1 Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule 2 Helmoltz

Versuch O19
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29.11.2013
Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule
Fließt durch eine im Verhältnis zum Durchmesser lange Spule mit der Windungszahl N und der Länge
L ein Strom der Stärke I, so ergibt sich der Betrag B der magnetischen Flussdichte im Innern der Spule
durch
B=
µ0 · N · I
L
Dabei entspricht µ0 der magnetischen Feldkonstante. Sie gibt Verhältnis der magnetischen Flussdichte
zur magnetischen Feldstärke im Vakuum an.
µ0 = 4π · 10−7
2
N
A2
Helmoltz-Spulenpaar
Ein Helmoltz-Spulenpaar besteht aus 2 baugleichen Spulen, welche in exakt dem Abstand voneinander
angebracht werden, der ihrem Innenradius entspricht. Dadurch kann entlang der Mittelachse beider Spulen
ein in guter Näherung homogenes Magnetfeld erzeugt werden.
Somit ergibt sich für die axiale Komponente der magnetischen Flussdichte in der Mitte zwischen beiden
Spulen:
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I
B(z = 0) = µ0 ·
·N
5
R
Durchfließt der Strom die Spulen gegensinnig, so wird die Spulenanordnung als Maxwell-Spule bezeichnet
und es gilt:
B(z = 0) = 0
Magnetfeld eines Helmholtz-Spulenpaares in Abhängigkeit vom Radius R:
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Plattenkondensator
Das elektrische Feld zwischen zwei unendlich großen planparallelen Kondensatorplatten, die Ladungen
von gleichem Betrag, aber verschiedenem Vorzeichen enthalten, ist annähernd homogen. Für den Betrag
der Feldstärke gilt:
E=
1
U
q
=
·
d
0 r A
Dabei entspricht U der angelegten Spannung, d dem Abstand zwischen den Platten, q der Ladung und
A der Fläche der Kondensatorplatten. 0 bezeichnet die elektrische Feldkonstante und r die relative
Permittivität.
4
Elektronen im homogenen Magnetfeld
Auf ein Elektron der Masse m und der Ladung e, dessen Bahn senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen
magnetischen Feldes B verläuft, wirkt die Lorentzkraft. Diese zwingt das Elektron auf eine Kreisbahn
mit dem Radius r.
FL = q · (v × B) = e · (v × B) = e · v · B
Dabei ist v ist die Geschwindigkeit der Ladung.
Die Lorentzkraft (Zentralkraft) steht im Gleichgewicht mit der Zentrifugalkraft, einer Trägheitskraft.
Fz = m ·
v2
r
Durch Gleichsetzen der Kräfte ergibt sich:
e·v·B =m·
v2
r
e
v
=
m
r·B
Die Geschwindigkeit v kann mittels der 2. Feldmessung (Messung der Beschleunigungsspannung Ua )
bestimmt werden. Zur Berechnung kann der Energieerhaltungssatz verwendet werden:
1
· mv 2 = e · Ua
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Es ergibt sich:
e
2 · Ua
= 2 2
m
r B
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Elektronen im homogenen elektrischen Feld
Ein Elektron, welches mit der Geschwindigkeit vx in das homogene elektrische Feld Ek eines Plattenkondensators eintritt, bewegt sich auf einer Parabelbahn.
Bahn einer Ladung im homogenen elektrischen Feld (Elektronenstrahlablenkröhre):
q · Ek = m · ay =
2m · y
t2
Dabei entspricht t der Zeit, welche sich wie folgt ergibt:
t=
x
vx
Für die Bahn bezüglich y ergibt sich:
y=
q · Ek
e Ek
· x2 =
· x2
2m · vx2
m 2vx2
Die Anfangsgeschwindigkeit vx hängt von der Beschleunigungsspannung in der Elektronenquelle ab.
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Elektronen in gekreuzten Feldern E und B
Wir zusätzlich zum elektrischen Feld EK ein senkrechtes Magnetfeld angelegt, so kann die Lorentzkraft
die elektrische Kraft kompensieren. In diesem Fall gilt:
e · Ek = e · vx · B
vx =
Ek
B
Sind die Kräfte in einem ausreichend großen Bereich gleich, so kann ergibt sich dort eine gerade Elektronenbahn.
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Wien’scher Geschwindigkeitsfilter
Die Kombination von gekreuztem E und B wird auch beim sogenannten Wien’schen Geschwindigkeitsfilter
verwendet. Dort werden nur solche geladene Teilchen durchgelassen, welche einer bestimmten Geschwindigkeit entsprechen. Dies wird durch eine kleine Austrittsblende erreicht.
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Methoden zur Bestimmung der spezifischen Ladung
Um die spezifische Ladung von Elektronen zu bestimmen, werden in der Regel Fadenstrahlrohre (siehe
Skizze) verwendet, in dem ein beschleunigter und gebündelter Elektronenstrahl durch ein homogenes
Magnetfeld auf eine Kreisbahn gebracht wird. Durch eine geeignete Gasfüllung kann der Elektronenstrahl
sichtbar gemacht werden.
Die spezifische Ladung lässt sich durch Messen der Abhängigkeit der Anodenspannung Ua vom Spulenstrom I bei konstantem Durchmesser der ringförmigen Elektronenbahn aus der graphischen Darstellung
bestimmen.
Ua = f (B 2 ) =
1 e
·
· r2 B 2
2 m
Die magnetische Flussdichte B des Helmholtz-Spulenpaares kann aus dem gemessenen Spulenstrom I,
dem Spulenradius R und der Windungszahl je Spule N berechnet werden.
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I
·N
B = µ0 ·
5
R
Sind die Parameter des Magnetfeldes (Stromstärke I, Windungszahl N , Spulenradius R), das durch zwei
Helmholtzspulen erzeugt wird, und der Elektronenkanone (Beschleunigungsspannung Ua ) bekannt , so
kann der Krümmungsradius aus den Koordinaten auf dem Schirm bestimmt werden (Durch Berechnung
des Anstiegs).
r2 = x2 + (r − y)2
y=
x2 + y 2
2r
Aus diesem kann dann die spezifische Ladung berechnet werden:
2 · Ua
e
= 2 2
m
r B
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Relativistische Betrachtungen zu Masse, Energie und Geschwindigkeit
Masse
Der Begriff der schweren Masse tritt in der spezielle Relativitätstheorie nicht auf. Diese befasst sich mit
der Dynamik von Körpern bei gegebenen Kräften. Nach der speziellen Relativitätstheorie ergibt sich der
Impuls p~ nicht (wie nach Newton) durch das Produkt von Masse m und Geschwindigkeit ~v . Es gilt:
p= q
m0 · v
vrel 2
c
1−
Damit ist die Bewegung eines Körpers mit gleicher oder höherer Geschwindigkeit als das Licht (v ≥
c) ausgeschlossen. Um dennoch die Newtonsche Formel beibehalten zu können, wurde der Begriff der
relativistischen Masse (in Abhängigkeit von der Relativgeschwindigkeit) eingeführt:
mrel (vrel ) = q
m0
1−
vrel 2
c
Somit gilt:
p = mrel (vrel ) · v
Energie
Die Masse eines Körpers ist außerdem ein Maß für dessen Energieinhalt. Ändert sich die Energie um
∆E, so ändert sich auch die Masse um ∆m. Die Überlegungen Einsteins führten schließlich dazu, dass
er eine Proportionalität zwischen der dynamischen Masse m(v) und der relativistischen Gesamtenergie
E beschrieb. Es gilt:
E = m(v) · c2
(Relativistische Gesamtenergie)
E = m0 · c2
(Ruheenergie)
Ekin = E(v) − E(0) = (m(v) − m0 ) · c2
(Kinetische Energie)
Geschwindigkeit
Mit Hilfe dieser Zusammenhänge und mit Ekin = U · e lässt sich die relativistische Geschwindigkeit
formulieren:
s
vrel = c ·
1−
E(0)
E(v)
s
2
=c·
1−
m0 · c2
Ekin + m0 · c2
s
2
=c·
1−
m 0 · c2
U · e + m0 · c2
2
Im Vergleich dazu ergibt sich die klassische Geschwindigkeit über:
r
vkl =
2·U ·e
m0
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