Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken - ate.uni

Versuch B1/1: Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken
Ein Ausgleichsvorgang beschreibt den zeitlichen Ablauf des Übergangs von einem eingeschwungenen
Zustand in einen anderen, wenn sich in einem Netzwerk die Amplitude, die Frequenz oder der Winkel
der ”Erregung” ändern.
Die häufigste Ursache von Ausgleichsvorgängen stellen in der Praxis Schaltvorgänge durch das Öffnen
oder Schließen von Schaltern im Netzwerk dar. Diese Ausgleichsvorgänge sind auf die Wirkung derjenigen Bauelemente zurückzuführen, die in der Lage sind, elektrische oder magnetische Energie zu
speichern, also Kondensatoren und Spulen. Bei jedem Schaltvorgang, der in einem Netzwerk auftritt,
können sich die in diesen Bauelementen gespeicherten Energien nur stetig ändern, da eine sprunghafte
Änderung der Energie eine unendlich große Leistung erfordern würde und daher auszuschließen ist.
Die gespeicherten Energien werden wie folgt beschrieben:
•
•
für den Kondensator durch:
W =
für die Spule durch:
W =
1
2
1
2
·Q·U =
·Φ·I =
1
· C · U2
2
1
· L · I2
2
(1.1)
(1.2)
Aus den Gleichungen (1.1) und (1.2) folgt bei der oben bereits erwähnten stetigen Änderung der
Energien, daß die an der Kapazität anliegende elektrische Spannung sowie die in der Induktivität
auftretende elektrische Stromstärke jeweils stetige Funktionen der Zeit sein müssen. Die weitere Betrachtung wird zeigen, daß diese Folgerungen aus den Gleichungen (1.1) und (1.2) die entscheidenden
Grundlagen bei der Behandlung von Schaltvorgängen sind.
Die Schaltvorgänge in einem Netzwerk können mit den gleichen Verfahren behandelt werden, die auch
bei der Analyse von Schaltungen ohne Einschaltvorgänge angewendet werden (z. B. Maschen– und
Knotenanalyse, direkte Anwendung der Kirchhoff’schen Gesetze). Wählt man diesen Weg, so ist stets
die Lösung einer Differentialgleichung erforderlich. In einfachen Fällen mag dies noch gelingen und
mit einiger Routine kann man die Lösung durch ”scharfes Hinsehen” angeben. Die Vorgehensweise
scheitert jedoch in aller Regel bereits dann, wenn man nicht mehr nur Gleichspannungen und –ströme
schaltet, sondern zeitlich veränderliche Größen eingeprägt werden. In diesen Fällen kommt bevorzugt
die Laplace–Transformation zum Einsatz, mit deren Hilfe es möglich ist, eine Differentialgleichung in
eine algebraische Gleichung zu überführen, die in aller Regel einfacher zu lösen ist.
Die in jedem Fall zur Lösung benötigten Zusammenhänge zwischen elektrischer Stromstärke i (t) und
elektrischer Spannung u (t) an den verschiedenen Netzwerkelementen lauten
für den Widerstand
uR (t) = R · iR (t)
für den Kondensator
uC (t) =
für die Spule
1
C
Rt
−∞
uL (t) = L ·
iC (τ ) d τ
diL (t)
dt
uR (t)
,
R
bzw.
iR (t) =
bzw.
iC (t) = C ·
bzw.
iL (t) =
1
L
duC (t)
dt
Rt
−∞
,
uL (τ ) d τ ,
wobei R der ohmsche Widerstand, C die Kapazität des Kondensators und L die Induktivität der Spule
sind.
1.1
Einschalten einer Gleichspannungsquelle
Ein einfaches Beispiel für die Berechnung eines Ausgleichsvorganges, an dem die grundsätzliche Vorgehensweise demonstriert werden soll, ist in Bild 1.1 dargestellt.
1
2
Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1
?
U0
iC (t)
t = 0
.............................
R
=
?
uC (t)
?
C
Bild 1.1. Einschalten einer Gleichspannung am Beispiel einer Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und Kondensator
Die Differentialgleichung, der die Kondensatorspannung gehorchen muß, läßt sich aus einem Maschenumlauf (im geschlossenen Zustand des Schalters, also für t ≥ 0) und der Differentialform des Zusammenhanges zwischen Spannung und Strom am Kondensator ableiten.
R · iC (t) + uC (t) = U0
=⇒
duC (t)
1
U0
+ · uC (t) =
dt
τ
τ
mit
τ = RC
(1.3)
Es zeigt sich also, daß die Lösung des Problems darauf hinaus läuft, eine lineare, homogene Differentialgleichung ersten Grades mit konstanten Koeffizienten zu erfüllen. Eine eindeutige Lösung ist jedoch
nur dann gewährleistet, wenn ein Anfangswert für die Kondensatorspannung vorgegeben ist. Nimmt
man an, daß man die Kondensatorspannung u C (t = 0−) = uC0 unmittelbar vor dem Einschalten
kennt, so erhält man die vollständige Beschreibung des Anfangswertproblems:
1
U0
duC (t)
+ · uC (t) =
dt
τ
τ
für t≥ 0
und
uC (t = 0+) = uC (t = 0−) = uC0
(1.4)
Die Bezeichnungen t = 0+ und t = 0− bedeuten Zeitpunkte unmittelbar nach bzw. unmittelbar vor
dem Schaltzeitpunkt. Die Kondensatorspannung hat in beiden Zeitpunkten den gleichen Wert, da sie
stetig ist. Um diese Eigenschaft bei der Lösung des Anfangswertproblems sinnvoll zu nutzen, bietet
es sich an, die Differentialgleichung so aufzustellen bzw. umzuformen, daß die stetige Zeitfunktion die
gesuchte Größe ist (wie hier geschehen).
Die Lösung dieser Differentialgleichung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung (Schaltbedingung) für die Kondensatorspannung kann auf verschiedene Arten gefunden werden. Eine Möglichkeit
ist die Lösung der homogenen Gleichung mit Hilfe elementarer Lösungsansätze. Dies sind Funktionen,
die aus der Mathematik als Lösungen des Problems bekannt sind. Die partikuläre Lösung kann in aller
Regel durch einfache Überlegungen gefunden werden.
Im vorliegenden Beispiel sehen die homogene Differentialgleichung und der Lösungsansatz folgendermaßen aus:
duC (t)
1
+ uC (t) = 0
dt
τ
⇒
uC,hom (t) = k · eα·t
(1.5)
Die Konstanten k und α sind noch zu bestimmen. Setzt man den Lösungsansatz aus der Gleichung
(1.5) in die homogene Differentialgleichung ein, so erhält man:
k
k · α · eα·t + · eα·t = 0
τ
Schließt man die triviale Lösung k = 0 aus, und beachtet man weiterhin, daß die Exponentialfunktion
für endliche Werte von α und t stets von Null verschieden ist, kann die obige Gleichung durch k · e α·t
dividiert werden. Man erhält auf diese Weise die Bedingung α = −1/τ . Da im Exponenten der e–
Funktion das Argument −t/τ auftritt, wird τ die Zeitkonstante der Schaltung genannt.
Die partikuläre Lösung beschreibt ganz allgemein ausgedrückt einen eingeschwungenen Zustand, in
dem alle durch das Einschalten auftretenden Vorgänge bereits abgeklungen sind. Da es sich bei der
3
Versuch B1/1: Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken
Quelle in diesem Beispiel um eine Gleichspannungsquelle handelt, treten im eingeschwungenen Zustand
(t)
keinerlei zeitliche Änderungen auf: duC,part
= 0. Mit dieser Bedingung kann man die partikuläre
dt
Lösung direkt aus der Differentialgleichung (1.4) ablesen, da der Term der die Ableitung nach der Zeit
enthält auf diese Weise entfällt. Es gilt also uC,part = U0 .
Die Summe von homogener und partikulärer Lösung ergibt die Gesamtlösung für die Kondensatorspannung. Setzt man zusätzlich die Anfangsbedingung ein, so gelingt es, auch noch den Koeffizienten
k zu bestimmen:
uC (t) = uC,hom (t) + uC,part = k · e−t/τ +U0
und
uC (t = 0) = k + U0 = uC0
Damit folgt k = uC0 − U0 und schließlich
uC (t) = U0 + (uC0 − U0 ) · e−t/τ = uC0 · e−t/τ +U0 · 1 − e−t/τ
(1.6)
Ist der Kondensator im Schaltaugenblick auf die Spannung U 0 aufgeladen, so zeigt (1.6), daß der Ausgleichsvorgang ausbleibt. Für uC0 = 0, d. h. für einen im Schaltaugenblick ungeladenen Kondensator
liefert (1.6):
uC (t) = U0 · 1 − e−t/τ
(1.7)
Bild 1.2 zeigt den Verlauf von u (t) nach (1.6) für verschiedene Werte von uC0 .
2.0 ...................
1.5
↑
uC (t) /U0
1.0
0.5
......
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0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t/τ →
Bild 1.2. Die durchgezogenen Kurven stellen die Kondensatorspannung u C (t) nach (1.6) für verschiedene Werte von uC0 dar. Die gestrichelte Linie zeigt eine Tangente zur Bestimmung der Zeitkonstanten
τ im Fall uC0 = 0, siehe auch Gleichung (1.8).
Wird der zeitliche Verlauf beispielsweise mit einem x–y–Schreiber aufgenommen, so hat man die
Möglichkeit, die Zeitkonstante zeichnerisch zu bestimmen. Dazu bedient man sich einer Eigenschaft
der e–Funktion.
Der Endwert der Spannung beträgt gemäß Gleichung (1.6) stets U0 . Die Ableitung der Spannung nach
der Zeit beträgt im Einschaltzeitpunkt:
duC =
dt t=0
U0 − uC0
1
1
=
− uC0 · e−t/τ + U0 · e−t/τ τ
τ
τ
t=0
(1.8)
Da der Anfangswert der Spannung uC0 ist, beträgt die Differenz zwischen End– und Anfangswert
U0 − uC0 . Der Funktionswert des Graphen der Tangente nach Gleichung (1.8) bei t = τ ist daher stets
4
Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1
genau U0 . Rückwärts kann man nun folgern, daß der Schnittpunkt der Tangente mit einer Parallelen
zur Zeitachse durch uC = U0 genau bei τ liegt.
Die Tangente für den Fall uC0 = 0 ist in Bild 1.2 eingezeichnet.
1.2
Einschalten einer Wechselspannung
Nun soll an die Schaltung aus dem vorangegangenen Beispiel eine Wechselspannung angeschaltet
werden. Die Differentialgleichung ist die gleiche wie zuvor, und auch die Lösungsstrategie kann übernommen werden. Der wesentliche Unterschied besteht darin, daß die partikuläre Lösung nicht so
einfach gefunden werden kann wie im Gleichspannungsfall. Wiederum wird davon ausgegangen, daß
die Spannung uC (t = 0−) = uC0 , die am Kondensator zum Schaltzeitpunkt anliegt, bekannt ist.
?
U0
iC (t)
t = 0
.............................
R
∼
?
uC (t)
C
?
Bild 1.3. Einschalten einer Wechselspannung am Beispiel einer Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und Kondensator
Das zu lösende Anfangswertproblem lautet also hier:
duC (t)
1
1
+ · uC (t) = · u0 (t)
dt
τ
τ
für t ≥ 0
und uC (t = 0+) = uC (t = 0−) = uC0
(1.9)
Die eingeschaltete Spannung soll folgendermaßen charakterisiert werden:
b0 · cos (ωt + ϕu ) = Re{u
b 0 · e jωt }
u0 (t) = u
mit
b0 = u
b0 · e jφu
u
Die Lösung der homogenen Differentialgleichung geschieht analog zum Gleichspannungsfall. Die partikuläre Lösung beschreibt nun jedoch einen zeitlich veränderlichen Vorgang, nämlich den eingeschwungenen Zustand, der sich einstellt, wenn der Einfluß des Einschaltvorganges abgeklungen ist. Es ist also
möglich, die partikuläre Lösung mit Hilfe der komplexen Wechselstromrechnung zu bestimmen.
Es gilt:
b C,part · e jωt }
uC,part (t) = Re{u
mit
b C,part :
Für die hier vorliegende Schaltung ergibt sich für u
b0 ·
bC = u
u
1
jωC
R+
1
jωC
b0 ·
=u
b C,part = u
bC,part · e jϕC,part
u
b0
1
u
=q
· e j(ϕu −arctan(ωRC))
2
1 + jωRC
1 + (ωRC)
und damit die Zeitfunktion:
uCp (t) = q
b0
u
2
1 + (ωRC)
· cos (ωt + ϕu − arctan (ωRC))
(1.10)
5
Versuch B1/1: Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken
1.2.1
Allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
Eine allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ergibt sich aus der Summe der Lösung
der homogenen Differentialgleichung und der partikulären Lösung. Damit lautet die allgemeine Lösung
der Differentialgleichung
uC (t) = uC,hom (t) + uC,part (t) = k · e−t/τ + q
b0
u
2
1 + (ωRC)
· cos (ωt + ϕu − arctan (ωτ ))
wobei τ = R · C ist und k eine Amplitudenkonstante ist, die aus der Anfangsbedingung (Schaltbedingung) für uC (t) im Schaltzeitpunkt t = 0 gewonnen wird.
Für t = 0 ergibt sich mit uC (t = 0−) = uC0 :
uC0 = k + q
b0
u
2
· cos (ϕu − arctan (ωτ ))
b0
u
2
· cos (ϕu − arctan (ωτ ))
1 + (ωτ )
und nach k aufgelöst
k = uC0 − q
1 + (ωτ )
Die gesuchte Spannung uC (t) am Kondensator hat somit die Form:

uC (t) = uC0 − q
+
q
b0
u
b0
u
1 + (ωτ )
1 + (ωτ )
2
2

· cos (ϕu − arctan (ωτ )) · e−t/τ
· cos (ωt + ϕu − arctan (ωτ ))
(1.11)
Der erste Term der Lösung verschwindet für t → ∞ und wird deshalb auch flüchtiger oder abklingender
Vorgang genannt. Der zweite Term ist dagegen vom Schaltvorgang unabhängig und wird als stationärer
Vorgang bezeichnet.
Der Verlauf von uC (t) nach Gleichung (1.11) ist in Bild 1.4 für verschiedene Werte von uC0 dargestellt.
1
↑
bC
uC (t) /u
0
−1
................
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.............
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......
2π
4π
6π
ωt →
Bild 1.4. Verlauf von uC (t) für verschiedene Werte von uC0 . Es gilt: ϕu − arctan (ωτ ) = π.
6
Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1
An dieser Stelle zeigt sich, daß der Ausgleichsvorgang durch eine geeignete Wahl des Phasenwinkels
ϕu im Einschaltaugenblick unterdrückt werden kann. Dies ist der Fall, wenn gilt:
k = uC0 − q
b0
u
1 + (ωτ )
2
· cos (ϕu − arctan (ωτ )) = 0
Durch Auflösen dieser Gleichung nach ϕu ergibt sich:
uC0
ϕu = arccos
·
b0
u
q
1 + (ωτ )
2
+ arctan (ωτ )
Anschaulich läßt sich dieser Sachverhalt für den Fall uC0 = 0 (der Kondensator ist im Schaltaugenblick
ungeladen), d. h. ϕu = (2n + 1) π2 + arctan (ωτ ) darstellen. In diesem Fall gilt
π
b
u (t) = u0 · cos ωt + (2n + 1) · + arctan (ωτ )
2
und uC (t) =
b0 cos ωt + (2n + 1) ·
u
q
1 + (ωτ )
π
2
2
,
d. h. die beiden Spannungen u (t) und u C (t) haben genau die Phasenverschiebung gegeneinander, die
sich auch im eingeschwungenen Zustand einstellt.
Das bedeutet:
Bei Anregung des elektrischen Netzwerkes nach Bild 1.3 durch eine sinusf örmige Spannung läßt sich der Ausgleichsvorgang dann unterdr ücken, wenn der Einschaltzeitpunkt
derart gewählt wird, daß die Quellenspannung im Zeitpunkt des Schaltens den Wert
annimmt, den sie im eingeschwungenen Zustand beim Nulldurchgang der Kondensatorspannung hat.
Das Bild 1.5 zeigt die günstigen Einschaltzeitpunkte.
+U0
↑
......
.................
....... ...........
.....
....
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...... .........
...........
..........
s
u (t)
uC (t)
−U0
s
s
2π
s
4π
ω(t − t0 ) →
Bild 1.5. Darstellung von Quellenspannung (durchgezogene Kurve) und Kondensatorspannung (gestrichelte Kurve) im eingeschwungenen Zustand (t > t 0 ). Markierung der günstigen Schaltzeitpunkte
(•).
1.3
Lösung mit Hilfe der Laplace–Transformation
Als Beispiel für die Lösung von Schaltproblemen mit Hilfe der Laplace–Transformation soll das Ergebnis von Gleichung (1.7) hergeleitet werden. Gegeben ist erneut die Schaltung nach Bild 1.6.
7
Versuch B1/1: Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken
?
U0
1
◦
t = 0
=
?
iC (t)
.............................
R
u (t)
uC (t)
?
?
C
◦
10
Bild 1.6. Einschalten einer Gleichspannung am Beispiel einer Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand und Kondensator
Der Einschaltvorgang wird unter Berücksichtigung der Tatsache, daß der Kondensator zum Schaltzeitpunkt ungeladen sein soll, durch die folgende Differentialgleichung nebst Anfangsbedingung beschrieben:
1
1
duC (t)
+
· uC (t) =
· u (t)
dt
RC
RC
mit
uC (t = 0−) = uC0 = 0
(1.12)
Die Größe u (t) in (1.12) stellt die Spannung der Klemmen 1–1’ dar und kann in der Form
u (t) =
(
0
für t < 0
U0 für t ≥ 0
(1.13)
angegeben werden.
Zur Bestimmung von uC (t) wird nun die Laplace–Transformierte in (1.12) gebildet. Die Transformationsvorschrift hierfür lautet:
L{f (τ )} = F (s) =
¯ ¯
τZ=∞
τ =0
f (τ ) · e−s̄τ dτ
(1.14)
Die für die Laplace–Transformation gültigen Rechenregeln sind in der Literatur 1 hergeleitet und werden hier als bekannt vorausgesetzt. Mit (1.14) und der Anwendung des Satzes über die Linearkombination ergibt sich aus (1.12):
L{
duC (t)
1
1
}+
· L{uC (t)} =
· L{u (t)}
dt
RC
RC
(1.15)
Der erste Summand in (1.15) läßt sich mit Hilfe des Differentiationssatzes für die Originalfunktion in
die Beziehung
L{
duC (t)
} = s · L{uC (t)} − uC (0)
¯
dt
(1.16)
umformen, so daß sich (1.15) zu
1
L{uC (t)} · s +
¯ RC
− uC (0) =
1
· L{u (t)}
RC
(1.17)
ergibt. Mit uC (0) = 0 ergibt sich:
L{uC (t)} =
1
1
RC s +
¯
Z. B. in I. Wolff: Grundlagen der Elektrotechnik 4
1
RC
· L{u (t)}
(1.18)
8
Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1
L{u (t)} läßt sich entweder mit der Transformationsvorschrift aus der Gleichung (1.14) berechnen oder
aus Tabellen entnehmen.
An dieser Stelle soll die Transformationsvorschrift (1.14) in Anwendung auf (1.13) benutzt werden.
Einsetzen von (1.13) in (1.14) und Integration ergibt:
L{u (t)} =
Z∞
0
1
U0 · e−s̄t d t = −U0 · · e−s̄t
s
¯
∞
=
0
U0
s
¯
(1.19)
Damit ergibt sich die Laplace–Transformierte von u C (t) zu:
L{uC (t)} =
U0
1
·
RC s · s +
¯ ¯
1
RC
(1.20)
Die Rücktransformation von (1.20) erfolgt nach den in der Literatur 2 hergeleiteten Rechenregeln.
Hierzu wird der zweite Faktor auf der rechten Seite der Gleichung (1.20) in Partialbr üche zerlegt:
1
s· s+
¯ ¯
1
RC
A
s
¯
= ¯ +
A
(A + B) · s + ¯
B
¯ 1 = ¯ ¯ ¯ 1 RC
s+
s· s+
¯ RC
¯ ¯ RC
(1.21)
Vergleicht man die Koeffizienten im ersten und letzten Term in Gleichung (1.21), so ergeben sich
Bestimmungsgleichungen für A und B:
¯
¯
A
(1.22)
A+B =0
und
¯ =1
¯ ¯
RC
Aus (1.22) ergeben sich für A und B die Beziehungen A = RC und B = −RC, so daß sich (1.20) in
¯
¯
¯
¯
der Form
U0
U0
−
s
s+ 1
¯
¯ RC
L{uC (t)} =
(1.23)
angeben läßt.
Der erste Summand in (1.23) stellt nach (1.19) die Transformierte der Spannung u (t) dar. Der zweite
Summand in (1.23) ergibt unter der Anwendung von (1.18) und des Dämpfungssatzes
L{e−at ·f (t)} = F (s + a)
¯ ¯
(1.24)
die Spannung
t
u1 (t) = u (t) · e− RC
für
t≥0
(1.25)
Damit läßt sich die gesuchte Spannung am Kondensator u C (t) angeben:
uC (t) = u (t) − u1 (t) = u (t) · 1 − e
1.4
t
− RC
=
(
0 für t < 0
t
− RC
U0 · 1 − e
für t ≥ 0
(1.26)
Schaltvorgänge in einem induktiven Kreis
Die Differentialgleichung für das in Bild 1.7 gegebene Problem lautet:
R · iL (t) + L ·
2
Z. B. in W. Ameling: Laplace–Transformation
diL (t)
= U0
dt
,
iL (0−) = 0
(1.27)
9
Versuch B1/1: Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken
?
U0
iL (t)
t = 0
.............................
R
=
?
uL (t)
L
?
Bild 1.7. Einschalten einer Gleichspannung am Beispiel einer Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand und Spule
mit der Lösung:
iL (t) =
t
U0 · 1 − e− L/R
R
(1.28)
Der Strom steigt exponentiell von Null auf seinen Endwert U 0 /R mit der Zeitkonstanten τ = L/R.
Wird nach Abschluß des Ausgleichsvorgangs in diesem Kreis nun die Spannungsquelle durch einen
Kurzschluß ersetzt, so wird der Strom nicht unmittelbar auf den Wert Null abfallen, sondern er klingt
mit der Zeitkonstanten L/R exponentiell gegen Null ab. Bei dem Versuch, den Stromkreis zu unterbrechen, steigt die Spannung an der Unterbrechungsstelle so weit an, daß es zum Überschlag kommen
und ein entsprechender Ausgleichsstrom fließen kann. Dieser Effekt ist in allen induktiven Kreisen
zu beachten, weil dabei Kontakte durch Funken– oder Lichtbogenbildung beschädigt oder elektronische Schalter zerstört werden können. Abhilfe kann geschaffen werden, indem der Strom langsam
heruntergestellt wird, oder indem man z. B. parallel zur Induktivität eine in Sperrichtung gepolte
Diode schaltet, eine sogenannte Freilaufdiode. Die Diode spielt im normalen Betrieb keine Rolle, bei
Abschaltvorgängen leitet sie jedoch den Ausgleichsstrom der Induktivität ab und verhindert Schaltspannungsspitzen. Beim Anschalten einer sinusförmigen Wechselspannung im Stromkreis nach Bild
1.7 ist der Ausgleichsvorgang wiederum von der augenblicklichen Phasenlage der Quellenspannung
abhängig, ähnlich wie in Bild 1.5 dargestellt. Es gibt wieder einen günstigen Einschaltzeitpunkt, bei
dem kein Ausgleichsvorgang auftritt. Das ist genau dann der Fall, wenn zum Schaltzeitpunkt der
eingeschwungene Strom gerade eine Nullstelle hat. Ansonsten überlagert sich dem eingeschwungenen
Strom wieder ein exponentiell abklingender Ausgleichsstrom. Beim Abschalten eines induktiven Wechselstromnetzes lassen sich demnach Spannungsspitzen vermeiden, wenn dafür gesorgt wird, daß genau
im Nulldurchgang des Stromes abgeschaltet wird.
1.5
1.5.1
Schaltvorgänge in einem Serienschwingkreis
Einschalten einer Gleichspannung
?
U0
t = 0
=
?
i (t)
.............................
R
L
C
Bild 1.8. Einschalten einer Gleichspannung am Beispiel eines Reihenschwingkreises
10
Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1
Die Differentialgleichung lautet:
1
R · i (t) + ·
C
Zt
0
i (t) d t + L ·
di (t)
= U0
dt
bzw.
d2 i (t) R di (t)
1
+ ·
+
· i (t) = 0 (1.29)
2
dt
L
dt
LC
Die Anfangsbedingungen, die für die Lösung selbstverständlich benötigt werden, erhält man, indem
man die Schaltung im Schaltaugenblick betrachtet. Es werde davon ausgegangen, daß die Spule
stromlos und der Kondensator ungeladen seien. Die Anfangsbedingung für den Strom lautet also
i (t = 0+) = 0. Weiterhin muß die Spannung an der Reihenschaltung von R, L und C gleich U 0 sein.
Der einzige Spannungsabfall, der im Schaltaugenblick möglich ist, ist eine in der Spule induzierte
Spannung. Es gilt also (d i (t) / d t)| t=0+ = U0 /L. Transformiert man die Differentialgleichung (1.29)
und berücksichtigt dabei direkt die Einschaltbedingungen, so erhält man:
1
R
L{i (t)} s2 + s +
¯ L LC
¯
U0
1
(1.30)
1
R
2
L s + s L + LC
¯
¯
Die Rücktransformation kann beispielsweise durch Partialbruchzerlegung geschehen. Die Partialbruchzerlegung erfordert im vorliegenden Fall die Lösung einer quadratischen Gleichung. Dabei sind drei
Fälle zu unterscheiden. r
Mit der Abkürzung ωL =
(a)
(b)
(c)
R2
4L2 −
R2
1
<
LC
4L2
1
R2
=
LC
4L2
1
R2
>
LC
4L2
.......
.. ...
.. ....
..
...
..
...
...
...
..
...
.....
...
..
...
...
...
...
...
...
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...
...
..
...
...
...
...
...
....
...
.....
...
......
.......
...
..........
...
..................
......
..
1 LC =
U0
L
⇒
ergibt sich:
U0
R
· e− 2L t sinh (ωL · t)
ωL L
U0
R
i (t) =
· t · e− 2L t
L
U0
R
i (t) =
· e− 2L t sin (ωL · t)
ωL L
⇒
i (t) =
⇒
⇒
i (t)
(1.31)
(1.32)
(1.33)
U0 / (ωL L)
......
... ....
... ...
.... .....
...
..
...
...
...
...
...
....
...........
...
...
... .....
...
..
...
...
...
..
..........
...
.
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...
...
..... ...........
...
......
...
....
.......................................................
...
..
...
.......................
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...
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.
...
..
.
..
...
.
.
.
.
.
.............
...
..
.
...
..
...
..
... ....
... ...
......
(c)
(a), (b)
↑
L{i (t)} =
↑
i (t)
0
2π
t→
4π
6π
8π
ωL t →
Bild 1.9. Darstellung des Stromverlaufes: (a) für den Fall der starken Dämpfung
2
1
LC
<
R2
4L2
gemäß
1
R
Gleichung (1.31), (b) im aperiodischen Grenzfall LC
= 4L
, siehe Gleichung (1.32), für den sich
2
ein sehr ähnlicher Kurvenverlauf
wie im Fall der starken Dämpfung ergibt und (c) für den Fall der
1
R2
schwachen Dämpfung LC > 4L2 gemäß Gleichung (1.33).
1.5.2
Einschalten einer sinusförmigen Wechselspannung
Die Differentialgleichung, welche den Einschaltvorgang beschreibt, weicht von Gleichung (1.29) ab, da
die eingeprägte Spannung für t > 0 zeitabhängig ist. Man leitet also ab:
1
R · i (t) + ·
C
Zt
0
i (t) d t + L ·
di (t)
= u (t)
dt
bzw.
d2 i (t) R di (t)
1
1 du (t)
+ ·
+
· i (t) =
2
dt
L
dt
LC
L dt
11
Versuch B1/1: Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken
Um alle Phasenlagen der eingeprägten Spannung im Schaltzeitpunkt zuzulassen, wird die Quellenspannung aus einer reinen Sinus– und einer reinen Cosinus–Schwingung zusammengesetzt:
bsin sin (ωQ t) + u
bcos cos (ωQ t)
u (t) = u
Mit den oben bereits angestellten Betrachtungen für die Anfangsbedingungen für den Strom ergibt
sich für die Transformierte:
L{i (t)} =
bsin sωQ + u
bcos s2
u
1
¯
¯
L s2 + ω 2 s2 + s R +
Q
¯
¯
¯L
1
LC
=
bsin sωQ + u
bcos s2
1
u
¯
¯
L s2 + ω 2 s2 + s R + ω02 Q
¯
¯
¯L
Hierbei müssen zunächst zwei Fälle unterschieden werden:
• Die Frequenz ωQ der Anregung ist gleich der Resonanzfrequenz ω 0 =
√1
LC
des Schwingkreises.
• Die Anregungsfrequenz ist von der Resonanzfrequenz verschieden (ω Q 6= ω0 ).
In beiden Fällen muß dann noch nach dem Grad der Dämpfung unterschieden werden.
1.5.2.1
Die Anregungsfrequenz ist gleich der Resonanzfrequenz
Die Transformierte kann in diesem Fall wie folgt angegeben werden:
bsin sω0 + u
bcos s2
1
u
¯
¯ 2
2
L (s2 + ω0 ) s2 + s R
+ ω0
L
¯
¯
¯
Je nach der Dämpfung des Einschwingvorganges, hervorgerufen durch den ohmschen Widerstand
R ergeben sich drei unterschiedliche Partialbruchzerlegungen für diese Transformierte. Es wird hier
+ ω02 betrachtet.
jeweils der Term s2 + s R
¯L
¯
1
R
R2
R
R
2
2
s+
(1.34)
⇒
s + s + ω0 = s +
<
+ ωL
− ωL
¯ 2L
¯
¯L
¯ 2L
LC
4L2
1
R2
R
2
=
⇒
s2 + s + ω02 = (s + ω0 )
(1.35)
2
¯
¯L
¯
LC
4L
R2
R
R
1
R
2
2
>
⇒
s
+
s
+
ω
=
s
+
+
jω
s
+
−
jω
(1.36)
L
L
0
¯
¯L
¯ 2L
¯ 2L
LC
4L2
L{i (t)} =
Transformiert man die sich in jedem Fall ergebenden Partialbrüche in den Zeitbereich zurück, so erhält
man die Funktionen:
i (t) =
i (t) =
i (t) =
bsin
u
R
bcos
ω0 − 2L
u
R
t
sin ω0 t −
e
sinh ωL t +
ωL
R
cos ω0 t − e
R
− 2L
t
cosh ωL t −
R
2L
ωL
sinh ωL t
!!
(1.37)
u
bsin
bcos
u
sin ω0 t − ω0 t e−ω0 t +
cos ω0 t − (1 − ω0 t) e−ω0 t
(1.38)
R
R
!!
R
bsin
bcos
u
ω0 − 2L
u
R
R
t
sin ω0 t −
·e
cos ω0 t − e− 2L t · cos ωL t − 2L sin ωL t
· sin ωL t +
R
ωL
R
ωL
(1.39)
für den Fall der starken Dämpfung (siehe Gleichung (1.37)), der kritischen Dämpfung (siehe Gleichung
(1.38)) und der schwachen Dämpfung (siehe Gleichung (1.39)).
Da der Einschwingvorgang nur bei einer sehr geringen Dämpfung deutlich zu beobachten ist, wird
hier nur dieser Fall graphisch dargestellt, siehe Bild 1.10. Man beachte, daß die im Einschwingvorgang
zusätzlich zur periodischen Lösung auftretenden Sinus– und Cosinus–Schwingungen nicht die Frequenz
der Quellenspannung besitzen.
12
Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1
+i0
↑
i (t)
−i0
........
.....
... .....
.... .....
..........
...
...
..
...
... .....
.........
..
...
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... .....
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..
... ....
.... ......
.
.
.
.
....
... ..
..... ....
...
.........
2π
4π
6π
8π
10π
12π
ω0 t →
Bild 1.10. Stromverlauf in einem schwach verlustbehafteten Reihenschwingkreis beim Einschalten
einer sinusförmigen Spannung. Die Frequenz der Quellenspannung stimmt mit der Resonanzfrequenz
des Schwingkreises überein.
1.5.2.2
Die Anregungsfrequenz ist von der Resonanzfrequenz verschieden
Dieser Fall liefert sehr komplizierte Funktionen für den Strom. Es soll daher an dieser Stelle nur
der Weg beschrieben werden, wie die Zeitfunktion zu finden ist. Weiterhin werden einige Beispiele
graphisch dargestellt.
Die Transformierte des Stromes lautet unter der Annahme, daß die Quelle eine Spannung der Frequenz
ωQ liefert:
usin sωQ + ucos s2
¯
¯
2
s2 + s R
L s2 + ω Q
+ ω02
L
¯
¯
¯
Diese Transformierte kann als Partialbruchzerlegung geschrieben werden:
L{i (t)} =

(1.40)

3
2
2
+ RωQ
sLωQ ω02 − ωQ
+ Rω02 ωQ
sLωQ ω02 − ωQ
¯
¯

−
2
2
s2 + ω Q
s2 + s R
+ ω02
2
2
L
+ R 2 ωQ
L2 ω02 − ωQ
¯
¯
¯
usin
L{i (t)} =


2
2
2
2
2
ω02 − ωQ
sRωQ
− LωQ
sRωQ
− Lω02 ω02 − ωQ
ucos
¯
¯
 (1.41)

−
2
2
s2 + ω Q
+ ω02
s2 + s R
2
2
L
L2 ω02 − ωQ
+ R 2 ωQ
¯
¯
¯
+
Die jeweils ersten Terme in den Klammern in Gleichung (1.41) liefern den homogenen Anteil der
Lösung, der aus einer cos– und einer sin–Funktion besteht. Dieser nicht abklingende Teil der Gesamtlösung hätte beispielsweise auch mit Hilfe der komplexen Wechselstromrechnung gefunden werden können. Die zweiten Terme in den Klammern müssen zur weiteren Behandlung zerlegt werden.
Zunächst kann man für den Nenner wie folgt schreiben:
R
R
s + s + ω02 = s +
+ ωL
¯
¯L
¯ 2L
2
R
s+
− ωL
¯ 2L
mit
ωL2 =
R2
− ω02
4L2
(1.42)
Mit Hilfe dieser Umformung kann auch der zweite Term in Partialbrüche zerlegt und rücktransformiert
werden. Wie die Definition von ωL in Gleichung (1.42) zeigt, ist es wichtig, die unterschiedlichen
Dämpfungsgrade zu unterscheiden, da ω L entweder rein reell, rein imaginär oder Null wird. Abhängig
davon ergeben sich abklingende hyperbolische, abklingende trigonometrische oder reine Exponential–
Funktionen für die flüchtige Lösung.
1.6
Versuchsbeschreibung
Zur Darstellung der Einschaltvorgänge stehen zwei verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung. Für
langsam ablaufende Vorgänge können die Zeitverläufe von Strom und Spannung auf einem XY–
Schreiber aufgezeichnet werden. Das Schalten kann in diesem Fall von Hand erfolgen. F ür schnelle
13
Versuch B1/1: Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken
1
↑
i (t) /bı
0
−1
(a)
....
... ....
... ...
...
..........
.... .....
.... ....
.........
..........
...
... .....
... .....
... .....
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... .....
.........
.......
... ..
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.
........
... ...
... ...
... ...
... ..
... ...
...
2π
4π
ωQ t →
6π
8π
1
↑
i (t) /bı
0
−1
(b)
.......
.
... ...
...
......
..
.
.
......
......
...
.....
......
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... ...
....
....
....
......
......
..
......
.....
......
... ...
.
..
...
.....
.
.
8π
16π
24π
ωQ t →
Bild 1.11. Darstellung des Stromverlaufes: (a) für den Fall, daß die eingeprägte Frequenz kleiner
ist als die Resonanzfrequenz des Schwingkreises und (b) für den Fall, daß die eingeprägte Frequenz
größer ist als die Resonsnzfrequenz des Schwingkreises. In beiden Fällen ist der Widerstand so gewählt
worden, daß eine geringe Dämpfung vorliegt und somit der Ausgleichsvorgang langsam abklingt.
Vorgänge bietet sich die Darstellung auf dem Oszillographenbildschirm an. Steht kein Speicheroszillograph zur Verfügung, so muß dafür gesorgt werden, daß ein stehendes Bild dadurch entsteht, daß der
Einschaltvorgang laufend wiederholt wird. Die Wiederholungsfrequenz muß dabei so gewählt werden,
daß ihre Periodendauer groß gegenüber der Dauer des Ausgleichsvorgangs ist, sodaß die zu untersuchende Schaltung bei Beginn des nächsten Zyklus’ wieder in ihren Ausgangszustand zurückgekehrt ist.
D. h. zwischen Einschalten und Ausschalten sowie erneutem Einschalten der Quelle muß soviel Zeit
vergehen, daß mögliche Ausgleichsvorgänge von Strömen und Spannungen im Netzwerk weitgehend
abgeschlossen sind.
Als Spannungsquelle für die Darstellung von schnelleren Vorgängen wird ein spezieller Generator benutzt. Er erzeugt einen Rechteckimpuls mit einer relativ großen Periodendauer. Die Rechteckimpulse
können direkt dazu benutzt werden, das Einschalten einer Gleichspannung zu simulieren. Sie steuern gleichzeitig auch einen elektronischen Schalter (Chopper), mit dem sich Sinusschwingungen einer
höheren Frequenz schalten lassen. Der Einschaltpunkt ist mit Hilfe eines zusätzlichen Operationsverstärkers verschiebbar, so daß die Einschaltphase des Sinussignals eingestellt werden kann (Phasenanschnitt). Außerdem liefert der Generator einen Triggerimpuls für eine externe Triggerung des
Oszillographen.
1.7
Versuchsdurchführung
1. Schalten Sie an die Reihenschaltung eines Kondensators (C = 100 µF, Polarität beachten!) und
eines Widerstandes (R = 33 kΩ) eine Gleichspannung von U = 12 V, nehmen Sie den Verlauf des
Stromes und der Kondensatorspannung am XY–Schreiber auf und bestimmen Sie rechnerisch
und zeichnerisch die Zeitkonstante τ des Ausgleichsvorganges.
2. Legen Sie eine geschaltete Sinusspannung an die Reihenschaltung R = 33 kΩ und C = 0.047 µF.
Stellen Sie den Einschaltzeitpunkt auf den günstigen und den ungünstigen Wert ein und skizzieren Sie den Verlauf der Kondensatorspannung für einen ungünstigen Einschaltzeitpunkt (ein
Schaltzyklus). Markieren Sie in Bild 1.12 die Schaltzeitpunkte.
3. Untersuchen Sie das Einschaltverhalten der Reihenschaltung eines Widerstandes (R = 1 kΩ)
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Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1
Bild 1.12. Kondensatorspannung für einen ungünstigen Schaltzeitpunkt.
und einer Induktivität (Primärwicklung eines Trafos) bei angelegter Rechteckspannung (T >
t). Skizzieren Sie in Bild 1.13 qualitativ Strom und Spannung an der Induktivität sowie die
Generatorspannung Ug (je ein Schaltzyklus).
Bild 1.13. Strom und Spannung an der Induktivität und Generatorspannung.
4. Untersuchen Sie das Verhalten der Schaltung nach 3. nach Anlegen einer geschalteten sinusförmigen Spannung. Skizzieren Sie in Bild 1.14 den Strom durch die Induktivität für einen ungünstigen
Einschaltzeitpunkt (ein Schaltzyklus). Markieren Sie die Schaltzeitpunkte.
5. Skizzieren Sie in Bild 1.15 qualitativ den Stromverlauf in einem Serienschwingkreis (R = 1 kΩ,
C = 0.047 µF, L=Transformatorwicklung) bei anliegender rechteckförmiger Spannung für einen
Schaltzyklus. Markieren Sie die Schaltzeitpunkte.
6. Skizzieren Sie in Bild 1.16 den Stromverlauf im Serienkreis nach 5., wenn eine sinusförmige
Spannung der Resonanzfrequenz ω = ω 0 angeschaltet wird. Stellen Sie dazu vorher den Generator
auf die Resonanzfrequenz ω0 des Kreises ein (wie lautet die Resonanzbedingung?).
7. Schalten Sie an den Serienschwingkreis nach 6. eine höhere und eine niedrige Frequenz und
skizzieren Sie in Bild 1.17 den Verlauf des Stromes (je ein Schaltzyklus). Markieren Sie die
Schaltzeitpunkte.
Versuch B1/1: Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken
Bild 1.14. Strom durch die Induktivität bei geschalteter sinusförmiger Quellenspannung.
Bild 1.15. Stromverlauf im Serienschwingkreis bei rechteckförmiger Quellenspannung.
Bild 1.16. Stromverlauf im Serienschwingkreis bei sinusförmiger Quellenspannung (ωQ = ω0 ).
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Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1
Bild 1.17. Stromverlauf im Serienschwingkreis bei sinusförmiger Quellenspannung (ωQ 6= ω0 ).