Theorie und Finite-Element-Formulierung eines elastokinetischen

Theorie und Finite-Element-Formulierung
eines elastokinetischen Kontinuums
mit piezoelektrischen Eigenschaften
Universität
Karlsruhe (TH)
BAUSTATIK
Diplomarbeit von Monika Gall
Einleitung
Modellierung eines Tubusaktors
Der piezoelektrische Effekt wird durch die materialinterne Kopplung zwischen elektrischen und mechanischen
Feldern verursacht. Mechanische Deformationen
erzeugen in einem Piezoelektrikum ein elektrisches
Potentialfeld (direkter piezoelektrischer Effekt) und
umgekehrt kann das Material durch ein einwirkendes
elektrisches Feld mechanisch verformt werden (inverser
piezoelektrischer Effekt).
Der modellierte Viertel-Tubus ist in radialer Richtung
polarisiert und wird mit einem der Polungsrichtung entgegengerichteten elektrischen Feld belastet. Das E-Feld
wird durch eine Verschiebung des vierten
Freiheitsgrads (elektr.
Potential, Verlauf farbig dargestellt) an den
inneren und äußeren
Knoten vorgegeben.
Der piezoelektrische Transversaleffekt (d[31] -Effekt) bewirkt die Dehnung des Tubus in Längsrichtung.
Grundgleichungen der Mechanik und Elektrostatik
Das modellierte Kontinuum muß die mechanischen und
elektrischen Feldgleichungen, wie auch ihre Randbedingungen erfüllen. Es gilt
E-Feld
Polarisation
Impulserhaltung
Div P + ρ0 b0 − ρ0 ü = 0 in B0 ,
Elektrostatik
Div D = f rei , Rot E = −Grad φ in B0 ,
Randbedingungen
P · N̂ = t̄0 auf ∂P B0 , D · N̂ = −σ auf ∂φ B0 .
Materialgesetz
Die Materialtensoren beschreiben die Verknüpfung der
mechanischen und elektrischen Prozessvariablen.
Durch den Longitudinaleffekt (d[33] ) ergibt sich eine
Vergrößerung des Radius bei gleichzeitiger Abnahme der
Wandstärke.
Biegeaktor - dynamisch
¨
D=e S
dielektrische
Verschiebung
Deformation
¨
S = gT · D
S
=dT
D
·E
¨
T =c S
E=
¨
-1
S=c T
T
=d
E
T
h
·D
h
e ·D
D=
e ·E
S
E = -g T
¨
mechanische
Spannung
-1
¨
T
=-
=-
Der Biegeaktor ist aus zwei gleichgepolten, leitend
beschichteten Lagen aufgebaut. In einem sinusförmigen
Lastzyklus werden diese mit entgegengerichteten E-Feldern belastet. Durch die Querdehnung
bzw. -kontraktion der Lagen biegt sich der Aktor.
~ ±5.e7V
elektrische
Feldstärke
~ 5.e7V
~ ±5.e7V
T
T = -e · E
±
Durch den Piezoelektrizitätstensor wird die elektromechanische Kopplung, sowie die Abhängigkeit der
transversalen Isotropie einer piezoelektrischen Keramik
von ihrer Polungsrichtung P̂ formuliert. Es gilt
dmij
mit ni =
P̂i
P̂
5,00E+00
Loadfactor
Displacement
4,00E+00
3,00E+00
2,00E+00
disp [m] / load [-]
◦
Pr d[33] nm ni nj + d[31] nm αij
= ◦
Psat
+ 0, 5 d[15] (ni αjm + nj αim ) ,
1,00E+00
0,00E+00
0,00E+00
2,00E+00
4,00E+00
6,00E+00
8,00E+00
-1,00E+00
-2,00E+00
-3,00E+00
, αij = δij − ni nj .
Die Anregung in
der Eigenfrequenz
des Systems bewirkt Resonanz.
-4,00E+00
-5,00E+00
time [sec]
1,00E+01
1,20E+01
1,40E+01
1,60E+01