Blatt 9

Mikroökonomik B — SoSe 2013
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Übungsblatt 9
Produktdifferenzierung und Spieltheorie
Aufgabe 1: Hotelling Wettbewerb (aus der Vorlesung)
Betrachten Sie den Wettbewerb zwischen zwei Bars A und B an einem Strand, welchen
wir durch das Einheitsintervall I = [0, 1] modellieren. Die Bars produzieren Limonade mit
konstanten Grenzkosten, die auf 0 normalisiert sind und befinden sich an den Positionen
xA bzw. xB mit 0 ≤ xA ≤ xB ≤ 1. Die Strandbesucher sind gleichmäßig (uniform) auf
dem Strand verteilt und ein Besucher, der an der Stelle t am Strand sitzt hat folgende
Nutzenfunktion:
(
0
beim Verzicht auf Limonade,
u(t) =
10 − pj − (t − xj )2 beim Kauf von Limonade zum Preis pj bei Bar J.
(a) Stellen Sie die Bedingung dafür auf, dass ein Strandbesucher an Position t bei Bar A
(bei Bar B) kauft. Nehmen Sie dabei an, dass die Preise nicht hoch genug sind, um
den Besucher vom Kauf abzuhalten.
(b) Ermitteln Sie den Konsumenten t̃ der indifferent zwischen dem Einkauf bei beiden
Bars ist. Was können sie über Konsumenten links und rechts von t̃ aussagen?
(c) Bestimmen Sie die Nachfrage nach Limonade bei Bar A und bei Bar B. Benutzen sie
dabei, dass unter der Annahme einer uniformen Verteilung der Besucher die Nachfrage
gleich der Länge des Strandabschnittes ist, den eine Bar bedient.
Nehmen Sie an, dass die Bars ihre Positionen am Strand wählen und die Preise reguliert
und bei beiden Bars gleich sind, pA = pB = p.
(d) Welche Positionen werden die Bars im Nash-Gleichgewicht wählen?
Die Positionen der beiden Bars xA ≤ xB seien nun wieder exogen festgelegt. Nehmen Sie
für den Rest der Aufgabe an, dass die Firmen ihre Preise selber wählen.
(e) Bestimmen Sie für beide Firmen die Reaktionsfunktion auf den Preis des Wettbewerbers.
(f) Bestimmen sie die Gleichgewichtspreise bei gegebenen Positionen.
Die Bars können nun Preise und ihre Positionen selber wählen. Das Spiel besteht aus zwei
Perioden: In der ersten Periode wählen beide Bars simultan ihre Positionen xA und xB .
In der zweiten Periode setzen sie simultan ihre Preise pA und pB .
(g) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lösung der vorherigen Teilaufgabe die optimalen Positionen xA und xB . Geben Sie außerdem die Nachfrage bei beiden Firmen sowie die
Gleichgewichtspreise an.
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Aufgabe 2: Zweitpreisauktion
Ein Auto soll per Auktion an einen von zwei Spielern verkauft werden. Die Wertschätzung
ti eines Spielers i = 1, 2 für das Auto kann die Werte ti = 1, 2, 3, 4 annehmen. Die
Strategiemenge eines Spielers i sind die vier möglichen Gebote bi = 1, 2, 3, 4.
Die Regeln der Auktion sind nun folgende: Der Gewinner des Autos muss als Preis das Gebot des anderen Spielers zahlen (das zweithöchste Gebot). Falls beide Spieler das gleiche
Gebot abgegeben haben, wird der Gewinner per Münzwurf (mit gleicher Wahrscheinlichkeit 12 ) ausgelost, ansonsten gewinnt derjenige Spieler mit dem höheren Gebot. Der Nutzen
von Spieler i gegeben sein Gebot bi und das Gebot des anderen (bj ) ist also folgender:


ti − bj falls bi > bj ,
ui (bi , bj ) =
0 falls bi < bj ,
 1
(t − bj ) falls bi = bj .
2 i
(a) Schreiben Sie das Auktionsspiel in strategischer Form in Abhängigkeit von den beiden
Wertschätzungen t1 und t2 auf.
(b) Zeigen Sie, dass es für beide Spieler – egal wie ihre Wertschätzung ist – eine schwach
dominante Strategie ist, als Gebot ihre Wertschätzung zu spielen (bi = ti ).