Übungsblatt 9

Mikroökonomik B — SS 2012
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Übungsblatt 9
Produktdifferenzierung und Spieltheorie
Aufgabe 1: Hotelling Wettbewerb (aus der Vorlesung)
Betrachten Sie den Wettbewerb zwischen zwei Bars A und B an einem Strand, welchen
wir durch das Einheitsintervall I = [0, 1] modellieren. Die Bars sind an fixen Positionen
xA ≤ xB ∈ I am Strand platziert und produzieren Limonade mit konstanten Grenzkosten
von 1. Die Strandbesucher sind gleichmäßig (uniform) auf dem Strand verteilt und ein
Besucher, der an der Stelle t am Strand sitzt hat folgende Nutzenfunktion:
0 beim Verzicht auf Limonade,
u(t) =
10 − pj − |t − xj | beim Kauf von Limonade zum Preis pj bei Bar j.
(a) Stellen Sie die Bedingung dafür auf, dass ein Strandbesucher an Position t bei Bar A
(bei Bar B) kauft. Nehmen Sie dabei an, dass die Preise nicht hoch genug sind, um
den Besucher vom Kauf abzuhalten.
(b) Begründen Sie, dass es für gegebene Preise pj eine Position t∗ am Strand gibt, sodass
Badegäste an Stellen t ≤ t∗ lieber zu Bar A gehen und Badegäste an Stellen t > t∗
lieber zu Bar B gehen. Bestimmen Sie t∗ in Abhängigkeit von pA , pB und xA , xB .
(c) Bestimmen Sie die Nachfrage nach Limonade bei Bar A und bei Bar B. Benutzen sie
dabei, dass unter der Annahme einer uniformen Verteilung der Besucher die Nachfrage gleich der Länge des Strandabschnittes ist, den eine Bar bedient. Wie sieht
die Gewinnfunktion der Bars aus? Leiten Sie die Bedingung erster Ordnung für den
gewinnmaximierenden Preis her!
(d) Bestimmen Sie die Gleichgewichtspreise pA und pB in Abhängigkeit von den Standorten der Bars!
Aufgabe 2: Iterierte Elimination strikt dominierter Strategien
Lösen Sie folgendes Spiel in strategischer Form durch die IESDS-Methode:
Sp. 2
A
B
Sp. 1
C
D
A
5, 2
4, 0
−2, −2
1, 1
B
1, 4
2, 1
1, −1
1, 3
C
−1, 1
3, 0
2, 3
1, 2
D
2, −1
3, −1
2, 2
4, 1
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Aufgabe 3: Zweitpreisauktion
Ein Auto soll per Auktion an einen von zwei Spielern verkauft werden. Die Wertschätzung
ti eines Spielers i = 1, 2 für das Auto kann die Werte ti = 1, 2, 3, 4 annehmen. Die
Strategiemenge eines Spielers i sind die vier möglichen Gebote bi = 1, 2, 3, 4.
Die Regeln der Auktion sind nun folgende: Der Gewinner des Autos muss als Preis das Gebot des anderen Spielers zahlen (das zweithöchste Gebot). Falls beide Spieler das gleiche
Gebot abgegeben haben, wird der Gewinner per Münzwurf (mit gleicher Wahrscheinlichkeit 12 ) ausgelost, ansonsten gewinnt derjenige Spieler mit dem höheren Gebot. Der Nutzen
von Spieler i gegeben sein Gebot bi und das Gebot des anderen (bj ) ist also folgender:


ti − bj falls bi > bj ,
ui (bi , bj ) =
0 falls bi < bj ,
 1
(t − bj ) falls bi = bj .
2 i
(a) Schreiben Sie das Auktionsspiel in strategischer Form in Abhängigkeit von den beiden
Wertschätzungen t1 und t2 auf.
(b) Zeigen Sie, dass es für beide Spieler – egal wie ihre Wertschätzung ist – eine schwach
dominante Strategie ist, als Gebot ihre Wertschätzung zu spielen (bi = ti ).