3. Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle

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3. Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle
3.1 Gleichverteilung
• Gleichverteilung: Bei der Gleichverteilung hat jedes Ereignis die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit:
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Verteilungsfunktion:
f (x i ) =
1
für i = 1,2,..., n
n
⎧0 , x < x1
⎪i
⎪
F ( xi ) = ⎨
, xi ≤ x ≤ xi +1
n
⎪
⎪⎩1 , xn ≤ x
1
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• z.B. Würfel:
3.2 Bernoulliverteilung
Bernoulliverteilung: Bei einem Bernoulliexperiment können nur die Ereignisse A
und
A
mit den Wahrscheinlichkeiten
P ( A) = p und
P(A ) = 1 − P( A) = 1 − p = q
eintreffen. Dem Eintreffen der Ereignisse A und A werden oft die Werte 0 und 1
zugeordnet (z.B. Stück ist defekt, oder nicht defekt mit den Wahrscheinlichkeiten p
= 0,4 und q = 0,6):
2
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3.3 Binomialverteilung
• Wird das Bernoulli Experiment n mal wiederholt und sucht man die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A mit P ( A ) = p x mal vorkommt, so ist die
Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p: X ~ B (x n; p ) ,
x
d.h. x-mal soll das Ereignis A eintreffen: P(x − mal A) = P( A)P( A)...P( A) = P( A) = p
x
3
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und die restlichen n-x mal das andere Ereignis A :
P((n − x ) − mal A ) = P(A )P(A )....P(A ) = P (A )
n− x
= (1 − p )
• bei n unabhängigen Wiederholungen gibt es
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ x⎠
n− x
mögliche Anordnungen bei denen
das Ereignis A x-mal auftritt. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnet sich dann
als:
⎛ n⎞
n− x
f ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p )
⎝ x⎠
⎧0 , x < 0
⎪int ( x )
⎪ ⎛ n⎞
n−k
F (x ) = ⎨ ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p ) , 0 ≤ x ≤ n
• Die Verteilungsfunktion ist dann:
⎪ k =0 ⎝ k ⎠
⎪⎩1 , 1 ≤ n
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• Da p < 0,5 ist, weist die Verteilung eine positive Schiefe auf. Falls p > 0,5 besitzt
die Verteilung eine negative Schiefe.
• Erwartungswert: Hat die Zufallsvariable die beiden möglichen Werte 1 (Ereignis A
tritt ein) und 0 (Ereignis A tritt nicht ein), so ist der Erwartungswert der i-ten
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Ausprägung von X gegeben durch: E (x i ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ (1 − p ) = p . Die Zufallsvariable X
n
erhält man dann durch Addition der einzelnen x i : X = ∑ xi
i =1
⎛ n ⎞ n
Dadurch ist der Erwartungswert von: E ( X ) = E ⎜ ∑ xi ⎟ = ∑ E ( xi ) = n ⋅ p
⎝ i =1 ⎠ i =1
• Varianz: Die Varianz der i-ten Ausprägung von X ist:
2
σ = ∑ (xi − E (xi ))2 ⋅ f (xi ) = (1 − p )2 p + (0 − p )2 (1 − p ) was nach etwas Umformen p (1 − p )
2
i
i =1
ergibt. Für die Varianz von X ergibt sich dann σ 2 = n ⋅ p(1 − p )
⎛ n ⎞ x n− x n ⎛ n ⎞ t x n− x
• Momenterzeugende Funktion: MEF (t ) = ∑ e ⎜⎜ x ⎟⎟ p q = ∑ ⎜⎜ x ⎟⎟( pe ) q .
x =0
x =0 ⎝ ⎠
⎝ ⎠
n
xt
Unter Berücksichtigung der binomischen Formel kann man auch schreiben:
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n
⎛ n ⎞ x n− x
⎛ n ⎞ t x n− x
t
n
⎟
⎜
⎜⎜ ⎟⎟ pe q
a
b
pe
q
a
b
(
)
(
+
)
=
+
=
∑
Allg.:
und im konkreten Fall:
⎜ x⎟
x =0 ⎝ x ⎠
⎝ ⎠
( )
n
• MEF ' (t ) = n( pet + q ) pet
n −1
• MEF ' ' (t ) = n(n − 1)( pet + q )
n−2
pe t pe t + n( pe t + q )
n −1
pe t
• Reproduktivitätseigenschaft: Besteht eine Zufallsvariable Z aus zwei (oder
mehreren) stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y die beide dieselbe
Wahrscheinlichkeit p haben, X ~ B(n, p ) und Y ~ B(m, p ) , dann ist Z auch
binomialverteilt mit Z ~ B(n + m, p ) .
• Rekursionsformel: Hat man die Wahrscheinlichkeit f ( x ) für ein bestimmtes x
schon berechnet, kann man die Wahrscheinlichkeiten für x+1 relativ einfach mit der
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Rekursionsformel berechnen:
⎛ n ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ x + 1⎠
⎛ n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ x⎠
⎛ n ⎞ x +1 n − x −1
⎜
⎟p q
f ( x + 1) ⎜⎝ x + 1⎟⎠
=
=
f (x )
⎛ n ⎞ x n− x
⎜⎜ ⎟⎟ p q
⎝ x⎠
⎛ n ⎞
⎜⎜
⎟⎟ p
1
+
x
⎝
⎠
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ q
⎝ x⎠
. Nach Kürzen geht
in (n − x ) über. Damit lautet die Wahrscheinlichkeit für x+1:
(x + 1)
f ( x + 1) =
(n − x ) p ⋅ f (x )
(x + 1)q
• Die Binomialverteilung darf nur beim Fall „mit Zurücklegen“ angewendet
werden, also nur dann, wenn die Wahrscheinlichkeiten p immer gleich bleiben
oder aber, wenn die Änderung der Wahrscheinlichkeiten hinreichend klein ist
(n / N ) < 0,05 .
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3.4 Hypergeometrische Verteilung
• Hypergeometrische Verteilung: Ähnliche Situation wie bei der Binomialverteilung, nur dass die Kugeln jetzt nicht zurückgelegt werden und sich so die
Wahrscheinlichkeiten bei jeder weiteren Ziehung verändern.
Bezeichnungen und Bsp.:
N = Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit (weiße und schwarze Kugeln)
M = Anzahl der Elemente mit einem bestimmten alternativen Merkmal (z.B. weiße
Kugeln).
n = Anzahl der Elemente der Stichprobe (ohne Zurücklegen).
x = Anzahl der Ereignisträger in der Stichprobe (wie viele weiße Kugeln wurden
gezogen).
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• Beim ersten Ziehen beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen
M
Kugel noch p = N , verändert sich aber von da an für jedes weitere Ziehen so
dass die Binomialverteilung nicht angewendet werden darf.
⎛M ⎞
• Aus insgesamt M weißen Kugeln können x weiße Kugeln auf ⎜⎜ x ⎟⎟ Arten
⎝ ⎠
gezogen werden.
• Die übrigen n − x schwarze Kugeln können dann aus insgesamt N-M schwarzen
Kugeln auf
⎛N −M ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ n−x ⎠
Arten gezogen werden.
1
• Da jede Ergebnisfolge mit der Wahrscheinlichkeit ⎛ N ⎞ eintritt, ergibt sich:
⎜⎜ ⎟⎟
⎝n⎠
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• Wahrscheinlichkeitsfunktion:
⎛M ⎞ ⎛N − M ⎞
⎟
⎜ ⎟⋅⎜
⎜ x⎟ ⎜ n − x⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠
f ( x )=
⎛N⎞
⎜ ⎟
⎜ n⎟
⎝ ⎠
Die Hypergeometrische Verteilung hängt von den 3 Parametern N, M und n ab.
Die Bezeichnung für die Zufallsvariable X ist dann: X ~ H ( x | n ; M ; N )
• Verteilungsfunktion:
⎛M ⎞ ⎛N − M ⎞
⎟
⎜ ⎟⋅⎜
⎟ ⎜ n − k⎟
int ( x ) ⎜
k
⎝ ⎠ ⎝
⎠
F( x ) = ∑
⎛N⎞
k =a
⎜ ⎟
⎜ n⎟
⎝ ⎠
M
• Erwartungswert: μ = n ⋅ N = np
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2
• Varianz: σ =
(N − n ) ⋅ n
N −1
⋅
N −n
M ⎛ M⎞
⋅ ⎜1 − ⎟ = np (1 − p )
.
N −1
N⎠
N ⎝
Bis auf den Term
N −n
N −1
stimmt die Varianz mit der Varianz der Binomialverteilung überein. Dieser
Term ist daher der Korrekturfaktor für endliche Gesamtheiten.
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• Rekursionsformel:
f ( x + 1| n ; M ; N ) =
(n − x ) ⋅ (M − x )
⋅ f ( x | n ; M; N )
(x + 1) ⋅ (N − M − n + x +1)
Die Rekursionsformel ist nur bedingt empfehlenswert, da sie ähnlich aufwendig
wie eine neue Berechnung für den Fall x+1 ist.
3.5 Geometrische Verteilung
• Geometrische Verteilung: Ein Bernoulli Experiment wird beliebig oft wiederholt.
Gesucht ist die Zufallsvariable X, die angibt, wie oft das Zufallsexperiment
wiederholt werden muss bis zum ersten Mal das Ereignis A auftritt.
• Wahrscheinlichkeitsfunktion: Die Wahrscheinlichkeit, dass beim x-ten Versuchen
zum ersten Mal A auftritt berechnet sich als:
P (([x − 1] − mal A ) ∩ A) = P (A )
x −1
P( A) = p(1 − p )
x −1
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Manchmal definiert man X auch als die Anzahl der Misserfolge, bis zum ersten Mal A
x
auftritt. Dann lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion: f (x ) = p(1 − p )
x
k −1
• Verteilungsfunktion: Fg (x ) = ∑ p ⋅ q (1. Erfolg)
k =1
Fg (x ) = 1 − (1 − p )
int [ x ]
= 1 − q x +1 (Anzahl Mißerfolge)
1− p
1
• Erwartungswert: E ( X ) = p (1. Erfolg) und E ( X ) = p
(Anzahl Mißerfolge)
1− p
• Varianz: p 2
t
t
• MEF (t ) = ∑ e pq = p ∑ (e q ) = 1 − e t q = p ⋅ (1 − e q )
x =0
x =0
∞
∞
xt
x
x
• MEF ' (t ) = − p ⋅ (1 − e q ) ⋅ (− e q ) = p
t
−2
t
p
−1
et q
(1 − e q )
t
2
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(
)
⎡ e t (− 2) − e t q
⎤
et
+
3
2⎥
• MEF ' ' (t ) = pq ⎢
t
t
1 − e q ⎥⎦
⎣⎢ 1 − e q
(
)
(
)
• Je grösser p ist desto schneller konvergiert f (x ) gegen 0 und F ( x ) gegen 1.
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3.6. Negative Binomialverteilung
• Negative Binomialverteilung: Ähnlich wie bei der geometrischen Verteilung
wird jetzt nach der Zufallsvariablen X gesucht, die angibt, wie oft man das
Bernoulli Experiment wiederholen muss bis das Ereignis A genau r mal
eingetreten ist.
• X= 0 bedeutet, dass bei jedem der r Durchführungen das Ereignis A eingetreten ist
• X= 1 bedeutet, dass der r-te Erfolg nach der (r+1)-ten Durchführungen eintritt.
• Bevor der r-te Erfolg eintritt müssen in (x + r − 1) Durchführungen bereits r-1
Erfolge realisiert worden sein. Bei der letzten (also bei der (x + r ) -ten)
Wiederholung beträgt die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A (= Erfolg)
P ( A) = p . Daraus ergibt sich die:
⎛ x + r − 1⎞
x
r
• Wahrscheinlichkeitsfunktion: f (x ) = ⎜⎜ r − 1 ⎟⎟ p (1 − p ) mit (r −1) = x
⎝
⎠
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Die Verteilung der Zufallsvariable X bezeichnet man kompakt als:
X ~ NB (r , p )
• Verteilungsfunktion: F (x ) =
int ( x )
⎛ k + r − 1⎞ r
k
⎟⎟ p (1 − p )
k =0 ⎝ r − 1 ⎠
∑ ⎜⎜
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• Erwartungswert: E (x ) = μ =
2
• Varianz: σ =
r (1 − p )
p
r (1 − p )
p2
• Rekursionsformel: Die Formel lässt sich ähnlich herleiten wie für den Fall der
Binomialverteilung: f (x + 1) = (1 − p )
x+r
f ( x ) mit f (x = 0) = p r
x +1
• Die Geometrische Verteilung ergibt sich als Spezialfall mir r =1.
3.7 Poissonverteilung
•
Poissonverteilung: Grenzverteilung der Binomialverteilung wenn p sehr klein (z.B.
p
λ
≤
0,1) und wenn n sehr gross ist (z.B. n
konstant: p =
λ
n
≥
100). Dabei bleibt der Erwartungswert
→ λ = pn .
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• Herleitung der Poissonverteilung aus der Binomialverteilung bei n → ∞ :
⎛ n ⎞⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞
f ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜1 − ⎟
n⎠
⎝ x ⎠⎝ n ⎠ ⎝
x
n− x
λ
wobei p durch n ersetzt wird.
1 x⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞
n!
=
λ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟
x!(n − x )! n x ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠
n
1 n(n − 1)(n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − x + 1)(n − x )! x ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞
λ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟
=
x!
(n − x )! n x
⎝ n⎠ ⎝ n⎠
n
−x
−x
man kann jetzt die (n − x )! aus Zähler
und Nenner kürzen.
Die einzelnen Terme konvergieren dann für n → ∞ gegen:
lim
n →∞
n(n − 1)(n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − x + 1)(n − x )!
=1
(n − x )! n x
⎛ λ⎞
lim ⎜1 − ⎟
n →∞
⎝ n⎠
−x
⎛ λ⎞
lim ⎜1 − ⎟ = e −λ
n →∞
n⎠
⎝
n
=1
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lim f ( x ) = e
n →∞
−λ
λx
x!
• Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist also:
• Verteilungsfunktion:
⎧ −λ λ x
, x = 0,1,2,...
⎪e
f (x ) = ⎨
x!
⎪0 , sonst
⎩
⎧0 , x < 0
⎪
F (x ) = ⎨ x −λ λk
⎪∑ e k!
⎩k =0
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• Mittelwert: E (x ) = np = λ
2
• Varianz: σ = λ
• Falls eine Binomialverteilung also gleiche Werte für Mittelwert und Varianz hat, ist
das ein Hinweis, dass sie durch die Poissonverteilung approximiert werden kann.
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λ x +1
λ x ⋅ λ1
• Rekursionsformel: f (x + 1) = e (x + 1)! = e (x + 1)x!
−λ
=
λ
x +1
e
−λ
λx
x!
−λ
→
f (x + 1) =
λ
x +1
⋅ f (x )
22