Primzahlen -- von Euklid bis heute - Mathematik@TU
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Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Primzahlen – von Euklid bis heute Jan H. Bruinier Mathematisches Institut Universität zu Köln [email protected] 5. November 2004 Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Pythagoras von Samos (ca. 570-480 v. Chr.) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Euklid von Alexandria (ca. 325-265 v. Chr.) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Primzahlen Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Primzahlverteilung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Teilbarkeit I Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3, . . . }. I Ganze Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . }. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Teilbarkeit I Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3, . . . }. I Ganze Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . }. Definition Eine natürliche Zahl a ∈ N teilt b ∈ Z, falls es ein c ∈ Z gibt mit ac = b. Mann sagt dann “a ist ein Teiler von b” und schreibt a | b. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Teilbarkeit I Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3, . . . }. I Ganze Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . }. Definition Eine natürliche Zahl a ∈ N teilt b ∈ Z, falls es ein c ∈ Z gibt mit ac = b. Mann sagt dann “a ist ein Teiler von b” und schreibt a | b. Beispiel 3 teilt 15, denn 3 · 5 = 15. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Grundlegende Eigenschaften 1. 1 | b und b | b für alle b ∈ N. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Grundlegende Eigenschaften 1. 1 | b und b | b für alle b ∈ N. 2. a | b =⇒ 1 ≤ a ≤ |b|. 3. a | 1 =⇒ a = 1. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Grundlegende Eigenschaften 1. 1 | b und b | b für alle b ∈ N. 2. a | b =⇒ 1 ≤ a ≤ |b|. 3. a | 1 =⇒ a = 1. 4. a | b und a | b 0 =⇒ a | (b ± b 0 ). 5. a | b und b | c =⇒ a | c. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Grundlegende Eigenschaften 1. 1 | b und b | b für alle b ∈ N. 2. a | b =⇒ 1 ≤ a ≤ |b|. 3. a | 1 =⇒ a = 1. 4. a | b und a | b 0 =⇒ a | (b ± b 0 ). 5. a | b und b | c =⇒ a | c. Folgerung (aus 1.) Jede natürliche Zahl n > 1 besitzt mindestens 2 Teiler. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Primzahlen Definition Eine natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl, falls n genau 2 Teiler besitzt. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Primzahlen Definition Eine natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl, falls n genau 2 Teiler besitzt. Beispiel Die ersten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . . Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Mehr Primzahlen 2 31 73 127 179 233 283 353 419 467 547 607 661 739 811 877 947 3 37 79 131 181 239 293 359 421 479 557 613 673 743 821 881 953 5 41 83 137 191 241 307 367 431 487 563 617 677 751 823 883 967 7 43 89 139 193 251 311 373 433 491 569 619 683 757 827 887 971 11 47 97 149 197 257 313 379 439 499 571 631 691 761 829 907 977 Jan H. Bruinier 13 53 101 151 199 263 317 383 443 503 577 641 701 769 839 911 983 17 59 103 157 211 269 331 389 449 509 587 643 709 773 853 919 991 19 61 107 163 223 271 337 397 457 521 593 647 719 787 857 929 997 23 67 109 167 227 277 347 401 461 523 599 653 727 797 859 937 1009 Primzahlen – von Euklid bis heute 29 71 113 173 229 281 349 409 463 541 601 659 733 809 863 941 1013 Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Der Satz von Euklid Frage Gibt es unendlich viele Primzahlen? Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Der Satz von Euklid Frage Gibt es unendlich viele Primzahlen? Lemma Sei n > 1 eine natürliche Zahl und t(n) = min{a ∈ N; a > 1 und a | n} “der kleinste nichttriviale Teiler von n”. Dann ist t(n) eine Primzahl. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Der Satz von Euklid Frage Gibt es unendlich viele Primzahlen? Lemma Sei n > 1 eine natürliche Zahl und t(n) = min{a ∈ N; a > 1 und a | n} “der kleinste nichttriviale Teiler von n”. Dann ist t(n) eine Primzahl. Folgerung Jede natürliche Zahl n > 1 ist durch eine Primzahl teilbar. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen. Sei N ihr Produkt. Es gilt N + 1 > 1. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen. Sei N ihr Produkt. Es gilt N + 1 > 1. Sei p eine Primzahl, die N + 1 teilt, z.B. p = t(N + 1). Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen. Sei N ihr Produkt. Es gilt N + 1 > 1. Sei p eine Primzahl, die N + 1 teilt, z.B. p = t(N + 1). Weil p auch N teilt, folgt p|1, also ein Widerspruch. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Warum interessiert man sich für Primzahlen? I Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Warum interessiert man sich für Primzahlen? I Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. Satz (Euklid) Jede natürliche Zahl n > 1 kann in eindeutiger Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben werden. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Warum interessiert man sich für Primzahlen? I n 2 3 4 5 6 7 8 9 Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. Zerlegung 2 3 2·2 5 2·3 7 2·2·2 3·3 n 10 11 12 13 14 15 16 17 Zerlegung 2·5 11 2·2·3 13 2·7 3·5 2·2·2·2 17 Jan H. Bruinier n 18 19 20 21 22 23 24 25 Zerlegung 2·3·3 19 2·2·5 3·7 2 · 11 23 2·2·2·3 5·5 Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Warum interessiert man sich für Primzahlen? I Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. I Lösung von Polynom-Gleichungen mit Koeffizienten in Z. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Warum interessiert man sich für Primzahlen? I Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. I Lösung von Polynom-Gleichungen mit Koeffizienten in Z. I Beispiel: Elliptische Kurve E : y 2 = x 3 + ax + b. I Betrachte E (Fp ), die Reduktion modulo p. I Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung sagt tiefliegende Zusammenhänge voraus mit E (Q). Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Warum interessiert man sich für Primzahlen? I Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. I Lösung von Polynom-Gleichungen mit Koeffizienten in Z. I Anwendungen in der Kryptographie. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Primzahlen Warum interessiert man sich für Primzahlen? I Primzahlen sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. I Lösung von Polynom-Gleichungen mit Koeffizienten in Z. I Anwendungen in der Kryptographie. I Multiplikation zweier Primzahlen ist “einfach”. I Faktorisierung von ganzen Zahlen ist “hart”. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Primzahlanzahlfunktion π(x) Frage Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt? Primzahlen Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Primzahlanzahlfunktion π(x) Frage Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt? Primzahlen Betrachte dazu die Primzahlanzahlfunktion π(x) = #{p ∈ N prim; Jan H. Bruinier p ≤ x}. Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Primzahlanzahlfunktion π(x) Frage Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt? Primzahlen Betrachte dazu die Primzahlanzahlfunktion π(x) = #{p ∈ N prim; p ≤ x}. Tabelle: x π(x) 1 0 2 1 3 2 4 2 5 3 Jan H. Bruinier 6 3 7 4 8 4 9 4 10 4 11 5 Primzahlen – von Euklid bis heute ... ... Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Graph von π(x) 4 3 2 1 0 2 4 6 8 x pi(x) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute 10 Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Graph von π(x) 160 140 120 100 80 60 40 20 0 200 400 600 800 x pi(x) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute 1000 Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Graph von π(x) 8000 6000 4000 2000 0 20000 40000 60000 80000 x pi(x) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute 100000 Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximation von π(x) Frage Läßt sich π(x) durch eine “einfache” Funktion approximieren? Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximation von π(x) Frage Läßt sich π(x) durch eine “einfache” Funktion approximieren? Definition Zwei Funktionen f (x), g (x) heißen asymptotisch gleich, falls lim x→∞ f (x) = 1. g (x) Schreibe f (x) ∼ g (x), x → ∞. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximation von π(x) Frage Läßt sich π(x) durch eine “einfache” Funktion approximieren? Definition Zwei Funktionen f (x), g (x) heißen asymptotisch gleich, falls lim x→∞ f (x) = 1. g (x) Schreibe f (x) ∼ g (x), x → ∞. Beispiel I I x ∼ x + 1, √ x ∼ x + x. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Vermutung von Gauss und Legendre Vermutung (Gauss 1792, Legendre 1798) π(x) ∼ x , log(x) Jan H. Bruinier x → ∞. Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Vermutung von Gauss und Legendre Vermutung (Gauss 1792, Legendre 1798) π(x) ∼ I x , log(x) Gauss erkannte bereits, daß π(x) ∼ Li(x), I x → ∞. x → ∞, eine bessere Approximation sein sollte. R x dt Dabei ist Li(x) = 2 log(t) der Integrallogarithmus. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Vermutung von Gauss und Legendre Vermutung (Gauss 1792, Legendre 1798) π(x) ∼ I x , log(x) x → ∞. Gauss erkannte bereits, daß π(x) ∼ Li(x), x → ∞, I eine bessere Approximation sein sollte. R x dt Dabei ist Li(x) = 2 log(t) der Integrallogarithmus. I Beachte Li(x) ∼ x log(x) . Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Güte der Approximation x 10 102 103 104 105 106 108 1010 1012 π(x) 4 25 168 1 229 9 592 78 498 5 761 455 455 052 511 37 607 912 018 [Li(x)] 5 29 176 1 245 9 628 78 626 5 762 208 455 055 613 37 607 950 279 Jan H. Bruinier [Li(x)]/π(x) − 1 0.25 0.16 0.048 0.013 3.8 · 10−3 1.6 · 10−3 1.3 · 10−4 6.8 · 10−6 1.0 · 10−6 Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximationen von π(x) Approximationen von pi(x) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 200 400 600 800 x pi(x) x/log(x) Li(x) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute 1000 Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximationen von π(x) Approximationen von pi(x) 8000 6000 4000 2000 0 20000 40000 60000 80000 x pi(x) x/log(x) Li(x) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute 100000 Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Primzahlsatz I Tschebyscheff (1850): Für große x gilt 0.9212 · x x < π(x) < 1.1056 · . log(x) log(x) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Primzahlsatz I Tschebyscheff (1850): Für große x gilt 0.9212 · I x x < π(x) < 1.1056 · . log(x) log(x) Hadamard und de la Vallée-Poussin (1896) bewiesen den Primzahlsatz: x π(x) ∼ , x → ∞. log(x) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Primzahlsatz I Tschebyscheff (1850): Für große x gilt 0.9212 · I x x < π(x) < 1.1056 · . log(x) log(x) Hadamard und de la Vallée-Poussin (1896) bewiesen den Primzahlsatz: x π(x) ∼ , x → ∞. log(x) Folgerungen I Ungefähr 1 log(x) aller natürlichen Zahlen ≤ x sind prim. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Primzahlsatz I Tschebyscheff (1850): Für große x gilt 0.9212 · I x x < π(x) < 1.1056 · . log(x) log(x) Hadamard und de la Vallée-Poussin (1896) bewiesen den Primzahlsatz: x π(x) ∼ , x → ∞. log(x) Folgerungen 1 log(x) aller natürlichen Zahlen ≤ x sind prim. I Ungefähr I Die k-te Primzahl hat ungefähr die Größe k log(k). Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Bernhard Riemann (1826-1866) Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion I Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ∞ X 1 ns (s ∈ C, Re(s) > 1). Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute ζ(s) = n=1 Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion I Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = ∞ X 1 ns (s ∈ C, Re(s) > 1). n=1 I Hat Fortsetzung auf ganz C. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion I Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = ∞ X 1 ns (s ∈ C, Re(s) > 1). n=1 I Hat Fortsetzung auf ganz C. I Pol bei s = 1 (⇔ es gibt unendlich viele Primzahlen). Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion I Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = ∞ X 1 ns (s ∈ C, Re(s) > 1). n=1 I Hat Fortsetzung auf ganz C. I Pol bei s = 1 (⇔ es gibt unendlich viele Primzahlen). I Eulerproduktdarstellung ⇒ ζ(s) 6= 0 für Re(s) > 1. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion I Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = ∞ X 1 ns (s ∈ C, Re(s) > 1). n=1 I Hat Fortsetzung auf ganz C. I Pol bei s = 1 (⇔ es gibt unendlich viele Primzahlen). I Eulerproduktdarstellung ⇒ ζ(s) 6= 0 für Re(s) > 1. I Primzahlsatz ⇔ ζ(s) 6= 0 für Re(s) = 1. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = P∞ 1 n=1 ns 4 3 2 1 0 –20 –1 0 –10 1 0 2 Im(s) 10 Re(s) 3 20 Jan H. Bruinier 4 Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Güte der Approximation von π(x) Frage Was ist der Fehler der Approximation π(x) ∼ Li(x)? Tabelle Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Güte der Approximation von π(x) Frage Was ist der Fehler der Approximation π(x) ∼ Li(x)? Tabelle Vermutung (FV) √ π(x) = Li(x) + O( x log x), Jan H. Bruinier x → ∞. Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Güte der Approximation von π(x) Frage Was ist der Fehler der Approximation π(x) ∼ Li(x)? Tabelle Vermutung (FV) √ π(x) = Li(x) + O( x log x), x → ∞. Satz (Koch 1901) Die Vermutung (FV) ist äquivalent zur Riemannschen Vermutung. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Vermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s ∈ C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 6= 0. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Vermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s ∈ C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 6= 0. Genauer gilt sogar: Satz Für α ≥ 1/2 sind äquivalent: (i) π(x) = Li(x) + O(x α log x). (ii) ζ(s) 6= 0 für alle s ∈ C mit Re(s) > α. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Vermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s ∈ C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 6= 0. Genauer gilt sogar: Satz Für α ≥ 1/2 sind äquivalent: (i) π(x) = Li(x) + O(x α log x). (ii) ζ(s) 6= 0 für alle s ∈ C mit Re(s) > α. I Diese Aussage ist gegenwärtig für kein α < 1 bekannt! Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Vermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s ∈ C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 6= 0. Genauer gilt sogar: Satz Für α ≥ 1/2 sind äquivalent: (i) π(x) = Li(x) + O(x α log x). (ii) ζ(s) 6= 0 für alle s ∈ C mit Re(s) > α. I Diese Aussage ist gegenwärtig für kein α < 1 bekannt! I Man weiß immerhin, daß π(x) = Li(x) + O(x/ log2 x). Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Vermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s ∈ C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 6= 0. Genauer gilt sogar: Satz Für α ≥ 1/2 sind äquivalent: (i) π(x) = Li(x) + O(x α log x). (ii) ζ(s) 6= 0 für alle s ∈ C mit Re(s) > α. I Diese Aussage ist gegenwärtig für kein α < 1 bekannt! I Man weiß immerhin, daß π(x) = Li(x) + O(x/ log2 x). I Auf Re(s) = 1/2 liegen unendlich viele Nullstellen von ζ(s) (Hardy, 1914). Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ’s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ’s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? I Die ersten 1013 Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004). Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ’s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? I Die ersten 1013 Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004). Frage Ist die Riemannsche Vermutung ein schwieriges Problem? Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ’s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? I Die ersten 1013 Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004). Frage Ist die Riemannsche Vermutung ein schwieriges Problem? I Ja! Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ’s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? I Die ersten 1013 Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004). Frage Ist die Riemannsche Vermutung ein schwieriges Problem? I Ja! I Sie gehört zu den Millionen-Dollar-Problemen des Clay Mathematics Institute. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ’s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? I Die ersten 1013 Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004). Frage Ist die Riemannsche Vermutung ein schwieriges Problem? I Ja! I Sie gehört zu den Millionen-Dollar-Problemen des Clay Mathematics Institute. I Dennoch läßt sie sich vollkommen elementar formulieren. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Teilersummenvermutung Für n ∈ N sei P I σ(n) = d|n d die Summe der Teiler von n, Pn 1 I h(n) = k=1 k die n-te harmonische Zahl. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Teilersummenvermutung Für n ∈ N sei P I σ(n) = d|n d die Summe der Teiler von n, Pn 1 I h(n) = k=1 k die n-te harmonische Zahl. Satz (Lagarias, 2000) RV ist äquivalent zur folgenden Teilersummenvermutung. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Teilersummenvermutung Für n ∈ N sei P I σ(n) = d|n d die Summe der Teiler von n, Pn 1 I h(n) = k=1 k die n-te harmonische Zahl. Satz (Lagarias, 2000) RV ist äquivalent zur folgenden Teilersummenvermutung. Vermutung (Lagarias, 2000) σ(n) ≤ h(n) + exp(h(n)) log(h(n)), Jan H. Bruinier für alle n ∈ N. Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Teilersummenvermutung für kleine n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 σ(n) 1 3 4 7 6 12 8 15 13 18 12 28 h(n) + e h(n) log(h(n)) 1 3.31716854. . . 5.62453152. . . 7.97798290. . . 10.38226769. . . 12.83417872. . . 15.32927365. . . 17.86331817. . . 20.43258568. . . 23.03386680. . . 25.66440756. . . 28.32183725. . . Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Graphische Darstellung der Ungleichung 300 250 200 150 100 50 0 20 40 60 80 100 n Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Einleitung Primzahlen Primzahlverteilung Die Riemannsche Vermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Graphische Darstellung der Ungleichung 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 200 400 600 800 1000 n Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Mersenne-Primzahlen Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Mersenne-Primzahlen Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? I Die Mersenne-Primzahl 224 036 583 − 1. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Mersenne-Primzahlen Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? I Die Mersenne-Primzahl 224 036 583 − 1. I Entdeckt am 15.5.2004 durch GIMPS (www.mersenne.org). I Sie hat 7 235 733 Dezimalstellen. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Mersenne-Primzahlen Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? I Die Mersenne-Primzahl 224 036 583 − 1. I Entdeckt am 15.5.2004 durch GIMPS (www.mersenne.org). I Sie hat 7 235 733 Dezimalstellen. I Marin Mersenne (1588-1648) studierte Primzahlen der Form 2n − 1. I 2n − 1 prim =⇒ n prim. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Mersenne-Primzahlen Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? I Die Mersenne-Primzahl 224 036 583 − 1. I Entdeckt am 15.5.2004 durch GIMPS (www.mersenne.org). I Sie hat 7 235 733 Dezimalstellen. I Marin Mersenne (1588-1648) studierte Primzahlen der Form 2n − 1. I 2n − 1 prim =⇒ n prim. I Beispiel: 3, 7, 31, 127. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Mersenne-Primzahlen Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? I Die Mersenne-Primzahl 224 036 583 − 1. I Entdeckt am 15.5.2004 durch GIMPS (www.mersenne.org). I Sie hat 7 235 733 Dezimalstellen. I Marin Mersenne (1588-1648) studierte Primzahlen der Form 2n − 1. I 2n − 1 prim =⇒ n prim. I Beispiel: 3, 7, 31, 127. Frage Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Zusammenfassung I Primzahlen werden seit den alten Griechen intensiv studiert. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Zusammenfassung I Primzahlen werden seit den alten Griechen intensiv studiert. I Sie sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Zusammenfassung I Primzahlen werden seit den alten Griechen intensiv studiert. I Sie sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. I Informationen zur Primzahlverteilung sind in der Riemannschen Zetafunktion codiert. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute Mersenne-Primzahlen Zusammenfassung Zusammenfassung I Primzahlen werden seit den alten Griechen intensiv studiert. I Sie sind die “Atome” der natürlichen Zahlen. I Informationen zur Primzahlverteilung sind in der Riemannschen Zetafunktion codiert. I Ihr Studium führt zu fundamentalen offenen Fragen der Zahlentheorie. Jan H. Bruinier Primzahlen – von Euklid bis heute
