihre Länge (Anzahl von Elementen) wird zum Zeitpunkt ihrer Definition
festgelegt. Wie bei allen sequentiellen Strukturen können Elemente einer
Zeichenkette durch einen Index adressiert werden; das erste Element hat
grundsätzlich den Index 0.
2. Vektoren: Heterogene Sequenzen, d.h. Folgen von Elementen beliebigen
Typs — auch Vektoren ⇒ mehrdimensionale Matrizen (R5RS, 6.3.6).
Länge und Indexierung: analog zu Strings. Speicherbedarf und
Elementzugriff via Index sind effizienter als bei Listen.
(reverse-it liste ’()))
G. Görz, FAU, Inf.8
5–49
G. Görz, FAU, Inf.8
5–51
Rekursionsschema für zwei: equal-list?
(define (equal-list? obj1 obj2)
(cond ((eq? obj1 obj2) #t)
((atom? obj1) #f)
((atom? obj2) #f)
((equal-list? (car obj1) (car obj2))
(equal-list? (cdr obj1) (cdr obj2)))
(else #f)))
ANHANG
ZUR SELBSTÄNDIGEN NACHARBEIT
(define (atom? obj)
(not (pair? obj)))
G. Görz, FAU, Inf.8
5–50
G. Görz, FAU, Inf.8
5–52
Beispiel:
Intervallarithmetik — Rechnen mit ungenauen Werten
Produkt zweier Intervalle:
Grenzen des Produktintervalls sind Minimum und Maximum der Produkte
der Grenzen:
Motivation: Parallelschaltung von ohmschen Widerständen
RP =
Intervallarithmetik: Produkt
1
R1 R2
=
1/R1 + 1/R2 R1 + R2
(define (intmul x y)
(let ((p1 (* (lower-bound x) (lower-bound
(p2 (* (lower-bound x) (upper-bound
(p3 (* (upper-bound x) (lower-bound
(p4 (* (upper-bound x) (upper-bound
(make-interval (min p1 p2 p3 p4)
(max p1 p2 p3 p4)) ))
Widerstand “6.8 Ohm mit 10% Toleranz”
6.8 ± 0.68 Ohm ⇒ [6.12, 7.48]
y)))
y)))
y)))
y))))
Annahme: Abstraktes Objekt “Intervall” mit Untergrenze lower-bound
und Obergrenze upper-bound,
erzeugt durch Konstruktor make-interval
G. Görz, FAU, Inf.8
5–53
G. Görz, FAU, Inf.8
Addition von Intervallen:
Kleinster Wert des Summenintervalls ist Summe der Untergrenzen, größter
Wert ist Summe der Obergrenzen:
5–55
Intervallarithmetik: Quotient
Quotient zweier Intervalle:
Produkt des ersten mit dem Kehrwert des zweiten. Grenzwerte des
reziproken Intervalls sind Kehrwert seiner Obergrenze und Kehrwert seiner
Untergrenze!
(define (intadd x y)
(make-interval
(+ (lower-bound x) (lower-bound y))
(+ (upper-bound x) (upper-bound y)) ))
(define (intdiv x y)
(intmul x
(make-interval
(/ 1 (upper-bound y))
(/ 1 (lower-bound y)) )))
G. Görz, FAU, Inf.8
5–54
G. Görz, FAU, Inf.8
5–56
Intervallarithmetik: Mittelpunkt und Breite
Schnittstellenprozeduren:
Konstruktor (abhängig):
(define (make-interval a b) (cons a b))
Selektoren: . . .
Alternative Darstellung: Mittelpunkt und Breite (Toleranz)
(define (center-width c w)
(make-interval (- c w) (+ c w))
(define (center i)
(/ (+ (lower-bound i) (upper-bound i)) 2))
(define (width i)
(/ (- (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))
G. Görz, FAU, Inf.8
5–57
Intervallarithmetik: Mittelpunkt und Breite (2)
Implementierungen:
1. Paar lower-bound, upper-bound
Funktionen: center, width
2. Paar center, width
Funktionen: lower-bound, upper-bound
Übung: Warum können äquivalente algebraische Ausdrücke zu
unterschiedlichen Ergebnissen führen?
G. Görz, FAU, Inf.8
5–58
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