2nd sheet

Quantenmechanik II – Advanced Topics in Quantum Mechanics
A. Riefer , H. Aldahhak, W.G. Schmidt ([email protected], [email protected])
Übungsblatt 2 – Exercise 2
1. Konvertierung von cgs nach SI (3 Punkte)
Conversion from cgs to SI
Betrachten Sie die Kraft zwischen 2 Ladungen q1 und qp in cgs und SI Einheiten:
Consider the force between to charges q1 and qp in cgs and SI units:
F~pcgs
cgs:
~r1 − ~rp
= q1cgs qpcgs
|~r1 − ~rp |3
SI:
F~pSI =
(1)
q1SI qpSI
4π0
~
r1 −~
rp
|~
r1 −~
rp |3
(2)
~ p definiert durch In
a) In beiden Einheitensystemen ist das elektrische Feld E
~ p is defined as:
both systems of units the electric field E
~
~ p = lim Fp .
E
qp →0 qp
(3)
Werten Sie das elektrische Feld in beiden Einheitensystemen aus und zeigen
~ pSI sowie Ladungen q cgs und q SI
~ pcgs und E
Sie, dass zwischen den Feldern E
Konvertierungskonstanten Evaluate the electric field in both systems of units
and show that one can find conversion constants
cE =
√
4π0 und and ce = √
1
4π0
(4)
~ pcgs and E
~ pSI as
angegeben werden können, sodass gilt: between the fields E
well as between the charges q cgs and q SI such that:
~ pcgs = cE E
~ pSI und and q cgs = ce q SI .
E
(5)
b) Betrachten Sie die Definition der Polarisation P~ (in beiden Einheitensystemen): Consider the definition of the polarization P~ (in both systems of units):
P~ = h
X
n
p~n δ(~r0 − ~rn )i(~r, t) =
elektr. Dipolmoment electric dipole moment
,
Volumen volume
(6)
1
wobei h..i eine räumliche Mittelung bezeichnet und für p~n gilt: where h..i
denotes a spatial averaging and p~n is given as:
Z
Z
3
p~n = d r~rρn (~r) und
d3 rρn (~r) = qn .
(7)
Ermitteln Sie die Konvertierungskonstante cP zwischen P~ cgs und P~ SI aus
Gln. (6) und (7). Determine the conversion constant cP between P~ cgs and
P~ SI from eqs. (6) und (7).
c) Verwenden Sie die Resultate aus 1a und 1b sowie die folgende Maxwellgleichung in cgs und SI Einheiten Use the results from 1a and 1b as well
as from the following Maxwell equation in cgs und SI units
~ cgs
D
~ cgs
=E
cgs:
SI:
cgs
SI
~ SI + P~ SI
~ = 0 E
D
+ 4π P~
(8)
(9)
~ zu
um eine Konvertierungskonstante für die Dielektrische Verschiebung D
~
ermitteln. to find the conversion constant for the displacement field D.
2. Wasserstoffatom mit der Kernladung Z (3 Punkte)
Hydrogen atome with a modified nuclear charge
Gegeben sei ein wasserstoffähnliches Atom mit der Kernladungszahl Z und einem
1s Elektron. Berechnen Sie die Änderung der Energie bei Erhöhung der Kernladungszahl um 1 mit Hilfe der Störungsrechnung 1. Ordnung. Vergleichen Sie
das Ergebnis mit dem exakten Resultat. Consider a hydrogen atome with a modified nuclear charge Z and one 1s electron. Calculate the change of the energy in
first order perturbation theory when the nuclear charge is increased by one. Compare this result with the exact result.
1s Wellenfunktion 1s wave function:
1
me2
ψ1s = √ γ 3/2 e−γr γ = 2 Z
π
h̄
(10)
Ungestörte Energie Unperturbed energy:
E1s (Z) = −
me4 2
Z
2h̄2
(11)
3. Unendlich hoher Potentialtopf mit Störung (3 Punkte)
Infinite square well with perturbation
Betrachten Sie ein Teilchen in einem Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden.
Das System wird beschrieben durch den Hamiltonoperator: Consider a particle
in the infinite square well potential. The system is described by the Hamilton
2
operator:
p2
H=
+ V mit with V =
2m
0, für for 0 ≤ x ≤ a
∞, sonst else
(12)
(13)
Für die ungestörten Eigenfunktionen (für 0 ≤ x ≤ a) und Eigenenergien gilt: The
unperturbed wave functions (for 0 ≤ x ≤ a) and eigenenergies are given as:
r
πn 2
n2 π 2 h̄2
sin
x und En(0) =
.
(14)
Ψ(0)
n (x) =
a
a
2ma2
Das System wird durch das Anlegen eines elektrischen Feldes der Stärke gestört.
The system is perturbed by the application of an electric field with the strength .
Die Störung wird charakterisiert durch The perturbation is characterized by
a
H1 = e(x − ).
2
(15)
a) Berechnen Sie für den Zustand n = 1 die Energiekorrekturen in 1. Ordnung
Störungstheorie. Calculate the energy correction for the state n = 1 in 1st
order perturbation theory.
b) Berechnen Sie die Änderung derD Wellenfunktion
E für n = 1, wobei Sie an (0)
(0) nehmen können, dass der Beitrag Ψ1 H1 Ψ2 hauptsächlich für die Änderung
verantwortlich ist. Calculate the changeDof the
for n = 1, where
wave
function
E
(0)
(0) you can suppose that the contribution Ψ1 H1 Ψ2
is mainly responsible
for the change.
3