Übungsaufgaben Binomialverteilung

 L. Schmeink
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1
Beispielaufgaben Binomialverteilung Lösungen
Übung 1
Der Würfel mit zwei roten (A) und vier weißen Seitenflächen (B) soll fünfmal geworfen
werden.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß genau dreimal das Ereignis A eintrifft.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A keinmal auftritt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A wenigstens einmal auftritt?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A wenigstens dreimal auftritt?
e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei den ersten drei Würfen das
Ereignis A und bei den letzten beiden Würfen das Ereignis B eintrifft
Lösungsmöglichkeit
Das fünfmalige Würfeln stellt eine Stichprobe vom Umfang n = 5 dar, die "mit Zurücklegen" gezogen wird. Deshalb bleibt von Zug zu Zug die Grundwahrscheinlichkeit p
(und somit auch q) unverändert. Die Merkmalsausprägungen schließen sich gegenseitig
aus.
X, die Zufallsvariable für die Anzahl roter Elemente in der Stichporbe, ist binomial2
1
verteilt mit n = 5 und p = 6 = 3
1 k
2 5−k
W(X = k) = (5
k) ⋅ ( 3 ) ⋅ ( 3 )
zu a)
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable X den Wert k = 3 annimmt.
1 3
2 5−3
W(X = 3) = (5
3) ⋅ ( 3 ) ⋅ ( 3 ) = 0,1646
Die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A genau dreimal eintrifft, ist 16,46 %.
zu b)
1 0
2 5−0
Gesucht ist W(X = 0) = (5
0) ⋅ ( 3 ) ⋅ ( 3 ) = 0,13168...
Mit 13,17 %-iger Wahrscheinlichkeit trifft bei fünfmaligem Würfeln das Ereignis A gar
nicht ein.
zu c)
Gesucht ist W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 1 − W(X = 0)
W(X = 0) = 0,13168... (s. o.)
W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 1 − W(X = 0) =1 − 0,13168... = 0,86831...
Die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis A bei fünfmaligen Würfeln wenigstens einmal
auftritt, ist 86,83 %.
zu d)
Gesucht ist W(X ≥ 3) = W(X = 3) + W(X = 4) + W(X = 5)
W(X = 3) = 0,1646 (s. o.)
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2
1 4
2 5−4
W(X = 4) = (5
)
⋅
(
)
⋅
(
= 0,04115
3
3)
4
1 5
2 5−5
W(X = 5) = (5
5) ⋅ ( 3 ) ⋅ ( 3 ) = 0,00411
W(X ≥ 3) = 0,1646 + 0,04115 + 0,00411 = 0,20986
mit der Wahrscheinlichkeit von 20,986 % tritt das Ereignis A bei fünfmaligem Würfeln
mindestens dreimal ein.
zu e)
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß der einzige Pfad im Ereignisdiagramm für
dieses Zufallsexperiment (fünfmaliges Würfeln) durchlaufen wird, bei dem zunächst
dreimal das Ereignis A eintritt und danach zweimal das Ereignis B. Diese bestimmte
Stichprobe soll C heißen.
1
2
W(C) = ( 3 )3 ⋅ ( 3 )2 = 0,01646
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen der Stichprobe C beträgt 1,646 %.
Die Stichprobe C ist eine von den zehn möglichen Stichproben im Aufgabenteil a).
Übung 2
Ermitteln Sie, wie oft dieser Würfel geworfen werden muß, damit die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß mindestens einmal das Ereignis A eintrifft, mindestens
96 % ausmacht.
Lösungsmöglichkeit
Gemeint ist W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 1 − W(X = 0)
1
2 n−0
2 n
n
W(X = 0) = (0) ⋅ ( 3 )0 ⋅ ( 3 ) = ( 3 )
2 n
W(X ≥ 1) = 1 − W(X = 0) = 1 − ( 3 )
Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 96 % betragen.
⇒
2 n
2 n
1 − ( 3 ) ≥ 0,96
 − 0,96 + ( 3 )
2 n
⇔ 0,04 ≥ ( 3 )
−n
⇔ 10lg 0,04 ≥ 10lg0,6
−
⇔ 10lg 0,04 ≥ 10n lg0,6
−
⇔ lg 0,04 ≥ n lg 0,6
lg 0,04
⇔
≤n
−
lg 0,6
 logarithmieren 10lg 0,04 = 0,04
 Exponentenvergleich
−
−
 : lg 0,6 und lg 0,6 ist negativ
⇔7,938... ≤ n
Man darf nicht weniger als achtmal würfeln.
2
3
−
= 0,6
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3
Übung 3
Bei einer bestimmten Qualitätskontrolle hat man mit einem Ausschuß von 5 % zu
rechnen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
a) unter zehn Artikeln keiner, b) unter 20 Artikeln höchstens einer defekt ist.
Es geht um eine Stichprobe vom Umfang n, die der gesamten Produktion entnommen
wird. Bei dieser großen Grundgesamtheit ist es unerheblich, ob die Stichprobe mit oder
ohne Zurücklegen gezogen wird; der Ausschußanteil ändert sich praktisch nicht. Die
Stichprobe mit Zurücklegen zu ziehen, wäre nicht sinnvoll. Denn sonst könnte ein
defekter, zurückgelegter Artikel ein zweites Mal gezogen werden. Die Merkmalswerte
sind voneinander unabhängig und schließen sich gegenseitig aus.
Deshalb ist die Zufallsvariable X, die für die Anzahl defekter Stücke in der Stichprobe
steht, binomialverteilt.
zu a)
0
10
n = 10 p = 0,5 W(X = 0) = (10
0 ) ⋅ 0,05 ⋅ 0,95 = 0,59873
Die Wahrscheinlichkeit, keinen defekten Artikel in der Stichprobe vorzufinden, ist
0,59873 = 59,873 %.
zu b)
Gesucht ist W(X ≤ 1) = W(X = 0) + W(X = 1) n = 20 p = 0,05
W(X = 0) = 0,35848 und W(X = 1) = 0,37735
W(X ≤ 1) = 0,73583
Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen defekten Artikel in der Stichprobe vorzufinden,
ist 0,73583 = 73,583 %.
Übung 4
Angenommen ein Schütze trifft sein Ziel mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,35.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß von zehn Schüssen nur die ersten
drei das Ziel verfehlen.
b) Wie oft muß er auf das Ziel schießen, damit die Wahrscheinlichkeit, daß er das Ziel
wenigstens einmal trifft, wenigstens 90 % beträgt.
zu a)
Die erwähnten zehn Schüsse gelten als Stichprobe mit Zurücklegen, Treffer (Ereignis T)
und Fehlschuß (Ereignis F) schließen sich gegenseitig aus und sind unabhängig vonein ander. Die Wahrscheinlichkeiten p für einen Treffer und q für einen Fehlschuß ändern
sich während des Zufallsexperimentes nicht. Die Stichprobe, die dreimal das Ereignis F
und siebenmal das Ereignis T enthält, soll mit A bezeichnet werden.
W(A) = 0,653 ⋅ 0,357 = 0,274625 ⋅ 0,000643392 = 0,000176691
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt 0,0176691 %.
zu b)
X ist die Zufallsvariable für die Anzahl von Treffern unter n Schüssen.
Treffer (Ereignis T) und Fehlschuß (Ereignis F) schließen sich gegenseitig aus und sind
unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeiten p für einen Treffer und q für einen
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Fehlschuß ändern sich während des Zufallsexperimentes nicht. X ist binomialverteilt mit
n und p = 0,35.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist W(X ≥ 1). Es könnte auch die Wahrscheinlichkeit
gemeint sein, daß er keinmal nicht trifft.
W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 1 − W(X = 0)
n
n−0
n
W(X = 0) = (0) ⋅ 0,350 ⋅ 0,65 = 0,65
n
W(X ≥ 1) = 1 − W(X = 0) = 1 − 0,65
Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 90 % betragen.
⇒
n
1 − 0,65 ≥ 0,90
⇔ 0,1 ≥ 0,65
− 0,90 + 0,65
n
⇔ 10lg 0,1 ≥ 10lg0,65
n
⇔ 10lg 0,1 ≥ 10n lg0,65
⇔ lg 0,1 ≥ n lg 0,65
lg 0,1
⇔ lg 0,65 ≤ n
n
logarithmieren 10lg 0,1 = 0,1
Exponentenvergleich
: lg 0,65 und lg 0,65 ist negativ
⇔ 5,3451... ≤ n
Er darf nicht weniger als sechsmal schießen. Er muß mindestens sechsmal schießen.
Übung 5
Angenommen eine Erdölbohrung wird mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,12 fündig.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben zehn (zwölf; 15) Bohrungen mindestens
einen Erfolg.
b) Wie viele Bohrungen müssen durchgeführt werden, damit die Wahrscheinlichkeit
für einen Erfolg größer als 0,5 ist.
zu a)
Die besagten zehn Bohrungen stellen eine Stichprobe vom Umfang n = 10 dar.
X ist die Zufallsvariable für die Anzahl der erfolgreichen unter den zehn Bohrungen.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ändert sich nicht.
Zehn Bohrungen
X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,12.
k
10−k
W(X = k) = (10
k ) ⋅ 0,12 ⋅ 0,88
Gesucht ist: W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 1 − W(X = 0)
0
10−0
W(X = 0) = (10
= 0,8810 = 0,27850...
0 ) ⋅ 0,12 ⋅ 0,88
W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 0,721499...
Zwölf Bohrungen
X ist binomialverteilt mit n = 12 und p = 0,12.
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5
k
12−k
W(X = k) = (12
k ) ⋅ 0,12 ⋅ 0,88
Gesucht ist: W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 1 − W(X = 0)
W(X = 0) = 0,8812 = 0,21567...
W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 0,78432...
15 Bohrungen
X ist binomialverteilt mit n = 15 und p = 0,12.
k
15−k
W(X = k) = (15
k ) ⋅ 0,12 ⋅ 0,88
Gesucht ist: W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 1 − W(X = 0)
W(X = 0) = 0,8815 = 0,14697...
W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 0,85302...
Die "Erfolgswahrscheinlichkeit" nimmt mit wachsendem Stichprobenumfang zu.
zu b)
X ist die Zufallsvariable für die Anzahl der Erfolge unter n Bohrungen.
Erfolg (Ereignis E) und Mißerfolg (Ereignis M)schließen sich gegenseitig aus und sind
unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeiten p für einen Erfolg und q für einen
Mißerfolg ändern sich während der Bohrungen nicht. X ist binomialverteilt mit n und
p = 0,12.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist W(X ≥ 1). Es könnte auch die Wahrscheinlichkeit
gemeint sein, daß es keinen Mißerfolg gibt.
W(X ≥ 1) = W(X > 0) = 1 − W(X = 0)
n
n−0
n
W(X = 0) = (0) ⋅ 0,120 ⋅ 0,88 = 0,88
n
W(X ≥ 1) = 1 − W(X = 0) = 1 − 0,88
Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 50 % betragen.
⇒
n
1 − 0,88 ≥ 0,5
⇔ 0,5 ≥ 0,88
− 0,5 + 0,88
n
⇔ 10lg 0,5 ≥ 10lg0,88
n
⇔ 10lg 0,5 ≥ 10n lg0,88
⇔ lg 0,5 ≥ n lg 0,88
lg 0,5
⇔ lg 0,88 ≤ n
n
logarithmieren 10lg 0,5 = 0,5
Exponentenvergleich
: lg 0,88 und lg 0,88 ist negativ
⇔ 5,42227... ≤ n
Er darf nicht weniger als sechsmal gebohrt werden. Er muß mindestens sechsmal
gebohrt werden.
LSch